Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán giá trị riêng bậc hai

Chia sẻ: Tri Lễ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn này gồm hai chương trình bày khái niệm về bài toán giá trị riêng bậc hai, tính chất và ứng dụng của bài toán giá trị riêng bậc hai; một vài phương pháp giải bài toán giá trị riêng bậc hai. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán giá trị riêng bậc hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ NHO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG BẬC HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ NHO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG BẬC HAI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2017
3 Mục lục Mở đầu 1 Danh sách ký hiệu 2 1 Bài toán giá trị riêng bậc hai 3 1.1 Bài toán giá trị riêng tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Một số thuật toán tìm giá trị riêng . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Bài toán giá trị riêng suy rộng . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Bài toán giá trị riêng bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Tuyến tính hóa bài toán giá trị riêng bậc hai . . . . . 15 1.2.3 Bộ ba Jordan của Q(λ ) . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.4 Một số tính chất của bài toán giá trị riêng bậc hai . . 19 1.3 Một số ứng dụng khác của bài toán giá trị riêng bậc hai . . . 21 1.3.1 Biểu diễn nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Bài toán hạn chế bình phương nhỏ nhất . . . . . . . 22 1.3.3 Một vài ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Giải số bài toán giá trị riêng bậc hai 26 2.1 Phương pháp số cho bài toán đặc . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 2.1.2 Phân tích Schur thực suy rộng . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Phương pháp số cho bài toán thưa . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36
1 Mở đầu Trong chương trình đại học sinh viên chỉ được giới thiệu bài toán giá trị riêng bậc một tiêu chuẩn. Trong khi đó, có rất nhiều bài toán, đặc biệt là trong lĩnh vực cơ học, được qui về bài toán giá trị riêng bậc hai, ta có thể đưa về bài toán giá trị riêng suy rộng bậc một, nhưng mặt khác có thể nghiên cứu độc lập. Trong luận văn này chúng tôi sẽ tìm hiểu và trình bày "Bài toán giá trị riêng bậc hai". Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn này gồm hai chương. Chương 1: Bài toán giá trị riêng bậc hai. Chương này chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán giá trị riêng bậc hai, tính chất và ứng dụng của bài toán giá trị riêng bậc hai. Chương 2: Giải số bài toán giá trị riêng bậc hai. Chương này trình bày một vài phương pháp giải bài toán giá trị riêng bậc hai. Chúng tôi chia bài toán ra hai loại dựa trên kích thước bài toán và dạng dữ liệu. Bài toán đặc (thông thường) và cỡ của bài toán nhỏ. Còn bài toán thưa là bài toán có kích cỡ lớn nhưng dữ liệu dạng thưa. Căn cứ vào đặc điểm của từng bài toán, phương pháp giải cũng có nhiều khác biệt. Chúng tôi trình bày phương pháp Newton và phương pháp phân tích Schur cho bài toán đặc và phương pháp dựa trên không gian con Krylov cho bài toán thưa. Ngoài ra có thêm một vài ví dụ số để minh họa cho các phương pháp trên. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Em muốn gửi lời biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo TS. Nguyễn Thanh Sơn đã giúp đỡ, hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để em hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, gia đình
1 tôi và các bạn lớp cao học toán K9Y đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học cao học và thực hiện bản luận văn này. Trong quá trình viết luận văn không tránh khỏi sai sót rất mong nhận được sự góp ý chân thành của độc giả. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Phí Thị Nho
2 Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: A ma trận A. AT chuyển vị của ma trận thực A. A∗ = (A)T liên hợp phức của ma trận A. A liên hợp của số phức của ma trận A. ker(A) nhân của ma trận A. span(A) không gian con sinh bởi các cột của ma trận A. A > 0 (A ≥ 0) ma trận A xác định dương (nửa xác định dương). deg(P) bậc của đa thức P. det(A) định thức của ma trận A. rank(B) hạng của ma trận B. QEP bài toán giá trị riêng bậc hai. ||x|| chuẩn Ơclit. ∇P gradien của P. K j (x, A) không gian con Krylov .
3 Chương 1 Bài toán giá trị riêng bậc hai Nội dung chính của chương này là định nghĩa, tính chất và một số ứng dụng của bài toán giá trị riêng bậc hai. Tuy nhiên, chúng tôi cũng dành một thời lượng đáng kể cho việc trình bày bài toán giá trị riêng tiêu chuẩn và bài toán giá trị riêng suy rộng. Lí do chính là ta có thể chuyển một bài toán giá trị riêng bậc hai về bài toán giá trị riêng bậc một để giải. Thêm vào đó, nhiều phương pháp giải số bài toán bậc hai cũng xuất phát từ những ý tưởng tương tự cho bài toán bậc một. Khi viết chương này chúng tôi đã tham khảo các tài liệu [1–3]. 1.1 Bài toán giá trị riêng tiêu chuẩn 1.1.1 Khái niệm Định nghĩa 1.1.1. Cho một ma trận vuông A ∈ Rn×n . Tìm đại lượng vô hướng λ ∈ R và véc tơ x ∈ Rn , x 6= 0, sao cho: Ax = λ x (1.1) hay (A − λ I)x = 0 (1.2) có một nghiệm không tầm thường. Cho cặp (λ , x) là một nghiệm của (1.1) hoặc (1.2) tương ứng thì (1) λ được gọi là một giá trị riêng của A;
4 (2) x được gọi là một véc tơ riêng của A; (3) (λ , x) được gọi là cặp riêng của A; (4) Đặt σ (A) của tất cả các giá trị riêng của A được gọi là phổ của A; (5) Tất cả các véc tơ riêng có cùng giá trị riêng λ cùng với véc tơ 0 tạo thành một không gian con tuyến tính của R gọi là không gian riêng của λ ; (6) Một nghiệm không tầm thường y của y∗ A = λ y∗ được gọi là véc tơ riêng trái tương ứng với λ . Một véc tơ riêng trái của A là một véc tơ riêng phải của AT tương ứng với các giá trị riêng λ , ta viết : AT y = λ y. 1.1.2 Một số thuật toán tìm giá trị riêng • Cơ sở trực giao cho không gian Krylov Cho không gian con Krylov K j (x) = K j (x, A) ta có thể lấy {x, Ax, ..., A( j−1) x}, làm hệ sinh. Tuy nhiên các vectơ Ak x hội tụ đến vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng có modul lớn nhất của A nên chúng sẽ sớm có xu hướng phụ thuộc tuyến tính. Do đó quá trình trực giao hoá Gram-Schmidt được áp dụng cho các vectơ trong cơ sở này để tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian Krylov. Giả sử {q1 , q2 , ..., qi } là cơ sở trực chuẩn cho K i (x), ở đây i ≤ j. Chúng ta xây dựng vectơ q j+1 bằng cách trực chuẩn hóa A j x với q1 , q2 , ..., q j j y j := A x − ∑ qi q∗i A j x, j i=1 và sau đó chuẩn hóa các vectơ kết quả q j+1 = y j /||y j ||.
5 Ta được {q1 , q2 , ..., q j+1 } là một cơ sở trực chuẩn của K j+1 (x), gọi chung là cơ sở Arnoldi. Các vectơ được gọi là vectơ Arnoldi tương ứng. Các vectơ qi có thể được tính như sau K j+1 (x, A) = ℜ([x, Ax, ..., A j x]), (q1 = x/||x||), = ℜ([q1 , Aq1 , ..., A j q1 ]) (Aq1 = αq1 + β q2 , β 6= 0), = ℜ([q1 , αq1 + β q2 , A(αq1 + β q2 ), ..., A j−1 (αq1 + β q2 )]), = ℜ([q1 , q2 , Aq2 , ..., A j−1 q2 ]), .. . = ℜ([q1 , q2 , ..., q j−1 , Aq j ]). Vì vậy, thay vì trực chuẩn hoá A j q1 với q1 , q2 , ..., q j , chúng ta có thể trực chuẩn hoá Aq j với q1 , q2 , ..., q j để có được q j+1 . Điều này có lợi về mặt tính toán vì sẽ giúp giảm số phép tính cần thực hiện. Các thành phần r j của Aq j trực chuẩn với q1 , q2 , ..., q j được cho bởi j r j = Aq j − ∑ qi (q∗i Aqi ). (1.3) i=1 Nếu r j = 0 thì thủ tục dừng lại. Điều đó có nghĩa là chúng ta đã tìm thấy một không gian con bất biến, cụ thể là span{q1 , q2 , ..., q j }. Nếu ||r j || > 0 ta có được q j+1 rj q j+1 = . ||r j || Do q j+1 và r j cùng phương, ta có q∗j+1 r j = ||r j || = q∗j+1 Aq j (1.4) Phương trình cuối cùng được suy ra từ việc q j+1 trực chuẩn với tất cả các vectơ Arnoldi trước đó. Đặt hij = q∗i Aq j thì (1.3) - (1.4) có thể được viết j+1 Aq j = ∑ qihij. (1.5) i=1
6 Tìm một cơ sở trực giao của không gian Krylov Algorithm 1 Thuật toán Arnoldi Require: A ∈ R. Ensure: Một cơ sở trực giao cho K x x 1: Tính q1 = kx2 k 2: for j = 1, . . . do 3: r := Aq j 4: for i = 1, . . . , j do 5: hi j := q∗i r; r := r − qi hi j ; 6: end for 7: h j+1, j := krk; 8: if h j+1 j = 0 then return q1 , q2 , ..., q j , H ∈ R( j+1)× j 9: 10: end if r 11: q j+1 = ; h j+1 j 12: end for 13: return (q1 , q2 , ..., qk+1 ) , H ∈ R(k+1)×k 14: Thuật toán Arnoldi dừng lại nếu h j+1 j = 0. Định nghĩa Qk = [q1 , q2 , ..., qk ] thì phương trình (1.5) được viết như sau AQk = Qk Hk + [0, . . . 0, qk+1 hk+1k ] . (1.6) Phương trình (1.6) được gọi là quan hệ Arnoldi. • Cơ sở Lanczos Cơ sở Lanczos được xây dựng giống như cơ sở Arnoldi nhưng áp dụng cho ma trận Hermite hoặc đối xứng thực. Bằng cách nhân trái (1.6) với Q∗k chúng ta được Q∗k AQk = Q∗k Qk Hk = Hk .
7 Nếu A là Hermite thì Hk cũng là Hermite và do đó là ba đường chéo. Chúng ta ký hiệu ma trận ba đường chéo này là Tk . Do tính đối xứng phương trình (1.3) được đơn giản hoá như sau r j = Aq j − qi (q∗j Aq j ) −q j−1 (q∗j−1 Aq j ) = Aq j − α j q j − β j−1 q j−1 . (1.7) | {z } | {z } α j ∈R β j−1 ∈F Tương tự như trên, chúng ta nhân từ bên trái (1.7) với q j+1 để có được ||r j || = q∗j+1 r j = q∗j+1 (Aq j − α j q j − β j−1 q j−1 ) = q∗j+1 Aq j = β j . Từ đây suy ra β j ∈ R, do đó β j q j+1 = r j , β j = ||r j ||. (1.8) Từ (1.7) - (1.8) ta nhận được Aq j = β j−1 q j−1 + α j q j + β j q j+1 . Thu thập các phương trình với j = 1, ..., k chúng ta có   α β  1 1  β α β   1 2 2  AQk = Qk   β2 α3 . . .   +βk [0, ..., 0, qk+1 ]. (1.9)     . .. . . . βk−1     βk−1 αk | {z } Tk Như vậy, Tk ∈ Rk×k là đối xứng thực. Đẳng thức (1.9) được gọi là quan hệ Lanczos. Thuật toán Lanczos được trình bày trong Thuật toán 2 này có ba vectơ q, r và v được sử dụng. Cho (λi , si ) là một cặp riêng của Tm , tức là T si = λi si . (1.10)
8 Khi đó, AQm si = Qm Tm si = λi Qm si . Vì vậy, giá trị riêng của Tm cũng là giá trị riêng của A. Các vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λi là yi = Qm si . (1.11) Ta có thuật toán sau Algorithm 2 Thuật toán Lanczos cơ bản để tìm một cơ sở trực giao cho không gian Krylov K m (x). 1: Cho A ∈ F n×n là Hermitian. Thuật toán này sẽ tìm mối quan hệ Lanczos (1.9), nghĩa là một cơ sở trực giao Qm = [q1 , .., qm ] cho K m (x) trong đó m là chỉ số nhỏ nhất sao cho K m (x) = K m+1 (x), và (các yếu tố không tầm thường của) các ma trận ba đường chéo Tm . 2: q := x/||x||; Q1 = [q]; 3: r := Aq; 4: α1 := q∗ r; 5: r := r − α1 q; 6: β1 := ||r||; 7: for j = 2, 3, ... do 8: v = q; q := r/β j−1 ; Q j := [Q j−1 , q]; 9: r := Aq − β j−1 v; 10: α j := q∗ r; 11: r := r − α j q; 12: β j := ||r||; 13: if β j = 0 then 14: trả lại (Q ∈ Fn× j ; α1 , ..., α j ; β1 , ..., β j−1 ); 15: end if 16: end for Sau khi tính được các cơ sở trực giao V của một không gian con Krylov của ma trận A, thay vì tính giá trị riêng của A, ta tính giá trị riêng của ma trận
9 V T AV có cỡ bé hơn ma trận A ban đầu. Người ta đã chứng minh được rằng các giá trị riêng của V T AV xấp xỉ rất tốt các giá trị riêng của A theo thứ tự giảm dần của mô đun. Cụ thể, xin xem trong tài liệu [1]. 1.1.3 Bài toán giá trị riêng suy rộng • Chùm ma trận chính qui và dạng chính tắc Weierstrass Định nghĩa 1.1.2. Ma trận A − λ B, ở đó A, B là những ma trận cỡ m × n, được gọi là chùm ma trận hoặc tổng quát hơn là một λ ma trận bậc một, trong đó λ là tham số. Định nghĩa 1.1.3. Nếu A, B là ma trận vuông cỡ n × n và det(A − λ B) không đồng nhất bằng không, chùm A − λ B được gọi là chính qui. Nếu không, nó được gọi là suy biến. Khi A − λ B là chính qui, P(λ ) = det(A − λ B) được gọi là đa thức đặc trưng của A − λ B. Các giá trị riêng của A − λ B được xác định bởi (1) Nghiệm của P(λ ) = 0 (2) ∞ (với bội n − deg(P)) nếu deg(P) < n Ví dụ 1.1.4. Cho     1 0 0 2 0 0     A−λB =  0 1 0 − λ 0 0 0    0 0 0 0 0 1 Ta có P(λ ) = det(A − λ B) = (1 − 2λ )(1 − 0λ )(0 − λ ) = (2λ −1)λ . 1 Vậy các giá trị riêng là: , 0, và ∞. 2
10 Mệnh đề 1.1.5. Cho A − λ B là chùm ma trận chính qui cỡ n × n. Nếu B không suy biến, mọi giá trị riêng của A − λ B là hữu hạn và trùng với các giá trị riêng của AB−1 hoặc B−1 A. Nếu B là suy biến, A − λ B có giá trị riêng ∞ bội n − rank(B). Nếu A không suy biến, giá trị riêng của A − λ B trùng với nghịch đảo của các giá trị riêng của A−1 B hoặc BA−1 , trong đó một giá trị riêng không của A−1 B tương ứng với một giá trị riêng ∞ của A − λ B. Chứng minh. Nếu B không suy biến thì B−1 tồn tại và det(B), det(B−1 ) đều khác không. Ta có det(AB−1 − λ I) = det((A − λ B)B−1 ) = det(A − λ B)det(B−1 ). Theo đó det(AB−1 − λ I) = 0 ⇔ det(A − λ B) = 0, tức là tập giá trị riêng của A − λ B và AB−1 là trùng nhau. Khẳng định cho B−1 A được chứng minh tương tự. Trong trường hợp B suy biến, giả sử rank(B) = k < n. Kí hiệu phân tích giá trị riêng kì dị của B là B = UΣV T , trong đó Σ là ma trận chéo chỉ có k phần tử đường chéo chính khác không và U,V là các ma trận trực giao. Khi đó det(A − λ B) = det(A − λUΣV T ) = det(U(U T AV − λ Σ)V T ) = det(U)det(U T AV − λ Σ)det(V T ) = ±det(U T AV − λ Σ), do định thức của ma trận trực giao chỉ có thể bằng ±1. Khi đó rõ ràng det(U T AV − λ Σ) là một đa thức bậc k nên ∞ là giá trị riêng bội n − k.
11 Cuối cùng, nếu A không suy biến thì A−1 tồn tại. Ta có ngay det(A − λ B) = det(A(I − λ A−1 B)) = det(A)det(I − λ A−1 B). 1 Nếu giả sử λ 6= 0, đặt µ = , λ 1 det(A − λ B) = det(A)det(I − A−1 B) µ = −µdet(A)det(A−1 B − µI). 1 Hay λ là giá trị riêng của A − λ B khi và chỉ khi µ =là giá trị riêng của λ A−1 B. Khẳng định cho BA−1 được chứng minh tương tự. Định nghĩa 1.1.6. Cho λ 0 là một giá trị riêng hữu hạn của chùm chính qui A − λ B. x 6= 0 là một véc tơ riêng phải nếu (A − λ 0 B)x = 0 hoặc tương đương Ax = λ 0 Bx. Nếu λ 0 = ∞ là một giá trị riêng và Bx = 0 thì x là véc tơ riêng phải. Một véc tơ riêng trái của A − λ B là một véc tơ riêng phải của (AT − λ BT ). Ví dụ 1.1.7. Xét dao động tắt dần của chất điểm trong hệ lò xo. Có hai chùm ma trận phát sinh tự nhiên từ bài toán này. Thứ nhất, có bài toán giá trị riêng " # −1 −M B −M K −1 Ax = x = λ x. I 0 Khi " # " # −B −K M 0 x=λ x. I 0 0 I Đây là một công thức tốt hơn nếu M là điều kiện rất xấu, do đó M −1 B và M −1 K là khó tính chính xác . Thứ hai, nó rất phổ biến để xem xét các trường hợp B = 0 (không tắt dần) do đó phương trình vi phân ban đầu là ¨ + Kx(t) = 0. M x(t)
12 Các cách giải của dạng xi (t) = eλit xi (0), ta có λi2 eλit Mxi (0) + eλit Kxi (0) = 0, hoặc λi2 Mxi (0) + Kxi (0) = 0. Nói cách khác, −λi2 là một giá trị riêng và xi (0) là véc tơ riêng phải của chùm K − λ M. Khi ta giả thiết M không suy biến, đây cũng là một giá trị riêng và véc tơ riêng phải của M −1 K. Định nghĩa tiếp theo cho thấy làm thế nào để tổng quát khái niệm về sự tương đồng với ma trận chùm. Định nghĩa 1.1.8. Cho PL và PR là ma trận không suy biến. Khi đó, chùm A − λ B và PL APR − λ PL BPR được gọi là tương đương. Nhận xét 1.1.9. Đây là một mở rộng khái niệm ma trận tương đương. Mệnh đề 1.1.10. Chùm ma trận chính qui tương đương A − λ B và PL APR − λ PL BPR có cùng giá trị riêng, x là một véc tơ riêng phải của A − λ B nếu và chỉ nếu PR−1 x là một véc tơ riêng phải của PL APR − λ PL BPR , y là véc tơ riêng trái của A − λ B nếu và chỉ nếu (PLT )−1 y là một véc tơ riêng trái của PL APR − λ PL BPR . Chứng minh. Mệnh đề được chứng minh nhờ ba lập luận sau đây det(A − λ B) = 0 nếu và chỉ nếu det(PL (A − λ B))PR = 0. (A − λ B)x = 0 nếu và chỉ nếu PL (A − λ B)PR PR−1 x = 0. yT (A − λ B) = 0 nếu và chỉ nếu (PL−T y)T PL (A − λ B)PR = 0. Định lí sau sẽ khái quát công thức về dạng chính tắc Jordan cho ma trận đơn. Đối với chùm ma trận chính qui, nó được gọi là dạng chính tắc Weier- strass.
13 Định lí 1.1.11. Cho A − λ B là chính qui, khi đó tồn tại Pm ma trận khả nghịch sao cho PL (A − λ B)PR = diag(Jn1 (λ1 ) − λ In1 , ..., Jnk (λnk ) − λ Ink , Nm1 , ..., Nmr ). Ở đó, Jni λi là một khối Jordan cỡ ni × ni với giá trị riêng λi ,   λ 1  i ... ...    Jni (λi ) =  ,    ... ... 1     λi và Nmi là một khối Jordan cho λ = ∞ với bội mi   1 λ  ... ...    Nmi =   = Imi − λ Jmi (0).    . . .. .. λ   1 1.2 Bài toán giá trị riêng bậc hai 1.2.1 Khái niệm Định nghĩa 1.2.1. Cho các ma trận thực vuông M,C, K cỡ n × n. Kí hiệu Q(λ ) = Mλ 2 +Cλ + K. và gọi đó là một λ - ma trận bậc hai (hay vắn tắt là λ - ma trận). Bài toán giá trị riêng bậc hai là bài toán tìm số λ ∈ C sao cho có véc tơ khác không x ∈ Cn để cho (Mλ 2 +Cλ + K)x = 0. (1.12) Ngoài ra, ta cũng xét bài toán tìm y, λ sao cho y∗ (Mλ 2 +Cλ + K) = 0, (1.13)
14 trong đó ∗ là kí hiệu liên hợp phức. Các véc tơ x, y lần lượt là các véc tơ riêng phải và véc tơ riêng trái tương ứng với các giá trị riêng λ . Bài toán giá trị riêng bậc hai được gọi là đối xứng nếu M,C, K là các ma trận đối xứng. Đặt m(x) = x∗ Mx, c(x) = x∗Cx, k(x) = x∗ Kx với x ∈ Cn khác không. Nếu bài toán giá trị riêng bậc hai đối xứng thì đây là hàm có giá trị thực. Cũng giống như bài toán giá trị riêng tiêu chuẩn, bội đại số của một giá trị riêng λ0 là bậc α của nghiệm λ0 của đa thức det(Q(λ )). Bội hình học của γ của λ0 là số chiều của hạt nhân ker(Q(λ0 )). Giá trị riêng được gọi là đơn nếu α = γ = 1 và được gọi là nửa đơn nếu α = γ. Giá trị riêng được gọi là khuyết nếu nó không phải nửa đơn. Véc tơ x1 được gọi là một véc tơ riêng suy rộng tương ứng với giá trị riêng λ0 nếu x1 là nghiệm của phương trình Q(λ0 )x1 = −Q0 (λ0 )x0 , (1.14) với x0 là một véc tơ riêng ứng với λ0 , Q0 (λ0 ) là đạo hàm của Q theo từng phần tại λ0 . Ta có thể chỉ ra một giá trị riêng nửa đơn thì sẽ không có véc tơ riêng suy rộng đi kèm. Ta cũng biết rằng nếu giá trị riêng khuyết thì số véc tơ riêng tương ứng sẽ không lấp đủ bội đại số của nó. Khái niệm véc tơ riêng suy rộng được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.2.2. Các véc tơ x0 , x1 , ..., xm−1 được gọi là một xích Jordan có độ dài m của Q(λ ) tương ứng giá trị riêng λ0 nếu m đẳng thức sau được thỏa mãn Q(λ0 )x0 =0, Q(λ0 )x1 + Q0 (λ0 )x0 =0, 1 Q(λ0 )x2 + Q0 (λ0 )x1 + Q00 (λ0 )x0 =0, 2 ······
15 1 Q(λ0 )xm−1 + Q0 (λ0 )xm−2 + Q00 (λ0 )xm−3 =0, 2 với x0 6= 0 là một véc tơ riêng tương ứng với λ0 . Khi đó, các véc tơ x1 , x1 , ..., xm−1 , được gọi là các véc tơ riêng suy rộng. Nhận xét 1.2.3. • Có thể coi véc tơ riêng x0 là một xích Jordan có độ dài 1. Vì thế khái niệm này mở rộng khái niệm véc tơ riêng thông thường. Chú ý 1.2.4. Các véc tơ riêng suy rộng không nhất thiết độc lập tuyến tính. Nói riêng, có thể có vài véc tơ riêng suy rộng ứng λ0 bằng 0. Định nghĩa 1.2.5. • Bài toán đối xứng (1.12) QEP được gọi là hyperbolic nếu c(x)2 > 4m(x)k(x), ∀x 6= 0, x ∈ Cn • Bài toán QEP được gọi là tựa hyperbolic nếu c(x)2 > 4m(x)k(x), với mọi x là véc tơ riêng của Q(λ ). • Bài toán QEP được gọi là elliptic nếu c(x)2 < 4m(x)k(x), với mọi giá trị riêng của Q(λ ). 1.2.2 Tuyến tính hóa bài toán giá trị riêng bậc hai Định nghĩa 1.2.6. Cho λ - ma trận bậc hai cỡ n × n Q(λ ) = Mλ 2 +Cλ + K. (1.15)