Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 7: Phương trình vi phân thường bậc I

Chia sẻ: Thiên Lăng Sở | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 7: Phương trình vi phân thường bậc I cung cấp cho học viên các kiến thức về phân loại đạo hàm (vi phân), phân loại phương trình vi phân, phương pháp đơn bước – tường minh, phương pháp Euler tường minh, phương pháp Euler ẩn tàng, phương pháp Taylor bậc hai, phương pháp Runge-Kutta bậc 2 (RK2), phương pháp Runge-Kutta bậc 3 (RK3),... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 7: Phương trình vi phân thường bậc I

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 1 Khoa Công nghệ Cơ khí Bộ môn Cơ sở - Thiết kế Bài 7: Phương trình trình vi phân thường bậc I Thời lượng: 3 tiết
2 Nội dung bài học 9 phương pháp
3 Phân loại đạo hàm (vi phân) Đạo hàm Đạo hàm Đạo hàm riêng dv u dt y v là 1 hàm của biến u là hàm của hơn 1 độc lập t biến độc lập (x,y,z,t,…)
4 Phân loại phương trình vi phân Phương trình vi phân Phương trình vi phân thường Phương trình đạo hàm riêng d v2 u u 2 2  6tv  1  2 0 dt 2 y 2 x Gồm 1 hoặc nhiều đạo Gồm một hay nhiều đạo hàm hàm toàn phần của của các hàm ẩn số theo một biến độc lập các hàm ẩn số theo nhiều biến độc lập
5 Khái niệm phương trình vi phân - Phương trình vi phân (PTVP) là một phương trình mà chứa đạo hàm của một hàm số chưa biết. Nghiệm của PTVP chính là hàm số mà thỏa mãn PTVP đó. - PTVP mà chỉ có một biến số thì được gọi là Phương trình vi phân thường (Ordinary Differential Equation - ODE) x là biến độc lập; y là biến phụ thuộc  Phương trình có chứa x, y, dy/dx  dy   PTVP thường bậc 1 là phương trình chứa f  x , y ,   0 (1) hàm x, hàm y và dy/dx  dx  dy - Ví dụ 1:  ax 2  by  0 PTVP thường bậc 1 (dy/dx), tuyến tính (đối với y) dx dy - Ví dụ 2:  a yxb y  0 PTVP thường bậc 1 (dy/dx), phi tuyến (đối với y) dx
6 Phương trình vi phân đầy đủ d - Ví dụ 1: y  x   ax  b  y  x   0 2 dx d - Ví dụ 2: y  x  a  y  x  x  b y  x  0 dx y(x) là hàm ẩn x – biến độc lập
7 Bậc của phương trình vi phân d x t   x  t   et PTVP bậc 1 dt d 2 x t  d x t  2 5  2 x  t   cos  t  PTVP bậc 2 dt dt d 3 x t  d x t  3   2 x 4 t   1 PTVP bậc 3 dt dt
8 Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến Một PTVP là tuyến tính nếu hàm ẩn số và đạo hàm của nó xuất hiện với lũy thừa bằng 1. Không có tích của hàm số và/hoặc đạo hàm của nó. d x t  - Ví dụ 1:  x t   e t - PTVP tuyến tính dt d 2 x t  d x t  - Ví dụ 2:  5  2t 2 x  t   cos  t  - PTVP phi tuyến dt 2 dt  d x t   2   2t x  t   cos  t  2 - Ví dụ 3:  - PTVP phi tuyến  dt 
9 Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến Một PTVP là phi tuyến nếu hàm ẩn số và đạo hàm của nó xuất hiện với lũy thừa khác 1. Ngoài ra có thể có tích của hàm số và/hoặc đạo hàm của nó. d x t  - Ví dụ 4:  cos  x  t    e t - PTVP phi tuyến dt d 2 x t  d x t  - Ví dụ 5: 2 5  x t   2 - PTVP phi tuyến dt dt d x t  2 d x t  - Ví dụ 6: 2 5  x t   1 - PTVP phi tuyến dt dt
10 Điều kiện phụ để giải PTVP Nghiệm của phương trình vi phân: d x t  2 2  4 x  t   0  x  t   c1 sin  2t   c2 cos  2t  dt Tất cả các hàm số trên là nghiệm của PTVP, chúng khác nhau ở các hằng số c1, c2. Để xác định chính xác c1, c2 cần có thêm các điều kiện phụ:  d 2 x t    4x t   0 - PTVP bậc 2  dt 2 Để giải PTVP bậc n  x  0   a; x  0   b 2 điều kiện phụ ta cần n điều kiện  b phụ  x  t   sin  2t   a cos  2t  2
11 Phân loại PTVP theo điều kiện phụ Bài toán giá trị ban đầu Bài toán giá trị biên (Initial Value Problem) (Boundary Value Problem) • Các điều kiện thì không ở 1 Tất cả điều kiện là ở 1 điểm của biến độc lập điểm của biến độc lập • Giải bài toán này khó hơn bài toán giá trị ban đầu x  2 x  x  e 2t x  2 x  x  e 2t x(0)  1, x(0)  2.5 x(0)  1, x(2)  1.5 Giống Khác nhau nhau
12 Phương trình vi phân bậc I dy  f  x, y  với điều kiện ban đầu: y  x0   y0 (2) dx dy  f  x, y   1.2 y  7e 0.3 x dx - Trường hướng - Các họ đường cong
13 Phương trình vi phân bậc I  dy   f  x, y   1.2 y  7e 0.3 x Tại mỗi điểm có toạ độ (x,y), ta tính được  dx 0  x  4; 2  y  6 f(x,y), và nó chính là độ dốc (Slope) dy/dx của hàm y(x). Độ nghiêng của các véctơ vẽ tại mỗi điểm chính là độ dốc. Tập hợp các véctơ đó trong khoảng x Є [0; 4]; y Є [2; 6] Với mỗi một điều kiện ban đầu ta có một họ đường cong lời giải: y  2  6 y  0  3 y 1.5   2
14 Phương trình vi phân bậc I  dy   f  x, y   dx (2)  y  x0   y0   Lời giải số của PTVP bậc I (2) là một tập hợp các điểm rời rạc mà xấp xỉ được hàm số y(x). Khi PTVP được giải bằng phương pháp số thì đề bài phải giới hạn miền lời giải. Ví dụ x Є [a; b]. Tùy thuộc vào phương pháp số được dùng để giải phương trình, số điểm giữa khoảng a và b có thể được xác định.  Ví dụ miền lời giải [a; b] có thể được chia ra làm n khoảng nhỏ đều nhau của biến độc lập từ x0 = a cho đến xn = b.  Các lời giải bao gồm các giá trị của biến phụ thuộc được xác định tại mỗi giá trị của biến độc lập   Lời giải sẽ là tập hợp các điểm (x0, y0), (x1, y1),…,(xn, yn)
15 Phân loại phương pháp giải PTVP thường bậc I Phương pháp số cho PTVP Phương pháp đơn bước Phương pháp đa bước (Single-step Method) (Multiple-step Method) Ước tính nghiệm ở một bước Ước tính nghiệm ở một bước cụ thể dựa trên các thông tin cụ thể dựa trên các thông tin của nhiều hơn một bước của một bước trước trước Lời giải số là một quy trình hoặc tính toán ước tính nghiệm của lời giải chính xác tại một tập hợp các điểm rời rạc. Quá trình giải tăng dần theo từng bước. Bắt đầu từ điểm mà giá trị ban đầu được đưa ra. Sau đó sử dụng lời giải tại điểm đầu tiên để tính được lời giải tại điểm thứ hai gần đó. Tiếp theo là lời giải tại điểm thứ ba, thứ tư, v.v…Ý tưởng sử dụng giá trị hàm số tại một vài điểm trước có thể đem đến một ước tính tốt hơn cho việc tìm lời giải.
16 Phân loại phương pháp giải PTVP thường bậc I Phương pháp số cho PTVP Phương pháp tường minh Phương pháp ẩn tàng (Explicit Method) (Implicit Method) yi 1  F  xi , xi 1 , yi  (3) yi 1  F  xi , yi , xi 1 , yi 1  (4) yi+1 chưa biết và xuất hiện ở cả 2 vế. Nếu F là Trong công thức tường minh, vế hàm tuyến tính của yi+1 thì có thể đưa (4) về (3). phải của phương trình chỉ chứa Còn nếu là phi tuyến thì phải sử dụng kiến thức những giá trị đã biết: giải phương trình phi tuyến để tìm yi+1. Các  xi, xi+1, yi đều đã biết phương pháp ẩn ngầm đưa đến kết quả chính xác hơn so với các phương pháp tường minh nhưng đòi hỏi nhiều nỗ lực tính toán hơn.
17 Phương pháp đơn bước – tường minh dy  y  f  x, y  ; y  a   y0 ; x0  a  x  b  xn dx x1  x0  h; x2  x0  2h; ; xn  x0  nh Trong phương pháp đơn bước – tường minh, Lời giải số ước tính nghiệm của lời giải số (xi+1,yi+1) được tính từ lời giải đã biết (xi,yi). Độ dốc = ϕi  xi 1  xi  h  (5) Lời giải  yi 1  yi  i  h chính xác Trong đó: Đường cong h – cỡ bước của lời giải ϕi=độ dốc – hằng số ước tính giá trị của dy/dx chính xác trong khoảng từ xi đến xi+1. Các phương pháp khác nhau ở chỗ cách tính độ dốc ϕ
18 Phương pháp Euler tường minh dy Độ dốc = i   f  xi , yi  (6) dx x  xi 1. B1: Xác định hàm f(x,y) 2. B2: Nhập số liệu điều kiện ban đầu x0, y0 3. B3: Xác định cỡ bước h, số bước n 4. B4: Cho i từ 0 đến n-1, thực hiện bước 5 và Lời giải 6 chính xác 5. B5: Tính: i  f  xi , yi  Lời giải số yi 1  yi  h  i (7) xi 1  xi  h 6.B6: Xuất kết quả tập hợp (x0,y0), (x1,y1),…,(xn,yn)  Chính là lời giải số của PTVP
19 Phương pháp Euler tường minh  dy   f   x , y  1.2 y  7 e 0.3 x  dx  y  0   3;0  x  4.  g  x   1; f1  x   1.2; f 0  x   7e 0.3 x  f1  x  1.2 6 F  x    dx   dx  1.2 x   x  g  x 1 5    dx   e   7e 9  e  0  f x 70 x   F x 1.2 x 0.3 x dx  7  e dx  e 0.9 x 10  g  x 9   x  6 70 9 x  y  x  e  C  e  5 10 43  x  70 6 9 43    C    y  x  e  e   x   9 5 10  9  9 9   y  0  3
20 Phương pháp Euler tường minh  dy 3. i=2:   f   x , y  1.2 y  7 e 0.3 x 2  f  x2 , y2   1.2  4.892477918  7e 0.31.0  0.685245956  dx y3  y2  h  2  4.892477918  0.5   0.685245956   y  0   3; 0  x  4   4.54985494 x3  x2  h  1.0  0.5  1.5 ba 40 4. i=3: h  0.5  n   8 3  f  x3 , y3   1.2  4.54985494  7e 0.31.5  0.996428866 h 0.5 y4  y3  h  3  4.54985494  0.5   0.996428866  1. i=0:  4.051640507 0  f  x0 , y0   1.2  3  7e 0.30  3.4 x4  x3  h  1.5  0.5  2.0 y1  y0  h  0  3  0.5  3.4  4.7 5. i=4: x1  x0  h  0  0.5  0.5 2. i=1: 4  f  x4 , y4   1.2  4.051640507  7e 0.32.0  1.020287156 1  f  x1 , y1   1.2  4.7  7e 0.30.5  0.384955835 y5  y4  h  4  4.051640507  0.5   1.020287156  y2  y1  h  1  4.7  0.5  0.384955835  4.892477918  3.541496929 x2  x1  h  0.5  0.5  1.0 x5  x4  h  2.0  0.5  2.5