Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 2: Phương trình và hệ phương trình đại số phi tuyến

Chia sẻ: Thiên Lăng Sở | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:86

Thêm vào BST

Báo xấu

56
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 2: Phương trình và hệ phương trình đại số phi tuyến cung cấp cho học viên các kiến thức về khái niệm phương trình đại số tổng quát; một số bài toán kỹ thuật đưa về phương trình phi tuyến; các cách tiếp cận để giải phương trình đại số phi tuyến; các phương pháp “bủa vây”;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 2: Phương trình và hệ phương trình đại số phi tuyến

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 1 Khoa Công nghệ Cơ khí Bộ môn Cơ sở - Thiết kế Bài 2: Phương trình và hệ phương trình đại số phi tuyến Thời lượng: 6 tiết
Khái niệm phương trình đại số tổng quát 2 f ( x ) = 0 (1) Giá trị x nào mà làm cho thoả mãn (1) thì được gọi là nghiệm của phương trình (1) ax + b = 0 ∗ −b Có công thức giải tích tìm chính (2)  ⇔x = a ≠ 0 a xác nghiệm ax 2 + bx + c = 0  ∗ −b ± b 2 − 4ac Có công thức giải tích tìm chính (3) a ≠ 0 ⇔ x1,2 = xác nghiệm b 2 − 4ac ≥ 0 2a 
Khái niệm phương trình đại số tổng quát 3 4 (1 − x 2 ) − e x = 0 Không có công thức giải tích Phương 1 tìm chính xác nghiệm pháp số sin ( x ) ln ( x ) + x x − = 0 2 Vô nghiệm Một nghiệm Một nghiệm Nhiều nghiệm
Một số bài toán kỹ thuật đưa về phương trình phi tuyến Cho r, As 1 2 2 As As = r (θ − sin θ ) ⇔ f (θ ) = θ − sin θ − 2 = 0 Tìm góc θ ? 2 r Cho m, v, t, g gm   c − t  gm  − t   c  1 − e   ⇔ f ( c ) =    Tìm hệ số v= m  1 − e m   − v = 0 c    c     cản c ? 4
Các cách tiếp cận để giải phương trình đại số phi tuyến 5 - PP vòng lặp điểm cố định đơn giản - PP Newton- Raphson - PP dây cung - PP đồ thị - PP chia đôi đoạn - PP vị trí sai
Các phương pháp “bủa vây” 6 MATLAB c=1:0.2:20  gm   − t   c f=667.38*(1-exp(-0.146843*c))./c - 40  f ( c ) =  1 − e m   − v = 0 plot(c,f,'-k','linewidth',2),grid on  c    60  t = 10 s; v = 40 m s; m = 68.1 kg; g = 9.81 m s 2 50 ⇒ f (c) = 667.38 c (1 − e −0.146843c ) − 40 = 0 40 30 20 10 0 -10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 c=14:0.1:16
Các phương pháp “bủa vây” 7 c=14:0.1:16 c=14.7:0.01:14.8 f=667.38*(1-exp(-0.146843*c))./c - 40 f=667.38*(1-exp(-0.146843*c))./c - 40 plot(c,f,'-k','linewidth',2),grid on plot(c,f,'-k','linewidth',2),grid on 2 0.16 1.5 0.14 0.12 1 0.1 0.5 0.08 0 0.06 -0.5 0.04 -1 0.02 -1.5 0 -2 -0.02 -2.5 -0.04 14 14.2 14.4 14.6 14.8 15 15.2 15.4 15.6 15.8 16 14.7 14.72 14.74 14.76 14.78 14.8 14.82 c=14.7:0.01:14.8 c = 14.78
Các phương pháp “bủa vây” 8 Ví dụ cần giải phương trình f(x)=0 trên đoạn [0; 1] 1 f ( x) 4 Vùng tìm kiếm 5 Vùng tìm kiếm 4 Vùng tìm kiếm 3 Vùng tìm kiếm 2 Vùng tìm kiếm 1
Các phương pháp “bủa vây” 9 f ( x) Miền bị Bước 1: Cho a, b, ε loại bỏ Bước 2: Tính ; ; a α b x Nếu ∙ 0 thì b = α f (α ) ⋅ f ( b ) < 0 còn không thì a = α f ( x) Nếu |a – b| > ε Miền bị loại bỏ thì đến bước 2 a α b x còn không thì đến bước 3 Bước 3: Hội tụ. In kết quả nghiệm x* = α; f(x*) = f(α) f ( a ) ⋅ f (α ) < 0
Các phương pháp “bủa vây” 10 Tìm điểm nghiệm của phương trình f(x)=0 trong khoảng [a, b] bằng pp chia đôi đoạn với 5 vòng lặp f ( x ) = e0.2 x − e −0.8 x − 2; [ a, b] = [3, 4]  a+b   SVL [ a, b ] f (a) f (b) α= f (α ) b−a  2    0 [3, 4] −0.268599153 0.184778724 3.5 −0.047057356 1   1  [3.5, 4] −0.047057356 0.184778724 3.75 0.067212949 0.5    2 [3.5,3.75] −0.047057356 0.067212949 3.625 0.009707880 0.25   3 3.5625 −0.018761723 0.125   [3.5,3.625] −0.047057356 0.009707880   4 [3.5625,3.625] −0.018761723 0.009707880 3.59375 −0.004549366 0.0625     5 [3.59375,3.625] −0.004549366 0.009707880 3.609375 0.002573559 0.03125
Các phương pháp “bủa vây” 11 Sai số ước lượng sau n vòng lặp là: b−a (4) ∆xn = n 2 Nếu đề yêu cầu cần thực hiện số vòng lặp sao cho sai số ước lượng của nghiệm không vượt quá ε: b−a  b−a  ∆xn = n ≤ ε ⇔ n ≥ log 2   (5) 2  ε 
Các phương pháp “bủa vây” 12 MATLAB x=3:0.01:4 f ( x ) = e0.2 x − e −0.8 x − 2; [ a, b] = [3, 4] f=exp(0.2*x)-exp(-0.8*x)-2 0.18478 plot(x,f,'-b','linewidth',2),grid on 0.2 0.067213 0.15 0.1 0.0097 0.05 −0.01876 −0.047 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.3 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 −0.2686 In ra Vẽ tay
Các phương pháp “bủa vây” 13
Các phương pháp “bủa vây” 14 Ưu điểm: • Đơn giản, dễ lập trình • Kích thước của khoảng nghiệm giảm 50% sau mỗi lần lặp • Số vòng lặp có thể được xác định trước khi biết yêu cầu về sai số cho phép định trước ε • Không cần tính đạo hàm Nhược điểm: • Chậm hội tụ • Các xấp xỉ tốt trung gian có thể bị loại bỏ lãng phí
Các phương pháp “bủa vây” 15 CÔNG THỨC: f (a) f (a) y = f ( x)  f (b) ⋅ (b − a ) f (c) c = b −  f (b) − f ( a )  x0 = b x∗ x1 = c b  x = x − f ( x0 ) ⋅ ( x0 − xk −1 ) a x1 = c x2 ∗ x0 = a x2  k 0 f ( x0 ) − f ( xk −1 ) x  y = f ( x) f (c) f (b) (5) f (b)  x0 = b  x0 = a Nếu f (a) ⋅ f (c) > 0 ⇒  Nếu f (a) ⋅ f (c) < 0 ⇒   x1 = c  x1 = c
Các phương pháp “bủa vây” 16 Tìm điểm nghiệm của phương trình f(x)=0 trong khoảng [a, b] bằng pp vị trí sai cho đến khi sai số ước lượng của nghiệm nhỏ hơn ε=0.001 f ( x ) = e0.2 x − e −0.8 x − 2; [ a, b] = [ 2, 6]
Các phương pháp “bủa vây” 17 MATLAB x=2:0.01:6 f ( x ) = e0.2 x − e −0.8 x − 2; [ a, b] = [ 2, 6] f=exp(0.2*x)-exp(-0.8*x)-2 plot(x,f,'-b','linewidth',2),grid on 1.31189 1.5 1 0.5 0 x1 = c -0.5 −0.08988 x2 x0 -1 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 In ra Vẽ tay
Các phương pháp “bủa vây” 18 f ( a ) ⋅ b − f (b ) ⋅ a c= f ( a ) − f (b) Nếu f(c)=0 thì dừng lại Còn nếu f(a)* f(c)0) thì Cỡ_bước = c – a a=c Kết thúc Nếu
Các phương pháp “bủa vây” 19 f ( x) Khi đoạn thẳng nối 2 điểm đầu và cuối trên A khoảng [a,b] của hàm số cắt với đồ thị hàm số f(x) tại 1 điểm C, thì khi C b này điểm x0 sẽ có khẳ a x năng không cố định là a hay b mà sẽ hoán đổi liên tục, tuy nhiên bài toán sẽ không hội tụ B mà phân ly.
Các phương pháp “bủa vây” 20 Có nhiều tình huống hàm số mà tốc độ hội tụ của nghiệm theo phương pháp vị trí sai là rất chậm