5/30/2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Website: http://www.nuce.edu.vn
Bộ môn Cầu và Công trình ngầm Website: http://bomoncau.tk/
PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU
TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học: http://phuongphapso.tk/
Link dự phòng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau
Hà Nội, 5‐2015
CHƯƠNG V
Phần tử hai chiều chịu uốn ngoài mặt phẳng phần tử (tấm chịu uốn)
275
1
5/30/2015
5.1. Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn
• Định nghĩa và phân loại tấm chịu uốn
– Phần tử tấm chịu uốn được giới hạn bởi 2 mặt phẳng song
song và cách nhau một khoảng là t (gọi là chiều dày tấm). Tùy theo tỷ số giữa bề dày tấm (t) và kích thước nhỏ nhất của mặt phẳng tấm (b) mà người ta có thể chia tấm chịu uốn làm 2 loại sau:
• Tấm dày:
z
• Tấm mỏng: và độ võng lớn nhất
max
t b 1 20
1 5 t b
1 5
t 4
Chú ý: Trường hợp với tấm mỏng có độ võng z > zmax thì dưới tác dụng của tải trọng vuông góc với tấm, các ứng suất trong tấm bao gồm cả ứng suất màng và ứng suất do tấm bị uốn => khi đó phải tính toán tấm sử dụng lý thuyết tấm có biến dạng lớn.
276
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
• Lý thuyết cổ điển của Kirchhoff
– Các giả thiết
• (1) Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn và độ dài của chúng là không đổi
• (2) Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo nén hay trượt • (3) Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm
z
y
a
t
Mặt trung bình
b
– Xét tấm chịu uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng tấm như hình vẽ. Mặt phẳng xy của hệ tọa độ trùng với mặt trung bình
x
277
2
5/30/2015
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Áp dụng các giả thiết, các thành phần chuyển vị u và v của tấm được biểu diễn theo độ võng q và góc xoay θx , θy của mặt phẳng trung bình như sau:
y
q x
v
z
z x
q y
q x
u
z
z y
q x
x
q y
q y
trong đó: q = q(x,y) là hàm độ võng, tức chuyển vị theo phương z của mặt phẳng trung bình.
278
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Khi đó, các thành phần biến dạng của một điểm bất kỳ thuộc
tấm được tính như sau:
2
x
x
2
z
z k
y
y
v y
z x y
q 2 y
2
2
2
z y
z
z
z
z k
2
xy
xy
u y
v x
y
z x x
q y x
q x y
q x y
trong đó: kx, ky và kxy lần lượt là độ cong theo phương x, y và hai lần độ xoắn.
– Các biến dạng góc εzx = εyz = 0 theo giả thiết số (1) – Ứng suất theo phương z là σz = 0 theo giả thiết số (3)
279
3
z y z z k x u x q 2 x
5/30/2015
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Áp dụng định luật Hooke để tìm các thành phần ứng suất khác
trong phần tử như sau:
x
y
xy
2
2
k 1 0 0 1 0 0 k 1 1 E 2 zE 2 1 1 k x y xy x y xy 0 0 0 0 2 2 1 1
x
0
x
1
z
k
Với:
y
y
z E 2 1
1
xy
2
2
x y xy
0
0
1
2
k q 2 x 2 q 2 y
xy
q x y
q 2 x 2 q 0 2 y 2
' ' '
280
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Nội lực trong tấm chính là hợp lực của các thành phần ứng
suất tương ứng, do đó:
t
/2
t
/2
t
/2
M
M
M
y
xy
x
t
zdz y /2
t
zdz xy /2
t
zdz x /2
– Hoặc viết lại dưới dạng véc tơ như sau:
t
/2
t
/2
t
/2
3
zdz
2 z dz
'
2 z dz
x
x
x
x /2
' /2
/2
t
t
t
M
x
x
/2
/2
/2
t
t
t
3
M
zdz
2 z dz
'
2 z dz
y
y
y
y
y
t 12
y /2
' /2
/2
t
t
t
M
xy
xy
/2
/2
/2
t
t
t
' ' '
xy
zdz
2 z dz
'
2 z dz
xy
xy
t 12 3 t 12 3 t 12
' ' '
xy /2
' /2
/2
t
t
t
281
4
k 2 q x y
5/30/2015
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Như vậy các giá trị nội lực kể trên sẽ được biểu diễn theo hàm
2
2
M
'
x
x
3
3
M
D
1
0 0
'
1
0 0
y
y
t 12
E 2
q 2 x 2 q 2 y
q 2 x 2 q 2 y
t 12 1
1
1
M
'
xy
xy
2
2
0
0
0
0
2
2
1
1
2
2
q x y
q x y
độ võng q(x,y) của phần tử như sau:
3
D
trong đó: D được gọi là độ cứng trụ của tấm chịu uốn
Et 2 12 1
1
D
D
– Nếu đặt:
với [D]t là ma trận các hệ số
t
1
0
0
1
0 0 2
đàn hồi của tấm chịu uốn
282
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Ta có:
2
M
x
M
D
y
t
D k t
M
xy
2
q x y
q 2 x 2 q 2 y 2
trong đó: {k} được gọi véc tơ độ cong của tấm chịu uốn
2
2
2
T
2
k
k
k
x
y
xy
k
q 2 x
q 2 y
q x y
T
283
5
5/30/2015
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
• Lý thuyết tấm có kể tới biến dạng trượt của Mindlin
– Các giả thiết
• (1) Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm trước biến
dạng vẫn là thẳng nhưng không nhất thiết là vuông góc với mặt phẳng trung hòa khi biến dạng
• (2) Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo nén và là mặt
trung hòa của tấm khi biến dạng
• (3) Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm
z
y
a
t
Mặt trung bình
b
x
– Xét tấm chịu uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng tấm như hình vẽ. Mặt phẳng xy của hệ tọa độ trùng với mặt trung bình
284
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Nếu gọi γx là biến dạng trượt trung bình đối với mặt cắt x =
const nào đó thì góc xoay θy tính như sau:
y
x
q x
q x – Tương tự góc xoay θx bằng:
q x
x
y
q y
q y
trong đó: q = q(x,y) là hàm độ võng, tức chuyển vị theo phương z của mặt phẳng trung bình.
285
6
5/30/2015
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Do vậy, các biến dạng trượt trung bình tính như sau:
y
x
q x
x
y
q y
– Như vậy, so với lý thuyết Kirchhoff, sự khác biệt chỉ ở giả thiết
thứ nhất tức là biến dạng trượt khác 0.
Nếu bỏ qua biến dạng trượt thì ta sẽ trở lại ngay các kết quả
của lý thuyết Kirchhoff tức là:
0
và
khi
y
y
x
x
q x
q y
286
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Các biến dạng trượt
,x y quan hệ với ứng suất tiếp
theo định luật Hooke.
trong công thức của Mindlin có ,xz yz
,x y
– Đối với vật liệu đẳng hướng thì quan hệ giữa biến dạng như sau:
với ứng suất
,xz yz
E 2 1
1 0 0 1
xz yz
x y
– Các biến dạng trượt được giả thiết là không đổi trên suốt bề dày tấm nên hợp lực của các ứng suất tiếp này trên 1 đơn vị dài mặt cắt được tính theo các biến dạng trượt như sau
t
y
E t 2 1
1 0
0 1
Q x Q
xz yz
x y
287
7
5/30/2015
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
Q
D c
y
E t 2 1
1 0 0 1
Q x Q
x y
Trong đó:
• α = 5/6 = hệ số hiệu chỉnh kể đến sự phân bố bậc 2 theo bề dày của
biến dạng trượt
• t = bề dày tấm
•
G
mô đun đàn hồi trượt
E 2 1
– Như vậy, lực cắt {Q} trong tấm được biểu diễn theo biến dạng
trượt.
– Mô men {M} trong tấm được biểu diễn theo độ cong {k} giống
như đã phân tích ở bài toán theo lý thuyết của Kirchhoff.
288
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Với tấm có vật liệu đẳng hướng, mô men {M} và lực cắt {Q}
trong tấm được tính như sau:
M
k
x
x
0
0
0
3
M
k
y
y
1
M
k
xy
xy
Et 2 12 1
0 0
0 0
0
0
/ 2
1
1
0 0
0 0
0 0 0
E t 2 1
1 0
0 1
y
Q x Q
x y
– Hoặc viết ở dạng gọn hơn như sau:
M
k
T
x y
D u Q 0
0
D c
289
8
5/30/2015
Khái niệm cơ bản về tấm chịu uốn (t.theo)
– Các thành phần nội lực trong tấm chịu uốn
290
5.2. Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác
• Phần tử tấm dạng tam giác theo lý thuyết Kirchoff
– Xét một phần tử tấm mỏng dạng tam giác chịu uốn trong hệ
y
tọa độ địa phương xyz như hình vẽ sau: y
q 9
q x
k
0,b
q
q 7
k
k
z
q 8
b
k
q y
q
j
i
k q 4
j
q 1
q i
x
q 5
, 0a
j
q y
j
i
0, 0
a
x
q 2
q 3
q y
i
q 6
q x
i
q x
j
• Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do => phần tử có 9 bậc tự do.
T
T
q
q
xi yi
j
xj yj
q k
xk yk
q q q q q q q q q 1 5 9
2
3
4
6
7
8
q i
e
291
9
5/30/2015
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Do phần tử tam giác có 9 bậc tự do nên hàm độ võng q(x,y)
được xấp xỉ hóa bằng 1 đa thức chứa 9 tham số.
T
a
a a a a a a a a a 1 5 9
4
3
6
8
2
7
e
– Ngoài ra, để đảm bảo tính đẳng hướng hình học, hàm đa thức
xấp xỉ của độ võng có dạng như sau:
2
2
3
2
2
3
xy
q x y ,
a 1
a x a y a x 3
4
2
a xy a y 5
6
a x 7
a y 9
a x y 8
– Nhận xét: đây là loại phần tử không tương thích
• Giả sử có 2 phần tử liền kề có chung biên là ij thì độ dốc tại các nút i và j là như nhau đối với cả 2 phần tử nhưng có thể độ dốc là khác nhau tại các điểm khác dọc theo cạnh biên chung ij (sẽ chứng minh tính không tương thích của phần tử tấm tam giác chịu uốn ở phần sau).
• Mặc dù phần tử tam giác là phần tử không tương thích nhưng vẫn cho
ra kết quả tốt và được sử dụng rộng rãi trong thực tế.
292
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Hàm xấp xỉ độ võng có thể biểu diễn dưới dạng ma trận quen
thuộc như sau:
q x y ,
P x y ,
a
Trong đó: [P(x,y)] = ma trận các đơn thức:
2
2
3
2
3
x y x
xy y
x
2 x y
xy
y
P x y ,
1
T
và {a} là véc tơ tham số:
a
a a a a a a a a a 1 5 9
6
4
2
7
3
8
e
– Chuyển vị tại các nút được biểu diễn dưới dạng véc tơ {q}e
q
q
q i
j
q k
e
q y
q x
q y
q x
q y
q x
i
j
k
i
j
k
T
293
10
5/30/2015
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Thực hiện đồng nhất chuyển vị nút với giá trị của hàm chuyển
q i
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
i
0
1
0
0
0
0
0
0
0
j
2
3
0
0
0
0
0
a
a
a
2
0
0
1
2
0
0
0
0
,
a
3 a
q
H x y
e
a
j
2
a
a
0
0
0
0
1
0
0
2
3
b
b
b
0
0
0
0
0
j
2
b
b
0
0
1
0
0
0
0
2
q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 q 7 q 8 q 9
0
0
0
0
0
0
b 3
1
b 2
1 0 1 1
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
k
vị tại các nút. q y i q x q q y q x q k q y k q x
294
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Nghịch đảo của ma trận [H] là ma trận [H]‐1
This image cannot currently be display ed.
y
0, b
k
b
j
i
x
, 0a
0, 0
a
trong đó: c = b ‐ a
295
11
5/30/2015
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Như vậy sau khi thực hiện đồng nhất các bậc tự do của phần tử với giá trị hàm chuyển vị tại nút ta có thể tìm được véc tơ tham số {a} như sau:
1
,
H
q
H x y
a
q
e
e
a
– Thay {a} vào công thức hàm độ võng ta có:
1
P x y H
,
,
q x y ,
P x y ,
N x y
q
e
e
a
q
trong đó [N] là ma trận các hàm dạng
1
N
P x y H
,
N N N N N N N N N 5
6
4
3
7
8
1
2
9
ta được
1 ,P x y H
Sau khi thực hiện phép nhân ma trận các hàm dạng Ni như sau:
296
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
2
2
3
3
2
3
2
x y x y 1N 1 3 2 a 3 2 b 2 3 a 2 3 b
2 x y
2
2
3
2
N x xy x xy x 2 a a bc 1 2 a 1 bc 1 bc
2 x y
3
2
3
2
3
N xy y y xy y b ac 2 b 1 2 b 1 ac 1 ac
N
y
y
4
7
2 3 b
3 2 b
2
3
2
N x x 3 2 a 2 3 a
N
xy
2 x y
xy
5
8
1 bc
1 bc
a bc
2
2
3
N x x 1 a 1 2 a
2 x y
N
y
y
6
9
1 2 b
1 b
297
12
N xy xy b ac 1 ac 1 ac
5/30/2015
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Các biến dạng trong tấm bao gồm 3 thành phần:
2
k
x
z
y
e
k
xy
2
x y xy
z k
2
q x y
q 2 x 2 q 2 y
– Do:
1
P x y H
,
,
q x y ,
P x y ,
N x y
q
e
e
a
q
nên biến dạng có thể được biểu diễn theo véc tơ chuyển vị nút {q}e như sau:
298
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
1
P x y H
,
q
e
2
2
2
1
P x y H
,
q
e
1
2
2
z
z
z
H
q
e
e
P x y , 2 x P x y , 2 y
2
1
P x y H
,
2
q
e
2
2
2
2
q x y
P x y , x y
q 2 x 2 q 2 y
2 x 2 y x y
– Hoặc có thể viết gọn lại như sau:
B q
e
e
trong đó [B] được gọi là ma trận tính biến dạng
B
1 z L H
299
13
5/30/2015
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
2
0
0
0
2
0
0
6
2
0
x
y
2
L
, P x y 2 x , P x y 2 y
2 x
y
0 0
0 0
0 0
0 0
0 2
2 0
0 0
x 4
4
y 6 0
2
2
P x y , x y
300
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
• Xác định ma trận độ cứng
– Ma trận độ cứng của phần tử tấm uốn dạng tam giác xác định
như sau:
T
K
B D B dV
e
B
– Thay
vào phương trình trên ta có:
V 1 z L H
T
1
1
K
D
dV
z L A
z L A
e
V
/2
t
T
T
1
1
K
L D L H dA
e
t
/2
2 z dz H A
301
14
5/30/2015
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Do [H]‐1 chỉ chưa các hằng số => có thể đưa [H]‐1 ra ngoài dấu
tích phân như sau:
t
/2
T
T
1
1
K
L D L H dA
e
t
2 z dz H A
/2
3
T
T
1
1
K
H
L D L dA H
e
t 12
A
với A là diện tích phần tử.
T
1
1
T
H
K
với
I
e
L D L dA t
– Ta có thể viết [K]e ở dạng gọn hơn như sau: I H
A
302
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
T
I
L D L dA t
được gọi
– Ma trận [D]t trong công thức
A
là ma trận các hệ số đàn hồi của tấm chịu uốn:
0
D
D
1
t
1
0
0
1
0 2
3
D
với
là độ cứng trụ của tấm
E 2
t 12 1
303
15
5/30/2015
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
T
– Khi tính tích phân
cần lưu ý:
I
L D L dA t
y
A
0, b
k
b
Là diện tích tam giác phần tử
dA A
j
i
ab 2
x
A
, 0a
0, 0
a
Là mô men tĩnh của tam giác phần tử với trục y
xdA S
y
2 a b 6
A
Là mô men quán tính của tam giác phần tử với trục y
2 x dA J
y
3 a b 12
A
xydA J
xy
Là mô men quán tính ly tâm của tam giác phần tử đối với hệ trục xy
2 2 a b 8
A
…
304
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
T
– Thực hiện tính tích phân
được:
I
L D L dA t
A
Đối xứng
0 0
0
0 0
0 0
0 0 12
ab
0
0
0
0
ab
I
6 1
D 6
0
0
0 12
0
12
ab
ab
0
12
0 0
0 0
2 0 12 a b 0 I
I
2 a b I
3 18 a b I
I
2
2
3
0
0
0
85 0
12
27
18
ab
86 ab
3 a b
2 2 3 a b
ab
88
84 12
87 2 2 a b
6
trong đó:
2
2
2
2
I
4
ab
I
I
ab
2 a b
2 a b
a b ab
4 1
84
85
84
4
3
3
I
2
2 2 a b
2
a b ab
3 2
I
9
2 2 a b
3 a b 6
88
87
305
16
5/30/2015
Phần tử tấm chịu uốn dạng tam giác (t.theo)
– Sau khi tính được ma trận [I] sẽ xác định được ma trận độ cứng của phần tử tam giác chịu uốn trong hệ tọa độ địa phương như sau:
T
1
1
H
k
e
I H
– Để xác định ma trận độ cứng [K]e của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể (OXYZ) cần sử dụng ma trận chuyển hệ trục tọa độ [T]e như sau:
T
K
T
T k
e
e
e
e
306
17
![Đề thi Công nghệ tạo hình dụng cụ năm 2020-2021 - Đại học Bách Khoa Hà Nội (Đề 4) [Kèm đáp án]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2023/20230130/phuong62310/135x160/3451675040869.jpg)
![Bài giảng Quản lý vận hành và bảo trì công trình xây dựng [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251006/agonars97/135x160/30881759736164.jpg)
![Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Sức bền vật liệu 1: [Mô tả/Định tính Thêm để Tăng CTR]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250920/kimphuong1001/135x160/6851758357416.jpg)
![Trắc nghiệm Kinh tế xây dựng [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250920/kimphuong1001/135x160/32781758338877.jpg)
