Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 4: Trị riêng và Véctơ riêng

Chia sẻ: Thiên Lăng Sở | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 4: Trị riêng và Véctơ riêng cung cấp cho học viên các kiến thức về khái niệm Trị riêng và Véctơ riêng, phương pháp phương trình đặc trưng (cổ điển), phương pháp lũy thừa, phương pháp lũy thừa nghịch đảo, bài toán kỹ thuật: hệ khối lượng - lò xo, bài toán kỹ thuật: mất ổn định của thanh chịu nén,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 4: Trị riêng và Véctơ riêng

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 1 Khoa Công nghệ Cơ khí Bộ môn Cơ sở - Thiết kế Bài 4: Trị riêng và Véctơ riêng Thời lượng: 3 tiết
2 Nội dung bài học
3 Khái niệm Trị riêng và Véctơ riêng  a11 a12 a13 a1n   v1  a    Cho ma trận vuông [A] và a22 a23 a2 n  v2  véctơ :  A     21 ; v    n x1   nn   vn   an1 an 2 an 3 ann  λ là giá trị riêng và véctơ là véctơ riêng của ma trận [A] nếu thỏa mãn điều kiện đẳng thức sau:  A  v  v (1) n n n x1 n x1 Ý nghĩa: [A] hoạt động trên để mang lại λ lần
4 Khái niệm Trị riêng và Véctơ riêng 1  Lv    v (2) L là toán tử có thể biểu diễn phép nhân với ma trận, đạo hàm, tích phân, v.v., v có thể là vectơ hoặc hàm số. Và λ là một hằng số vô hướng. 2 d - L là toán tử thể hiện đạo hàm bậc 2 theo x: 2   - v là một hàm số y phụ thuộc x: y(x) dx - λ = k2 là hằng số d y  x 2  2  2  k y  x 2 dx
5 Ví dụ về ứng dụng của trị riêng và véctơ riêng Trong nghiên cứu về dao động, các giá trị riêng đại diện cho các tần số riêng tự nhiên Phương Tần số dđ (the natural frequencies) của một hệ thống thức riêng (Modes) (Frequencies) hoặc thành phần, và các véctơ riêng đại Thứ nhất v diện cho các phương thức của những dao 2L động này (the modes of vibrations). Việc xác định các tần số riêng tự nhiên này là Thứ hai v rất quan trọng vì khi hệ thống hoặc thành L phần chịu tải trọng bên ngoài (lực) một 3v cách tuần hoàn ở tại hoặc gần các tần số Thứ ba 2L này, sự cộng hưởng có thể làm cho ứng xử (chuyển động) của kết cấu được khuếch Thứ tư 2v đại, có khả năng dẫn đến hỏng hóc thành L phần của hệ thống.
6 Ví dụ về ứng dụng của trị riêng và véctơ riêng  11  12  13  σ ij   21  22  23  33  31  32  33    1 0 0  σ   0  2 0  33  0 0  3  Các ứng suất chính   nx1   nx 2   nx3   được xác định là các giá 1   1       1    2    3   A  σ ij ; λ  2   2  ;  v    v1 v 2 v3    ny   ny   ny   trị riêng của ma trận ứng 33 31  31 31 31   1    2    3   suất, và các hướng 3   3    33 3 31   nz    nz   nz   chính được hiểu là  A  v i  i v i ; i  1, 2,3 hướng của các véctơ 33 31 31 riêng liên quan
7 Phương trình đặc trưng    A  v    v   A    I   v  0 (3) nn n x1 n x1  n n nn  n x1 n x1 Δ nn  a11   a12 a13 a1n   v1  0   a    v  0   a a a   2    21 22 23 2n                   n1 a a n2 a n3 ann    vn  0  - Nếu ma trận [Δ]=[A-λ.I] không đặc biệt (tức là tồn tại ma trận đảo ngược [A-λ.I]-1) thì hệ phương trình (3) chỉ có một nghiệm đơn giản là T= {0 0 … 0}. - Nếu ma trận [Δ]=[A-λ.I] đặc biệt (tức là không tồn tại ma trận đảo ngược [A-λ.I]-1) thì hệ (3) có thể tồn tại nghiệm không tầm thường (nontrivial solution) của . Để đạt điều đó ta cần điều kiện:     Phương trình đặc trưng det   Δ    det   A     I    0 (3)  nn   n n n n  (Characteristic Equation)
8 Phương pháp cổ điển   Trong đó: Δ    A    I   - Là ma trận đặc trưng (Characteristic Matrix) nn  n n n n  Phương trình đặc trưng (3) là một phương trình đa thức bậc n có dạng (4) và sẽ có n nghiệm: λ1,λ2,…, λn. Mỗi nghiệm λi có véctơ riêng .       n 1   n2   C2  2  C1  C0  0 nn 1 C n 1 C n2 (4) 1  Có nghĩa là chúng ta sẽ có n    1  đẳng thức sau:  2 V   v v  2 v  n  L   n n    A  v 1  1  v 1    n x1   nn n x1 n1 n x1 n x1   n   n x1  - Là ma trận (của) véctơ riêng   A  v  n  n - Là véctơ (của)  n  v giá trị riêng  nn n x1 n x1
9 Phương pháp cổ điển Khi có λi ta làm như sau để tìm véctơ riêng :   i   A  v i   i  v i     A  i   I    v  0 nn n x1 n x1  n n n n  n x1 n x1  Δi  nn  Δi 0   Dùng phép khử Gauss để đưa về dạng bậc n n 1 thang (Reduced Row Echelon Form)
10 Phương pháp cổ điển 1 3 3  Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận sau:  A   3 5 3 33 6 6 4  1. Tính ma trận đặc trưng (Characteristic Matrix) 1   3 3     Δ   A    I    3 5   3  33  33 33   6 6 4    2. Tính phương trình đặc trưng (Characteristic Equation)   det   Δ     12  16      4    2   0 3 2  33  3. Giải phương trình đặc trưng ta có 3 nghiệm λ, từ đó có véctơ giá trị riêng: L   4 2 2 T 31
11 1   3 3             3 5   3  Δ  A    I 33  33 33   6 6 4      5   3 3 3 3 5   det   Δ    1       3    3  33  6 4 4 6 6 6  1      5    4      6   3  3  3  6  3  4      3  3   6   6  5      1       2    2   3   6  3   3  12  6     3  3  2   18  9  36  18   3  12  16
4.1. Tìm véctơ riêng của giá trị riêng λ1 = 4: 12 3 3 3 0  R1 1 1 1 0  R1 1 2      1 R1   R1     A  1   I  0    3 9 3 0  R2    3 9 3 3 0  R2 v 1  1 2  33 4 33 31  6 6 0 1   6 6 0 0  R3 0  R3 3x1   1 1 1 R2  3 R1  R2 0  R1  R3  6  R1  R3   0 12 6 0  R2 0 12 6 0  R3  v3  1  1 1  1  1 0  R1 v1  2  2  R2   R2        0 1 1 2  12  0  R2  v3 1  0 12 6 0  R3 v  v2    v3   3x1  2 2 1 1 1 0  R1 v3  1  R3 12  R2  R3          0 1 1 2 0  R2     0 0 0 0  R3 1 0 1 2 0  R1 R1  R1  R2   v1  v3 2  0  0 1 1 2 0  R2  0 0 0 0  R3 v2  v3 2  0
4.2. Tìm véctơ riêng và của giá trị riêng λ2 = λ3 = -2: 13  3 3 3 0  R1 1 1 1 0  R1     1 R1   R1     A  2   I  0    3 3 3 0  R2  3   3 3 3 0  R2  33 31   2 33   6 6 6 0  R3 6 6 6 0  R3  1 1 1 R2  3 R1  R2 0  R1  R3  6  R1  R3  v1  v2  v3  0  0 0 0 0  R2 0 0 0 0  R3 v1  v2  v3  1  1 L   4 2 2 T       31 v  v2   v2 1   v3 0  3x1 v  0  1  Ma trận (của) véctơ riêng  3       1      2 1   1   1 1  0   1  1 V    v v  2 v  3    12    3    33           v  2  1  ; v   0   3x1 3x1 3x1  1  0  1       3x1 0  3x1 1    
Phương pháp luỹ thừa 1 3 3  1 14    0  Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma  A   3 5 3 ; v  1 ;   0.002 33 6 6 4  31 1 trận sau:  1) Vòng lặp 1: 1 3 3  1 1  0.25      w1   A   v  0     3 5 3   1  1    4   0.25 1  6 6 4  1 4    c=Index(max(|w1|))=3 Trị riêng Véctơ riêng Ước tính hiện tại cho giá trị riêng lớn nhất là 4. Điều chỉnh lại w1 theo giá trị riêng để thu được mới. 1  0.25 w1 1       c  index max  w1   3; 1  w1 3  4; v 1    1   0.25 1 4        4 1 
Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ? 15 1 3 3  0.25 0.25 1.5         C 1   A  v 1  1  v 1   3 5 3   0.25  4  0.25  1.5 6 6 4  1  1  0      1 C  1.52  1.52  02  1.5 2   2) Vòng lặp 2: 1 3 3  0.25 2.5 0.625         w2   A   v 1   3 5 3   0.25  2.5  4  0.625 6 6 4  1  4  1    2.5 0.625 w2 1      c  index max  w2    3; 2  w2 3  4; v  2    2.5  0.625 2 4        4 1 
Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ? 16 1 3 3  0.625 0.625  0.75         C  2   A  v  2  2  v  2   3 5 3   0.625  4  0.625  0.75 6 6 4  1   1   0      2   0.75   0.75  02  0.75 2   2 2 C 3) Vòng lặp 3: 1 3 3  0.625 1.75 0.4375         w3   A   v  2   3 5 3   0.625  1.75  4  0.4375 6 6 4  1  4     1    1.75 0.4375 w3 1      c  index max  w3    3; 3  w3  c   4; v  3    1.75  0.4375 3 4   1   4   
Kiểm tra độ hội tụ: Norm < ε ? 17 1 3 3  0.4375 0.4375 0.375         C   A  v 3 3  3  v  3   3 5 3   0.4375  4  0.4375  0.375 6 6 4  1   1   0      2         0.375 2   2 2 2 C 0.375 0.375 0 Tiếp tục quá trình
18 Trị riêng Véctơ riêng
19 Phương pháp luỹ thừa 1. Xuất phát từ véctơ riêng ban đầu 2. Đối với vòng lặp i, i =1, 2, 3, … • Tính =[A]· • c=index(max(||)) • Tính λi = c • Tính = λi • Tính Véctơ chênh lệch: =[A]· – λi· • Tính NORM của véctơ chênh lệch và so sánh với độ lệch chuẩn cho phép ε: |||| < ε ? 3. Trị riêng = λi cuối, véctơ riêng = cuối
Phương pháp luỹ thừa  1 3 3 1 20    0  Tìm giá trị riêng và véctơ riêng của ma  A    3 5 3 ; v  1 ;   0.002 33  6 6 4  31 1 trận sau:  1) Vòng lặp 1:  1 3 3 1 1  0.25   w1   A   v  0        3 5 3  1  1    4   0.25 1   6 6 4  1 4    c=Index(max(|w1|))=3 Trị riêng Véctơ riêng Ước tính hiện tại cho giá trị riêng lớn nhất là -4. Điều chỉnh lại w1 theo giá trị riêng để thu được mới. 1  0.25 w1 1       c  index max  w1   3; 1  w1 3  4; v 1    1   0.25 1 4         4 1 