Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 6: Tích phân số

Chia sẻ: Thiên Lăng Sở | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 6: Tích phân số cung cấp cho học viên các kiến thức về khái niệm tích phân xác định và không xác định, công thức Newton-Cotes, công thức hình chữ nhật (bên trái - phải - giữa), công thức hình thang, công thức Simpson 1/3, công thức Gauss 2 điểm và 3 điểm,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 6: Tích phân số

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 1 Khoa Công nghệ Cơ khí Bộ môn Cơ sở - Thiết kế Bài 6: Tích phân số Thời lượng: 3 tiết
2 Nội dung bài học
3 Tích phân xác định và không xác định 2 1 2 1 x x 1  x dx  2  c 0 x dx  2 0  2 Tích phân không xác định khác nhau ở hằng số c. Là một biểu Tích phân xác định là một con số thức hàm số không có giá trị cụ cụ thể duy nhất thể Nếu hàm f(x) liên tục trên khoảng [a,b]. F(x) là nguyên hàm của f(x), ta có: b  f  x  dx  F  b   F  a  a (1)
4 Ý nghĩa của tích phân xác định b I  f    f  x  dx (2) a Tích phân xác định là diện tích của hình được giới hạn bởi đường cong f(x) và các đường thẳng x=a, x=b và trục x
5 Vì sao phải dùng tích phân số 1) Khi hàm số được cho ở dạng biểu thức tường minh, thì nguyên hàm của nó có thể được tính bằng phương pháp giải tích để từ đó tính theo công thức (1) 2) Khi: • Hàm số được xác định ở một số lượng hữu hạn các điểm rời rạc • Hàm số ở dạng hộp đen (tức là một quy trình bên trong nội hàm, nhưng cho phép xác định giá trị của hàm khi biết giá trị các tham biến đầu vào)  cần sử dụng các phương pháp số để tính tích phân
6 Các cách tiếp cận để tính tích phân số Trong phương pháp đóng các điểm cuối Trong phương pháp mở khoảng tích phân (a,f(a)), (b,f(b)) được sử dụng để ước tính được mở rộng ra ngoài phạm vi của các giá trị của tích phân. điểm cuối để ước tính giá trị tích phân. Phương pháp điểm giữa và cầu phương Phương pháp hình thang và Simpson Gauss
7 Công thức Newton-Cotes Ý tưởng của Công thức Newton- Codes nằm ở chiến lược thay thế hàm số f(x) có dạng phức tạp hay ở dạng bảng dữ liệu bằng một hàm gần đúng dễ tích phân. Thông thường sẽ là hàm đa thức fn(x).  b b  I  f    f  x  dx  f n  x  dx  a a (3)  f x  a  a x  a x 2   a x n 1  a x n  n  0 1 2 n 1 n
8 Quy tắc hình chữ nhật (4) f  a   b  a  b n ba n  f  x  dx    f  x  x  xi   O  h   h   f  xi   O  h  h A i i 1 n a i 1 i 1
9 Quy tắc hình chữ nhật A f b   b  a  b n 1 ba n 1 (5)  f  x  dx    f  x  x  x   O  h   h   f  x   O  h  h n i i i 1 i a i 2 i 2
10 Quy tắc hình chữ nhật A f  m  b  a  ba (6)   xi 1  xi   x x  b   xi 1  xi    O  h   h     n h n  f  x  dx    f  2 n f  i 1 i   O h 2 a i 1   2   i 1  2 
11 Quy tắc hình thang f  x p1  x  x b  f b  f  a    f b   f  a   x  a   b b b 2 I  f    f  x  dx a p1  x  dx  a  f a   x  a   dx   f  a   x    a ba   ba 2  xa f  a   f b    b  a  (7) 2
12 Quy tắc hình thang b f  x1   f  x2  f  x2   f  x3  f  xn   f  xn 1  I  f    f  x  dx   x2  x1     x3  x2      xn 1  xn  a 2 2 2 Với khoảng cách dữ liệu đều nhau: xi 1  xi  h  i  1, 2, , n (8) b h n h I  f    f  x  dx    f  xi   f  xi 1      f  x1   2 f  x2   2 f  x3    2 f  xn   f  xn 1   a 2 i 1 2
13 Quy tắc Simpson ⅓ b b I  f    f  x  dx  p  x  dx 2 a a  h  I  f  3   f  x1   4 f  x2   f  x3    h  b  a  2 (9)
14 Quy tắc Simpson ⅓ Tổng hợp b h I  f    f  x  dx   f  x1   4 f  x2   f  x3    a 3 h    f  x3   4 f  x4   f  x5     3 h    f  xn 1   4 f  xn   f  xn 1   3  h  n 1    f  x1   4  f  xi   2  f  x j   f  xn 1   n I  f   3    i  2,4,6, j 3,5,7, (10)  ba h  n
15 Cầu phương Gauss (Gauss Quadrature) b n I  f    f  x  dx c  f x  i 1 i i (11) a Trong đó: - Các hệ số ci – là các trọng số - Các điểm xi – là các điểm Gauss nằm trong khoảng [a; b]  Vấn đề ở chỗ tìm các hệ số ci và xi để sao cho công thức trên cho một xấp xỉ tốt của tích phân b 1) Tích phân Gauss 2 điểm: n  2  I  f    f  x  dx c1  f  x1   c2  f  x2  (12) a b (13) 2) Tích phân Gauss 3 điểm: n  3  I  f    f  x  dx c1  f  x1   c2  f  x2   c3  f  x3  a
16 1 n If   f  x  dx  c  f  x  1 i 1 i i (14) Các hệ số ci và xi được xác định bằng cách triển khai công thức (14) với các trường hợp hàm f(x)= 1, x, x2, x3, … 1 1) Tích phân Gauss 2 điểm: Xác định n  2  I  f    f  x  dx c1  f  x1   c2  f  x2  1 c1, c2, x1, x2: 1 - Trường hợp 1: f  x   1   1 dx  2  c1  c2 1  1 c  c  1 - Trường hợp 2: f  x   x   x dx  0  c1 x1  c2 x2 1 2 1   1   1  f  x  dx 1  1 1  1 x   f   f  - Trường hợp 3: 2 f  x   x   x dx   c1 x12  c2 x22 2 2  3 1  3  3 1 3  1  2 x  1 f  x   x   x dx  0  c x  c x  3 (15) - Trường hợp 4: 3 3 3 1 1 3 2 2 1
17 1 2) Tích phân Gauss 3 điểm: n  3  I  f   f  x  dx c  f  x   c  f  x   c  f  x  Xác định c1, c2, c3, x1, x2, x3 :  1 1 1 2 2 3 3 1 (16) - Trường hợp 1: f  x   1   1 dx  2  c1  c2  c3 1 1 - Trường hợp 2: f  x   x   x dx  0  c1 x1  c2 x2  c3 x3 1 1  5 8 c1  c3  9 ; c2  9 2 - Trường hợp 3: f  x   x   x dx   c1 x12  c2 x22  c3 x32 2 2 3  1 1 - Trường hợp 4: f  x   x   x 3 dx  0  c1 x13  c2 x23  c3 x33 3  x   15 ; x  0; x  15 1  1 5 2 3 5 1 2 - Trường hợp 5: f  x   x   x 4 dx  4  c1 x14  c2 x24  c3 x34 1 5 (17) 1 - Trường hợp 6: f  x   x 5   x 5 dx  0  c1 x15  c2 x25  c3 x35 1 5  15  8 5  15  1  f  x  dx 9 f   5   9 f   0  9 f  5  1    
18 Các giá trị của các điểm xi nằm trong khoảng [-1; +1]
19 Đưa các tích phân về dạng khoảng [-1; +1] b 1 1) Dạng 1: Khoảng [a; b]:  f  x  dx   f  t  dt a 1  ba a  m   1  d m  2 ba x  m t  d     dx  dt b  m 1  d d  b  a 2  2 1 ba baba b   f  x  dx   f  t   dt (18) a 1  2 2  2  1 2) Dạng 2: Khoảng [a; +∞]:  f  x  dx   g  t  dt a 1  1  y  1 1 2  1 t   f  x  dx   f  a   dy   f a   dt (19) a 0  1  y  1  y  2 1 1  t  2  1 t 
20 Đưa các tích phân về dạng khoảng [-1; +1] b 1 3) Dạng 3: Khoảng [-∞; b]:  f  x  dx   g  t  dt  1 b 1  1 y  1 2 1  1 t   f  x  dx    0 f b     2 dy   y  y 1 1  t  2 f b   dt  1 t  (20) 4) Dạng 4: Khoảng [-∞; +∞]:  1 1 t 2  t   f  x  dx   f 2  dt (21)  1 1  t  2 2  1 t 