S GD & ĐT THANH HÓAỞ
TR NG THPT B M S NƯỜ Ỉ Ơ KỲ THI TH Đ I H C L N 2 NĂM 2011Ử Ạ Ọ Ầ
MÔN: TOÁN; KH I: AỐ
(Th i gian làm bài 180’ không k th i gian phát đ )ờ ể ờ ề
I. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7 đi m)Ầ Ấ Ả ể
Câu I (2 đi m)ể Cho hàm s ố
( )
33 2 m
y x mx C= − +
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
( )
1
C
2. Tìm m đ đ ng th ng đi qua đi m c c đ i, c c ti u c aể ườ ẳ ể ự ạ ự ể ủ
( )
m
C
c t đ ng tròn tâm ắ ườ
( )
1;1 ,I
bán kính b ng 1 t i hai đi m phân bi t ằ ạ ể ệ A, B sao cho di n tích tam giác ệIAB đ t giá tr l nạ ị ớ
nh tấ
Câu II (2 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình ả ươ
( )
2
2cos3 cos 3 1 sin 2 2 3 os 2 4
x x x c x
π
+ + = +
÷
2. Gi i ph ng trình ả ươ
( )
2
2 2
1 5 2 4x x x+ = − +
Câu III (1 đi m) ểTính tích phân
∫
+
+
=
e
dxxx
xx
x
I
1
2ln3
ln1
ln
Câu IV (1 đi m) ểCho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đ nh A, ỉ
. G i Iọ
là trung đi m c a c nh BC. Hình chi u vuông góc H c a S lên m t ph ng (ABC) th a mãnể ủ ạ ế ủ ặ ẳ ỏ
2IA IH= −
uur uuur
. Góc gi a SC và m t đáy (ABC) b ng ữ ặ ằ
0
60
. Hãy tính th tích kh i chóp S.ABC vàể ố
kho ng cách t trung đi m K c a SB đ n m t ph ng (SAH).ả ừ ể ủ ế ặ ẳ
Câu V (1 đi m) ểCho 3 s th c d ng a, b, c th a mãn ố ự ươ ỏ
2 2 2 1abc+ + =
.
Ch ng minh r ng ứ ằ
5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
− + − + − +
+ + ≤
+++
II. PH N RIÊNG (3,0 đi m)Ầ ể
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n A ho c Bỉ ượ ộ ầ ặ
A. Theo ch ng trình chu nươ ẩ
Câu VI.a (2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ ặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ Oxy cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 12,ữ ậ ệ ằ
tâm I là giao đi m c a đ ng th ng ể ủ ườ ẳ
: 3 0d x y− − =
và
': 6 0d x y+ − =
. Trung đi m m t c nh làể ộ ạ
giao đi m c a ể ủ d v i tr c ớ ụ Ox. Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t.ọ ộ ỉ ủ ữ ậ
2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz cho hai đi m ớ ệ ụ ọ ộ ể
(0; 1;2)M−
và
( 1;1;3)N−
. Vi tế
ph ng trình m t ph ng (P) đi qua M, N sao cho kho ng cách t ươ ặ ẳ ả ừ
( )
0;0;2K
đ n (P) đ t giá tr l nế ạ ị ớ
nh tấ
Câu VII.a (1,0 đi m) ểCho khai tri n ể
( )
0
n
nk n k k
n
k
a b C a b
−
=
+ = ∑
. Quy c s h ng th i c a khai tri nướ ố ạ ứ ủ ể
là s h ng ng v i k = i-1.ố ạ ứ ớ
Hãy tìm các giá tr c a x bi t r ng s h ng th 6 trong khai tri nị ủ ế ằ ố ạ ứ ể
8
11
31log 3 1
log 9 7 2
5
2
2 2
x
x
÷
−
−− +
++
÷
÷
là 224.
B. Theo ch ng trình nâng caoươ
Câu VI.b (2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ ặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ Oxy cho hình ch nh t ABCD có ph ng trình c nhữ ậ ươ ạ
AB và đ ng chéo BD l n l t là ườ ầ ượ
2 1 0x y− + =
và
7 14 0x y− + =
, đ ng th ng AC đi qua đi mườ ẳ ể
( )
2;1M
. Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t.ọ ộ ỉ ủ ữ ậ
2. Trong không gian v i h tr c t a đ ớ ệ ụ ọ ộ Oxyz cho ba đi m ể
( ) ( ) ( )
2;3;1 , 1;2;0 , 1;1; 2A B C− −
.
Tìm t a đ tr c tâm H và tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABCọ ộ ự ườ ạ ế
Câu VII.a (1,0 đi m) ểGi i b t ph ng trình ả ấ ươ
( )
2 2
3log 2 9log 2x x x− > −
…………………….H t…………………….ếwww.laisac.page.tl
S GD & ĐT THANH HÓAỞ
TR NG THPT B M S NƯỜ Ỉ Ơ KỲ THI TH Đ I H C L N 2 NĂM 2011Ử Ạ Ọ Ầ
H NG D N CH M MÔN: TOÁN; KH I: AƯỚ Ẫ Ấ Ố
(Th i gian làm bài 180’ không k th i gian phát đ )ờ ể ờ ề
Câu N i dungộĐiể
m
I
(2đi mể
)
1.(1,0 đi m)ể
Hàm s (Cố1) có d ng ạ
33 2y x x=−+
•
T p xác đ nh: ậ ị
¡
•
S bi n thiênự ế
-
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = −∞
0,25
- Chi u bi n thiên: ề ế
2
' 3 3 0 1y x x= − = ⇔ = ±
B ng bi n thiênả ế
X
−∞
-1 1
+∞
y’ + 0 - 0 +
Y
4
+∞
−∞
0
0,25
Hàm s đ ng bi n trên các kho ng ố ồ ế ả
( ) ( )
; 1 , 1;−∞ − +∞
, ngh ch bi n trên kho ngị ế ả
(-1;1)
Hàm s đ t c c đ i t i ố ạ ự ạ ạ
1, 4
CD
x y= − =
. Hàm s đ t c c ti u t i ố ạ ự ể ạ
1, 0
CT
x y= =
0,25
•
Đ th : Đ th hàm s đi qua các đi m (0; 2), (1; 0) và nh n I(0; 2) làm đi m u nồ ị ồ ị ố ể ậ ể ố
f(x)=x^3- 3x+2
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
4
x
y
0,25
2.(1,0 đi m)ể
Ta có
2
' 3 3y x m= −
Đ hàm s có c c đ i, c c ti u thì ph ng trình ể ố ự ạ ự ể ươ
' 0y=
có hai nghi m phân bi t ệ ệ
0m
⇔ >
0,25
Vì
1. ' 2 2
3
y x y mx= − +
nên đ ng th ng ườ ẳ
∆
đi qua c c đ i, c c ti u c a đ th hàm s có ph ngự ạ ự ể ủ ồ ị ố ươ
trình là
2 2y mx= − +
0,25
Ta có
( )
2
2 1
, 1
4 1
m
d I R
m
−
∆ = < =
+
(vì m > 0), ch ng t đ ng th ng ứ ỏ ườ ẳ
∆
luôn c t đ ng tròn tâmắ ườ
I(1; 1), bán kính R = 1 t i 2 đi m A, B phân bi tạ ể ệ
V i ớ
1
2
m≠
, đ ng th ng ườ ẳ
∆
không đi qua I, ta có:
2
1 1 1
. .sin
2 2 2
ABI
S IA IB AIB R
∆= ≤ =
0,25
Nên
IAB
S∆
đ t giá tr l n nh t b ng ½ khi sinAIB = 1 hay tam giác AIB vuông cân t i Iạ ị ớ ấ ằ ạ
1
2 2
R
IH⇔ = =
(H là trung đi m c a AB)ể ủ
2
2 1 1 2 3
2
2
4 1
mm
m
−±
⇔ = ⇔ =
+
0,25
II
(2đi mể
)
1.(1,0 đi m)ể
Đ t ặ
( )
2 2 4 2
2 4 2 2t x x t x x= + ⇒ = +
ta đ c ph ng trìnhượ ươ 0,25
224
1 5 2 8 0 2
2
t
tt t t t
= −
+ = − ⇔ + − = ⇔ =
0,25
V i ớ
4t= −
ta có
( )
00 0
2
2 4 4 2
4 2 4 2 2
2 2 16 2 8 0 2
xx x
x x x
x x x x x
<< <
+ = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −
+ = + − = =
0,25
V i ớ
2t
=
ta có
( )
2
4 2 4 2 2
00
0
2 4 2 3 1
224 2 2 0 3 1
xx
x
x x x
x x x x x
>
>
>
+ = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −
+ = + − = = −
0,25
III
(1đi mể
)
∫∫ +
+
=
e
1
2
e
1
xdxlnx3dx
xln1x
xln
I
=I1+3I2
+) Tính
∫+
=
e
dx
xx
x
I
1
1ln1
ln
.
Đ t ặ
21
1 ln 1 ln ; 2t x t x tdt dx
x
= + ⇒ = + =
Khi
2tex;1t1x =⇒==⇒=
0,25
( ) ( )
( )
2
23
12 2 2
2 2 2
.2 2 1 2
13 3
1 1 1
tt
I tdt t dt t
t
−−
⇒ = = − = − =
∫ ∫
÷
÷
0,25
+) TÝnh
dxxlnxI
e
1
2
2∫
=
. §Æt
=
=
⇒
=
=
3
x
v
x
dx
du
dxxdv
xlnu
32
+
⇒ = − = − = − + =
∫
e
3 3 3 3 3 3
e 2 e
2 1 1
1
x 1 e 1 x e e 1 2e 1
I .lnx x dx .
3 3 3 3 3 3 9 9 9
0,25
=+= 21 I3II
3
e2225 3
+−
0,25
IV
(1đi mể
)
*Ta có
2IA IH= − ⇒
uur uuur
H thu c tia đ i c a tia IA và ộ ố ủ
2IA IH=
2 2BC AB a= =
Suy ra
3
,2 2
a a
IA a IH AH IA IH= = ⇒ = + =
0,25
Ta có
5
2 2 2 0
2 . .cos 45 2
a
HC AC AH AC AH HC= + − ⇒ =
0,25
S
H
C
A
B
I
K
.
Vì
( ) ( )
( )
15
0 0
, 60 .tan 60 2
a
SH ABC SC ABC SCH SH HC⊥ ⇒ = ∠ = ⇒ = =
Ta có
5
2 2 2 0
2 . .cos 45 2
a
HC AC AH AC AH HC= + − ⇒ =
Vì
( ) ( )
( )
0 0 15
, 60 .tan 60 2
a
SH ABC SC ABC SCH SH HC⊥ ⇒ = ∠ = ⇒ = =
0,25
Th tích kh i chóp S.ABCD là: ể ố
( )
3
.
1 15
.
3 6
S ABC ABC
a
V S SH dvtt
∆
= =
0,25
*
( )
BI AH BI SAH
BI SH
⊥
⇒ ⊥
⊥
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,1 1 1
, ,
2 2 2 2
,
d K SAH SK a
d K SAH d B SAH BI
SB
d B SAH
⇒ = = ⇒ = = =
0,25
V
(1đi mể
)
Do a, b, c > 0 và
2 2 2 1abc+ + =
nên
( )
, , 0;1abc∈
Ta có
( )
2
2
5 3 1
23
2 2 2
1
a a
a a a a a
b c a
−
− + = = − +
+ −
B t đ ng th c tr thành ấ ẳ ứ ở
( ) ( ) ( )
2 3
3 3 3
3
a a b b c c− + + − + + − + ≤
0,5
Xét hàm s ố
( ) ( )
( )
30;1f x x x x= − + ∈
. Ta có:
( )
( )
0;1
2 3
ax 9
M f x =
( ) ( ) ( )
2 3
3
f a f b f c⇒ + + ≤
D u “=” x y ra khi và ch khi a = b = c=ấ ả ỉ
1
3
0,5
VIa
(2đi mể
)
1.(1,0 đi m)ể
T a d giao đi m I c a dọ ộ ể ủ và d’ là nghi m c a h ph ng trìnhệ ủ ệ ươ
9
3 0 9 3
2;
6 0 3 2 2
2
x
x y I
x y y
=
− − =
⇔ ⇒
÷
+ − =
=
Do vai trò c a A, B, C, D là nh nhau nên gi s M là trung đi m c a ADủ ư ả ử ể ủ
( )
Ox 3;0M d M⇒ = ∩ ⇒
0,25
Ta có:
2 3 2AB IM= =
Theo gi thi t ả ế
. 12 2 2
ABCD
S AB AD AD= = ⇒ =
Vì I, M thu c d ộ
: 3 0d AD AD x y⇒ ⊥ ⇒ + − =
0,25
L i có ạ
2MA MD= = ⇒
t a đ đi m A, D là nghi m cu h ph ng trìnhọ ộ ể ệ ẩ ệ ươ
( ) ( ) ( )
22
3 0 2 4 2;1 ; 4; 1
1 1
3 2
x y x x A D
y y
x y
+ − =
= =
⇔ ∧ ⇒ −
= = −
− + =
0,25
Do I là trung đi m c a AC nên C(7; 2)ể ủ
TT: I là trung đi m c a BD nên B(5; 4)ể ủ 0,25
2.(1,0 đi m)ể
G i ọ
( )
, ,n A B C=
r
( )
2 2 2
0A B C
+ + ≠
là m t vect pháp tuy n c a m t ph ng (P). ộ ơ ế ủ ặ ẳ
Ph ng trình m t ph ng (P) có d ng;ươ ặ ẳ ạ
( ) ( )
1 2 0 2 0Ax B y C z Ax By Cz B C+ + + − = ⇔ + + + − =
0,25
( ) ( )
1;1;3 3 2 0 2N P A B C B C A B C− ∈ ⇔ − + + + − = ⇔ = +
( ) ( )
: 2 2 0P B C x By Cz B C⇒ + + + + − =
0,25
Kho ng cách t K đ n mp(P) là:ả ừ ế
( )
( )
,2 2
4 2 4
B
d K P
B C BC
=+ +
-N u B = 0 thì d(K,(P))=0 (lo i)ế ạ
-N u ế
0B
≠
thì
( )
( )
2 2 2
1 1
,2
4 2 4 2 1 2
B
d K P
B C BC C
B
= = ≤
+ +
+ +
÷
0,25
D u “=” x y ra khi B = -C. Ch n C = 1ấ ả ọ
Khi đó pt (P): x + y – z + 3 = 0 0,25
VIIa
(1đi mể
)
Ta có
( )
( )
( )
1
312
2
1
1 1
log 3 1
log 9 7 1 1
5
3 5
2 9 7 , 2 3 1
x
xx x
−
−− + −
+ − −
= + = +
0,25
S h ng th 6 c a khai tri n ng v i k = 5 là ố ạ ứ ủ ể ứ ớ
( ) ( ) ( ) ( )
3 5
1 1 1
5 1 1 1 1
3 5
89 7 . 3 1 56 9 7 3 1
x x x x
C− −
− − − −
+ + = + +
0,25
Treo gi thi t ta cóả ế
( ) ( )
1
1 1
1
1
56 9 7 3 1 224
9 7 4
3 1
1
2
x x
x
x
x
x
−
− −
−
−
+ + =
+
⇔ =
+
=
⇔=
0,5
VIb
(2đi mể
)
1.(1,0 đi m)ể
Do B là giao c a AB và BD nên t a đ c a B là nghi m h ph ng trình:ủ ọ ộ ủ ệ ệ ươ
21
2 1 0 21 13
5;
7 14 0 13 5 5
5
x
x y B
x y y
=
− + =
⇔ ⇒
÷
− + =
=
0,25
L i có ABCD là hình ch nh t nên ạ ữ ậ
( ) ( )
, ,AC AB AB BD=
.
Kí hi u ệ
( ) ( ) ( )
1; 2 , 1; 7 , ,
AB BD AC
n n n a b= − = − =
uuur uuur uuur
l n l t là vtpt c a các đ ng th ng AB, BD,ầ ượ ủ ườ ẳ
AC
Khi đó ta có:
( ) ( )
2 2
3
cos , cos , 2 2
AB BD AC AB
n n n n a b a b= ⇔ − = +
uuur uuur uuur uuur
2 2
7 8 0
7
a b
a ab b b
a
= −
⇔ + + = ⇔ = −
0,25
V i a = -b. ch n a= 1, b = -1. Khi đó ph ng trình AC: x – y – 1 = 0ớ ọ ươ
A AB AC= ∩
nên t a đ đi m A là nghi m c a h ọ ộ ể ệ ủ ệ
( )
1 0 3 3;2
2 1 0 2
x y x A
x y y
− − = =
⇔ ⇒
− + = =
G i I là tâm hình ch nh t thì ọ ữ ậ
I AC BD
= ∩
nên t a đ đi m I là nghi m c a họ ộ ể ệ ủ ệ
7
1 0 7 5
2;
7 14 0 5 2 2
2
x
x y I
x y y
=
− − =
⇔ ⇒
÷
− + =
=
Do I là trung đi m c a AC và BD nên ể ủ
( )
14 12
4;3 , ;
5 5
C D
÷
0,25
V i b = -7a lo i vì AC không c t BDớ ạ ắ 0,25
2.(1,0 đi m)ể
H
( )
; ;x y z
là tr c tâm c a tam giác ABC khi và ch khi ự ủ ỉ
( )
, ,BH AC CH AB H ABC⊥ ⊥ ∈
0,5