CẤU TRÚC CỦA TỰ ĐỒNG CẤU TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

183
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'cấu trúc của tự đồng cấu trị riêng và véc tơ riêng', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CẤU TRÚC CỦA TỰ ĐỒNG CẤU TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG

Ch¬ng 6 cÊu tróc cña tù ®ång cÊu trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng A. Tãm t¾t lý thuyÕt 1. Kh«ng gian con bÊt biÕn E lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trêng K vµ f∈L(E,E). §Þnh nghÜa: Kh«ng gian con U⊂ E gäi lµ kh«ng gian con bÊt biÕn ®èi víi f, hay f lµ tù ®ång cÊu bÊt biÕn trªn U nÕu f(U)⊂U. HÖ qu¶ : Trªn c¬ së W={ξ1,ξ2,...,ξn} ma trËn cña tù ®ång cÊu f cã d¹ng ®êng chÐo khi vµ chØ khi c¸c kh«ng gian con L{ξ1},L{ξ2},...,L{ξn} ®Òu lµ kh«ng gian con bÊt biÕn cña f. Gi¶ sö trªn mét c¬ së ®· cho tù ®ång cÊu f cã ma trËn A, nÕu ta t×m ®îc mét c¬ së W mµ trªn W ma trËn cña f cã d¹ng ®êng chÐo khi ®ã ta nãi f hay A chÐo ho¸ ®îc. 2. TrÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng §Þnh nghÜa: Sè λ∈K gäi lµ trÞ riªng cña f nÕu ∃ x≠θ cña E sao cho: f(x)= λx , x gäi lµ vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ cña f. NÕu f cã ma trËn A khi ®ã: A.x=λx vµ còng gäi x lµ vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ cña ma trËn A. HÖ qu¶ : Gäi Lλ{x} lµ kh«ng gian con sinh bëi vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ. Khi ®ã x≠θ lµ vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ cña f khi vµ chØ khi Lλ{x} lµ mét kh«ng gian con bÊt biÕn cña f trªn E. 223
3. §iÒu kiÖn ®Ó ma trËn cña tù ®ång cÊu cã d¹ng ®- êng chÐo §Þnh lý: Cho E lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh h÷u h¹n chiÒu trªn trêng K, ma trËn cña f∈L{E,E} trªn c¬ së W={ξ1,ξ2,...,ξn} cã d¹ng ®êng chÐo khi vµ chØ khi ξ1,ξ2,...,ξn lµ c¸c vÐc t¬ riªng cña f. Khi ®ã ma trËn ®êng chÐo B cña f trªn W cã c¸c phÇn tö trªn ®êng chÐo lµ c¸c trÞ riªng t¬ng øng:  λ 1 0 ... 0     0 λ 2 ... 0  B=  ...    0 0 ... λ n  HÖ qu¶ 1. Cho f cã ma trËn A, nÕu trong E cã mét c¬ së gåm c¸c vÐc t¬ riªng cña f øng víi c¸c trÞ riªng λ1,λ2,...,λn th×: : n det(A)= ∏ λi i =1 2. λ∈K lµ trÞ riªng cña f khi vµ chØ khi Ker(f-λI)≠ {θ} 4. §a thøc ®Æc trng Gi¶ sö f∈L{E,E} trªn c¬ së I={e1, e2,..., en} cã ma trËn A. NÕu x lµ vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ cña f th× f(x)=λx do ®ã Ax=λx hay x lµ nghiÖm kh«ng tÇm thêng cña hÖ thuÇn nhÊt: (A- λI)x=θ Hay (a11 − λ ) x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0  a x + (a − λ ) x + ... + a x = 0  21 1 22 2 2n n  ...  a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + (a nn − λ ) x n = 0  224
víi ma trËn c¸c hÖ sè lµ (A- λI). §Ó hÖ cã nghiÖm kh«ng tÇm thêng (x≠θ ) ta ph¶i cã: a11 − λ a12 ... a1n a 21 a 22 − λ . ... a2n det((A- λI)= =0 ... a n1 a n 2 ... a nn − λ det(A- λI) lµ mét ®a thøc bËc n cña λ, ký hiÖu PA(λ)=det(A- λI): PA(λ)=(-1)nλn+b1λn-1+....+bn-1λ+bn §Þnh nghÜa: NÕu A lµ ma trËn cña tù ®ång cÊu f, khi ®ã ®a thøc: PA(λ)=det(A- λI) gäi lµ ®a thøc ®Æc trng cña f hay ®a thøc ®Æc trng cña A vµ ph¬ng tr×nh PA(λ)=det(A- λI) =0 gäi lµ ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña chóng. HÖ qu¶ 1. λ lµ trÞ riªng cña A khi vµ chØ khi : P A(λ)=det(A- λI) =0 2. §a thøc ®Æc trng cña f kh«ng phô thuéc vµo c¬ së cña E, hay ®a thøc ®Æc trng cña c¸c ma trËn ®ång d¹ng b»ng nhau. det(B- λI) = det(A- λI) 3. Theo ®Þnh lý Viet vÒ nghiÖm cña ®a thøc ta cã: n n Vet(A)= ∑ aii = ∑ λi i =1 i =1 Chó ý: E lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh n chiÒu trªn trêng K khi ®ã: 1. NÕu K lµ trêng sè phøc C th× ∀f∈L(E,E) ®a thøc ®Æc trng cña f lu«n cã ®ñ n nghiÖm kÓ c¶ nghiÖm béi trªn C. 2. NÕu K=R th× chØ nh÷ng nghiÖm thùc cña ph¬ng tr×nh det(A-λI) =0 225
míi lµ trÞ riªng cña f. §Þnh lý: Giao cña hai kh«ng gian con sinh bëi c¸c vÐc t¬ riªng t¬ng øng víi hai trÞ riªng kh¸c nhau cña f b»ng{θ}. §Þnh lý: NÕu λ∈K lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®Æc tr- ng det(A-λI)=0 vµ h¹ng cña (A-λI)=r th× cã m =n-r vÐc t¬ riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnh øng víi cïng trÞ riªng λ. §Þnh lý: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®Æc trng det(A-λI)=0 cña ma trËn A cã p nghiÖm λ1,λ2,...,λp∈K vµ r(A-λiI)=ri (i=1,...,p). NÕu: (n-r1)+(n-r2)+...+(n-rp)=n th× trong E cã hÖ c¬ së gåm n vÐc t¬ riªng cña A vµ khi ®ã ma trËn A cã thÓ chÐo ho¸ trªn K. Chó ý: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng det(A-λI)=0 cã thÓ cã ®ñ n nghiÖm (kÓ c¶ nghiÖm kÐp) trªn K nhng nÕu (n-r1)+(n-r2)+...+(n-rp)
Mçi hä nghiÖm c¬ së cña (A-λi I).x=θ lµ tËp c¸c vÐc t¬ riªng øng víi cïng trÞ riªng λi. TËp hîp c¸c nghiÖm c¬ së thu ®îc chÝnh lµ tËp c¸c vÐc t¬ riªng cña A lµm thµnh mét c¬ së cña E. Gäi ma trËn ®· ®îc chÐo ho¸ lµ B, ma trËn chuyÓn c¬ së tõ c¬ së ban ®Çu sang c¬ së gåm c¸c vÐc t¬ riªng lµ T ta cã: B=T-1AT §ã lµ c«ng thøc chuyÓn c¬ së cña ¸nh x¹ f cã ma trËn A trªn c¬ së ban ®Çu sang c¬ së gåm c¸c vÐc t¬ riªng cña f. B. Bµi tËp 1. T×m trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña c¸c ma trËn sau  2 1  3 4  0 a a.   b.   c.    1 2  5 2  − a 0 2. Trong R3 cho ¸nh x¹: f(x,y,z)=(z,y,x) a. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng, t×m c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn cña f. b. Chøng tá ma trËn cña f cã thÓ chÐo ho¸ ®îc, t×m ma trËn chÐo ho¸. 3.T×m c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn cña tù ®ång cÊu a. f(x1,x2,x3,x4)=(x1+2x2, 2x1+x2,x3-x4, x3+x4 ) b. f(x1,x2,x3,x4)=(x1+2x2, 2x1+x2,x3+x4, x3+x4 ) c. f(x1,x2,x3,x4)=(x1+3x2, 3x1+x2,x3+x4, x3-x4 ) 4. TÝnh c¸c trÞ riªng, kiÓm tra c«ng thøc tÝnh det(A) vµ Vet(A) cña ma trËn b»ng ®Þnh nghÜa vµ c«ng thøc tÝnh qua c¸c trÞ riªng.  3 −1 0 0 0     −1 2 −1 0 0 A=  0 − 1 3 0 0     0 0 0 1 2  0 0 0 2 1   5. T×m trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña c¸c ma trËn trªn R 227
2 2 3 1 2 3 0 2 3       a.  0 1 0 b.  0 1 0 c.  0 1 0       0 0 1 0 0 2 0 0 2  1 1 0 1 − 3 4  7 − 12 6        d.  − 1 2 1 e.  4 − 7 8 f. 10 − 19 10      12 − 24 13   1 0 1 6 − 7 7    2 − 1 2  0 1 0 4 − 5 2       g.  5 − 3 3  h.  − 4 4 0 i.  5 − 7 3        − 1 0 − 2  − 2 1 2 6 − 9 4 6. T×m c¸c trÞ riªng vµ c¸c vÐc t¬ riªng 2 1 0 0   1 0 0 0     1 1 0 0   0 0 0 0 a.  b.  0 0 3 2 1 0 0 0     0 0 1 0   0 0 0 1   3 − 1 0 0 0 0 0 1     1 1 0 0 0 0 1 0 c.  d.  3 0 5 − 3 0 1 0 0     4 − 1 3 − 1 1 0 0 0   1 1 1 1  1 0 0 0     e.   1 1 − 1 − 1  f.  1 1 0 0 1 − 1 1 − 1 1 1 1 0      1 − 1 − 1 1  1 1 1 1 7. T×m c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn cña tù ®ång cÊu sau a. f(x1, x2,..., xn) = (x1, 2x2,..., nxn) b. f(x1, x2,..., xn) = (x1, 22x2,..., n2xn) c. f(x1, x2, x3,x4) = (x1, x2+ x3, x3+ x4, x2+ x3) 228
8. T×m ma trËn T vµ ma trËn chÐo B mµ B=T -1AT trªn C cña c¸c ma trËn A sau  0 0 1 3 − i 0  cosϕ − sin ϕ      a. A=   b. A=  1 0 0 c. A=  i 3 0   sin ϕ cosϕ       0 1 0  0 0 4 9. T×m c¸c trÞ riªng cña c¸c ma trËn  0 x x ... x     a1 a2 ... an   y 0 x ... x    a.  y y 0 ... x  b.  an a1 ... an −1     ...   ...       a2 a3 ... a1   y y y ... 0  4 + 3i 5i − 6 − 2i    c. A=  − 5i 4 − 3i − 2 − 6i   6 + 2i 2 + 6i 1    10. T×m c¸c kh«ng gian con cña R3 mµ bÊt biÕn trong phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh víi ma trËn  4 − 2 2 1 2 1 0 0 1       a.  2 0 2  b.  0 1 0  c.  0 1 0    0 0 2    − 1 1 1   1 0 0 11. Chøng tá A,B cã thÓ chÐo ho¸. T×m ®a thøc ®Æc trng cña A,B. 0 0 ... 0 a1   0 ... 0 a      0 0 ... a 2 0  0 ... a 0  ...  a. A=   ...  b. B=     0 a 2 ... 0 0   a ... 0 0     a1 0 ... 0 0  12. Cho f(a0+a1t+a2t2)=(a0+2a1+2a2)+(a1+a2)t+a2t2 T×m c¸c trÞ riªng vµ c¸c vÐc t¬ riªng t¬ng øng cña f. 229
13. §a tù ®ång cÊu f(a0+a1t+a2t2)=(a0+a2)+(a1-2a2)t+(2a0-a1+a2)t2 vÒ d¹ng ®êng chÐo. 14. Trªn P2(t) cho f(a0+a1t+a2t2)=2a0+(a0+2a1)t+ (a0+a1+2a2)t2 a. Chøng tá f lµ mét tù ®ång cÊu. b. LËp ma trËn cña f trªn c¬ së {1,t,t 2}, f cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? 15. Trªn P2(t) cho f(a0+a1t+a2t2)=a0+(a0+2a1)t+(a1+3a2)t2 a. Chøng tá f lµ mét tù ®ång cÊu. b. LËp ma trËn cña f trªn c¬ së {1,t,t 2}, f cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? NÕu ®îc h·y chÐo ho¸ f. 16. Trªn P2(t) cho f(a0+a1t+a2t2)=(2a0+a1)+(a0+2a1+a2)t+ 2 (a1+2a2)t a. Chøng tá f lµ mét tù ®ång cÊu. b. LËp ma trËn cña f trªn c¬ së {1,t,t 2}, f cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? ChÐo ho¸ f vµ t×m ma trËn chuyÓn c¬ së. 17. Trªn P3(t) cho f(a0+a1t+a2t2+a3t3)=2a0+(a0+2a1)t+(a1+2a2)t2+ 3 (a2+2a3)t a. Chøng tá f lµ mét tù ®ång cÊu. b. LËp ma trËn cña f trªn c¬ së {1,t,t 2,t3}, f cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? 18. Trªn P3(t) cho f(a0+a1t+a2t2+a3t3)=a0+(a0+2a1)t+(a1+3a2)t2+ (a2+4a3)t3 a. Chøng tá f lµ mét tù ®ång cÊu. b. LËp ma trËn cña f trªn c¬ së {1,t,t 2,t3}, f cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? ChÐo ho¸ f vµ t×m ma trËn chuyÓn c¬ së. 19. Chøng minh r»ng mäi kh«ng gian con bÊt biÕn víi ¸nh x¹ kh«ng suy biÕn f th× còng bÊt biÕn víi f -1. 230
20. Chøng minh r»ng mäi tù ®ång cÊu f trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh n chiÒu trªn c¬ së e1, e2,..., en cã d¹ng ma trËn khèi  A B a.   θ C  trong ®ã A lµ ma trËn vu«ng cÊp k
n e. Vet(A)= ∑λ i =1 i (λi (i=1,2,...,n) lµ c¸c trÞ riªng cña A). 25. Víi mçi trÞ riªng λ cña ma trËn vu«ng A cÊp n, vµ mçi sè nguyªn d¬ng k, chøng minh r»ng λk lµ trÞ riªng cña ma trËn Ak. H¬n n÷a, nÕu u thuéc R n lµ vÐc t¬ riªng cña A øng víi trÞ riªng λ th× u còng lµ trÞ riªng cña Ak øng víi trÞ riªng λk. 26. Ma trËn vu«ng A gäi lµ luü linh nÕu vµ chØ nÕu A k =θ víi sè nguyªn d¬ng k nµo ®ã. Chøng minh r»ng trÞ riªng cña ma trËn luü linh A b»ng 0. 27. Gäi Pn lµ kh«ng gian mäi ®a thøc cã bËc nhá h¬n hoÆc b»ng n. X¸c ®Þnh TrÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña c¸c ¸nh x¹ sau ®©y a. f: x(t)→x’(t) b. f: x(t)→ t.x’(t) víi x(t)=a0+a1t+...+antn A θ  28. Cho D=  θ  trong ®ã A,B lµ c¸c ma trËn  B vu«ng. Chøng minh r»ng mäi trÞ riªng cña A,B ®Òu lµ trÞ riªng cña D.  a b  29. Trªn kh«ng gian M2x2=  A =  c  cho   d    a a+b  f(A)= a + b + c a + b + c + d    a. Chøng tá f lµ mét tù ®ång cÊu trªn M2x2. b. T×m ma trËn cña f, f cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? 30. Trªn kh«ng gian M2x2 cho  a a + 2b  f(A)=   a + b + 3c a + b + c + 4d     a. T×m ma trËn cña f. 232
b. f cã chÐo ho¸ ®îc kh«ng? NÕu ®îc h·y chÐo ho¸ ma trËn cña f. 31. Chøng minh r»ng nÕu f cã n trÞ riªng kh¸c nhau λ1,λ2,...,λn øng víi n vÐc t¬ riªng ξ1,ξ2,...,ξn, gäi Ei=L{ξi} (i=1,2,...,n) khi ®ã: E=E1⊕ E2⊕...⊕En lµ tæng trùc tiÕp cña c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn mét chiÒu, vµ mäi x∈E ®Òu cã duy nhÊt c¸c biÓu diÔn: x=x1ξ1+x2ξ2+...+xnξn =(x1,x2,...,xn) f(x)=λ1x1ξ1+λ2x2ξ2+... +λnxnξ =(λ1x1,λ2x2,...,λnxn) n C. Lêi gi¶i, híng dÉn hoÆc ®¸p sè 1. a. λ1=1 u1=(1,-1) λ2=3 u2=(1,1) b. λ1=7 u =(1,1) λ2=-2 1 u2=(-4,5) c. λ1=ia u1=(1,i) λ2=-ia u2=(1,-i) 2.a. Ta thÊy trªn c¬ së chÝnh t¾c f cã ma trËn: 0 0 1 1  − 1  0     2   3   A=  0 1 0 XÐt c¬ së ξ =  0 ξ =  0  ξ =  1 1         1 0 0 1  1  0 Khi ®ã ta cã: Aξ1=ξ1 Aξ2=- ξ2 Aξ3= ξ3 Chøng tá E1=L{ξ }, E2=L{ξ },E3=L{ ξ3} 1 2 lµ c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn cña f. VËy c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn cña f lµ: L{ξ1},L{ξ2},L{ ξ3}, L{ξ1,ξ2}, L{ξ1,ξ3},L{ξ2,ξ3} b. V× r(A)=3 trªn c¬ së W{ ξ1, ξ2, ξ3 } f cã ma trËn ®- 1 0 0   êng chÐo: B-=  0 − 1 0   0 0 1 3.a. Trªn c¬ së chÝnh t¾c f cã ma trËn: 233
1 2 0 0   2 1 0 0 A=  0 0 1 −1    0 0 1 1   1− λ 2 1− λ −1 Det(A-λI)= . ={(1-λ)2-4}{(1-λ)2+1}=0 2 1− λ 1 1− λ Cã c¸c nghiÖm λ1=-1, λ2=3 víi c¸c vÐc t¬ riªng t¬ng øng: 1  1  1  1  0 0              − 1 2 1   − 1 2 1  3  0  4  0  ξ1=   ξ =   , trªn c.s ξ1=   ξ =   e =   e =   0 0 0 0 1 0             0   0 0  0 0 1              −1 0 0 0    0 3 0 0 f cã ma trËn B=  0 0 1 −1     0 0 1 1   nªn c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn cña f lµ: L{ξ1},L{ξ2}, L{e3,e4}, L{ξ1,ξ2}, L{ξ1,e3,e4}, L{ξ2,e3,e4}. 1 2 0 0    2 1 0 0 b. Ma trËn cña f lµ: A=  , cã c¸c trÞ 0 0 1 1   0 0 1 1    riªng: λ1 = −1 , λ 2 = 3 , λ3 = 0 , λ 4 = −2 . Víi c¸c vÐc t¬ riªng t¬ng øng: 234
1   − 1 0  0           − 1 2  − 1 3  0  4  0  ξ 1 =   , ξ =   , ξ =   ,ξ =   0 0 1 −1         0  0   − 1  − 1         Mäi kh«ng gian con sinh bëi hä bÊt kú c¸c vÐc t¬ riªng trªn ®Òu lµ kh«ng gian con bÊt biÕn. 1 3 0 0   3 1 0 0 c. Ma trËn cña f lµ: A=  cã c¸c trÞ riªng 0 0 1 1   0 0 1 −1    lµ: λ1 = −2 , λ 2 = 4 , λ3 = 2 , λ 4 = − 2 . Víi c¸c vÐc t¬ riªng t- ¬ng øng: 1   − 1  0   0           − 1 2  − 1 3  0  4  0  ξ 1 =   , ξ =   ,ξ =   ,ξ =   0   0   −1− 2  −1+ 2  0  0   −1   −1          Mäi kh«ng gian con sinh bëi hä bÊt kú c¸c vÐc t¬ riªng trªn ®Òu lµ kh«ng gian con bÊt biÕn. 4. Ta cã ph¬ng tr×nh ®Æc trng 3−λ −1 0 1− λ 2 det(A- λI)= − 1 2 − λ −1 2 1− λ 0 −1 3 − λ =-(λ3-8λ2+19λ-12){(1-λ)2-4}=0 ta cã c¸c trÞ riªng lµ: λ1=1, λ2=3 béi 2, λ3=4, λ4=-1 vµ: det(A)=1.32.4.(-1)=-36 vµ Vet(A)=10 5. a. Ph¬ng tr×nh ®Æc trng 235
2−λ 2 3 det(A-λI)= 0 1− λ 0 =(2-λ)(1-λ)2=0 0 0 1− λ cã 2 nghiÖm λ1=2, λ2 =1 béi hai trªn R. Víi λ1 =2 ma trËn A-2I cã h¹ng r=2 nªn hÖ thuÇn nhÊt  0 2 3  x1   0  1         0 − 1 0  x2  =  0 cã nghiÖm c¬ së: u =  0 1         0 0 − 1  x3   0  0 Víi λ2=1 ma trËn A-I cã h¹ng r=1 nªn hÖ thuÇn nhÊt  1 2 3  x1   0  2        3  0 0 0  x2  =  0 cã nghiÖm c¬ së: u =  − 1 u = 2         0 0 0  x3   0  0  3    0    − 1 ®ã lµ hai vÐc t¬ riªng øng víi cïng trÞ riªng λ2=1 Gäi B lµ ma trËn chÐo, T lµ ma trËn chuyÓn c¬ së, ta cã:  2 0 0 1 2 3     B=  0 1 0 T=  0 − 1 0  vµ B=T –1AT   0 0 − 1  0 0 1   b. Ph¬ng tr×nh ®Æc trng 1− λ 2 3 det(A-λI)= 0 1− λ 0 =(2-λ)(1-λ)2=0 0 0 2−λ cã 2 nghiÖm λ1=2, λ2 =1 béi hai trªn R. Víi λ1 =2 ma trËn A-2I cã h¹ng r=2 nªn hÖ thuÇn nhÊt 236
−1 2 3  x1   0  − 3          0 −1 1 0  x2  =  0 cã nghiÖm c¬ së: u =  0           0 0 0  x3   0  − 1 Víi λ2=1 ma trËnA-I cã h¹ng r=2 nªn hÖ thuÇn nhÊt  0 2 3  x1   0  1      2    0 0 0  x2  =  0 cã nghiÖm c¬ së: u =  0         0 0 1  x3   0  0 ®ã lµ vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ2=1. V× chØ cã hai vÐc t¬ riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn kh«ng chÐo ho¸ ®îc A. c. Ph¬ng tr×nh ®Æc trng −λ 2 3 det(A-λI)= 0 1− λ 0 =-λ (2-λ)(1-λ)=0 0 0 2−λ cã 3 nghiÖm λ1=0, λ2 =1, λ3 =2 trªn R. Víi λ1 =0 ma trËn A-0I cã h¹ng r=2 nªn hÖ thuÇn nhÊt  0 2 3  x1   0  1      1    0 1 0  x2  =  0 cã nghiÖm c¬ së: u =  0         0 0 2  x3   0  0 ®ã lµ vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ1=0 Víi λ2=1 ma trËn A-I cã h¹ng r=2 nªn hÖ thuÇn nhÊt  − 1 2 3  x1   0  2         0 0 0  x2  =  0 cã nghiÖm c¬ së: u =  1  2       0  0 0 1  x3   0   Víi λ3=2 ma trËn A-2I cã h¹ng r=2 nªn hÖ thuÇn nhÊt 237
 − 2 2 3  x1   0  3          0 − 1 0  x2  =  0 cã nghiÖm c¬ së: u =  0  3       2   0 0 0  x3   0   ®ã lµ vÐc t¬ riªng øng víi trÞ riªng λ3=2. Ma trËn chÐo B vµ ma trËn chuyÓn c¬ së T lµ:  0 0 0 1 2 3     B=  0 1 0 T=  0 1 0   0 0 2  0 0 2   d. λ1=2 u1=(1,1,1) e. λ1=3 u1=(1,2,2) λ2=λ3=-1 u2=(1,2,1) f. λ1=λ2=1 u1=(2,1,0) u2=(-1 ,0 1) λ3=-1 u3=(3,5,6) g. λ1=λ2=λ3=-1 u=(1,1,-1) h. λ1=λ2=λ3=2 u1=(1,2,0) u2=(0,0,1) φ i. λ1=λ2=0 u1=(1,2,3) λ3=1 u3=(1,1,1) 6. a. Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã c¸c nghiÖm: 3+ 5 3− 5 3 + 17 3 − 17 λ1 = , λ2 = , λ3 = , λ4 = 2 2 2 2 C¸c vÐc t¬ riªng t¬ng øng lµ: 238
 1+ 5   −1+ 5   3 + 17  −       2   2   2  ξ1=  − 1 , ξ = −1  , 2  ξ3=  1 , ξ4=       0   0   0   0   0   0         3 − 17     2   1     0   0    b. λ1=λ2=0 u1=(0,1,0,0) u2=(0,0,1,0) λ3=λ4=1 u3=(0,0,0,1) u4=(1,0,1,0) c. λ1=λ2=λ3=λ4=2 u1=(1,1,-1,0) u2=(1,1,0,1) d. λ1=λ2=1 λ3=λ4=-1 u1=(0,1,-1,0) u2=(1,0,0,-1) u3=(0,1,1,0) u4=(1,0,0,1) e. λ1=-2 u1=(1,-1,-1,-1) λ2=2 (béi 3) u2=(1,0,0,1) u3=(1,0,1,0) u3=(1,1,0,0) f. λ1=1 (béi 4) u1=(0,0,0,1) 7. T¬ng øng f cã ma trËn lµ: 1 0 ... 0  1 0 ... 0  1 0 0 0         0 2 ... 0   0 2 2 ... 0   0 1 1 0 A=   B=  ...  C=  0 0 1 1 ...        0 0 ... n   0 0 ... n 2   0 1 1 0       a. f Cã c¸c trÞ riªng lµ λk=k (k= 1, n ). b. f Cã c¸c trÞ riªng lµ λk=k2 (k= 1, n ).C¬ së chÝnh t¾c cña Rn chÝnh lµ c¬ së gåm c¸c vÐc t¬ riªng. VËy mäi kh«ng gian con sinh bëi hÖ con bÊt kú cña hÖ c¬ së chÝnh t¾c ®Òu lµ bÊt biÕn. 239
c. Cã c¸c trÞ riªng: λ1=1, λ2=2, λ3=0. Víi c¸c vÐc t¬ riªng t¬ng øng lµ: 1  0 0         0  2 1  3  − 1 ξ =  , ξ =  , ξ =   1 0 1 1       0 1   − 1       Trªn c¬ së ξ , ξ , ξ , e f cã ma trËn: 1 2 3 4 1 0 0 0    0 2 0 0 F=  0 0 0 1   0 0 0 0   VËy c¸c kh«ng gian con bÊt biÕn lµ c¸c kh«ng gian con sinh bëi hÖ con cña {ξ1,ξ2,ξ3} vµ L{ξ3,e3}. 8.a. Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cos ϕ − λ − sin ϕ det(A- λI)= = λ2 - 2 cosϕ . sin ϕ cos ϕ − λ λ+1=0 cã hai nghiÖm λ1 = cosϕ +i.sinϕ , λ2 = cosϕ - i.sinϕ ∈C. Víi λ1 = cosϕ +i.sinϕ hÖ ph¬ng tr×nh: − i. sin ϕ .x − sin ϕ . y = 0  1 cho vÐc t¬ riªng ξ =   1  − i  sin ϕ .x − i. sin ϕ . y = 0   Víi λ2 = cosϕ -i.sinϕ hÖ ph¬ng tr×nh: i. sin ϕ .x − sin ϕ . y = 0 1 cho vÐc t¬ riªng ξ =   1  i   sin ϕ .x i. sin ϕ . y = 0    cos ϕ + i. sin ϕ 0   1 1 VËy B=    T=   − i   0 cos ϕ − i sin ϕ   i  b. Ph¬ng tr×nh ®Æc trng: det(A-λ.I)=(1- λ)(λ2+λ+1)=0 240
cã c¸c nghiÖm λ1=1, λ2=e=cos(2π/3)+i.sin(2π/3), λ3=e2. HiÓn nhiªn trªn R kh«ng thÓ chÐo ho¸ ®îc A. Víi λ1=1 ma trËn( A-λ1.I) cã h¹ng r=2 nªn hÖ ph¬ng tr×nh  − 1 0 1  x1   0 1          1 − 1 0  x2  =  0 cã nghiªm c¬ së ξ = 1 1       1  0 1 − 1  x3   0   Víi λ2=e ma trËn (A-λ2.I) cã h¹ng r=2 nªn hÖ ph¬ng tr×nh  − e 0 1  x1   0 e           1 − e 0  x2  =  0 cã nghiªm c¬ së ξ2= 1         2  0 1 − e  x3   0 e  Víi λ3=e2 ma trËn (A-λ3.I) cã h¹ng r=2 nªn hÖ ph¬ng tr×nh  − e 2 0 1   x   0 e2  e2     1        1 − e 2 0   x2  =  0 cã nghiÖm c.s ξ3= 1  = 1        4  e   0 1 − e 2   x3   0 e    Ma trËn chuyÓn c¬ së vµ ma trËn cña f trong c¬ së míi lµ  1 e e2  1 0 0      T=  1 1 1  B=  0 e 0  vµ B=T-1AT      1 e2 e   0 0 e2  4 0 0 −1 −i 0     c. B=  0 4 0 T=  i 1 0 0 0 2 0 0 1     −λ x x ... x y −λ x ... x 9. a. A − λI = ... y y y ... − λ 241
−λ x ... 0 −λ x ... x y −λ ... 0 y −λ ... x = + ... ... y y ... − λ − x y y ... x §Æt x lµm thõa sè chung cho cét n vµ lÊy hµng trªn trõ hµng díi trong ®Þnh thøc hai ®îc: A − λI = −(λ + x ) Dn −1 + (−1) n −1 x(λ + y ) n −1 = 0 Ta ®îc ph¬ng tr×nh ®Æc trng: (λ + y ) n + (λ + x) n −1 (λy − λx − λ − x ) = 0 x α .ε k − α n 2kπ 2kπ §Æt = α n , λk = y , ε k = cos + i sin y 1 − α .ε k n n (k=0,1,...,n-1) b. §Æt a1 − λ = a'1 a1 − λ a 2 ... a n a '1 a 2 ... a n an a1 − λ ... a n −1 an a '1 ... a n −1 A − λI = = ... ... a2 a3 ... a1 − λ a2 a3 ... a '1 XÐt Pn ( x) = a '1 + a 2 x + ... + a n x n −1 Gäi xi (i= 1, n ) lµ c¨n bËc n cña 1, do: n −1 xif(xi)=an+a’1xi+...+an-1 xi Ta cã: a '1 a 2 ... a n 1 1 ... 1 1 1 ... 1 a n a '1 ...a n −1 x1 x 2 ... x n x1 x 2 ... x n =f(x1)...f(xn) ... ... ... a 2 a3 ... a'1 x1n −1 x 2 −1 ... x n −1 n n x1n −1 x 2 −1 ... x n −1 n n VËy 242