LỊCH SỬ CÁC NHÀ TOÁN HỌC

Chia sẻ: Thao Nguyen | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

330
lượt xem 80
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Niels Henrik Abel Niels Henrik Abel, sinh ngày 5 tháng 8 năm 1802, m t ngày 6 tháng 4 năm 1829, là ấ một nhà toán học xuất sắc người Nauy. Công trình toán học tiêu biểu của ông là chứng minh phương trình bậc 5 trở lên không thể giải bằng phương pháp đại số và nghiên cứu tich phân của những hàm đại số . Đương thời, Abel đã phải vật lộn suốt cuộc đời ngắn ngủi bi kịch của mình. Abel sinh gần Stavanger (Nauy). Ông bị sinh non ba tháng, và người ta đồn rằng "thằng bé chỉ sống sót nhờ được tắm trong rượu vang đỏ". Ở trường,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: LỊCH SỬ CÁC NHÀ TOÁN HỌC

LÞch sö c¸c nhµ to¸n häc Niels Henrik Abel Niels Henrik Abel, sinh ngày 5 tháng 8 năm 1802, mất ngày 6 tháng 4 năm 1829, là một nhà toán học xuất sắc người Nauy. Công trình toán học tiêu biểu của ông là chứng minh phương trình bậc 5 trở lên không thể giải bằng phương pháp đại số và nghiên cứu tich phân của những hàm đại số . Đương thời, Abel đã phải vật lộn suốt cuộc đời ngắn ngủi bi kịch của mình. Abel sinh gần Stavanger (Nauy). Ông bị sinh non ba tháng, và người ta đồn rằng "thằng bé chỉ sống sót nhờ được tắm trong rượu vang đỏ". Ở trường, cậu bé Abel học xoàng tất cả các môn, trừ toán. Nhưng ở tuổi 19, khi bước chân vào đại h ọc, cậu đã th ực s ự trở thành nhà toán học vĩ đại nhất của Nauy. Năm 1826, Abel sống ở Paris 3 tháng đ ể hoàn tất một bản thảo. Bản thảo này đã đưa ông lên đỉnh cao vinh quang, vì nó đã đặt nền móng cho lý thuyết về các hàm elip: Đó là sự hợp nh ất hai bộ môn hình học và đại số, trong đó ông sử dụng các công th ức toán học để tính toán chu vi một hình elip (tương tự như ở bộ môn lượng giác ngày nay). Abel đệ trình bản thảo của mình tới Viện hàn lâm khoa h ọc ở Paris và ch ờ đ ợi, chờ đợi mãi. Sau vài tháng không có tin tức gì, và tin rằng bản thảo đã m ất, đ ầu năm 1827, ông trở về Nauy, không một đồng xu dính túi và m ất h ết nhu ệ khí. Hai tháng sau đó, Abel tiếp tục nghiên cứu, dạy học và cố gắng thực hi ện nh ững cu ộc tiếp xúc cuối cùng với giới khoa học. Ông bắt đầu ho ra máu vào kho ảng l ễ giáng sinh năm 1828, và ra đi vì bệnh lao ở tuổi 26. Hai ngày sau cái chết của Abel, hai lá thư liên tiếp tới nhà ông. Một trong s ố đó t ừ Berlin, đề nghị ông đến làm ở viện hàn lâm. Lá thư th ứ hai đ ược g ửi t ừ Paris, thông báo bản thảo của ông đã được nhiệt liệt hoan nghênh.
Cauchy Augustin Sinh tại Paris ngày 21-8-1789 Mất ở Sceaux ngày 23-5-1897 Cauchy là kĩ sư quân đội, vào năm 1810 ông tới Cherbourg để tham gia, phục vụ hạm đội xâm lược của Napoleon. Năm 1813 ông trở về Paris, và dưới tác động của Lagrage và Laplace, Cauchy đã chuyên tâm vào công việc nghiên cứu toán học. Ông giữ nhiều chức vụ ở Paris, ở khoa nghiên cứu về khoa học, ở trường Trung học cơ sở và trường Bách Khoa. Năm 1816 ông nhận được giải th ưởng của vi ện Hàn Lâm Khoa Học Pháp. Cauchy là người tiên phong trong lãnh vực nghiên cứu và phân tích lý thuyết hoán vị. Cauchy vào năm 1811 đã chứng minh rằng góc của 1 đa diện lồi được xác đ ịnh bởi các mặt của nó. Năm 1814 ông công bố bản báo cáo về những hàm s ố tích phân xác định, đó là nền tảng của lý thuyết về những hàm số phức. Những đóng góp khác của ông như: Sự tập trung và sự phân tán cu ả nh ững dãy s ố vô tận, những phương trình vi phân, xác suất và toán học vật lý. Có rất nhiều thuật ngữ toán học mang tên ông :”Định lý tích phân” c ủa Cauchy (dựa trên lý thuyết về các hàm số phức). Định lý tồn t ại c ủa Cauchy và Kovalewskaya (dùng để giải những phương trình có đạo hàm từng phần ), nh ững phương trình của Cauchy-Riemann và dãy số Cauchy. Cauchy là người đầu tiên đặt ra những điều kiện chính xác v ề sự tập h ợp c ủa những dãy số vô tận và ông đã định nghĩa thế nào là tích phân. Năm 1821,cu ốn “Nhóm giải tích” ra đời,dành cho sinh viên trường Bách Khoa và được triển khai thành những định lý nền tảng và chính xác. Bộ sách 4 quy ển v ề “Bài t ập gi ải tích và bài tập về toán học trong vật lý” được công bố trong khoảng từ 1840 và 1847 là cực kì phi thường. Cauchy đã viết 789 chuyên đề toán học nhưng ông không được nh ững ng ười b ạn đồng nghiệp yêu mến. Ông đã sang Ý sau khi từ ch ối tuyên th ệ trung thành, r ời
Paris sau cuộc Cách Mạng 1830 và sau chuyến đi ng ắn ngày qua Thu ỵ Sĩ, ông được vua Piémont đề nghị làm giáo sư ở Turin, nơi ông bắt đầu dạy từ năm 1832. Năm 1833,Cauchy tới Paris để tháp tùng Charles X và để dạy dỗ con trai ông. Cauchy quay về Paris năm 1838 và được giữ lại chức vụ cũ ở Viện Hàn Lâm, nhưng ông không được giảng dạy vì đã từ chối tuyên thệ trung thành với chính phủ. Khi ông bị vua Louis Philippe bãi chức, ông trở thành giáo s ư d ạy ở đ ại h ọc Sorbonne và tiếp tục công việc đó đến khi qua đời. Richard Dedekind Richard Dedekind, sinh ngày 6/10/1831, mất ngày 12/2/1916, là một nhà tóan học người Đức được biết đến bởi nghiên cứu của ông về tính liên tục và định nghĩa về số thực trong thuật ngữ của Dedekind”cuts”- phân tích của ông về bản tính của con số và phương pháp quy nạp toán học, bao gồm định nghĩa về vị trí giới hạn và không giới hạn; và công trình Lý thuyết số của ông đã gây nhiều ảnh hưởng, đặc biệt là trong lĩnh vực đại số. Trong những đóng góp đáng kể của ông vào tóan học là việc xuất bản các tác phẩm thu thập lại của Peter Dirichlet, Carl Gaussvà Georg Riemann. Ngghiên cứu của Dedekind về công trình của Dirichlet đã dẫn tới nghiên cứu của ông về lĩnh vực số đại số, cũng như sự giới thiệu của ông về tính lý tưởng. Ông đã phát tri ển khái niệm này thành lý thuyết của tính lý tưởng, là điều quan trọng cơ bản trong đại số hiện đại. Dedekind cũng giới thiệu những khái niệm cơ bản như “Chuỗi vòng”.
Tác giả: J.W.Dauben Cramer ( kh«ng cã h×nh) GABRIEL CRAMER Sinh ngày 31/7/1704 ở Geneva, Thuỵ Sĩ Mất: 4/1/1752 ở Bangnols – sur – ceze, Pháp. Cha của Cramer là Jean Isaac Cramer – y sĩ ở Geneva, còn mẹ là Anne Mallet. Jean và Anne có 3 người con trai đều đạt được những thành công ở viện hàn lâm. Ngoài Gabriel thì 2 người còn lại là Jean – giáo su nghành luật và Antione đều tiếp nối công việc của cha mình. Gabriel có rất nhiều cố gắng trong việc học của ông, trong năm 1722, khi chỉ mới 18 tuổi, ông đã đạt được học vị tiến sĩ cho những luận án dựa trên lý thuyết của âm thanh. Hai năm sau, ông tham gia tranh cử chức vụ viện trưởng thiết học ở Académie de clavin ở Geneva. Cuộc tranh cử diễn ra giữa 3 người : người lớn tuổi nhất là Amédée de la Rive, 2 người còn lại rất trẻ là Giovanni Ludovico Calandrini – 21 tuổi và Cramer – 20 tuổi. Ban giám khảo lúc đầu định chọn người lớn tuổi vì nghĩ rằng sẽ có nhiều kinh nghiệm hơn nhưng họ rất ấn tượng vì sự thông minh của 2 người trẻ kia nên họ nghĩ ra một kế hoạch để nhận cả 3 vào làm việc. Tất nhiên họ thấy rằng Cramer. Calandrini sẽ làm nên những đóng góp to lớn cho viện hàn lâm. Sự sắp xếp của họ là chia ghế viện trưởng triết học ra làm 2 : triết học và toán học. De la Rive được nhật chức viện triết học vì ông ta đã nộp đơn đăng kí trước, trong khi đó Cramer và Calandrini nhận chức viện trưởng toán học theo tinh thần là họ sẽ chia việc làm và tiền lương cho nhau. Viện cũng đưa ra những điều kiện quy định là Gramer và Calandrini sẽ thay phiên nhau trong 2 hay 3 năm đi du lịch, trong thời gian đó thì người kia sẽ đảm trách mọi công việc và được hưởng đủ tiền lương. Kế hoạch đó không những làm hài lòng cả 3 người đàn ông khi đến làm việc ở viện hàn lâm mà còn tạo cơ hội cho Gramer đi du lịch và gặp gỡ những nhà toán học ở châu Âu, điều đó có lợi cho vả viện hàn lâm và cả ông ta. Cramer và Calandrini chia ra những phân môn toán học mà mỗi người sẽ dạy. Gramer dạy hình học và cơ học, Calandrini sẽ dạy đại số và thiên văn học. Họ cùng làm việc với nhau rất ăn ý đến nỗi họ được gọi là Castor và Pollux. Cramer được đánh giá là rất thân thiện, hài hước, trí nhớ tốt, có khả năng xét đoán và khỏe mạnh. Chúng ta không nên có ấn tượng là Gramer chỉ là một kiểu mẫu ông chỉ biết dạy và dạy. Bằng chứng là ông đã đề xuất những sự đỗi mới và được viện hàn lâm chấp nhận là thay vì dạy bằng tiếng Latinh thì ông sẽ dạy bằng tiếng Pháp mặc dù tiếng Latinh là tiếng thông dụng của các vị học giả lúc bấy giờ. Năm 1724, Cramer tiếp tục theo đuôi những điều kiện về quy định của mình và bắt đầu 2 năm du lịch – 1727. Ông đến thăm những đất nước có những nhà toán
học ở các thành phố và nước ở châu Âu. Ông đến Basel nơi mà những nhà toán học đó đang làm việc, ông trải qua 5 tháng cùng hợp tác với Joham Bernoulli và Fuler người mà sau đó đến St. Petersburg để làm việc với Daniel Bernoulli. Cramer sau đó đến Anh để gặp Halley, de Moivre, Stirling và những nhà toán học khác. Cuộc thảo luận này và sự giữ mối quan hệ của Cramer với họ đã ảnh hưởng rất nhiều đến công việc của ông khi ông đã trở về Geneva. Từ Anh Quốc, Cramer đi đến Leiden nơi ông đã gặp ’s Gravesande, sau đó ông lại tiếp tục cuộc hành trình đến Paris để có cuộc thảo luận với Fontenelle, Maupertuis, Buffon, Clairaut... 2 năm du lịch đó đã làm cho mọi nhà toán học gặp Gramer đều phải cảm phục ông, ông vẫn giữ mối quan hệ với họ suốt cuộc đời ông và ông được giao nhiệm vụ hết sức quan trọng là biên soạn tất cả các tác phẩm, các công trình của họ. Năm 1729 ở Geneva, Cramer cố gắng hết sức để tham gia vào một giải được trao bởi viện hàn lâm Pháp – 1730 là “Quelle est la cause de la figure elliptique des phanètes et de la mobilité de leur aphélies ?” Viện hàn lâm đánh giá cao Cramer, cho rằng ông là người giỏi nhất thứ hai mà họ từng nhận được, giải này từng được trao cho Johann Bernoulli. Năm 1734, Calandrini được trao triếc ghế viện triết học, còn Cramer – toán học. Cuộc sống của Cramer rất bận rộn, ngoài giảng dạy, quan hệ với các nhà toán học, ông ta còn thú vui khác là viết sách, mặc dù những bài báo đó thường không có nhà toán học nào viết cả, Cramer phát hành sách với các môn học ở phạm vi rất rộng như những khó khăn khi giải toán hình học, lịch sử toán học, triết học, và về miền viễn Đông. Ông phát hành một bài báo về bắc cực quang và một về pháp luật mà ông có thể ứng dụng khả năng để chứng minh ý nghĩa của sự chứng nhận độc lập của 2,3 nhân chứng so với một nhân chứng. Cramer không chỉ làm việc cho viện hàn lâm mà ông còn tham gia như một thành viên của “The Council of Two Hundred” – 1734 và “The Council of Seventy” – 1749. Công việc của ông ở đây đã tạo điều kiện cho ông sử dụng những kiến thức về khoa học và toán học, nên ông đã nhận công việc có liên quan đến pháo, sự củng cố và xây dựng lại các toà nhà, sự khai quật và ông được mọi người xem như là một “chuyên viên lưu trữ” vì ông quá giỏi. Cramer còn nổi tiếng là một người biên soạn thiên tài: “Johann Bernoulli’s Complete Works” đã được Cramer xuất bản trong 4 tập sách của ông năm 1742. Điều đó thể hiện sự tin tưởng của Bernoulli dành cho Cramer và Berounlli khẳng định rằng không có sự biên tập nào về các tác phẩm của ông được xuất bản bởi những nhà biên soạn khác ngoài Cramer. Năm 1754, cùng với Johann Castillon, Cramer phát hành sách nói về mối quan hệ giữa Johann Beroulli và Leibniz. Cramer cũng biên soạn một tác phẩm 5 cuốn bởi Christian Woff. Cuốn sách nổi tiếng nhất của Cramer là “Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique”. Nó dựa trên hồi kí của Newton về thể tích của đường cong. Chương mở đầu là định nghĩa những loại đường cong và kĩ năng vẽ đồ thị, chương 2 là những sự biến đổi để đơn giản hoá những đường cong chương 3 thảo luận về sự phân loại đường cong và trong chương này còn có cả quy tắc. Cramer rất nổi tiếng. Sau khi đưa ra một loạt các hằng số tuỳ ý vào một phương trình bậc n dạng n(n + 3)/2, ông ta suy luận rằng một phương trình bậc n có thể đi qua n điểm. Ông ta lấy n = 5 làm ví dụ tìm ra 5 hằng số liên quan đến việc hình
thành một phương trình bậc 2 qua 5 điểm. Nó dẫn đến 5 phương trình đường thẳng trong 5 ẩn số và ông muốn mọi người đọc phần phụ lục có ghi quy tăc của Cramer để giải quyết đề đó. Nhưng chúng ta tất nhiên nên lưu ý rằng Cramer không phải là người đầu tiên tìm ra quy tắc này. Tên của Cramer thỉnh thoảng gắn liền với một vấn đề khác tên là vấn đề Castillon – Cramer. Vấn đề này được Cramer xuất trình với Castillon, là làm cách nào để khắc một tam giác trong một vòng tròn mà nó đi qua 3 điểm cho trước. Castillin giải quyết được vấn đề này sau 25 năm Cramer chết, và vấn đề này vẫn tiếp tục được tổng quát hoá bằng những cách khác nhau về việc khắc các ngũ giác trong một mặt cắt hình nón. Cramer cũng được biết đến là ông đã tự làm nghịch đi định luật của mình ** Năm 1734, “cặp song sinh Calandrini – Cramer” không còn làm việc chung với nhau nữa khi Calandrini được trao triếc ghế viện triết học, còn Cramer – toán học. Cuộc sống của Cramer rất bận rộn, ngoài giảng dạy, quan hệ với các nhà toán học, Cramer còn viết sách báo, mặc dù thường thì không có nhà toán học nổi tiếng nào viết chúng cả, Ông phát hành các bài báo ở nhiều địa điểm khác nhau bao gồm hồi kí viện hàn lâm Pháp năm 1734, viện hàn lâm Berlin năm 1748, 1750 và 1752. Cramer phát hành sách báo với cá môn học ở phạm vi rất rộng như những khó khăn khi giải toán hình học, lịch sử toán học, triết học, và về miền viễn Đông. Ông phát hành Philosophicalmột bài báo về bắc cực quang ở trong và mộtTransactions of the Royal Society of London bài báo về pháp luật mà ông có thể ứng dụng khả năng để chứng minh ý nghĩa của sự chứng nhận độc lập của 2 hay 3 nhân chứng hơn là một nhân chứng. Cramer không chỉ làm việc cho viện hàn lâm mà ông còn tham gia như một thành viên của “The Council of Two Hundred” – 1734 và “The Council of Seventy” – 1749. Công việc của ông ở đây đã tạo điều kiện cho ông sử dụng những kiến thức về khoa học và toán học, nên ông đã nhận công việc có liên quan đến pháo, củng cố và xây dựng lại các toà nhà, sự khai quật và ông được mọi người xem như là một “chuyên viên lưu trữ”. Ông ta đi du lịch nước ngoài lần II vào năm 1747, lần này ông chỉ đến Paris để thắt chặt hơn tình bạn của mình với Fontenelle và để gặp d’Alembert. Có 2 lĩnh vực về công việc toán học của Cramer mà chúng ta cần chú ý. Đó là công việc biên soạn mà ông đảm nhận và tác phẩm toán học “Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique” được xuất bản năm 1750. Johann Bernoulli mất năm 1748, chỉ 3 hay hơn trước khi Cramer mất, nhưng Bernoulli đã sắp xếp cho Cramer xuất bản tác phẩm “Complete Works” của mình trước khi chết. Điều đó thể hiện sự tin tưởng của Bernoulli dành cho Cramer và ông cũng khẳng định rằng, không có sự biên tập nào về các tác phẩm của ông được xuất bản bởi những nhà biên soạn khác ngoài Cramer. “Complete Works” của Johann Bernoulli được Cramer xuất bản trong 4 cuốn vào 1742. Johann Bernoulli không những chỉ sắp xếp cho Cramer xuất bản “Complete Works” của mình mà còn yêu cầu Cramer biên soạn những tác phẩm của Jacob Bernoulli. Jacob mất năm 1705 và Cramer xuất bản “Works” của Jacob thành 2 cuốn vào năm
1744. Chúng không được hoàn thành kể từ khi “Ars conjectandi” bị bỏ sót, nhưng những tập sách đó chứa đựng những tài liệu chưa được công bố trước đó, và những sự kiện toán học. Năm 1745, cùng với Johann Castillon, Cramer phát hành sách nói về mối quan hệ giữa Johann Beroulli và Leibniz. Cramer cũng biên soạn tác phẩm gồm 5 tập bởi Christian Woff, được xuất bản lần đầu tiên giữa năm 1732 và 1741 cùng với tái bản vào giữa năm 1743 và 1752. Cuối cùng ta nên tìm hiểu cuốn sách nổi tiếng nhất của Cramer là “Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique”. Nó dựa trên hồi kí của Newton về thể tích của đường cong và ông đánh giá cao lời bình luận về hồi kí của Newton của Stirling. Cramer cũng nói thêm rằng nếu ông được đọc “Introductio in analysin infinitorum” của Euler sớm hơn thì ông sẽ tham khảo và sử dụng nó. Tấn nhiên cuốn sách của Euler chỉ được xuất bản vào năm 1748 khi mà hầu hết lúc đó sách của Cr mer có lẽ đã được viết rất hay, rất tốt. Jones viết: - Ông sử dụng rất ít tác phẩm của Euler, việc đó được sự khuyến khích bởi một sự thật đáng ngạc nhiên là xuyên suốt cuốn sách của mình Cramer không sử dụng những phép tính cực nhỏ dưới bất cứ dạng hay hình thức nào của cả Leibniz và Newton, mặc dù ông đã giải quyết được những đề tài như là tiếp tuyến, tối đa và tối thiểu, độ cong, và sự trích dẫn, Maclaurin và Taylor ở phần chú thích. Có người đã đoán rằng ông không bao giờ chấp nhận và nắm được những phép tính. Các ý kiên cho rằng Cramer không nắm được các phép tính không có cơ sở, đặc biệt là khi ông nhận được sự tôn trọng của Johann Bernoulli. Sau chương giới thiệu định nghĩa các loại đường cong và kĩ năng vẽ đồ thị, chương 2 là những sự biến đổi để đơn giản hoá những đường cong, chương 3 thảo luận về sự phân loại đường cong và trong chương này còn có cả định luật, Cramer rất nổi tiếng. Sau khi đưa ra một loạt các hằng số tuỳ ý vào một phương trình bậc n dạng n2/2 + 3n/2, ông ta suy luận rằng một phương trình bậc n có thể đi qua n điểm. Ông ta lấy n = 5 làm ví dụ tìm ra 5 hằng số liên quan đến việc hình thành một phương trình bậc 2 đi qua 5 điểm. Nó dẫn đến 5 phương trình đường thẳng trong 5 ẩn số và ông muốn mọi người đọc phần phụ lục có ghi quy tăc của Cramer để giải quyết vấn đề đó. Nhưng chúng ta tất nhiên nên lưu ý rằng Cramer không phải là người đầu tiên tìm ra quy tắc này. Cramer cũng được biết đến vì đã tự làm nghịch các định luật của mình ông phát biểu một định lý bởi Maclaurin : một phương trình bậc n giao với một phương trình bậc m thành n.m điểm. Khi lấy m = n = 3 thì 2 khối 3 chiều sẽ giao nhau tại 9 điểm, công thức tính của Cramer lúc đó là n2/2 + 3n/2 với n = 3 tạo thành 9 nên một khối 3 chiều chỉ duy nhất được xác định bởi 9 điểm. Cramer gọi đó là một nghịch lý nhưng sự cố gắng của ông để giải thích nghịch lý bên là hoàn toàn sai. Tên tuổi của Cramer thỉnh thoảng được gắn liền với một vấn đề khác tên là vấn đề Castillon – Cramer. Vấn đề này được Cramer xuất trình với Castillon, là làm cách nào để khắc một tam giác trong một vòng tròn mà nó đi qua 3 điểm cho trước. Castillin giải quyết được vấn đề này sau 25 năm Cramer chết, và vấn đề này vẫn tiếp tục được tổng quát hoá bằng những cách khác nhau về việc khắc các đa giác trong một mặt cắt hình nón.
Cramer làm việc cật lực để viết cuốn “Introduction à l’analyse” và đảm nhận biên soạn các tác phẩm với số lượng rất lớn ngoài công việc bình thường của mình. Sức khỏe của ông ngày càng đi xuống với chiều hướng không tốt. Ông trải qua 2 tháng nằm trên giường và bác sĩ yêu cầu ông nên nghỉ ngơi ở phía nam nước Pháp để phục hồi sức khỏe. Rồi Geneva ngày 21/12/1751, ông bắt đâu cuộc hành trình của mình nhưng ông đã chết 2 tuần sau đó khi vẫn chưa kết thúc cuộc hành trình. * article by : J J O’ Connor & E F Robert son. Euler Leonhard Euler sinh ngày 15/4/1707, mất ngày 18/9/1783 là nhà toán h ọc có nhi ều phát minh nhất trong lịch sử. 866 quyển sách và bài báo c ủa ông đã chi ếm 1/3 trong toàn bộ nghiên cứu về toán học, lý thuyết vật lý và cơ khí kỹ thu ật đ ược xuất bản vào giữa những năm từ 1726 đến 1800. Trong tóan học thuần túy, ông đã hợp nhất phép vi phân của Leibniz với công th ức vi phân c ủa Newton thành nh ững phân tích tóan học, làm tinh tế hơn lý thuyết hàm số, có nh ững l ời ghi chú toán học chung, bao gồm những kí hiệu: e, I, số Pi và sigma, tạo nền tảng cho lý thuyết về những hàm số đặc biệt, giới thiệu hàm số siêu việt beta và gamma. Ông cũng góp phần tìm ra nguồn gốc của phép tính bi ến đ ổi, nh ưng gi ấu đi vì tôn trọng J.L LAGRANGE. Ông là người tiên phong trong lĩnh v ực đ ịa hình h ọc và đem lý thuyết số vào khoa học, phát biểu định lý số đầu tiên và quy tắc tính phương trình bậc 4. Trong vật lý, ông đã làm rõ động lực h ọc c ủa Newton và t ạo nền tảng cho cơ giới học dùng phép giải tích, đặc biệt là trong lý thuy ết v ề s ự vận động của thể rắn (1765). Cũng như thầy của mình là Johann Bernoulli (xem Bernoulli, Jacques) ông đã thảo lý cơ giới học tiên tiến, nhưng ông cũng đặt ra lý thuyết động lực của những chât khí với mẫu phân tử. Với Alexis Clairaut, ông nghiên cứu cơ bản về tính co giãn, khoa học nghiên cứu về âm thanh, lý thuy ết sóng của ánh sáng và cơ học chất nước của tàu thủy.
Euler sinh ra ở Besel, Thụy Sĩ. Cha ông - 1 mục sư - muốn con mình đi theo con đường của mình và đã gửi ông đến đại học Basel để chuẩn b ị cho thánh ch ức, nhưng Euler lại yêu thích nhất bộ môn hình học. Nhờ s ự can thi ệp c ủa Bernoulli, Euler đã được cha đồng ý cho chuyển ngành chính sang toán học. Năm 1727, ông gia nhập vào Hàn Lâm Viện khoa học ở St.Petersburg. Khi qu ỹ nhà n ước b ị t ừ chối cho Hàn Lâm viện, ông đã phục vụ với vai trò đại úy hải quân Nga t ừ năm 1727 đến năm 1730. Ở St.Peterburg, ông sống ở nhà của con trai Bernoulli là Daniel. Ông trở thành giáo sư vật lý ở Hàn lâm Viện vào năm 1730 & giáo s ư toán học vào năm 1733 khi ông kết hôn và rời nhà Bernoulli. Danh tiếng của ông lan rộng khắp công chúng qua những bài báo và quyển Mechanica của ông (1736- 1737)- lần đầu tiên đã bao quát động lực học của Newton Euclide Euclide là nhà toán học của Hy Lạp cổ đại. Euclide sinh ra ở thành th ị Athens, là học trò của Platon. Thời cổ đại, Athens là một quốc gia thành th ị dân ch ủ và văn minh của Hy Lạp, ở đây đã tập trung nhiều nhà bác h ọc và văn ngh ệ sĩ n ổi ti ếng. Euclide học Platon, một nhà triết học duy tâm, có trình độ học vấn uyên bác. Tiếng tăm của ông đã được vua Ai Cập Ptoleme biết đến và nhà vua đã m ời ông tới kinh đô Alexandra để làm vẻ vang cho nhà vua. Thành phố Alexandra là một trung tâm khoa học, nơi tập họp nhiều nhà bác học nổi tiếng trên th ế gi ới. N ơi đây có một thư viện lớn tập trung nhiều sách vở của th ế gi ới Đông - Tây. Euclide đã đến đây nghiên cứu, học tập, bổ sung kiến thức toán học. Thời Euclide, những kiến thức toán học của Hi Lạp còn rất tản mạn. Euclide là người hệ thống hóa những kiến thức đó thành một bộ sách toán học gồm 13 t ập, đặt tên là Những nguyên lý. Bộ sách toán học của Euclide có th ể coi là c ơ s ở cho sự phát triển hình học sơ cấp. Nhiều thế kỷ, bộ sách này được coi là cuốn sách giáo khoa duy nhất về toán ở Châu Âu.
“Những nguyên lí” là một tập tuyển những thành tựu cơ bản của hình h ọc và là hạt nhân nòng cốt của toán học trong suốt hai nghìn năm .Không một ai có thể đưa ra những nội dung kết quả như trong cuốn “Nguyên lí” của Euclide cấu t ạo đ ề mục và sự trình bày của họ vẫn còn những thiếu sót. Cuốn “Nguyên lí” mở đầu bằng những định nghĩa và những tiền đề, định đề thứ năm về đường song song nổi tiếng và đặc biệt nhất, định đề này kh ẳng đ ịnh vi ệc tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song v ới m ột đ ường thẳng đã cho. Sự lựa chọn định đề trên của Euclide đã dẫn đế sự xuất hiện sau này của hình học phi Euclide vào thế kỉ XIX là sửa đổi định đề này. “Nguyên lí” bao gồm 13 cuốn . Từ cuốn một đến cuốn 6 là hình h ọc ph ẳng, t ừ cuốn 7 đến 9 là luận về tỉ số, cuốn 10 thuyết về số vô t ỉ của Eudoxe , và cu ối cùng từ cuốn 11 đến 13 là về hình học không gian. Cuốn sách cuối cùng viết s ự nghiên cứu những tính chất của ngũ giác đều và việc chứng minh về sự tồn tại của nó. “Nguyên lí” có một vài trò rất quan trọng bởi sự sáng su ốt c ủa nó mà các định lý được làm sáng tỏ và được chứng minh sự đòi hỏi về độ chính xác cao đã trở thành đích đến của những nhà khoa học ở các thế kỉ tương lai. Hơn 100000 cuốn sách “Nguyên lí” đã được xuất bản cho đến lúc nó được in ấn lần đầu tiên vào năm 1482. Ngoài ra, Euclide còn là tác giả của một số tác ph ẩm khác v ề quang h ọc, hình h ọc cao cấp .v.v.. Pierre Fermat Tuổi trẻ của Pierre Fermat được ít người biết đến ;nhưng người ta biết rằng
Pierre de Fermat sinh năm 1601 ở Beaumont de Lomagne, gần Montauban, trong mộ t gia đình khá giả. Khoảng năm 1629, sau khi hoàn tất chương trình học ở trường (tiếng La Tinh, ti6éng Hy Lap, tiếng Ý, tiếng Tây Ban Nha, văn h ọc), r ồi nghiên c ứu Pháp Lu ật ở Toulouse, ông lui tới với giới khoa học ở Bordeaux. Năm 30 tu ổi, ông l ấy b ằng tú tài khoa dân quyền của Đại học Orléans. Ông làm quan toà và ở lại luôn tại quê hương ông (ông mất năm 1665 tại Castres), Năm 1631, ông được bổ nhiệm chức cố vấn nghị viện Toulouse & ủy viên tái thẩm, và được tham gia một cách bình đẳng vào Nghị Viện Sắc Lệnh của Castres (một nghị viện tư pháp bao gồm những nghị viện công giáo và tin lành). Fermat có một cuộc sống lặng l ẽ và âm thầm. Ông cưới cô em họ và là cha của năm đứa trẻ. Ông bị thu hút bởi văn học và khoa học – mà cụ thể là toán học – như trò tiêu khiển, thế nhưng ông là một trong những người sáng lập ra môn hình học giải tích, phép tính vi tích phân , phép tính xác suất và thuyết các con số. Fermat không công bố bất cứ điều gì vì ông đã có việc làm, đó hoàn toàn chỉ là sự liên lạc thư từ – đáng kể nhất là những lá thư ông gửi ông bạn Marin Mersnne của mình. Ông ta không hề viết ra những bài chứng minh, ông chỉ cho một vài dấu hiệu hoặc viết kết quả một cách đơn giản những kết quả trên những trang sách mà ông đọc. Ở cuối đời, ông đã cố gắng in những nghiên cứu của mình, nhưng chính con trai cả của ông Samvel de Fermat đã gánh vác việc này sau khi ông qua đời. Khi nghiên cứu thuyết tiết diện hình nón (chùy , xuyên tâm) của nhà hình học , nhà toán học, nhà thiên văn học Hy Lap Apollonies de Perga, Fermat đã đặt ra một phương pháp giải tích của cá tiếp tuyến đường cong, trở thành người khai sáng cho phép tính vi phân. Khi Descartes biết được phương pháp này, ông tuyên bố rằng nó không khái quát đúng, điều này dẫn đến một cuộc cạnh tranh dữ dội về thành công của Fermat. Hơn nữa, Fermat đã sáng lập ra hình học giải tích vào năm 1636, trước Descartes nhưng “Le Loci” của Fermat chỉ được công bố sau cái chết của ông, và như vậy Descartes được xem như là người sáng lập duy nhất. Cũng như thế, Fermat đã phản đối thuyết kính quang học của Descartes, và khoảng năm 1657 ông ta lại tranh luận với những người theo học phái Desvartes về những định luật về khúc xạ ánh sáng. Năm 1654, Blaise Pascal viết thư cho Fermat để hỏi ông bằng cách nào chi lời khi một trò chơi bị cắt ngang nửa chừng; sáu bức thư trao đổi của hai nhà toán học xoay quanh vấn đề đó là nguồn gốc của phép tính xác suất, Fermat còn đam mê thuyết các con số; để nhấn mạnh những bài chứng minh của mình, ông đã sáng chế ra kỹ thuật “giảm vô hạn” (descente infinie) , đó chính là phương pháp mà ông dùng để chứng minh rằng không có một số nguyên khác không : định lý này được nhiều người biết như định lý cuối cùng của Fermat hay “định lí lớn của Fermat”. Những lần thứ chứng minh định lí này đã giúp thuyết các con số của ông đạt được nhiều tiến bộ lớn, nhưng phải đợi đến ngày 26/06/1993 , ba thế kỉ sau cái chết của fermat, Andrew Wiles, giáo sư trường Đại học Princeton ở Hoa Kì, công bố ở Cambridge (Anh) rằg ông đã chứng minh được hoàn chỉnh định lí Fermat, nhưng còn một phần chưa đầy đủ, và Wiles đã kết thúc công việc của mình ngày 19/09/1994 với sự giúp đỡ của người cộng sự Richard Taylor, trường Đại học ở
Cambridge. Định lí Fermat : an + bn = cn Định lí vĩ đại Fermat được đề ra bởi Pierre de Fermat “Với mọi n > 3, không tồn tại một số nguyên a, b, hay c nào khác không sao cho an + bn + cn” Khi nghiên cứu Số học, tác phẩm lớn của nhà toán học Hy Lap Diophante , ông quan tâm những chương liên quan tới định lí Pythagore, tức là những tập hợp của ba con số a, b, c (ví dụ : 3, 4 và 5), nghiệm đúng bất đẳng thức a2 + b2 = c2 Theo Fermat, phương trình an + bn = cn không có nghiệm nguyên nào khi những giá trị n lớn hơn 2. Chẳng hạn, không tồn tại số nguyên dương a, b, c sao cho a3 + b3 = c3. Trước đó, vì không chứng minh, các nhà toán học đã tự hài lòng việc kiểm nghiệm với những giá trị đặt ra cho n. Các mày tính cho phép kiểm tra đến số mũ 4000000. Vào những năm 1980, Yoichi Miyaokaune , một người Nhật, đưa ra cách chứng minh nhưng đã sai, vào tháng 12 năm 1994, ông ta nhận thấy nó không hoàn chỉnh và đã đưa lại một cách chứng minh khác vào tháng 10 năm 1994. Ngày 23/06/1993 ở Cambridge , một người Anh tên là Andrew Wiles (1931) làm một bài chứng minh (1000 trang) nhưng vẫn không đầy đủ, rồi sau đó vào năm 1995, bài chứng minh thứ hai của Andrew Wiles đã giúp ông nhận giải thưởng Fermat về nghiên cứu toán học. Giải thưởng Fermat: Giải thưởng FERMAT về những nghiên cứu toán học được sáng lập bởi trường ĐH Paul Sabatien và được đỡ đầu bởi ASTRIUM SAS. Giá của giải thưởng FERMAT cho năm 2001 là 100000 FF. Giải thưởng FERMAT được trao cho những công việc nghiên cứu của một hoặc nhiều nhà toán học trong những lãnh vực mà Pierre Fermat đã cống hiến như : - Phát biểu về nguyên tắc biến thiên. - Lập các phép tính xác suất và hình học giải tích - Thuyết các số Giải thưởng được tổ chức đều đặn mỗi hai năm ở Toulouse (từ năm 1987) và lần thứ 7 này diễn ra vào năm 2001 sắp tới. Leonardo Pisano Fibonacci
Sinh năm 1170 và mất năm 1250 Leonardo Pisano được biết đến nhiều hơn bởi cái tên Fibonacci. Ong là con trai của Guilielmo và một thành viên của gia đình Bonacci. Chính Fibonacci cũng thỉnh thoảng dùng cái tên Bigollo, nghĩa là tốt vì không có gì hay có nghĩa là người thích đi đây đó. Như đã nói, thì phải chăng cái tên này là từ mà những người đồng hương của ông dùng để chỉ sự khinh thị của họ đối với một người luôn quan tâm tới những câu hỏi không có giá trị thực tiễn, hay cái từ trong tiếng Tuscan nghĩa là người thích ngao du thiên hạ, ông ta mang nghĩa nào? Fibonacci được sinh ra ở Ý nhưng được giáo dục ở Bắc Phi, nơi cha ông ta, Guilielmo, điều hành một nhiệm sở ngoại giao. Công việc của cha ông là đại diện cho các thương gia ở nước Cộng Hòa Pisa đang giao dịch thương mại ở Bugia, sau này được gọi là Bougie và ngày nay được gọi là Bejaia. Bejaia là một thành phố cảng thuộc biển Địa Trung Hải, ở phía Đông Bắc nước Algeria. Tỉnh này nằm ở cửa đổ ra biển của con suối cạn Soummam gần dãy núi Gouraya và mũi than đá (Cape Carbon). Fibonacci được dạy tóan ở Bugia và đi du lịch nhiều nơi với cha ông và nhận ra những lợi ích to lớn của hệ thống toán học được sử dụng ở những nước mà họ đặt chân đến. Fibonacci đã viết những đều này trong cuốn sách Liber abaci nổi tiếng của ông vào năm 1202 : “ Khi cha tôi được đất nước bổ nhiệm như một công chứng viên của công chúng tại các hải quan ở Bugia, hoạt động cho các thương nhân Pisa đến đó, ông mang tôi theo đến đó trong khi tôi vẫn còn là một đứa trẻ, và vì thấy trước sự thuận lợi hữu ích và lâu dài, ông muốn tôi ở đó và nhận sự dạy dỗ trong một trường học kế toán. Ơ đó, khi tôi được giới thiệu về nghệ thuật của chín biểu tượng của người An Độ qua một bài giảng phi thường, những kiến thức về nghệ thuật làm tôi hứng thú hơn tất cả những thứ khác rất nhanh và tôi rất muốn hiểu được chúng, vì mọi thứ đều được nghiên cứu bởi nghệ thuật của Ai Cập, Syria, Hy Lạp, Sicily, và Provence, trong tất cả các hình thức phong phú của nó.” Fibonacci kết thúc các chuyến đi của ông khoảng năm 1200 và trong thời gian đó ông quay trở lại Pisa. Ơ đó, ông đã viết mọt số văn bản quan trọng đóng một vai trò quan trọng trong việc làm sống lại những kỹ năng toán học cổ đại và ông đã có những đóng góp quan trọng của chính mình. Fibonacci sống trong những ngày trước khi có việc in ấn, vì thế những cuốn sách của ông đều là bản viết tay và cách duy nhất để có bản sao của một trong các cuốn sách của ông là phải viết tay lại một bản khác. Trong những cuốn sách của ông, chúng tôi vẫn còn những bản sao của cuốn Liber abaci (1202), Practica geometriae (Thực tiễn hình học) (1220), Flos (1225) và Liber quadratorum (bản ghi chép về số chính phương). Một vài bản sao chép tay được cho rằng từng được sản sản xuất, chúng tôi may mắn có được nguồn vào những bản viết tay của ông trong các công trình này. Tuy nhiên, chúng tôi biết rằng ông đã viết một vài văn bản khác mà không may đã bị thất lạc. Cuốn sách của ông về số học thương mại Di minor guisa bị mất cũng như những lời bình về cuốn sách những cái sai của các nguyên tố Euclid (Book X of Euclid’s Elements), cuốn sách chứa đựng một phương pháp diễn đạt bằng số về những con số không hợp lý mà Euclid đã giải quyết trước đó từ quan điểm hình học.
Người ta có thể đã nghỉ rằng vào thời điểm mà châu Au không ưu đãi về học bổng, Fibonacci hẳn sẽ bị lờ đi như bình thường. Tuy nhiên điều này không phải thế và sự quan tâm trên diện rộng về các công trình của ông rõ ràng đã đóng góp mạnh mẽ vào sự quan trọng của ông. Fibonacci là một người cùng thời với Jordanus nhưng ông lại là một nhà toán học tinh tế hơn nhiều và các thành quả của ông được c6ong nhận hoàn toàn, mặc dù nó là những ứng dụng thực tiễn hơn là những định lý trừu tượng lý thuyết, cái đã làm cho ông nổi tiếng trong những người cùng thời với ông. Frederick đệ nhị được tôn làm vua nhườc Đức năm 1212 và sau đó được tôn làm đức Giáo Hòang Roma bởi Giáo Hòang (Pope) ở nhà thánh St Peter ở Rome vào tháng 11/1220. Frederick II ủng hộ Pisa trong cuộc xung đột trên biển với Genoa và trên đất liền với Lucca, Florence, và ông ta trải qua nhiều năm đến 1227 để củng cố quyền lực tại Ý. Tình hình cai trị được đưa vào việc thông thương và sản xuất, và những người dân thường giúp việc để trông coi độc quyền được đào tạo tại trường đại học Naples, trường được Frederick thiết lập vì mục đích này vào năm 1224. Frederick nhận thấy công trình của Fibonacci qua các học trò tại cung điện của ông, những người đã giao thiệp với Fibonacci qua thư từ kể từ khi ông quay trở về Pisa (1200). Những học trò, bao gồm Micheal Scotus – nhà chiêm tinh hòang cung, Theodorus Physicus – nhà triết học hòang cung và Dominicus Hispanus, đã gợi ý với Frederick rằng anh ta đã gặp Fibonacci khi toà án của Frederick được tập hợp ở Pisa khoảng năm 1225. Johannes của phía Palermo, một thành viên khác của toà án Frederick II, thuyết trình một số vấn đề như những thách thức đối với nhà toán học vĩ đại Fibonacci. Ba trong số những vấn đề này được Fibonacci giải quyết và đưa ra những giải pháp trong cuốn Flos mà ông gửi cho Frederick II. Chúng tôi đưa ra một vài chi tiết của những vấn đề này dưới đây. Sau năm 1228 chỉ có một tài liệu được biết liên quan đến Fibonacci. Đây là một nghị định của chính quyền cộng hòa Pisa năm 1240, thưởng một mức lương cho nhà toán học tài ba và thực thụ Leonardo Bigollo. Mức lương này được đưa cho Fibonacci vì những gì ông đã làm cho xã hội, cố vấn những vấn đề về tính toán và dạy học. Cuốn sách Liber abaci, được xuất bản năm 1202 sau sự trở về Ý của ông, được hiến cho Scotus. Cuốn sách dựa trên nền tảng số học và đại số mà Fibonacci đã thu thập trong suốt các chuyến đi của ông. Cuốn sách mà tiếp tục được sao chép và mô phỏng rộng rãi giới thiệu về Hệ thống số Thập phân giá trị của Hindu – Ả rập và ứng dụng của những số Ả rập vào châu Au (tựa gốc : the Hindu-Arabic place-valued decimal system and the use of Arabic numerals into Europe. Thực ra, mặc dù cuốn sách chủ yếu nói về ứng dụng của những con số Ả rập mà được biết đến như lời luận lý toán học, nhưng những phương trình đường thẳng cùng xảy ra cùng lúc cũng được nghiên cứu trong công trình này. Chắc chắn nhiều vấn đề mà Fibonacci quan tâm đến trong cuốn Liber abaci thì giống như những gì xuất hiện trong các nguồn thông tin của Ả rập. Phần thứ hai của Liber abaci bao gồm một bộ sưu tầm lớn các bài toán tập trung vào các nhà buôn. Chúng liên quan đến giá hàng hoá, cách tính lợi nhuận trong các cuộc giao dịch, cách qui đổi các loại tiền tệ thông hành khác nhau ở các nước Địa
Trung Hải, và những bài toán bắt nguồn từ Trung quốc. Một vấn đề trong phần thứ ba của cuốn Liber abaci là những con số Fibonacci và trật tự Fibonacci – một vấn đề được nhớ đến nhiều nhất ngày nay: “Một nguời đặt một đôi thỏ vào một nơi bao quanh là những bức tường. Hỏi có bao nhiêu đôi thỏ đuợc sản xuất từ đôi thỏ đó trong một năm nếu giả sử rằng mỗi tháng mỗi đôi thỏ sinh ra một đôi thỏ mới kể từ tháng thứ hai trở đi?” Kết quả lần lượt sẽ là 1,1,2,3,5,8,13,21,24,55,... (Fibonacci đã bỏ trong lời nói đầu cuốn Liber abaci). Trật tự kế tiếp nhau này, trật tự mà các con số là tổng của hai số đứng trứơc nó, đã tỏ ra cực kỳ có lợi và xuất hiện trong nhiều lĩnh toán học và khoa học khác. Tạp chí định kỳ Fbonacci là một tạp chí hiện đại dành cho việc nghiên cứu toán học liên quan đến trật tự này : Nhiều bài toán khác được đưa ra trong phần thứ ba này, bao gồm các loại này và nhiều nhiều hơn nữa: “ Một con nhện leo quá cao lên trên một bức tường mỗi ngày vàtrượt xuống một khỏang bằng một số cố định mỗi tối, hỏi bao nhiêu ngày thì con nhện đó leo hết bức tường. Một con chó săn có tốc độ tăng theo cách số học đuổi một con thỏ rừng cũng có tốc độ tăng theo cách số học. Hỏi chúng đi được bao xa trước khi con chó bắt kịp con thỏ? Tính khoảng tiền hai người có được sau khi một khoảng tiền chuyển đến tay và tỉ lệ tăng giảm cho trước.” Cũng có những bài toán bao gồm những con số hoàn hảo, những bài toán gồm những định lý còn lại của Trung quốc và những bài toán về tính tổng các loạt số hình học và số học. Fibonacci đối với những con số như điểm 10 trong phần thứ tư, cả với những sự gần đúng hợp lý và với các công trình hình học. Một phiên bản thứ hai của cuốn Liber abaci được sản xuất bởi Fibonacci vào năm 1228 với một lời mở đầu, điển hình như nhiều phiên bản sách khác, nói rằng : “...những điểm mới đã được bổ sung tử những cái không cần thiết đã được bỏ đi…” Một cuốn sách khác của Fibonacci là cuốn Thực tiễn Hình học (Practica geometriae), được viết vào năm 1220, được đề tặng cho Dominicus Hispanus, người mà chúng tôi đã đề cập ở trên. Cuốn sách bao gồm một bộ sưu tầm lớn các bài toán hình học được sắp xếp theo 8 chương dựa trên các yếu tố Euclid (Euclid’s Elements) và các phép chia Euclid (Euclid’s On Divisions). Ngoài những định lý hình học với những chứng minh chính xác, cuốn sách còn bao gồm các thông tin thực tế cho những người làm khảo sát, gồm một chương về cách tính chiều cao của các vật thể bằng cách sử dụng các hình tam giác tương tự. Chương cuối cùng nói về cái mà Fibonacci gọi là sự tính huyền ảo hình học: “Một trong những sự tính toán đó là sự tính toán các cạnh của hình ngũ giác và hình thập giác từ đường kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp; cách tính ngược lại cũng được đưa ra, như những cách tính các cạnh từ các bề mặt . (…) đến phần cắt hoàn chỉnh thành các tam giác đều, một hình chữ nhật và một hình vuông nội tiếp trong một tam giác như thế, các cạnh của chúng được tính theo cách đại số…” Trong cuốn Flos, Fibonacci đưa ra một sự gần đúng chính xác về nghiệm của
phương trình 10x + 2x2 + x3 = 20, là một trong những bài toán mà ông bị thách thức giải bởi Johannes của viện Palermo. Bài toán này không được làm ra bời Johannes, mà ông ta lấy nó trong cuốn sách đại số của Orma Khayyam, trong cuốn sách này bài toán đuợc giải bằng các giao điểm của một đường tròn với một đường Hyperbola ( là một đường cong được tạo thành khi một hình nón bị cắt bởi một mặt phẳng tại một góc dốc hơn các cạnh của nó so với đáy hình nón). Fibonacci chứng minh rằng nghiệm của phương trình không phải là một số nguyên cũng không phải là một phân số, cũng không phải là nghiệm chính phương của một phân số. Ong ta tiếp tục : “Và bởi vì nó không thể thoã phương trình này theo cách nào ở trên, tôi đã làm việc để giảm phương pháp xuống một số gần đúng” Không giải thích phương pháp của mình, Fibonacci đưa ra giải pháp gần đúng là kí hiệu số có phân số dạng 60 là 1.22.7.42.33.4.40 ( số này được viết như sau : 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + ...). Kí hiệu này lật ngược lại là số thập phân 1.3688081075 chính xác đến chín chữ số thập phân, một kết quả đáng kinh ngạc. Cuốn sách Bản ghi chép về số chính phương (Liber quadratorum), đuợc viết năm 1225, là “mẩu” công trình ấn tượng nhất của Fibonacci, mặc dù không phải là công trình mà ông nổi tiếng nhất. Tên cuốn sách có nghĩa là cuốn sách của bình phương và nó là một cuốn sách có nhiều lý thuyết kiểm chứng các phương pháp để tìm ra bộ ba Pythagore. Đầu tiên Fibonacci viết rằng các số bình phương có thể được xây dựng như tổng của các số lẻ để miêu tả một cách cần thiết một sự xây dựng quy nạp dùng công thức n2 + (2n + 1) = (n + 1)2. Fibonacci viết : “Tôi nghĩ về nguồn gốc của các số bình phương và khám phá ra rằng chúng xuất hiện từ tăng dần có quy tắc của các số lẻ. Ta có số chính phương đầu tiên là 1, cộng thêm 3 vào ta được số chính phương thứ hai là 4 (22), nếu thêm vào tổng này một số lẻ là 5 thì số chính phương thứ ba ta được là 9 (32), và vì thế trật tự kế tiếp và các loạt số chính phương luôn luôn xuất hiện thông qua cách cộng quy tắc các số lẻ.” Để xây dựng bộ ba Pythagore, Fibonacci đã làm như sau : “Vì thế khi tôi muốn tìm hai số bình phương mà tổng của chúng lại cho ra một số chính phương, thì tôi lấy bất kì một số lẻ nào là số chính phương và tìm số thứ hai bằng cách cộng các số lẻ đứng trước nó ngoại trừ số chính phương lẻ đó. Ví dụ như, tôi lấy 9 như một trong hai số bình phương được đề cập đến; số còn lại sẽ thu được bằng cách thêm vào 9 các số lẻ trước 9 là 1,3,5,7, tổng số sẽ được là 16, một số chính phương, số này sau khi thêm 9 sẽ được 25, một số chính phương.” Fibonacci cũng chứng minh nhiều kết quả thú vị theo lý thuyết như là : Kông có số x, y nào như x2 + y2 và x2 – y2 cùng là số chính phương Và số x4 – y4 không thể là một số chính phương. Ong định nghĩa quan điểm về một congruum, một số có dạng ab(a + b)(a – b), nếu a + b không đổi, và 4 lần số này nếu a + b là số lẻ. Fibonacci chứng minh rằng một congruum phải có thể chia được bởi 24 và ông cũng chỉ ra rằng nếu hai số x, c sao cho x2 + c và x2 – c đều là số chính phương, thì c là một congruum. Ong cũng chứng minh rằng số chính phương kông phải là một congruum.
Có người nói rằng : “cuốn sách Liber quadratorum một mình đưa Fibonacci lên như một người đóng góp quan trọng trong lý thuyết số” Anh hưởng của Fibonacci hạn chế hơn là người ta có thể hi vọng ngoại trừ vai rtò của ông trong việc trải rộng ứng dụng con số Hindu – Ả rập và những bài toán về thỏ của ông, đóng góp của Fibonacci vào toán học đã đang được nhìn lại rộng rãi. Như đã được giải thích : “ “Anh hưởng trực tiếp được sử dụng một cách mạnh mẽ chỉ có những phần của cuốn “Liber abaci” và của cuốn “Practica”, những cái làm nhiệm vụ giới thiệu các con số An độ – Ả rập và các phương pháp và đóng góp vào việc làm chủ các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày. Ơ đây, Fibonacci trở thành bậc thầy của bậc thầy của tính toán và những người làm công việc khảo sát, trong khi người ta biết được từ cuốn “Summa” của Luca Pacioli …Fibonacci cũng là thầy của “Cossist”, người lấy tên của họ từ từ “causa” được sử dụng đầu tiên ở phương Tây bởi Fibonacci thay cho “res” hay “radix”. Chữ cái tên ông ta mang nghĩa là số tự nhiên hay hệ số được cải thiện đầu tiên bởi Viète …” Công trình của Fibonacci về lý thuyết số hầu như bị phớt lờ và không đuợc biết đến suốt những thập kỹ trung niên. 300 nam sau chúng tôi tìm thấy kết quả tương tự xuất hiện trong công trình của Maurolico. Bài viết của J J O’Connor and E F Robertson Evariste Galois Được sinh ra ở Bourg-la-Reine, Evariste là con trai th ứ hai của Nicolas–Gabriel Galois và Adélaðde-Marie Demante. Cha ông là thị trưởng, quản lý một nhà trẻ từ h ồi Cách M ạng, đ ể l ại cho ông những kiểu mẫu về lòng yêu nước tự do và theo chủ nghĩa Von-te. Mẹ ông dạy ông tiếng hy lạp và tiếng latinh với một truy ền th ống thu ần thiên chúa giáo và chính thống chủ nghĩa đặc trưng của một gia đình quan viên và lu ật gia. Vào năm 12 tuổi, được nhận học bổng của trường trung học hoàng gia Louis-Le-Grand, Galois đã hiểu được cùng một lúc những lời ca tụng c ủa th ế h ệ ông cũng nh ư s ự kìm hãm của nó. Ở tuổi 15, chán chường với những bài học văn h ọc, ông chuy ển
qua môn toán – môn học được xem là môn ph ụ – mà nay đã đ ược ông chú tâm hoàn toàn vào! Ông thích tìm tòi và khinh th ường những bài t ập ở trường. Khát khao được vào học tại trường Bách Khoa – nơi có thầy Augustin Cauchy gi ảng dạy, ông tự giới thiệu và trượt lần đầu tiên. Năm 1828, được một người thầy giúp đỡ, ông có những phát minh mang tính thời đại. Ông sát nh ập nh ững khái ni ệm và phương pháp được trình bày bởi Gauss và Cauchy và đến năm 1829, ông trình bày những nghiên cứu về lý luận phương trình của mình. Bị từ chối khỏi trường Bách Khoa năm 1829 bởi một câu hỏi nhỏ mà ông coi thường không chịu bàn về (ông sai nhưng ngoan cố không nhận). Sau đó, ông thi và đậu vào trường dự bị (trường chuyên chất lượng cao bình th ường – Trường Cao đẳng sư phạm). Tại đây, ông thực hiện bản luận văn khoa học đầu tiên nhắm đến Giải thưởng lớn về toán học của Viện hàn lâm khoa học năm 1830 nh ưng những bản báo cáo của ông sau đó được thông báo là bị biến mất. Một năm sau đó, bản báo cáo khoa học thứ hai của ông bị đánh giá là khó hi ểu (không th ể hi ểu được!). Vào thời điểm này, cha của ông tự sát sau một chuỗi những âm mưu làm loạn chính trị của phó linh mục vùng Bourg-La-Reine và ông bị đuổi kh ỏi trường sau khi gửi một lá thư cho tờ báo “La Gazette des écoles” (Báo c ủa các tr ường) mà nội dung là ông đã tố cáo thái độ của thầy hiệu trưởng trong “Ba ngày vinh quang” (27-28-29) của cuộc Cách mạng tư sản Pháp vào tháng 7. Ông tham gia vào nhóm “les Amis du peuple” (“B ạn dân”) và vào cu ộc kh ởi nghĩa – cuộc cách mạng tư sản Pháp. Tháng 4 năm 1831, trong một bữa ti ệc c ủa ng ười Cộng Hoà, một tay nâng cốc, một tay cầm con dao bỏ túi mở lưỡi, Galois hô lớn :”A Louis-Philippe” và ông bị bắt nhưng rồi được thả trắng án. Hai tháng sau, tại cầu Mới, trong trang phục pháo binh, ông dẫn đầu đoàn người biểu tình và bị bắt. Bị giam tại nhà tù ở Sainte-Pélagie, Galois nghiên cứu về tích phân những hàm số đại số và về “Lý thuyết mới về số ảo”. Năm 1832, bệnh dịch tả hoành hành và tàn sát dân cư thành Paris, ông được chuyển về một nhà điều dưỡng của ông Fautrier. Tại nơi đây, ông kiếm lại được một chút tự do nh ưng lại vướng vào một mối tình bị lừa dối và cuốn vào một cuộc đấu tay đôi đ ầy mi ễn c ưỡng. Trên th ực tế,ông đem lòng yêu Stéphanie Dumotel, con gái một bác sĩ trong nhà điều dưỡng đó. Vào đêm trước ngày quyết đấu, Galois viết một cách rất v ội v cho ng ười b ạn thân Auguste Chevalier một lá thư (di chúc) mà ông tin tưởng giao cho m ột b ản tóm tắt những cơng trình nghin cứu chính của mình, đó là hai b ản báo cáo khoa học, một bài tựa (mở đầu), nhiều bài tiểu luận và nhiều bản nháp. Đ ược tìm th ấy bên bờ ao Glacière với một vết thương bị xuyên thủng ở bụng, Galois qua đời vì viêm màng bụng vào ngày 31 tháng 5 năm 1832. Những người bạn cộng hoà của ông đã mang thi hài ông từ bệnh viện Cochin đến hố chung c ủa nghĩa đ ịa Nam Montparnassse vào ngày 2 tháng 6, phần lớn đã ngã xuống bên nh ững v ật ch ắn nằm trên đường Cloitre-Saint-Méry. Những suy nghĩ của Galois đ ược nuôi d ưỡng từ những nghiên cứu của Lagrange, Gauss, Cauchy, Abel và Jacobi. Trong một luận văn khoahọc nổi tiếng xuất bản năm 1770, Lagrange đã trình bày những quan điểm của mình trong lĩnh vực hàm số đại số. Ông phác th ảo lý thuy ết v ề s ự bi ến đổi của hàm số và chứng minh bằng thực nghiệm tầm quan trọng của khái niệm hoán vị. Ông tìm được ở đó những công thức cần thiết cho việc giải nghiệm cho
hàm căn thức từ bậc 2 đến bậc 4. Th ế nhưng, còn hàm b ậc 5 t ổng quát l ại ch ống lại quy luật đó của ông như ở các bậc tiền bối. Đến năm 1801, Gauss soạn ra một nghiên cứu về hàm nhị thức x n-a=0 và nghiệm nguyên thủy thống nhất và sau này Galois đã đề cập lại về vấn đề này mà trứơc đó cả Niels Abel cũng đã bỏ qua: nghiệm của hàm căn thức bậc 5. Ông đã làm rõ khái niệm số h ữu t ỉ trong m ối liên hệ với các đại lượng khác, đạt đến gần khái niệm tập h ợp được sinh ra bởi m ột nhóm giới hạn các số đại số đại số. Ông còn ch ứng minh được rằng tập h ợp sinh ra bởi hàm căn của một hàm số đại số là một sự mở rộng đơn giản tập h ợp các hệ số và đưa ra một số khái niệm; • Trường mở rộng của Galois : sự mở rộng giới hạn L của tập K, lũy thừa n, sẽ tuân theo quy luật của Galois khi và chỉ khi tập hợp LG những bất biến của nhóm Galois G=G(L/K) đượ rút gọn về K. Nhóm Galois khi đó theo thứ tự n. • Sự tương ứng của Galois : trường mở rộng Galois L của tập hợp K được cho trước, áp dụng cho một nhóm các phân nhóm Galois G (L/G) trong tập hợp những tập hợp con L chứa K mà trong phân nhóm H của G(L/G), kết hợp tập hợp những bất biến LH, sẽ bijective. Suy nghĩ của Galois đã chứng tỏ (bằng thực nghiệm) những đẳng cấu nhóm của tập hợp này. Ta có anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+a0=0 hàm số bất khả quy mà tất cả hàm căn khác nhau là x1,x2,x3...xn, và ð là đại lượng mà bắt đầu từ đó, hàm căn của chúng được diễn tả một cách hữu tỷ hoá sau kết quả của công thức trên, chúng ta sẽ có, với mỗi số nguyên i
Johann Carl Friedrich Gauss Sinh ngày 30/4/1777 tại Brunswick Mất ngày 23/2/1855 tại Gottingen, Hanover Vào năm bảy tuổi ,Carl Friedrich Gauss bắt dầu học tiểu học và tài năng của ông ta được chú ý ngay lập tức. Thầy Buttner và trợ giảng Martin Martels đã rất ngạc nhiên khi Gauss cộng các số nguyên từ 1 đến 100 ngay tức thì bằng cách cộng 50 cặp số có tổng là 101. Năm 1788 Gauss bắt đầu học tiếng Đức và tiếng Latin tại trường Gymnasium và nhận được sự giúp đỡ nhiệt ting của Buttner và Bartels. Sauk hi nhận được khoảng tiền từ công tước vùng Brunswick –ngài Wolfenbuttel, năm 1792 Gauss vào học trường cao đẳng Brunswick Collegium Carolinum. Tại đây Gauss đã độc lập khám phá ra định luật của Bode, định lí về nhị thức và ý nghĩa giữa số học và hình học, cũng như định luật về tính nghịch đảo của phương trìng bậc 2 và định lí về số nguyên tố. Năm 1795 Gauss rời Brunswick để học ở trường đại học Gottingen.Gaus thường chế nhạo thầy Kastner của mình. Người bạn duy nhất của Gauss là Farkas Bolyai. Họ gặp nhau vào năm 1799 và giao thiệp với nhau trong nhiều năm. Gauss đã không nhận được bằng tốt nghiệp khi rời Gottingen, nhưng vào lúc nay Gauss đã khám phá ra một dịnh luật rất quan trọng, đó là việc xây dựng 17-gon bình thường bằng thước và compa. Đây là sự tiến bộ vĩ đại nhất trong lĩnh vực này từ thời toán học Hi Lạp và được xuất bàn trong chương 7 của cuốn Disquisitiones Arithmeticae, cuốn sách về những công trình nổi tiếng của Gauss. Gauss trở về Brunswick và nhận chứng chỉ vào năm 1799. Sau khi đồng ý trả tiền công cho Gauss, công tước vùng Brunswick yêu cầu Gauss phải đệ trình luận án tiến sĩ cho trường đại học Helmstedt. Gauss đã quen biết được Pfaff, và người này được chọn làm cố vấn cho Gauss. Luận an của Gauss là một bài thảo luận về định lí cơ bản của môn đại số. Với khoảng tiền thù lao này, Gauss không phải kiếm việc làm. Vì thế Gauss có