ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHÍ THỊ NHO
BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG BẬC HAI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHÍ THỊ NHO
BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG BẬC HAI
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THANH SƠN
Thái Nguyên - 2017
3
Mục lục
Mở đầu 1
Danh sách ký hiệu 2
1 Bài toán giá trị riêng bậc hai 3
1.1 Bài toán giá trị riêng tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Một số thuật toán tìm giá trị riêng . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Bài toán giá trị riêng suy rộng . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Bài toán giá trị riêng bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Tuyến tính hóa bài toán giá trị riêng bậc hai . . . . . 15
1.2.3 Bộ ba Jordan của Q(λ). . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Một số tính chất của bài toán giá trị riêng bậc hai . . 19
1.3 Một số ứng dụng khác của bài toán giá trị riêng bậc hai . . . 21
1.3.1 Biểu diễn nghiệm của phương trình vi phân tuyến
tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Bài toán hạn chế bình phương nhỏ nhất . . . . . . . 22
1.3.3 Một vài ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Giải số bài toán giá trị riêng bậc hai 26
2.1 Phương pháp số cho bài toán đặc . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4
2.1.2 Phân tích Schur thực suy rộng . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Phương pháp số cho bài toán thưa . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận 35
Tài liệu tham khảo 36
1
Mở đầu
Trong chương trình đại học sinh viên chỉ được giới thiệu bài toán giá trị
riêng bậc một tiêu chuẩn. Trong khi đó, có rất nhiều bài toán, đặc biệt là trong
lĩnh vực cơ học, được qui về bài toán giá trị riêng bậc hai, ta có thể đưa về bài
toán giá trị riêng suy rộng bậc một, nhưng mặt khác có thể nghiên cứu độc
lập. Trong luận văn này chúng tôi sẽ tìm hiểu và trình bày "Bài toán giá trị
riêng bậc hai". Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn này gồm hai chương.
Chương 1: Bài toán giá trị riêng bậc hai. Chương này chúng tôi trình bày
khái niệm về bài toán giá trị riêng bậc hai, tính chất và ứng dụng của bài toán
giá trị riêng bậc hai.
Chương 2: Giải số bài toán giá trị riêng bậc hai. Chương này trình bày một
vài phương pháp giải bài toán giá trị riêng bậc hai. Chúng tôi chia bài toán
ra hai loại dựa trên kích thước bài toán và dạng dữ liệu. Bài toán đặc (thông
thường) và cỡ của bài toán nhỏ. Còn bài toán thưa là bài toán có kích cỡ lớn
nhưng dữ liệu dạng thưa. Căn cứ vào đặc điểm của từng bài toán, phương
pháp giải cũng có nhiều khác biệt. Chúng tôi trình bày phương pháp Newton
và phương pháp phân tích Schur cho bài toán đặc và phương pháp dựa trên
không gian con Krylov cho bài toán thưa. Ngoài ra có thêm một vài ví dụ số
để minh họa cho các phương pháp trên.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên. Em muốn gửi lời biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo TS. Nguyễn
Thanh Sơn đã giúp đỡ, hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để em hoàn
thành luận văn này. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy
giáo, cô giáo của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, gia đình