Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 5: Sai phân số (Tính đạo hàm bằng phương pháp số)

Chia sẻ: Thiên Lăng Sở | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 5: Sai phân số (Tính đạo hàm bằng phương pháp số) cung cấp cho học viên các kiến thức về ý nghĩa của đạo hàm, các cách tiếp cận để tính sai phân số, xây dựng công thức tính sai phân số bậc 1, các công thức tính sai phân số, sai phân số từng phần, ứng dụng của việc tính sai phân số: dầm chịu uốn,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 5: Sai phân số (Tính đạo hàm bằng phương pháp số)

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 1 Khoa Công nghệ Cơ khí Bộ môn Cơ sở - Thiết kế Bài 5: Sai phân số (Tính đạo hàm bằng pp số) Thời lượng: 3 tiết
Nội dung bài học 2
Ý nghĩa của đạo hàm 3 Đạo hàm dùng để mô tả sự thay đổi của một đại lượng này phụ thuộc vào sự thay đổi của một đại lượng khác (có hướng hoặc vô hướng) Tọa độ: x = f (t ) dx Vận tốc thể hiện quy luật phụ thuộc của Vận tốc: v = sự thay đổi giá trị tọa độ điểm, khi mà dt thời gian thay đổi dv Gia tốc thể hiện quy luật phụ thuộc của Gia tốc: a = sự thay đổi giá trị vận tốc điểm, khi mà dt thời gian thay đổi
Vì sao phải dùng sai phân số 4 1) Khi hàm số được cho ở dạng biểu thức tường minh, thì đạo hàm của nó có thể được tính bằng phương pháp giải tích (theo bảng đạo hàm) 2) Khi: • Hàm số được xác định ở một số lượng hữu hạn các điểm rời rạc • Hàm số ở dạng hộp đen (tức là một quy trình bên trong nội hàm, nhưng cho phép xác định giá trị của hàm khi biết giá trị các tham biến đầu vào) cần sử dụng các phương pháp số để tính đạo hàm 3) Sai phân số cũng được thường xuyên sử dụng khi giải các phương trình vi phân hoặc hệ phương trình vi phân
Các cách tiếp cận để tính sai phân số 5 Dữ liệu Khớp đường cong Tiếp tuyến f’(xi) được xấp xỉ bằng độ dốc của f’(xi) được xấp xỉ bằng độ dốc của tiếp đường nối hai điểm dữ liệu lân cận tuyến với đường cong khớp tại điểm xi
Dãy Taylor 6 Dãy Taylor dùng để tính gần đúng giá trị hàm số tại một điểm khi biết giá trị hàm số và các đạo hàm của nó tại một điểm khác f ′′ ( x∗ ) f ′′′ ( x∗ ) f ( n ) ( x∗ ) f ( x) = f ( x ) + f ′( x ∗ ∗ )( x − x ) + ∗ (x − x ) ∗ 2 + (x − x ) ∗ 3 +… + (x − x ) ∗ n + Rn 2! 3! n! (1) f ( ) (ξ ) n +1 Trong đó: Rn = ( n + 1)! ( x−x ) ∗ n +1 – Phần tử sai số cắt ngắn bậc n – ξ là một số của x nằm giữa x và x* Đặt: x − x∗ = h f ′′ ( x∗ ) f ′′′ ( x∗ ) f ( n ) ( x∗ ) (1) ↔ f ( x ) = f ( x∗ ) + f ′ ( x∗ ) h + h2 + h3 + … + h n + Rn (2) 2! 3! n! f ( n +1) (ξ ) Trong đó: Rn = h n +1 = O ( h n ) – Vô cùng nhỏ bậc n ( n + 1)!
Sai phân số bậc một 7 f ′′ ( x∗ ) f ′′′ ( x∗ ) f ( n ) ( x∗ ) f ( x) = f ( x ) + f ′( x ∗ ∗ )( x − x ) + ∗ (x − x ) ∗ 2 + (x − x ) ∗ 3 +… + (x − x ) ∗ n + Rn 2! 3! n! Sai phân số hữu Sử dụng dãy Taylor với hạn phía sau x=xi-1, x*=xi, h=xi – xi-1 Tiếp tuyến f ( xi −1 ) = f ( xi ) + f ′ ( xi ) ⋅ ( −h ) + R1 f ( xi ) − f ( xi −1 ) ⇒ f ′ ( xi ) ≃ h
Sai phân số bậc một 8 f ′′ ( x∗ ) f ′′′ ( x∗ ) f ( n ) ( x∗ ) f ( x) = f ( x ) + f ′( x ∗ ∗ )( x − x ) + ∗ (x − x ) ∗ 2 + (x − x ) ∗ 3 +… + (x − x ) ∗ n + Rn 2! 3! n! Sử dụng dãy Taylor với x=xi+1, x*=xi, h=xi+1 – xi Sai phân số hữu hạn phía trước f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ′ ( xi ) ⋅ ( h ) + R1 f ( xi +1 ) − f ( xi ) Tiếp tuyến ⇒ f ′ ( xi ) ≃ h
Sai phân số bậc một 9 f ′′ ( x∗ ) f ′′′ ( x∗ ) f ( n ) ( x∗ ) f ( x) = f ( x ) + f ′( x ∗ ∗ )( x − x ) + ∗ (x − x ) ∗ 2 + (x − x ) ∗ 3 +… + (x − x ) ∗ n + Rn 2! 3! n! Sử dụng dãy Taylor 2 lần với: x=xi+1, x*=xi, h=xi+1 – xi x=xi-1, x*=xi, h=xi – xi-1 Sai phân số hữu hạn trung tâm  f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ′ ( xi ) ⋅ ( h ) + R1   f ( xi −1 ) = f ( xi ) + f ′ ( xi ) ⋅ ( −h ) + R1 Tiếp tuyến f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) ⇒ f ′ ( xi ) ≃ 2h
Sai phân số bậc một 10 Sử dụng dãy Taylor 2 lần với: x=xi+1, x*=xi, h=xi+1 – xi; x=xi-1, x*=xi, h=xi – xi-1 × ( −4 )  f ( xi −1 ) = f ( xi ) − h ⋅ f ′ ( xi ) + 1 ⋅ h 2 ⋅ f ′′ ( xi ) − 1 ⋅ h3 ⋅ f ′′′ (ξ ) ; xi −1 ≤ ξ ≤ xi  2! 3! +   f ( x ) = f ( x ) − ( 2h ) ⋅ f ′ ( x ) + 1 ⋅ ( 2h )2 ⋅ f ′′ ( x ) − 1 ⋅ ( 2h )3 ⋅ f ′′′ (η ) ; x ≤ η ≤ x i−2 i−2  i i 2! i 3! i 4 3 8 3 ⇔ f ( xi − 2 ) − 4 f ( xi −1 ) = −3 f ( xi ) + 2h ⋅ f ( xi ) + ⋅ h ⋅ f (ξ ) − ⋅ h ⋅ f ′′′ (η ) ′ ′′′ 3! 3! f ( xi − 2 ) − 4 f ( xi −1 ) + 3 f ( xi ) 1 2 2 2 ⇔ f ( xi ) = ′ − ⋅ h ⋅ f (ξ ) + ⋅ h ⋅ f ′′′ (η ) ′′′ 2h 3 3 f ( xi − 2 ) − 4 f ( xi −1 ) + 3 f ( xi ) ⇔ f ′ ( xi ) = + O ( h2 ) 2h f ( xi − 2 ) − 4 f ( xi −1 ) + 3 f ( xi ) Tương tự cho các ⇒ f ′ ( xi ) = 2h đạo hàm khác
Sai phân số phía trước (Forward) 11 f ( xi +1 ) − f ( xi ) Dùng 2 điểm: f ′ ( xi ) = h Dùng 3 điểm: f ′ ( xi ) = − f ( xi + 2 ) + 4 f ( xi +1 ) − 3 f ( xi ) 2h f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi ) Dùng 3 điểm: f ′′ ( xi ) = h2 − f ( xi +3 ) + 4 f ( xi + 2 ) − 5 f ( xi +1 ) + 2 f ( xi ) Dùng 4 điểm: f ′′ ( xi ) = h2 f ( xi +3 ) − 3 f ( xi + 2 ) + 3 f ( xi +1 ) − f ( xi ) Dùng 4 điểm: f ′′′ ( xi ) = h3 −3 f ( xi + 4 ) + 14 f ( xi +3 ) − 24 f ( xi + 2 ) + 18 f ( xi +1 ) − 5 f ( xi ) Dùng 5 điểm: f ′′′ ( xi ) = 2h3 f ( xi + 4 ) − 4 f ( xi +3 ) + 6 f ( xi + 2 ) − 4 f ( xi +1 ) + f ( xi ) Dùng 5 điểm: f( 4) ( xi ) = h4 −2 f ( xi +5 ) + 11 f ( xi + 4 ) − 24 f ( xi +3 ) + 26 f ( xi + 2 ) − 14 f ( xi +1 ) + 3 f ( xi ) Dùng 6 điểm: f ( 4) ( xi ) = h4
Sai phân số phía sau (Backward) 12 f ( xi ) − f ( xi −1 ) Dùng 2 điểm: f ′ ( xi ) = h Dùng 3 điểm: f ′ ( xi ) = 3 f ( xi ) − 4 f ( xi −1 ) + f ( xi − 2 ) 2h f ( xi ) − 2 f ( xi −1 ) + f ( xi − 2 ) Dùng 3 điểm: f ′′ ( xi ) = h2 2 f ( xi ) − 5 f ( xi −1 ) + 4 f ( xi −2 ) − f ( xi −3 ) Dùng 4 điểm: f ′′ ( xi ) = h2 f ( xi ) − 3 f ( xi −1 ) + 3 f ( xi − 2 ) − f ( xi −3 ) Dùng 4 điểm: f ′′′ ( xi ) = h3 5 f ( xi ) − 18 f ( xi −1 ) + 24 f ( xi − 2 ) − 14 f ( xi −3 ) + 3 f ( xi − 4 ) Dùng 5 điểm: f ′′′ ( xi ) = 2h3 f ( xi ) − 4 f ( xi −1 ) + 6 f ( xi − 2 ) − 4 f ( xi −3 ) + f ( xi −4 ) Dùng 5 điểm: f( 4) ( xi ) = h4 3 f ( xi ) − 14 f ( xi −1 ) + 26 f ( xi −2 ) − 24 f ( xi −3 ) + 11 f ( xi − 4 ) − 2 f ( xi −5 ) Dùng 6 điểm: f ( 4) ( xi ) = h4
Sai phân số trung tâm (Center) 13 f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) Dùng 2 điểm: f ′ ( xi ) = 2h Dùng 4 điểm: f ′ ( xi ) = − f ( xi + 2 ) + 8 f ( xi +1 ) − 8 f ( xi −1 ) + f ( xi − 2 ) 12h f ( xi +1 ) − 2 f ( xi ) + f ( xi −1 ) Dùng 3 điểm: f ′′ ( xi ) = h2 − f ( xi + 2 ) + 16 f ( xi +1 ) − 30 f ( xi ) + 16 f ( xi −1 ) − f ( xi − 2 ) Dùng 5 điểm: f ′′ ( xi ) = 12h 2 f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + 2 f ( xi −1 ) − f ( xi −2 ) Dùng 4 điểm: f ′′′ ( xi ) = 2h3 − f ( xi +3 ) + 8 f ( xi + 2 ) − 13 f ( xi +1 ) + 13 f ( xi −1 ) − 8 f ( xi −2 ) + f ( xi −3 ) Dùng 6 điểm: f ′′′ ( xi ) = 8h 3 f ( xi + 2 ) − 4 f ( xi +1 ) + 6 f ( xi ) − 4 f ( xi −1 ) + f ( xi − 2 ) Dùng 5 điểm: f ( 4) ( xi ) = h4 − f ( xi +3 ) + 12 f ( xi + 2 ) + 39 f ( xi +1 ) + 56 f ( xi ) − 39 f ( xi −1 ) + 12 f ( xi − 2 ) + f ( xi −3 ) Dùng 7 điểm: f ( 4) ( xi ) = 6h 4
Ví dụ 14 Tính sai phân số bậc 1 và bậc 2 của hàm số sau đây tại các điểm x=1.4 theo các cách phía trước, phía sau, trung tâm với phương án ít và nhiều điểm. So sánh với lời giải chính xác. Cho h=0.2. x   f ( x ) = e sin   −x 2 Tính đạo hàm bằng công thức: −x   x  e  x  −x  1  x  x   ( ) ′ −x f x = − e sin   + cos   = e ⋅ 2 cos   − sin      2 2   2    2  2    f ′′ ( x ) = −e − x  1 cos  x  − sin  x   + e − x  − 1 sin  x  − 1 cos  x   = e − x  3 sin  x  − cos  x    2      4 2 2   4  2        2   2      2     2   x = 1.4   ′   ( ) f x −0.06455824515  Lời giải chính xác  f ′′ ( x ) −0.0694611669 
15 f ( xi +1 ) − f ( xi ) f (1.6 ) − f (1.4 ) 1. Phía trước – 2 điểm: f ′ ( xi ) = = = −0.0701521445 h 0.2 −0.0701521445 − ( −0.06455824515 ) ⇒ε= = 8.66% −0.06455824515 f ( xi ) − f ( xi −1 ) f (1.4 ) − f (1.2 ) 2. Phía sau – 2 điểm: f ′ ( xi ) = = = −0.056024595 h 0.2 −0.056024595 − ( −0.06455824515 ) ⇒ε= = 13.22% −0.06455824515 f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f (1.6 ) − f (1.2 ) 3. Trung tâm – 2 điểm: f ′ ( xi ) = = = −0.0630883698 2h 2 ⋅ 0.2 −0.0630883698 − ( −0.06455824515 ) ⇒ε= = 2.28% −0.06455824515
16 − f ( xi + 2 ) + 4 f ( xi +1 ) − 3 f ( xi ) − f (1.8 ) + 4 f (1.6 ) − 3 f (1.4 ) 1. Phía trước – 3 điểm: f ′ ( xi ) = = = −0.066856643 2h 2 ⋅ 0.2 −0.066856643 − ( −0.06455824515 ) ⇒ε= = 3.56% −0.06455824515 3 f ( xi ) − 4 f ( xi −1 ) + f ( xi − 2 ) 3 f (1.4 ) − 4 f (1.2 ) + f (1.0 ) 2. Phía sau – 3 điểm: f ′ ( xi ) = = = −0.068277506 2h 2 ⋅ 0.2 −0.068277506 − ( −0.06455824515 ) ⇒ε= = 5.761% −0.06455824515 3. Trung tâm – 4 điểm: − f ( xi + 2 ) + 8 f ( xi +1 ) − 8 f ( xi −1 ) + f ( xi − 2 ) − f (1.8 ) + 8 f (1.6 ) − 8 f (1.2 ) + f (1.0 ) f ′ ( xi ) = = = −0.06458127139 12h 12 ⋅ 0.2 −0.06458127139 − ( −0.06455824515 ) ⇒ε= = 0.036% −0.06455824515
17 1. Phía trước – 3 điểm: f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi ) f (1.8 ) − 2 (1.6 ) + f (1.4 ) f ′′ ( xi ) = = = −0.032955018 h2 0.22 −0.032955018 − ( −0.0694611669 ) ⇒ε= = 52.56% −0.0694611669 2. Phía sau – 3 điểm: f ( xi ) − 2 f ( xi −1 ) + f ( xi − 2 ) f (1.4 ) − 2 (1.2 ) + f (1.0 ) f ′′ ( xi ) = 2 = 2 = −0.122529115 h 0.2 −0.122529115 − ( −0.0694611669 ) ⇒ε= = 76.4% −0.0694611669 3. Trung tâm – 3 điểm: f ( xi +1 ) − 2 f ( xi ) + f ( xi −1 ) f (1.6 ) − 2 (1.4 ) + f (1.2 ) f ′′ ( xi ) = 2 = 2 = −0.070637748 h 0.2 −0.070637748 − ( −0.0694611669 ) ⇒ε= = 1.69% −0.0694611669
18 4. Phía trước – 4 điểm: − f ( xi +3 ) + 4 f ( xi + 2 ) − 5 f ( xi +1 ) + 2 f ( xi ) − f ( 2.0 ) + 4 f (1.8 ) − 5 (1.6 ) + 2 f (1.4 ) f ′′ ( xi ) = 2 = 2 = −0.05956694 h 0.2 −0.05956694 − ( −0.0694611669 ) ⇒ε= = 14.24% −0.0694611669 5. Phía sau – 4 điểm: 2 f ( xi ) − 5 f ( xi −1 ) + 4 f ( xi − 2 ) − f ( xi −3 ) 2 f (1.4 ) − 5 (1.2 ) + 4 f (1.0 ) − f ( 0.8 ) f ′′ ( xi ) = 2 = 2 = −0.052617898 h 0.2 −0.052617898 − ( −0.0694611669 ) ⇒ε= = 24.25% −0.0694611669 6. Trung tâm – 5 điểm: − f ( xi + 2 ) + 16 f ( xi +1 ) − 30 f ( xi ) + 16 f ( xi −1 ) − f ( xi − 2 ) − f (1.8 ) + 16 (1.6 ) − 30 f (1.4 ) + 16 f (1.2 ) − f (1.0 ) f ′′ ( xi ) = = = −0.0694536929 12h 2 12 ⋅ 0.2 2 −0.0694536929 − ( −0.0694611669 ) ⇒ε= = 0.01% −0.0694611669
Sai phân số từng phần z = f ( x, y ) 19 Sai phân số phía trước bậc 1: hx = xi +1 − xi ; hy = yi +1 − yi  ∂f f ( xi +1 , yi ) − f ( xi , yi )  =  ∂x x = xi y = yi hx ⇒  ∂f f ( xi , yi +1 ) − f ( xi , yi ) =  ∂y x = xi hy  y = yi Sai phân số phía sau bậc 1: hx = xi − xi −1 ; hy = yi − yi −1  ∂f f ( xi , yi ) − f ( xi −1 , yi )  =  ∂x x = xi y = yi hx ⇒  ∂f f ( xi , yi ) − f ( xi , yi −1 ) =  ∂y x = xi hy  y = yi
Sai phân số từng phần z = f ( x, y ) 20 Sai phân số trung tâm bậc 1: hx = xi +1 − xi = xi − xi −1 ; hy = yi +1 − yi = yi − yi −1  ∂f f ( xi +1 , yi ) − f ( xi −1 , yi )  =  ∂x x = xi y = yi 2hx ⇒  ∂f f ( xi , yi +1 ) − f ( xi , yi −1 ) =  ∂y x = xi 2 hy  y = yi Sai phân số trung tâm bậc 2:  ∂2 f f ( xi +1 , yi ) − 2 f ( xi , yi ) + f ( xi −1 , yi )  2 =  ∂x x = xi y = yi hx2 ⇒ ∂ f 2 f ( xi , yi +1 ) − 2 f ( xi , yi ) + f ( xi , yi −1 )  ∂y 2 = x = xi hy2  y = yi