intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu: Chương 2 - TS. Nguyễn Ngọc Tuyển

Chia sẻ: Gió Biển | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST
Báo xấu
188
lượt xem 38
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Phương pháp số trong tính toán kết cấu - Chương 2: Tính hệ thanh chịu kéo nén đúng tâm (phần tử thanh dàn ‐ Truss)" cung cấp cho người đọc các kiến thức về: Bài toán lò xo, phần tử thanh dàn trong một trục tọa độ, phần tử thanh dàn trong hệ tọa độ phẳng, phần tử thanh dàn trong hệ tọa độ không gian. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán kết cấu: Chương 2 - TS. Nguyễn Ngọc Tuyển

  1. 5/30/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Bộ môn Cầu và Công trình ngầm Website: http://www.nuce.edu.vn Website: http://bomoncau.tk/ PHƯƠNG PHÁP SỐ  TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học: http://phuongphapso.tk/ Link dự phòng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 CHƯƠNG II Tính hệ thanh chịu kéo nén đúng tâm (Phần tử thanh dàn ‐ Truss) 43 1
  2. 5/30/2015 Nội dung chương 2 • 2.1. Bài toán lò xo • 2.2. Phần tử thanh dàn trong một trục tọa độ (1D) • 2.3. Phần tử thanh dàn trong hệ tọa độ phẳng (2D) • 2.4. Phần tử thanh dàn trong hệ tọa độ không gian (3D) 44 2.1. Bài toán lò xo • (1). Hệ có một lò xo – Xét một lò xo có độ cứng K O x – Coi lò xo là một phần tử có 2  1 2 nút ở đầu được ký hiệu là nút i fi fj và nút j. ui i j uj – Giả sử cần tìm quan hệ giữa chuyển vị nút ui & uj với các lực nút fi & fj. => Tách riêng 2 trường hợp sau: 45 2
  3. 5/30/2015 Bài toán lò xo (t.theo) O x – Trường hợp (a): cố định tại nút i i j  f j a  K  u j a  f j a  K  u j a f ja  a  a f ia  fi   f j  f i   K  u j a a u ia u ja – Trường hợp (b): cố định tại nút j  fi  K  ui  f i  K  ui b b b b i j  b  b f ib f jb  fi   f j  f j   K  ui b b u ib u jb – Áp dụng nguyên lý chồng chất lực:  fi  fi a  fi b   K  u j a  K  ui b i j  fi fj  f j  f j  f j  K  u j  K  ui a b a b ui uj 46 Bài toán lò xo (t.theo) O x – Do ui = uia + uib = 0 + uib = uib i j và uj = uja + ujb = uja + 0 = uja f ia f ja nên có thể viết lại hệ như sau: u ia u ja  fi  K  ui  K  u j   f j   K  ui  K  u j i j f jb – Như vậy, quan hệ giữa lực nút f ib và chuyển vị nút có thể được u ib u jb viết dưới dạng ma trận như sau:  K  K   ui   fi  i j  K     K  u j   f j  fi fj ui uj 47 3
  4. 5/30/2015 Bài toán lò xo (t.theo) • (2). Hệ có nhiều lò xo – Xét hệ gồm có 2 lò xo A và B có độ cứng lần lượt là K1 và K2  chịu các lực tại nút như hình vẽ: F1 1 2 1 2 3 F3 O x F2 U3 U1 U2 f i1 1 f j1 f i2 2 f j2 1 2 2 3 i j i j u i1 u j1 u i2 u j2 – Lò xo A được gọi là phần tử 1; lò xo B được gọi là phần tử 2;  mỗi phần tử có 2 nút (tại đầu i và j của phần tử) . 48 Bài toán lò xo (t.theo) – Ký hiệu tổng thể cho cả hệ: • Toàn hệ có 3 nút được đánh số: 1, 2 và 3 1 2 F 3 F3 • Véc tơ chuyển vị nút: {U} = {U1, U2, U3}T 1 1 2 • Véc tơ lực nút: {F} = {F1, F2, F3}T U1 F2 U U3 2 – Ký hiệu địa phương cho từng phần tử: • Mỗi phần tử có 2 nút được ký hiệu là i và j • Véc tơ chuyển vị nút của phần tử thứ “e” là : {ue} = {uie, uje}T • Véc tơ lực nút của phần tử thứ “e” là : {fe} = {fie, fje}T f i1 1 f j1 f i2 2 f j2 1 2 2 3 i j i j u i1 u j1 u i2 u j2 49 4
  5. 5/30/2015 Bài toán lò xo (t.theo) – Quan hệ giữa véc tơ lực nút và véc f i1 1 f j1 tơ chuyển vị nút trong phần tử 1:  1 2 i j  K1  K1   ui1   fi1   K    u i1 u j1  1 K1  u j1   f j1  • Chú ý: ui1 = U1 và uj1 = U2 – Quan hệ giữa véc tơ lực nút và véc tơ chuyển vị nút trong phần tử 2:  f i2 2 f j2 2 3  K2  K 2   ui 2   fi 2   K     2 K 2  u j 2   f j 2  i j u i2 u j2 • Chú ý: ui2 = U2 và uj2 = U3 50 Bài toán lò xo (t.theo) – Quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút 1 f i1 1 2 f j1 của phần tử 1 theo hệ tọa độ tổng thể:  i j  K1  K1 0  U1   f i 1  u i1 u j1  K      1 K1 0  U 2    f j 1  (a)  0 0 0  U 3   0   – Quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút của phần tử 2 theo hệ tọa độ tổng thể:  f i2 2 f j2 0 0 0  U1   0  2 3 0 K      2  K 2  U 2    fi 2  (b) i j K 2  U 3   f j 2  u j2 0  K 2 u i2 51 5
  6. 5/30/2015 Bài toán lò xo (t.theo) – Kết hợp hệ phương trình (a) và (b) được hệ phương trình cân bằng của cả hệ lò xo (c):   K1  K1 0  U1   fi1         K1 K1  K 2 K 2  U 2    f j1  fi 2  (c)  0 K2 K 2  U 3   f j 2   F1   fi  1 U1        F    F2    f j1  fi 2  – Chú ý rằng:                                                và U   U 2  F   f 2  U   3  j   3 => Hệ phương trình (c) có thể viết ngắn gọn thành: [K]{U} = {F} 52 Bài toán lò xo (t.theo) – Phương trình cân bằng của toàn hệ lò xo: [K]{U} = {F}  K1  K1 0 trong đó:    K     K1 K1  K 2 K 2   0 K2 K 2  [K] được gọi là ma trận độ cứng của cả hệ được xây dựng từ ma trận độ cứng của các phần tử. [K] = ma trận độ cứng tổng thể. 53 6
  7. 5/30/2015 2.2. Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ • Định nghĩa: phần tử thanh dàn là phần tử thanh chỉ chịu lực dọc trục (kéo hoặc nén đúng tâm). – Xét một thanh lăng trụ tiết diện không đổi x O i A, E j fi fj ui uj • Chiều dài phần tử: L L • Diện tích tiết diện: A • Mô đun đàn hồi: E • Chuyển vị: u = u(x) • Biến dạng: ε = ε(x) • Ứng suất: σ = σ(x) 54 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Lựa chọn hàm xấp xỉ và xác định ma trận các hàm dạng x – Mọi điểm trên phần tử chỉ O i A, E j tồn tại chuyển vị theo fi fj phương của trục x là u(x);  ui uj L – Nếu chọn hàm xấp xỉ tuyến tính thì phần tử có 2 nút và số bậc tự do của phần tử là 2, do đó số phần tử của véc tơ tham số {a} cũng là 2. Ta chọn đa thức xấp xỉ như sau:  u(x) = a1 + a2x với 0 ≤ x ≤ L a  u x   1 x   1  = [P(x)] {a} a2  55 7
  8. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Véc tơ chuyển vị nút của x u x   a1  a2 x O phần tử:  i A, E j fi fj ui uj {q}e = {q1 , q2}eT = {ui , uj}eT L – Thực hiện đồng nhất hàm chuyển vị tại các chuyển vị nút: u (tại nút i)  u x 0   a1  1 0   a1   q1           u (tại nút j)  u x  L   a1  a2 L  1 L  a2   q2 e  Aa  qe  1 0  a   A qe Với:  A   1 1  1 1   L L 56 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Hàm chuyển vị có thể được viết lại như sau a  u x   1 x   1    P  x   a   P  x    A qe   N  x   qe 1 a2  trong đó, [N]e được gọi là ma trận các hàm dạng của phần tử :  1 0  x  x  N e   P x    A  1 x   1 1   1     N1  x  N 2  x   1     L  L    L L – Đến đây ta có thể biểu diễn đa thức xấp xỉ chuyển vị dọc trục theo các chuyển vị nút phần tử như sau:  x x   q1   x x u  x    N e qe  1       1   q1  q2  L  L  q2 e  L  L 57 8
  9. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Biểu đồ các hàm dạng và biểu đồ chuyển vị của phần tử:  x 2  x x N1  x   1   u  x    N i  x   qi  1   q1  q2  L i 1  L L x N2  x   L u  x N1  q1 y N1  x  N2  x  y q2 1 q1 N 2  q2 x x Biểu đồ N1 và N2 Biểu đồ của u(x) 58 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Định luật Hooke cho bài toán 1 chiều (1‐D) – Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:   E Trong đó,  có thể được xác định dựa trên quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng: du  x dx O i A, E j fi fj ui uj L 59 9
  10. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng (Phương pháp 1) – Chuyển vị u biến đổi tuyến tính dọc theo trục thanh và chuyển vị của 1 điểm bất kỳ thuộc phần tử là:  x x u  x   1   ui  u j  L L – Biến dạng được tính như sau: u j  ui    L L – Ứng suất được tính theo biến dạng: E   E  L 60 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Ứng suất trong thanh dàn còn được tính theo lực dọc F: F  A – Do đó: E F AE   F   K L A L AE K trong đó:                              là độ cứng của thanh dàn. L  Như vậy, thanh dàn làm việc giống như một lò xo có độ cứng K 61 10
  11. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Khi đó, quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút của phần tử thanh dàn cũng tương tự như phần tử lò xo, tức là: x K  K   ui   fi  O  K    K  u j   f j  i A, E j  fi fj ui uj L Hoặc viết cách khác như sau: AE  1 1  ui   fi     L  1 1  u j   f j  62 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng (Phương pháp 2) – Chuyển vị u biến đổi tuyến tính dọc theo trục thanh và chuyển vị của 1 điểm bất kỳ thuộc phần tử là:  ui   x  x u  x    N     1   ui  u j u j   L  L – Ma trận các hàm dạng:  x  N   1  x   L L  – Biến dạng là đạo hàm của chuyển vị theo biến x du  d   ui   1 1   ui   ui    x   N        B    dx  dx  u j   L L  u j  u j  63 11
  12. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Ma trận [B] được gọi là ma trận tính biến dạng d N   d   x  x  1 1 1  B      1       1 1 dx  dx   L  L   L L  L – Ứng suất trong phần tử  ui    x   E  x   E  B    u j – Xét thế năng biến dạng trong phần tử : 1 1 U  e  e dV   u  B  E  B udV T T T Ve 2 Ve 2 64 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo)   hay : U  1 uT   B T E  B dV  u 2  V   e  – Xét công của các lực nút 1 1 1 W fi ui  f j u j  u  f  T 2 2 2 – Theo định luật bảo toàn năng lượng: U = W, do đó 1   1 u    B  E  B dV  u  u  f  T T T 2  Ve  2 65 12
  13. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo)   nên:   B T E  B dV  u   f   V  hay:   K e u   f   e  1 – Vậy ma trận độ cứng của phần tử là:  B   1 1 L  K e    B  E  B  dV T Ve 1  1 1 1  1 L L  K e      1 1    1 1 dx L2  1  E Adx AE 0 L1 L 0 AE  1 1  K e  L  1 1  66 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Ví dụ 2.1.  Cho các thanh dàn làm từ vật liệu có mô đun đàn hồi E – Thanh dàn 1 có chiều dài 2L, diện tích tiết diện A – Thanh dàn 2 có chiều dài L, diện tích tiết diện 2A – Lực P tác dụng tại nút số 2. Tìm ứng suất trong các thanh dàn 1 và 2 nếu biết: 1 A, E 2 2A, E E = 200000MPa P A = 100mm2 1 2 3 L = 1000mm 2L L P = 100000N 67 13
  14. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 68 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 69 14
  15. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 70 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 71 15
  16. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Ví dụ 2.2.  Cho các thanh dàn làm từ vật liệu có mô đun đàn hồi E – Thanh dàn 1 có chiều dài 2L, diện tích tiết diện A – Thanh dàn 2 có chiều dài L, diện tích tiết diện 2A – Lực P tác dụng tại nút số 2. Tìm ứng suất trong các thanh dàn 1 và 2 nếu biết: 1 A, E 2 2A, E E = 200000MPa P A = 100mm2 1 2 3 L = 1000mm 2L L P = 100000N 72 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 73 16
  17. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 74 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 75 17
  18. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 76 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 77 18
  19. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Ví dụ 2.3.  Cho các thanh dàn làm từ vật liệu có mô đun đàn hồi E – Thanh dàn 1 có chiều dài 2L, diện tích tiết diện A – Thanh dàn 2 có chiều dài L, diện tích tiết diện 2A – Lực P tác dụng tại nút số 2. Tìm ứng suất trong các thanh dàn 1 và 2 nếu biết: E = 200000MPa 1 A, E 2 2A, E A = 100mm2 P L = 1000mm 1 2 3 P = 100000N 2L L ∆ ∆ = 5mm 78 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) A, E 2A, E Lời giải cho ví dụ 2.3.  1 2 Phân tích bài toán P 1 2 3 như sau: 2L L ∆ – Tăng dần giá trị của lực P từ 0 lên đến 100000N.  – Ban đầu khi P chưa lớn, nút 3 của phần tử 2 chưa chạm vào gối phải, hệ làm việc giống như trong ví dụ 2.2. • Khi tăng P lên đến giá trị P1=50000N, nút 3 của phần tử 2 bắt đầu chạm vào gối phải. Ứng suất giai đoạn 1 trong các phần tử như sau: σ1_gđ1 = 500MPa và σ2_gđ1 = 0MPa 79 19
  20. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) – Tiếp tục tăng P 1 A, E 2 2A, E cho đến giá trị P P2 = 100000N,  1 2 3 2L L ∆ hệ làm việc giống bài toán của ví dụ 2.1. • Ứng suất giai đoạn 2 trong các phần tử như sau σ1_gđ2 = 100MPa và σ2_gđ2 = ‐200MPa – Sau cùng ứng suất tích lũy trong các phần tử (khi lực P đạt tới giá trị P2 = 100000N) là tổng ứng suất của cả 2 giai đoạn: σ1 = σ1_gđ1 + σ1_gđ2 = 600MPa và σ2 = σ2_gđ1 + σ2_gđ2 = ‐200MPa 80 Các ký hiệu địa phương – Hệ trục tọa độ địa phương: o123 – Các chuyển vị “Nút i" theo hệ 2 i i i tọa độ địa phương u 1 ; u 2 ; u 3 – Các lực tác dụng tại “Nút i” của 3 phần tử theo hệ tọa độ địa 1 phương: fi1 ; fi2 ; fi3 – Ma trận độ cứng của phần tử theo hệ tọa độ địa phương: [k] – Véc tơ chuyển vị nút tại “Nút j” của phần tử: {uj} – Véc tơ lực nút tại “Nút j” của phần tử: {fj} – Véc tơ chuyển vị nút của phần tử: {u} – Véc tơ lực nút của phần tử: {f} 81 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2428 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
4=>1