Tổng hợp kiến thức nhập môn lý thuyết ma trận năm 2021 - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Tổng hợp kiến thức nhập môn lý thuyết ma trận năm 2021 - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội" Các phép toán trong ma trận, định thức, giá trị riêng, vecto riêng và chéo hóa ma trận, hệ phương trình tuyến tính Cramer. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp kiến thức nhập môn lý thuyết ma trận năm 2021 - Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

Câu l c b T&T - Khoa Toán-Tin T NG H P KI N TH C NH P MÔN LÝ THUY T MA TR N NĂM 2021 a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A = ... ... ... ... an1 an2 ... ann Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
I CÁC PHÉP TOÁN TRONG MA TRẬN 1 Cộng hai ma trận: a) Định nghĩa: Tổng A + B của hai ma trận cùng kích thước m × n (A và B) là một ma trận cùng kích thước, với phần tử trong vị trí tương ứng bằng tổng của hai phần tử tương ứng của mỗi ma trận: (A + B)ij = Aij + Bij với 1 ≤ i ≤ n và 1 ≤ j ≤ m. b) Ví dụ: 2 −6 6 5 2 + 6 (−6) + 5 8 −1 + = = . 5 1 4 −9 5 + 4 1 + (−9) 9 −8 c) Tính chất: Cho các ma trận cùng cỡ ta có các tính chất sau: A + B = B + A. A + O = O + A = A. (A + B) + C = A + (B + C). Nếu đặt −A = (−aij )m×n thì A + (−A) = (−A) + A = O. 2 Nhân một số thực với một ma trận: a) Định nghĩa: Tích kA của số k ∈ R với ma trận A được thực hiện bằng cách nhân mỗi phần tử của A với k: (kA)ij = k · Aij . b) Ví dụ: 2 −6 2 · 2 2 · (−6) 4 −12 2· = = . 5 1 2·5 2·1 10 2 c) Tính chất:Các tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa phép cộng và phép nhân một số thực với một ma trận: k(A + B) = kA + kB. (k + h)A = kA + hA. k · (h · A) = (k · h) · A. 1 · A = A. 0 · A = O, trong đó 0 ở vế trái là phần tử không của R còn O ở vế phải là ma trận không cỡ m × n (nếu A cỡ m × n). 3 Tích hai ma trận: a) Định nghĩa: Phép nhân hai ma trận được xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận bên trái bằng số hàng của ma trận bên phải. Nếu A là một ma trận m × n và B là một ma trận n × p, thì ma trận tích AB là ma trận m × p với các phần tử được xác định theo tích vô hướng của hàng tương ứng trong A với cột tương ứng trong B: n [AB]ij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + . . . + Ain Bnj = Aik Bkj với 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ p. k=1 Khoa Toán-Tin Trang 1 Câu lạc bộ T&T
b) Ví dụ:   6 5 2 −6 5  2 · 6 + (−6) · 4 + 5 · 12 2 · 5 + (−6) · (−9) + 5 · 2 48 74 4 −9 = = . 5 1 9 5 · 6 + 1 · 4 + 9 · 12 5 · 5 + 1 · (−9) + 9 · 2 142 34 12 2 c) Tính chất: Tích AB có thể xác định trong khi BA không nhất thiết phải xác định, tức là nếu A và B lần lượt có số chiều m × n và n × k, và m = k. Thậm chí khi cả hai tích này đều tồn tại thì chúng không nhất thiết phải bằng nhau, tức là: AB = BA. Phép nhân ma trận có các tính chất kết hợp và phân phối khi kích thước của các ma trận tham gia vào phép nhân thỏa mãn yêu cầu của tích hai ma trận: A · (B + C) = A · B + A · C. (B + C) · A = B · A + C · A. k · (B · C) = (k · B) · C = B · (k · C). 4 Chuyển vị: a) Định nghĩa: Chuyển vị của ma trận m × n A là ma trận n × m At tạo ra bằng cách chuyển hàng thành cột và cột thành hàng: (At )ij = Aji . b) Ví dụ:   t 2 5 2 −6 7 = −6 1  . 5 1 10 7 10 c) Tính chất: Phép chuyển vị có thể kết hợp với phép nhân vô hướng, cộng ma trận và nhân ma trận: (kA)t = k(At ). (A + B)t = At + B t . (At )t = A. (AB)t = B t At . II ĐỊNH THỨC Chỉ ma trận vuông mới có định thức. Kí hiệu định thức của ma trận A: D hoặc |A| hoặc det A hoặc det(A). Khoa Toán-Tin Trang 2 Câu lạc bộ T&T
1 Phần bù đại số: Cho A = aij n×n và giả sử định thức của các ma trận (n − 1) × (n − 1) đã được định nghĩa. Kí hiệu Aij là ma trận nhận được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j. Ta định nghĩa phần bù đại số cij (A) của A bởi công thức cij (A) = (−1)i+j det Aij . 2 Định thức: Cho ma trận A = aij n×n i. Với n = 1, A = (a11 ) và det(A) = a11 . ii. Với n >= 2, giả sử định thức của các ma trận (n − 1) × (n − 1) đã được định nghĩa. Khi đó định thức của ma trận A được cho bới công thức (khai triển Laplace). Khai triển theo hàng i: n D= aij cij (A). j=1 Khai triển theo cột j: n D= aij cij (A). i=1 3 Công thức tính định thức cụ thể của một số ma trận: a) Ma trận bậc 2 a b D= = ad − bc. c d b) Ma trận bậc 3 a1 b 1 c 1 b c a c a b D = a2 b 2 c 2 = a1 2 2 − b 1 2 2 + c 1 2 2 b3 c 3 a3 c3 a3 b 3 a3 b 3 c 3 = a1 b 2 c 3 − a1 b 3 c 2 − b 1 a2 c 3 + b 1 a3 c 2 + c 1 a2 b 3 − c 1 a3 b 2 . c) Ma trận đơn vị |In | = 1 ∀n ∈ N, n ≥ 2. d) Ma trận tam giác có định thức bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính. 4 Tính chất của định thức: Cho A là ma trận vuông cấp n a) At là ma trận chuyển vị của A thì |A| = |At |. b) Nếu A có một dòng(cột) gồm toàn các phần tử bằng 0 thì det(A) = 0. c) Nếu nhân các phân tử trong cùng một dòng(cột) của A với k = 0 thì det(A) tăng lên k lần. d) Nếu đổi chỗ hai dòng(cột) của A thì det(A) đổi dấu. e) Nếu cộng trừ vào một dòng(cột) của A một dòng(cột) khác thì det(A) không thay đổi. Khoa Toán-Tin Trang 3 Câu lạc bộ T&T
f) Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cỡ thì det(AB) = det(A) det(B). 1 g) Nếu A khả nghịch thì det(A−1 ) = . det(A) Dựa vào các tính chất trên của định thức, với một ma trận vuông A cho trước, để tính det(A), ta có thể thực hiện các biến đổi sau: • Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức và đổi dấu của định thức. • Cộng vào một dòng(cột) của định thức một tổ hợp tuyến tính của các dòng(cột) còn lại. • Nhân một dòng(cột) của định thức với một số khác không và chia định thức cho số đó. • Đưa định thức về định thức của ma trận dạng tam giác trên hoặc dưới và tính định thức của ma trận đó. 5 Ma trận khả nghịch: • Cho A là một ma trận vuông cấp n. Ma trận A là khả nghịch nếu và chỉ nếu det(A) = 0. Khi đó A sẽ có ma trận nghịch đảo, kí hiệu là A−1 và A.A−1 = In . 1 • Ta có A−1 = × Ct detA C = cij (n × n) với cij = (−1)i+j detAij . Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau   1 2 3 A= 0 1 4 5 6 0 • det(A) = 1(0 − 24) − 2(0 − 20) + 3(0 − 5) = 1 = 0. • Ta có: 1 4 0 4 0 1 c11 = (−1)1+1 = −24; c12 = (−1)1+2 = 20; c13 = (−1)1+3 = −5; 6 0 5 0 5 6 2 3 1 3 1 2 c21 = (−1)2+1 = 18; c22 = (−1)2+2 = −15; c23 = (−1)2+1 = 4; 6 0 5 0 5 6 2 3 1 3 1 2 c31 = (−1)3+1 = 5; c32 = (−1)3+2 = −4; c21 = (−1)3+3 = 1. 1 4 0 4 0 1       −24 20 −5 −24 18 5 −24 18 5 ⇒ C =  18 −15 4  ⇒ C t =  20 −15 −4 ⇒ A−1 =  20 −15 −4 . 5 −4 1 −5 4 1 −5 4 1   −24 18 5 Vậy ma trận nghịch đảo cần tìm là A−1 =  20 −15 −4 . −5 4 1 Khoa Toán-Tin Trang 4 Câu lạc bộ T&T
III GIÁ TRỊ RIÊNG, VECTO RIÊNG VÀ CHÉO HÓA MA TRẬN 1 Đa thức đặc trưng: Cho A là ma trận vuông cấp n. Đa thức đặc trưng PA (t) của A được định nghĩa bởi: PA (t) = det(A − tIn ) Nhận xét: PA (t) là một đa thưc bậc n của biến t và số thực λ là một giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu PA (λ) = 0, tức là λ là một nghiệm của đa thức PA (t). Ta có thể kí hiệu đa thức đặc trưng là PA (λ) (đa thức của biến λ). Hệ quả: Cho A là một ma trận vuông cấp n. Khi đó: • Các giá trị riêng của A chính là nghiệm của đa thức đặc trưng PA (t). • Vecto riêng x phù hợp với giá trị riêng λ của A là các nghiệm khác 0 của hệ phương trình thuần nhất (A − λIn )x = 0. 2 Giá trị riêng: a) Định lý: Cho A là một ma trận vuông cấp n. Số thực λ là một giá trị riêng của A khi và chỉ khi: det(A − λIn ) = 0. Trong đó In là ma trận đơn vị cấp n. Chú ý: • A − λIn là hiệu của hai ma trận vuông cấp n. • Tích của các giá trị riêng bằng định thức của ma trận. • Tổng các giá trị riêng bằng tổng các phần tử trên đường chéo của ma trận. b) Phương pháp tìm giá trị riêng: Giải phương trình: det(A − λIn ) = 0. VD: Tìm giá trị riêng của ma trận 1 3 A= 2 2 Giải: Xét đa thức đặc trưng PA (λ) = det(A − λIn ), ta có: 1 3 λ 0 1−λ 3 A − λIn = − = . 2 2 0 λ 2 2−λ Do đó, 1−λ 3 λ = −1 PA (λ) = 0 ⇔ det = 0 ⇔ (1 − λ)(2 − λ) − 6 = 0 ⇔ . 2 2−λ λ =4 Khoa Toán-Tin Trang 5 Câu lạc bộ T&T
3 Vecto riêng: a) Vecto cột   x1  x  Gọi x =  2  là các vecto riêng ứng với các giá trị riêng λ.  ...  xn Khi đó, ta giải hệ phương trình tuyến tính: (A − λIn )x = 0. 1 3 VD: Tìm các vecto riêng ứng với giá trị riêng λ = −1 của ma trận A = . 2 2 Ta có: 1−λ 3 2 3 A − λI2 = = . 2 2−λ 2 3 x1 Với ma trận cột x = t. , hệ phương trình tuyến tính (A − λI2 ).x = 0 trở thành: x2 2x1 + 3x2 = 0 2x1 + 3x2 = 0 −3 Hệ này có nghiệm x = t. với t = 0 tùy ý. 2 b) Vecto dòng Giải hệ phương trình tuyến tính (A − λI3 )x = 0 với ma trận   2 −1 −1 A= 1 0 −1  −1 1 2 có một vecto riêng viết dưới dạng dòng (x : y : z) ứng với giá trị riêng λ = 2.   x Ứng với giá trị riêng λ = 2, ta có vecto dạng cột  y  . z       x 0 −1 −1 x Khi đó, (A − λI3 ).  y  = 0 ⇔  1 −2 −1  .  y  = 0 z −1 1 0 z  −y − z = 0  x=y ⇒ x − 2y − z = 0 ⇒ ⇒ x : y : z = −1 : −1 : 1.  y = −z −x + y = 0  4 Chéo hóa ma trận: Định lý: A là ma trận vuông cấp n. Ma trận A chéo hóa được nếu và chỉ nếu 2 điều kiện sau đều thỏa mãn: Khoa Toán-Tin Trang 6 Câu lạc bộ T&T
i) Đa thức đặc trưng PA (t) của A có đủ n nghiệm thực (đếm cả nghiệm bội). ii) Nếu giá trị riêng λ của A có bội m thì nghiệm của hệ phương trình (A − λIn )x = 0 được cho bởi đúng m tham số. Nếu A là ma trận cấp n có đúng n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được. Phương pháp chéo hóa ma trận: Cho A là ma trận vuông cấp n.   0 1 1 VD: A =  1 0 1 . 1 1 0 Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng PA (t) = det(A − tIn ) của A. Giải phương trình PA (t) = 0 để tìm các giá trị riêng của A (là các nghiệm của phường trình). VD: PA (t) = (2 − t)(t + 1)2 ⇒ A có 2 giá trị riêng λ1 = 2; λ2 = −1. Bước 2: Ứng với mỗi giá trị riêng λ của A, giải hệ phương trình tuyến tính (A − λIn )x = 0. Tìm các vecto riêng tương ứng với giá trị riêng λ. Nếu λ có bội m thì các nghiệm của hệ phương trình phải cho bởi đúng m tham số: x = s1 x1 + s2 x2 + ... + sm xm (nếu không thì A không chéo hóa được). Chọn các "nghiệm cơ sở" x1 , x2 , ...xm làm các vecto riêng ứng với các giá trị riêng λ. VD:   1 λ1 = 2 ⇒ x1 =  1  . 1 λ2 = −1 (bội 2) ⇒ Nghiệm của hệ (A − λ2 I3 )x = 0 là:         x1 −s −t −1 −1  x2  =  s  = s.  1  + t.  0  x3 t 0 1     −1 −1 Chọn các vecto riêng là x2 =  1  và x3 =  0  ứng với giá trị riêng λ2 = −1. 0 1 Bước 3: Ma trận A chéo hóa được nếu ta chọn được đủ n vecto riêng theo Bước 2. VD: Ta đã chọn được vecto riêng x1 tương ứng với giá trị riêng λ1 = 2, các vecto riêng x2 và x3 ứng với giá trị riêng λ2 = −1 (bội 2). Bước 4: Nếu A chéo hóa được, gọi P là ma trận cỡ n × n có các cột là n vecto riêng của A chọn được như trên. Khi đó, P khả nghịch và D = P −1 AP là ma trận chéo và các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng tương  của A.  ứng 1 −1 −1 VD: P = [x1 x2 x3 ] =  1 1 0  1 0 1     λ1 0 0 2 0 0 D = P −1 AP =  0 λ2 0  =  0 −1 0  0 0 λ3 0 0 −1 Khoa Toán-Tin Trang 7 Câu lạc bộ T&T
Chú ý: Khi đề bài yêu cầu tính Ak thì ta sẽ tìm D là ma trận chéo hóa của ma trận A. Vì D = P −1 AP ⇒ A = P DP −1 . Do đó, Ak = P Dk P −1 . 1 1 1      5    1 −1 −1 2 0 0  3 3 3  10 11 11  .  0 −1 0  .  −1 2 −1 5 5 −1   VD: A = P D P =  1 1 0  =  11 10 11  .  3 3 3  1 0 1 0 0 −1  −1 −1 2  11 11 10 3 3 3 IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CRAMER Xét hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình của n ẩn:  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn  = b1  a x + a x + ... + a x 21 1 22 2 2n n = b2 (1) ...    an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn       a11 a12 ... a1n x1 b1  a a ... a2n   x2   b2  Xét kí hiệu : A =  21 21  ... ... ... ...  , x =  ...  và b =  ...  .      an1 an2 ... ann xn bn Khi đó, hệ phương trình (1) được viết lại thành Ax = b. Nếu định thức det A = 0 thì hệ phương trình (1) được gọi là hệ Cramer. 1 Tính chất: Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất. Một ma trận có số phương trình bằng số ẩn thì hệ phương trình đó gọi là hệ phương trình Cramer hay khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0. Ví dụ: Hệ phương trình 3x − 7y =1 2x + 3y =3 3 −7 là hệ phương trình Cramer vì det = 23 = 0. 2 3 Hệ phương trình  3x + 4y − 5z  =1 2x + 7y + z =3  7x + 18y − 3z =7    3 4 −5 không phải là hệ Cramer vì det  2 7 1  = 0. 7 18 −3 Khoa Toán-Tin Trang 8 Câu lạc bộ T&T
2 Quy tắc Cramer: Giả sử hệ phương trình (1) là hệ phương trình Cramer, kí hiệu D = det A và Di = det Ai . Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất và nghiệm đó được tính bởi công thức: Di xi = ; i = 1, 2, ..., n. D Trong đó Ai là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i của ma trận A bởi vecto cột b. Phương pháp Cramer: Nếu D = det A thì: TH1: D = 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất và là hệ Cramer. TH2: D = 0; Di = 0 thì hệ phương trình có vô số nghiệm. n TH3: D = 0; Di = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm. i=1 3 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có n phương trình, n ẩn số có dạng:  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0   a x + a x + ... + a x 21 1 22 2 2n n =0 (2) ...    an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = 0 Dễ thấy hệ phương trình luôn có nghiệm x1 = x2 = ... = xn = 0, nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Như vậy, với một hệ phương tình tuyến tính bất kì, hệ luôn có nghiệm. Điều này cũng có nghĩa là hệ có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác 0) khi và chỉ khi hệ có vô số nghiệm. a) Định lý Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi ma trận của hệ có hạng nhỏ hơn số ẩn số. b) Hệ quả Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn thì hệ sẽ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0. Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình thuần nhất sau chỉ có nghiệm tầm thường  mx + y + z  =0 x + my + z =0  x + y + mz =0  Giải Khoa Toán-Tin Trang 9 Câu lạc bộ T&T
Vì hệ đã cho có số phương trình bằng số ẩn nên ma trận hệ số lập được là ma trận vuông cấp 3. Vì vậy, hệ chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi detA = 0 m 1 1 m = −2 ⇔ 1 m 1 =0⇔ . 1 1 m m=1 Khoa Toán-Tin Trang 10 Câu lạc bộ T&T