zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Chéo hóa ma trận có giá trị riêng bội

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:2

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này tóm tắt lại những gì đã giảng trong buổi học đầu tiên sau Covid (6 tháng Năm 2020). Trong bài này, ta tóm tắt các bước chéo hóa ma trận vuông có giá trị riêng bội. Trước đây ta đã trình bày cách chéo hóa ma trận trong trường hợp nó có các giá trị riêng phân biệt đôi một. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chéo hóa ma trận có giá trị riêng bội

Chéo hóa ma trận có giá trị riêng bội Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn Ngày 6 tháng 5 năm 2020 A. Dẫn nhập Bài viết này tóm tắt lại những gì đã giảng trong buổi học đầu tiên sau Covid (6 tháng Năm 2020). Trong bài này, ta tóm tắt các bước chéo hóa ma trận vuông có giá trị riêng bội. Trước đây ta đã trình bày cách chéo hóa ma trận trong trường hợp nó có các giá trị riêng phân biệt đôi một. B. Điều kiện chéo hóa được Định nghĩa 1. Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó đa thức đặc trưng của A, được ký hiệu là PA (t), được định nghĩa là PA (t) = det(A − tI). Đây là một đa thức bậc n (cùng cấp với A). Các nghiệm của PA (t) được gọi là các giá trị riêng của A. Theo lý thuyết đại số, cụ thể định lý Gauss, mỗi đa thức đều có đủ nghiệm (chỉ có điều là ta tính cả số phức). Nếu ký hiệu λ1 , λ2 , . . . , λn là các nghiệm của PA (t) thì ta luôn có phân tích nhân tử PA (t) = (λ1 − t) · (λ2 − t) · . . . · (λn − t). Hoàn toàn có thể xảy ra trường hợp mà các nghiệm λi giống nhau, trong trường hợp đó, ta gọi nghiệm λi là nghiệm bội của PA (t). Khi đó, ta có thể viết lại phân tích nhân tử như sau PA (t) = (λ1 − t)s1 · (λ2 − t)s2 · . . . · (λk − t)sk , trong đó λ1 , λ2 , . . . , λk đôi một phân biệt. Khi đó, ta gọi si là bội (đại số) của λi . Định nghĩa 2. λi được gọi là giá trị riêng của A, có bội (đại số) bằng si . Nhận xét: Với   trị riêng λi của A, các vector riêng của A tương ứng với λi là các mỗi giá x1  x2  ma trận cột X =  .  thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính   .. xn (A − λi I)X = 0. Khi giải ra nghiệm của hệ này, ta sẽ thấy nghiệm sẽ được biểu diễn bởi một số tham số. 1
Định nghĩa 3. Nếu số tham số nhỏ nhất có thể trong biểu diễn nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (A − λi I)X = 0 là ri , thì ta nói tập các vector riêng ứng với giá trị riêng λi có bội (hình học) là ri . Mệnh đề 4. Với mỗi giá trị riêng λi , bội hình học không vượt quá bội đại số, và bội hình học luôn là số dương, tức là 1 ≤ ri ≤ si . Ta có tiêu chuẩn chéo hóa như sau: Mệnh đề 5. Ma trận A là chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình học của mỗi giá trị riêng bằng bội đại số của chính giá trị riêng đó. Từ mệnh đề này, ta thấy tại sao ma trận vuông có tất cả các giá trị riêng phân biệt lại chéo hóa được. Lý do: khi các giá trị riêng của A là phân biệt, thì bội đại số bằng 1, và do bất đẳng thức liên hệ giữa bội đại số và hình học ở trên, thì ta suy ra bội hình học cũng bằng 1. Do vậy, ma trận có các giá trị riêng phân biệt luôn chéo hóa được. C. Quy trình chéo hóa đối với ma trận có giá trị riêng lặp Giả sử A chéo hóa được và A có các giá trị riêng lặp (tức bội đại số >1). Quy trình chéo hóa là như sau: • Bước 1: Xác định các giá trị riêng của A. • Bước 2: Với mỗi giá trị riêng λ, giải hệ phương trình tuyến tính ứng với các vector riêng (A − λI)X = 0. • Bước 3: Với mỗi nghiệm ở bước 2, ta tách thành các cột riêng biệt, mỗi cột chứa đúng 1 tham số trong biểu diễn nghiệm ở bước 2. • Bước 4: Các cột thu được, ta cấu tạo thành ma trận C. Khi đó C −1 AC có dạng chéo mong muốn. D. Bài tập vận dụng   29 −21 −15 1. Biết ma trận 27 −19 −15 chéo hóa được, và có giá trị riêng lặp. Hãy thực hiện quá 9 −7 −3 trình chéo hóa ma trận đó. 2

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.