Véc tơ riêng của toán tử phi tuyến cực trị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này trước hết chúng tôi đưa ra các định nghĩa: Toán tử lõm chính quy, toán tử cực trị, đạo hàm tiệm cận. Thứ hai chúng ta nghiên cứu một vài tính chất của đạo hàm tiệm cận và cuối cùng nghiên vê sự tồn tại véc tơ riêng của toán tử cực trị.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Véc tơ riêng của toán tử phi tuyến cực trị

KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 59/2020 VÉC TƠ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ PHI TUYẾN CỰC TRỊ Lê Thanh Tuyền Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Email: halongxanh82@gmail.com Tel: +84-xxxxxxxxxx; Mobile: 0989844610 Từ khóa: Tóm tắt Véc tơ riêng; Toán tử lõm Trong bài báo này trước hết chúng tôi đưa ra các định nghĩa: Toán tử lõm chính chính quy; Toán tử phi tuyến quy, toán tử cực trị, đạo hàm tiệm cận. Thứ hai chúng ta nghiên cứu một vài cực trị; Toán tử cực trị tính chất của đạo hàm tiệm cận và cuối cùng nghiên vê sự tồn tại véc tơ riêng của toán tử cực trị. 1. GIỚI THIỆU Nhận xét. Toán tử lõm chính quy có thể không có Trong toán học, vật lý và kỹ thuật có rất nhiều tính chất u0- đo được tức là có thể không là toán tử vấn đề mà việc giải quyết chúng đều dẫn đến việc lõm. xét bài toán tìm véctơ riêng và giá trị riêng của các Định nghĩa 4[1]. Toán tử A gọi là toán tử cực trị toán tử. Đặc biệt, M.A. Craxnoxenxki, I.A. Baxtin (hay đơn giản là cực trị), nếu: và nhiều nhà toán học khác đã đưa ra và xét các i) Toán tử A đơn điệu và dương trên nón K ; toán tử lõm. Tuy nhiên, một trong những điều kiện ii) Đối với dãy bất kì tăng, bị chặn trên và bị quan trọng nhất trong định nghĩa toán tử lõm lại chặn theo chuẩn ( xn )  K : nghĩa là: phức tạp, do đó, việc ứng dụng các kết quả đã đạt (u  K ) x1  x2  ...  xn ...  u , được theo hướng này gặp khó khăn đối với những lớp toán tử không thỏa mãn điều kiện kể trên nhưng  h   * xn  h    n  1, 2,... , lại có tính chất phổ dụng như toán tử lõm. Một đồng thời với dãy bất kì giảm, bị chặn dưới và bị trong những lớp toán tử như thế là lớp toán tử phi chặn theo chuẩn ( yn )  K , nghĩa là: tuyến cực trị.  v  K  y 1  y2  ...  yn  ...v  K , 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT     *  yn    (n  1,2,...) , 2.1 Các định nghĩa các phần tử sup( Axn ) , inf ( Ayn ) tồn tại và thuộc K . Định nghĩa 1[1]. E là một không gian Banach thực, n n  là véc tơ gốc của E. Ta nói, K là một nón của E Định nghĩa 5[1]. Toán tử tuyến tính liên tục Q gọi nếu : là đạo hàm tiệm cận của toán tử A trên nón K, nếu +) K là tập đóng, khác rỗng. W ( x) +) x, y  K , a, b  R, a, b  0  ax  by  K . Ax  Qx  W ( x) , trong đó xlim K , x  0. x +) K    K   { } 2.2 Tính chất của đạo hàm tiệm cận Ví dụ. Cho E  R và K  {( x, y)  R | x, y  0} 2 2 Định lí 1[2]. Nếu toán tử A dương trên nón K thì Khi đó K là một nón trên E. toán tử Q cũng dương trên nón K . Định nghĩa 2[1]. Cho E là một không gian Chứng minh Banach thực, K là một nón trên E. Ta có thể chỉ ra Với x  K \  ta có: A  Qx  W ( x)   (  được quan hệ “
SỐ 59/2022 KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI    Qx   , x  K \   . Qx  Ax  t0 t x  1  c  A  q   1  c  0 Axq  1  c  x0 .    q  q  q Do Q   , nên Qx   x  K . □ Định lí 2[2]. Nếu A là toán tử lõm chính quy thì 1 Hay x0  Ax (1) Qx  Ax x  K . 1  c  q 0 Chứng minh 1 Định lí hiển nhiên đúng khi x   . * Ta chứng minh A1  A là toán tử lõm 1  c  q Giả sử x  K \  . Do A là toán tử lõm, nên chính quy. Thật vậy: Hiển nhiên, toán tử A1 đơn điệu và dương trên nón K. Với x  K và t   0;1 n    c  0   1 1 1 x  1 c Ax  * A Ax . n n n tồn tại c  c  x, t   0 sao cho Atx 1  c  tAx Ta có 1 1  nx   Atx  Atx  1  c  tAx Ax  Qx 1 1 1  c  q 1  c  q   A  Qx  x x  n   1   1  c  t  Ax   1  c  tA1 x . 1 1  Anx  Qnx  1  c  q      Anx  Qx    n  1,2,.... Nên A1 là toán tử lõm chính quy. x n  nx 1 Ax  Qx * Tiếp theo ta chứng minh Q1  Q là đạo Cho n   ta được    Ax  Qx . 1  c  q x hàm tiệm cận của toán tử A1 và có bán kính phổ Vì vậy, Qx  Ax x  K . □ r  Q1   1  1 . Thật vậy: 2.3. Sự tồn tại véc tơ riêng của toán tử cực trị 1 c Định lí 3[3]. Giả sử toán tử lõm chính quy A thoả Hiển nhiên, Q1 là toán tử tuyến tính liên tục tác mãn điều kiện: dụng trong không gian E. Theo giả thiết, Q là đạo i) Toán tử A cực trị, bị chặn theo chuẩn và bị hàm tiệm cận của toán tử A theo nón K, nên chặn trên bởi phần tử u0  K \   trên nón K ; x  K : ii) Toán tử tuyến tính liên tục Q là đạo hàm W  x A  x   Q  x   W  x  sao cho lim 0, tiệm cận của A và có trong K  u0  vectơ riêng xq x  x tương ứng với giá trị riêng q  0 bằng bán kính nên phổ r(Q) của toán tử Q. W1  x  A x  Q1 x lim  lim 1 Khi đó toán tử A có trong K  u0  véctơ riêng. x  x x  x Chứng minh 1 W  x Giả sử t0 là một số cố định tuỳ ý thuộc  lim  0. t 1  c  q x x  khoảng  0;1 . Đặt x0  0 Axq . Do đó Q1 là đạo hàm tiệm cận của toán tử A1 q theo nón K. Theo Định lí 2, Qx  Axx  K . Theo định nghĩa, bán kính phổ r(Q) của toán Với số bất kì t   0;1 ta có tử tuyến tính bị chặn Q là: t  x x r (Q)  lim n Q n  q (theo giả thiết), Axq  A  xq   tA q  tQ q  Qxq  q xq . t  t t nên 1 1 1  r  Q1   lim n Q1n  lim n Q1n  1 Tồn tại số c  c  Axq , t0   0 sao cho   1  c  q 1  c q  q  Nhờ (1) ta có 1 1 t  1 1  t0 Ax0  A  0 Axq   1  c  t0 A  Axq  x0  A1 x0 với x0  Axq , t0   0;1 (2) q q  q     q   q   q t0 t0 x0  Axq  Qxq  t0 xq . q q 24 KH&CN QUI
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 59/2020 Do xq  K  u0  , tìm được số   0 sao cho 3. KẾT LUẬN xq   u0 . Do đó: x0  t0 xq   t0u0 . Trong bài báo chúng tôi đã trình bày cụ thể các khái niệm: toán tử lõm chính quy, toán tử phi tuyến Theo điều kiện i), cực trị, đạo hàm tiệm cận, đó đưa ra một vài tính 1 h chất của đạo hàm tiệm cận. Từ đó đã chứng minh x  K , A1 x  Ax  (3) 1  c  q 1  c  q được các định lý về sự tồn tại véctơ riêng của toán 1 1 tử phi tuyến cực trị. A1 x  Ax  u  y  K \   (4) 1  c  q 1  c  q 0 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hiển nhiên A1 cũng là toán tử cực trị. Các hệ thức (2), (3), (4) chứng tỏ dãy [1] Nguyễn Phụ Hy (1987), “Các điểm bất động của xn  A1 xn1 ,  n  1,2,... tăng, bị chặn trên bởi phần toán tử chính quy”, Tạp chí toán học, tập 15 (số 1), tử y0  K \   và bị chặn theo chuẩn. Từ đó và từ (tr 27 –32). tính cực trị của toán tử A1 suy ra phần tử [2] Nguyễn Phụ Hy (1989), “Về một lớp phương trình phi tuyến”, Thông tin khoa học ĐHSP Hà Nội x*   A1 xn  tồn tại và thuộc K  u0  . II, (số 2), (tr23 – 30). Các điều kiện của Định lí 1 thoả mãn tất cả các [3] Nguyễn Phụ Hy (1991), “Một số định lí về nón điều kiện của Định lí 2. Vì vậy, toán tử A1 có điểm trong không gian định chuẩn”, Thông tin khoa học bất động x*   A1 xn  thuộc K  u0  và khác không: ĐHSP Hà Nội II, (số 2), (tr2 – 8). A1 x*  x*  Ax*  1  c  q x* , nghĩa là toán tử A có véctơ riêng. KH&CN QUI 25