Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

Chia sẻ: Thiên Lăng Sở | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính cung cấp cho học viên các kiến thức về ôn tập về ma trận, phương pháp đồ thị cho hệ phương trình 2 và 3 ẩn, quy tắc cramer, phương pháp khử Gauss: cách 1 và cách 2, phương pháp khử Gaussvới phần tử xoay tỉ lệ từng phần, phương pháp khử Gauss-Jordan, phương pháp vòng lặp: Jacobi và Gauss-Seidel, các bài toán kỹ thuật ứng dụng hệ phương trình tuyến tính,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 1 Khoa Công nghệ Cơ khí Bộ môn Cơ sở - Thiết kế Bài 3: Hệ Phương trình Đại số Tuyến tính Thời lượng: 6 tiết
Nội dung bài học 2
Dạng tổng quát của hệ PT Đại số tuyến tính 3  f1 ( x1 , x2 ,… , xn ) = 0 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn = b1  a x + a x + a x + … + a x = b  f 2 ( x1 , x2 ,… , xn ) = 0  21 1 22 2 23 3 2n n 2   … ⋮ ⋮  f ( x , x ,… , x ) = 0 an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + … + ann xn = bn  n 1 2 n (1) Tìm: x = ( x1 , x2 , x3 ,… , xn ) = ? T
Ôn tập về ma trận 4 Cột 3  a11 a12 a13 ⋯ a1m     a21 a22 a23 … a2 m  Hàng 2 A =  n×m  ⋮ ⋮   an1 an 2 an 3 ⋯ anm 
Ôn tập về ma trận 5 1) Ma trận hàng: 2) Ma trận cột: B = [b1 b2 b3 … bm ]  c1  1× m c   2 3) Ma trận vuông: n=m C =  c3  n×1    a11 a12 a13 ⋯ a1n  ⋮ a  cn   a22 a23 … a2 n  A= 21 n× n  ⋮ ⋮     an1 an 2 an 3 ⋯ ann 
Ôn tập về ma trận 6 4) Ma trận đối xứng: aij = aji 6) Ma trận đơn vị:  5 −1 7  1 0 0 0 0 0  A =  −1 2 4  1 0 I = 3×3 n× n 0 0 ⋱ 0  7 4 6    0 0 0 1 5) Ma trận đường chéo: 7) Ma trận tam giác trên  a11 0 0 0  a11 a12 a13 a14  0 0 a a24  a22 0 0  a23 A = A = 22 n× n 0 0 ⋱ 0 4×4 0 0 a33 a34      0 0 0 ann  0 0 0 a44 
Ôn tập về ma trận 7 8) Ma trận tam giác dưới:  a11 0 0 0 a a 0 0  A=  21 22 4×4  a31 a32 a33 0    a41 a42 a43 a44  9) Ma trận dải:  a11 a12 0 0 a a22 a23 0  A= 21 4×4 0 a32 a33 a34    0 0 a43 a44 
Ôn tập về ma trận 8 1) Cộng ma trận:  a11 a12 … a1m   b11 b12 … b1m   a11 + b11 a12 + b12 … a1m + b1m  a a … a  b b … b  a + b a22 + b22 … a2 m + b2 m   21 22 2m  +  21 22 2m  =  21 21  ⋮ ⋮  ⋮ ⋮   ⋮ ⋮         an1 an 2 … anm  bn1 bn 2 … bnm   an1 + bn1 an 2 + bn 2 … anm + bnm  2) Tính chất giao hoán cộng: A+ B = B+ A n× m n×m n× m n× m 3) Tính chất kết hợp cộng: ( A+ B )+ C = A+( B + C ) n×m n×m n× m n×m n×m n×m
Ôn tập về ma trận 9  a11 a12 … a1m   g ⋅ a11 g ⋅ a12 … g ⋅ a1m  4) Nhân cho số thực: a a22 … a2 m   g ⋅ a21 g ⋅ a22 … g ⋅ a2 m  g ⋅  21 =  ⋮ ⋮   ⋮ ⋮       an1 an 2 … anm   g ⋅ an1 g ⋅ an 2 … g ⋅ anm  5) Nhân hai ma trận:   a11 a12 … a1m   b11 b12 … b1 p   c11 c12 … c1 p    b  c  a   21 a … a2 m   21 b … b2p  c … c = 22 21 22 2p  22 ⋅   ⋮ ⋮   ⋮ ⋮  ⋮ ⋮  A ⋅ B = C ⇔       n×m m× p n× p   an1 an 2 … anm   m1 m 2 b b … bmp    n1 n 2 c c … c np    n cij = ∑ aik bkj  k =1
Ôn tập về ma trận 10 6) Tính chất kết hợp nhân: ( A ⋅ B )⋅ C = A ⋅( B ⋅ C ) n×m m× p p× q n× m m× p p×q 7) Tính chất phân phối: ( )  A⋅ B + C = A⋅ B + A⋅ C  n×m m× p m× p n×m m× p n×m m× p  ( )  A + B ⋅ C = A⋅ C + B⋅ C  n×m n×m m× p n×m m× p n×m m× p
Ôn tập về ma trận 11 8) Định thức: a. Bậc 2: A = 2× 2  a11  a21 a12   a22  ( ) ⇒ det A = a11a22 − a12 a21 2×2 b. Bậc 3:
Ôn tập về ma trận 12 9) Ma trận ngược:    det  A  det  A    a22 − a12    2×2  det  A 11  21   2×2   31    2×2   −a  a11 a12 a13     a11 a12  −1  a11  A =  a21 a23  ⇒ A −1 = 1    det  A  det  A   A= ⇒A = 21 a22   2×122  det  A  22   32   2×2  a21 a22  2× 2 det A ( ) 3×3  a31 a32 a33  3×3 ( ) det A  3×3  2× 2   2×2   2×2    det  A  det  A     2×132  det A  23   2×2   33    2×2    a22 a32   a32 a12   a12 a22  A11 =   A 21 =  A 31 =  10) Tính chất Ma trận ngược: 2×2  a23 a33  2×2  a33 a13  2×2  a13 a23   a23 a33   a33 a13   a13 a23  −1 −1 A12 =  A 22 =  A 32 =  A⋅ A = A ⋅ A = I 2×2   a21 a31  2×2  a31 a11  2× 2  a11 a21  n× n n× n n× n n×n n× n  a21 a31   a31 a11   a11 a21  A13 =   A 23 =  A 33 =  2×2  a22 a32  2×2  a32 a12  2×2  a12 a22 
Phát biểu bài toán ở dạng ma trận 13 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn = b1  a11 a12 a13 … a1n   x1  b1  a x + a x + a x + … + a x = b a a23 … a2 n   x2  b2   21 1 22 2 23 3  a22  2n n 2 ⇔ 21 ⋅  =   ⋮ ⋮  ⋮ ⋮  ⋮  ⋮  an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + … + ann xn = bn        an1 an 2 an 3 … ann   xn  bn  ⇔ A ⋅ x = b (2) n×n n×1 n×1 Nhân hai vế của (2) cho ma trận ngược của ma trận A: ( 2 ) ⇔ An×−n1 ⋅ nA×n⋅ nx×1 = An×−n1⋅ nb×1 ⇔ ( An×−n1⋅ nA×n ) ⋅ nx×1 = An×−n1⋅ nb×1 I n×n ⇔ I ⋅ x = A −1 ⋅ b ⇔ x = A −1 ⋅ b (3) n×n n×1 n× n n×1 n×1 n×n n×1 x n×1
Hệ phương trình ít ẩn (≤3) 14 Hệ 2 phương trình Ví dụ: a11 x1 + a12 x2 = b1 3x1 + 2 x2 = 18   a21 x1 + a22 x2 = b2 − x1 + 2 x2 = 2 ⇓ ⇓   a11  b1  3  x2 = −   x1 +  x2 = − 2 x1 + 9   a12  a12   x = 1 x +1  x = −  a21  x + b2  2 2 1  2   1   a22  a22 f1 = @(x,y) 3*x + 2*y - 18; f2 = @(x,y) -x + 2*y - 2; fimplicit(f1,[0 6 0 9],'m-','Linewidth',2),grid on hold on fimplicit(f2,[0 6 0 9],'k-','Linewidth',2),grid on
Hệ phương trình ít ẩn (≤3) 15 a11 x1 + a12 x2 = b1 Các tình huống nghiệm:  a21 x1 + a22 x2 = b2 a11 a12 b1 a11 a12 b1 a11 a12 = ≠ = = ≠ a21 a22 b2 a21 a22 b2 a21 a22 Hai đường thẳng song song Hai đường thẳng trùng nhau Hai đường thẳng cắt nhau Vô nghiệm Vô số nghiệm Một nghiệm
Hệ phương trình ít ẩn (≤3) 16 4 x1 + x2 − x3 = −2 Hệ 3 phương trình  5 x1 + x2 + 2 x3 = 4 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 6 x + x + x = 6   1 2 3 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a x + a x + a x = b  31 1 32 2 33 3 3 Ba mặt phẳng f1 = @(x,y,z) 4*x + y - z + 2; f2 = @(x,y,z) 5*x + y + 2*z - 4; f3 = @(x,y,z) 6*x + y + z - 6; interval = [0 10 -15 -10 -5 5]; fimplicit3(f1,interval,'FaceColor','m','EdgeColor','k','FaceAlpha',.9), hold on fimplicit3(f2,interval,'FaceColor','g','EdgeColor','k','FaceAlpha',.9), hold on fimplicit3(f3,interval,'FaceColor','y','EdgeColor','k','FaceAlpha',.9), hold scatter3(3,-13,1,100,'filled','MarkerEdgeColor','k','MarkerFaceColor',[0 .75 on .75]) ( 3; −13;1)
a11 a12 a13 … a1n Quy tắc Cramer a a22 a23 … a2 n 17 D = 21 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮  a11 a12 a13 … a1n b1    an1 an 2 an 3 … ann  a21 a22 a23 … a2 n b2   A b  = b1 a12 a13 … a1n n×( n +1)  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮   b2 a22 a23 … a2 n  an1 an 2 an 3 … ann bn  Dx1 = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮  Dxi 1) Vô nghiệm: bn an 2 an 3 … ann  xi =  D = 0 ; D  a11 b1 a13 … a1n i = 1..n  Dxi ≠ 0; i = 1..n a21 b2 a23 … a2 n  Dx2 = 2) Vô số nghiệm: ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮  D = 0 an1 bn an3 … ann   Dxi = 0; i = 1..n … 3) Một nghiệm: a11 a12 a13 … b1 a21 a22 a23 … b2 Dxn = D≠0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 an 3 … bn
Quy tắc Cramer 18 4 1 −1 D= 5 1 2 =4 6 1 1 −2 1 −1 Dx1 x1 = =3 Dx1 = 4 1 2 = 12 D 4 x1 + x2 − x3 = −2  6 1 1 Dx2 5 x1 + x2 + 2 x3 = 4 x2 = = −13 6 x + x + x = 6 4 −2 −1 D  1 2 3 Dx2 = 5 4 2 = −52 Dx3 x3 = =1 6 6 1 D 4 1 −2 Dx3 = 5 1 4 =4 6 1 6
Tính định thức bằng MATLAB 19 format long D = [4 1 -1; 5 1 2; 6 1 1] D_x1 = [-2 1 -1; 4 1 2; 6 1 1] D_x2 = [4 -2 -1; 5 4 2; 6 6 1] D_x3 = [4 1 -2; 5 1 4; 6 1 6] det_D = det(D) det_Dx1 = det(D_x1) det_Dx2 = det(D_x2) det_Dx3 = det(D_x3) x1 = det(D_x1)/det(D) x2 = det(D_x2)/det(D) x3 = det(D_x3)/det(D)
Các phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính 20 Đưa hệ PT (2) về dạng tương - Phương pháp đương đơn giản hơn: Jacobi - Ma trận tam giác trên Phương pháp khử Gauss - Phương pháp - Ma trận tam giác dưới Gauss-Seidel - Ma trận đường chéo Phương pháp khử Gauss-Jordan