zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Chia sẻ: Hoathachthao | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Báo xấu

44
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 cung cấp cho người học những kiến thức như: Trị riêng, véctơ riêng của ma trận; Chéo hóa ma trận; Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao; Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính; Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - ThS. Lê Nhật Nguyên

Chương 4: Trị riêng, véctơ riêng
Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 4.2 – Chéo hóa ma trận. 4.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao. 4.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính. 4.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính.
4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Số  được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác không, sao cho Ax   x . Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A tương ứng với trị riêng  .
4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử 0 là trị riêng của ma trận A  x 0  0 : A x 0  0x 0  A x 0  0x 0  0  (A  0I )x 0  0 Hệ thuần nhất có nghiệm khác không  det(A  0I )  0 det( A   I )  0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận vuông A. Đa thức PA ( )  det( A   I ) gọi là đa thức đặc trưng của A. Vậy  là trị riêng khi và chỉ khi  là nghiệm của phương trình đặc trưng.
4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Bội đại số của trị riêng  là bội của trị riêng  trong phương trình đặc trưng. Định nghĩa Không gian nghiệm của hệ (A  1I )X  0 được gọi là không gian con riêng ứng với TR 1 , ký hiệu E 1 Định nghĩa Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêng tương ứng với trị riêng đó.
4.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng (tức là cùng chung tập trị riêng). Giả sử hai ma trận A và B đồng dạng, tức là (P ) P 1A P  B . det(B   I )  det(P 1A P   I )  det(P 1A P   P 1IP )  det(P 1 (A   I )P )  det(P 1 ).det( A   I ).det( P )  det(A   I ) Vậy A và B cùng đa thức đặc trưng. Chú ý. Hai ma trận đồng dạng có cùng trị riêng nhưng các véctơ riêng thì khác nhau.
4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  3 1 1   Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của Ví dụ. A  2 4 2   các kgian con riêng ứng. 1 1 3   Lập phương trình đặc trưng của A: det( A   I )  0 3 1 1  2 4 2  0  (  2)2 (  6)1  0 1 1 3 Trị riêng 1  2 BĐS = 2 BHH chưa biết? Trị riêng 2  6 BĐS = 1 BHH = 1
4.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tìm cơ sở, chiều của kgian con riêng ứng với 1  2. 3 2 1 1  x 1  ( A  1I ) X  0  2 42 2  x 2   0     1 1 3  2  x    3  Giải hệ bằng cách biến đổi ma trận hệ số ta được nghiệm tổng quát  x1  1 0  1   0   là cơ sở của kgian  x   x  0   x  1    0  ,  1   con riêng E   E 2  2  1  2        1 x   1  1  1  1  dim(E  )  2  3          1 Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian con riêng ứng với trị riêng 2  6.
4.2 Chéo hóa ma trận ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Định nghĩa Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với ma trận chéo. Tức là tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho P 1A P  D trong đó D là ma trận chéo.  1 0  0  0      2  D    0 0  0    k
4.2 Chéo hóa ma trận ------------------------------------------------------------------------------------------ Định lý Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại n véctơ riêng độc lập tuyến tính. Hệ quả 1. Nếu ma trận vuông A cấp n có đúng n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được. Hệ quả 2 (thường sử dụng trong bài tập) Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình học của mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng.
4.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Các bước chéo hóa ma trận vuông A cấp n. Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng. Xác định bội đại số của từng trị riêng. Bước 2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị riêng. Tìm cơ sở của các không gian con riêng. Xác định bội hình học của trị riêng. Bước 3. Nếu bội hình học của một TR nào đó nhỏ hơn BĐS của TR này thì A không chéo hóa được. Giả sử hệ quả 2 thỏa, suy ra A chéo hóa được. Ma trận P có các cột là các cơ sở của những kgian con riêng. Các phần tử trên đường chéo chính của D là các trị riêng.
4.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Chéo hóa ma trận A (nếu được). 1 3 3 A  3 5 3    3 3 1  Bước 1. Tìm tất cả các trị riêng của A 0  det( A   I )   3  3 2  4  (  1)(  2) 2 1  1 Bội đại số = 1 Bội hình học = 1 2  2 Bội đại số = 2 Bội hình học = ?
4.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bước 2. Tìm 3 véctơ riêng độc lập tuyến tính của A 1  1 Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.  0 3 3   x1   0   A  1I  X   3 6 3   x2    0   3 3 0  x   0   3    1   Cơ sở : E (1  1) v1  1   1    1  1 Cơ sở : E (2  2) u2   1  ; u3   0      0 1    
4.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bước 3. BHH của 2  dim(E  )  2 = BĐS của 2 . 2 BHH của 1  dim( E  )  1 = BĐS của 1 . 1 Vậy A chéo hóa được.  1 1 1 Thiết lập ma trận P: P   1 1 0     1 0 1  1 0 0  Thiết lập ma trận D: D   0 2 0     0 0 2  Chú ý: các cột của ma trận P có thể đổi chổ cho nhau, miễn sao TR và VTR tương ứng nằm trên cùng một cột.
4.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 6. Chéo hóa ma trận A (nếu được). 2 4 3 A   4 6 3    3 3 1  0  det( A   I )   3  3 2  4  (  1)(  2) 2 1  1 Cơ sở : 1  1 u1   1 Cơ sở: 2  2 u2   1      1 0     BĐS của 2  2 là 2 lớn hơn BHH của 2 . Suy ra A không chéo hóa được.
4.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. a) Chéo hóa ma trận A nếu được. 5 0 0 0 0 5 0 0 A   1 4 3 0   1 2 0 3   b) Tính A100 0  det( A   I )  (  5) 2 (  3) 2  8   16   4  4  Cơ sở của E (1  5) u1    ; u2    1  0   0  1     
4.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0  0 0  0 Cơ sở của E  2  3 u3    ; u4    1  0 0 1      8 16 0 0 5 0 0 0  4 4 0 0 0 5 0 0  P   D  1 0 1 0 0 0 3 0  0 1 0 1  0 0 0 3    P 1 AP  D  A  PDP 1  A100  ( PDP 1 )  ( PDP 1 ) ( PDP 1 )  ( PDP 1 )  A100  PD( P 1P) DP 1  PD ( P 1P ) DP 1  A 100  PD 100 P 1
4.2 Chéo hóa ma trận --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Tìm ma trận vuông thực cấp 3 có ba trị riêng là 2, -3, 1 2 1 1 x có 3 véctơ riêng tương ứng là 1   1  ; x   2  ; x   1    2   3   1 1 1       A chéo hóa được bởi ma trận P và ma trận D như sau:  2 1 1 2 0 0 P   1 2 1 D   0 3 0       1 1 1 0 0 1     Suy ra ma trận vuông cần tìm là A  PDP 1
4.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa ma trận đối xứng thực Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i = 1,….n và j =1,…,n được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT) Định nghĩa ma trận trực giao Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu A-1=AT.  1/ 2 1/ 18 2 / 3    P 0 4 / 18 1/ 3     1/ 2 1/ 18 2 / 3 
4.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Để thiết lập ma trận trực giao ta dùng hệ quả sau. Hệ quả Ma trận vuông A là ma trận trực giao nếu các cột của A tạo nên họ trực chuẩn. Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là chéo hóa trực giao nếu tồn tại ma trận trực giao P và ma trận chéo D sao cho P-1AP = PTAP=D.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.