http://www.math.vn
DIỄN ĐÀN MATH.VN
http://www.math.vn
LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011
Môn thi : Toán Đề số: 12
Câu I. 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho hàm số y=3x−2
x+1(C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)của hàm số đã cho.
Lời giải:
Hàm số y=3x−2
x+1
Bảng biến thiên
Đồ thị
−8−6−4−2 246
−4
−2
2
4
6
8
10
0
Câu I. 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Gọi Ilà giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến dcủa đồ thị hàm số biết dcắt
tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại Avà Bthỏa mãn cos d
BAI =5
√26
Lời giải:
Cách 1:
Xét điểm M(xo;yo),xo6=−1thuộc (C). Ptrình tiếp tuyến tại M:y−3−5
xo+1=5
(xo+1)2(x−xo)
Ptrình của hai đường tiệm cận của (C)lần lượt là x=−1,y=3
Alà giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận đứng x=−1⇒A−1; 3xo−7
xo+1
Blà giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận ngang y=3⇒B(2xo+1;3)
Từ điều kiện giả thiết ta có phương trình 5
√26 =t
√400+t2với t=102
(xo+1)2,t>0
⇔t=100 ⇔102=102(xo+1)2⇔xo=0hay xo=−2
Với xo=0⇒pt của d:y=5x−2
Với xo=−2⇒pt của d:y=5x+2
Cách 2:
Xét điểm M(xo;yo),xo6=−1thuộc (C). Ptrình tiếp tuyến dtại M:y−3−5
xo+1=5
(xo+1)2(x−xo)
1 vectơ pháp tuyến của dlà −→
u=5
(xo+1)2;−1
Ptrình của hai đường tiệm cận của (C)lần lượt là d1:x=−1,d2:y=3
Ta có: ∆BAI vuông tại Inên d
BAI luôn nhọn vì vậy:
cos(d;d1) = |−→
u.−→
i|
|−→
u.|.|−→
i|=
5
(xo+1)2
r1+25
(xo+1)4
=cos d
BAI =5
√26 ⇔5
(xo+1)2=5⇔ |xo+1|=1
1
http://www.math.vn
⇔xo=0
xo=−2⇒d:y=5x−2
d:y=5x+2Có 2 tiếp tuyến thoả mãn
Cách 3:
tan2d
BAI =1
cos2d
BAI −1=1
25
Mà: tan d
ABI là hệ số góc kcủa tiếp tuyến.
tan d
ABI =1
tan d
BAI =|5|. Từ đây có được 2 tiếp tuyến
Câu II. 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Giải bất phương trình: x−3
3√x+1+x+3>2√9−x
x
Lời giải:
ĐK: 9>x≥ −1;x6=0
bất phương trình ⇔(√x+1−2)(√x+1+2)
(√x+1+2)(√x+1+1)>2√9−x
(√x+1+1)(√x+1−1)⇔√x+1−2>2√9−x
√x+1−1
TH1:√x+1−1>0⇔x>0
bất phương trình ⇔x+3−3√x+1>2√9−x⇔(x−8) + (9−3√x−1) + (2−2√9−x)>0
⇔(x−8)(1−9
9+3√x+1+8
2+2√9−x)>0⇔8<x<9(∗)
TH2:√x+1−1<0⇔x<0
bất phương trình ⇔x+3−3√x+1<2√9−x⇔0>x≥ −1(∗∗)
Vậy nghiệm của bất phương trình là (∗)và (∗∗)
Câu II. 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Giải phương trình: √3(sin2x−3sinx) + 3=2cos2x+3cosx−2
Lời giải:
Ptrình √3(sin2x−3sinx) + 3=2cos2+3cosx−2
⇔√3sin2x−3cosx=2(1−sin2) + 3√3sinx−5
⇔√3sin2x−3cosx=−2sin2x+3√3sinx−3
⇔cosx2√3sinx−3=−2sinx−√3sinx−√3
⇔2sinx−√3√3cosx+sinx−√3=0
⇔2sinx−√3=0
√3cosx+sinx=√3⇔
x=
π
3+k2
π
x=k2
π
x=2
π
3+k2
π
,k∈Z
Câu III. (1 điểm) ————————————————————————————————
Tính tích phân: I=Z
π
4
0
cos2x+2√2sinx+
π
4
2sin2x+
π
4+2√2cosx+
π
4+1dx.
Lời giải:
Đặt x=
π
4−t⇒dx=−dtLúc đó : I=Z
π
4
0
sin2t−2√2sint
2sin2t+2√2cost+1dt=Z
π
4
0
2sint(cost−√2)
−2cos2t+2√2cost+3dt
Đặt u=cost⇒du=−sintdt. Lúc đó I=2Z1
√2
2
u−√2
−2u2+2√2u+3du=−Z1
√2
2
u−√2
u+√2
2u−3√2
2du
⇔I=−1
4Z1
√2
2 3√2
u+√2
2
+1
u−3√2
2!du=−1
43√2ln √2+1
2+ln 3−2√2
2
Câu IV. (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O,AB =a,BC =a√3, tam giác ASO cân tại S
và mặt phẳng (SAD)vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa SD và (ABCD)bằng 60o. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD cùng khoảng cách giữa SB và AC.
Lời giải:
2
http://www.math.vn
Gọi I trung điểm AO Vẽ SH ⊥AD;(H∈AD)và vì
(SAD)⊥(ABCD)⇒SH ⊥(ABCD)
Ta có: SA =SO ⇒AH =HO ⇒∆AHO cân tại H
nên Hthuộc BI là đtrung trực của AO
1. Tính thể tích:
Ta có: ∆AOB đều ⇒AI =AO
2=a
2
AH =AI
cos30o=a
√3
⇒HD =AD−AH =a√3−a
√3=2a
√3
SH =HDtan60o=2a
√3·√3=2a
VS.ABCD =1
3·SH ·SABCD =1
3·2a·a·a√3=2a3√3
3
2. Tính khoảng cách:
Gọi E trung điểm SA
Ta có: BH =√AB2+AH2=ra2+a2
3=2a
√3
1
HE2=1
BH2+1
SH2=3
4a2+1
4a2=1
a2⇒HE =a
Ta có: AC ⊥BH;AC ⊥SH ⇒AC ⊥(SBH)
Vẽ IK ⊥SB;(K∈SB)ta có ngay đoạn vuông góc
chung của SB và AC là IK
hình vẽ
b
A
b
D
b
B
b
C
b
O
b
I
b
H
b
S
b
K
b
E
Ta có: IK
HE =IB
BH ⇒IK =HE.IB
BH =a.
a√3
2
2a
√3
=3a
4
Vậy d(SB;AC) = 3a
4
Câu V. (1 điểm) ————————————————————————————————
Tìm các số thực mđể phương trình 4x2−2mx+1=3√8x3+2xcó đúng hai nghiệm thực phân biệt.
Lời giải:
Phương trình ⇔4x2+1−3p(4x2+1)2x=2mx Đk: x≥0
Với x=0không thỏa phương trình.
Với x>0pt đã cho ⇔4x2+1
2x−3r4x2+1
2x=m⇔2x+1
2x−3r2x+1
2x=m(∗)
Đặt t=r2x+1
2x,t≥√2. Khảo sát hàm t=r2x+1
2xcho ta nhận xét:
- Miền giá trị của t là [√2;+∞)
- Ứng với mỗi t6=√2có 2 giá trị x
- Ứng với t=√2có duy nhất 1 giá trị x=1
2
Do đó: Yêu cầu bài toán tương đương đthẳng g(t) = mcắt đồ thị hàm số f(t) = t2−3t,(t∈[√2;+∞)) tại
đúng 1 điểm có hoành độ khác t6=√2
⇔
m=f3
2;t6=√2
m>f(√2) = f3−√2;t6=√2⇔"m=−9
4
m>2−3√2
Câu VIa. 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(−1;14)và đường tròn (S)tâm I(1;−5)bán kính R=13. Viết
phương trình đường thẳng ∆đi qua Acắt (S)tại M,Nmà khoảng cách từ Mđến AI bằng một nửa khoảng
cách từ Nđến AI
Lời giải:
Nhận xét: Anằm ngoài đường tròn.
Khoảng cách từ Mđến AI bằng 1 nửa khoảng cách từ Nđến AI ⇒AM =1
2AN (vẽ hình sẽ thấy)
Pt đường thẳng qua A:(x=−1+mt
y=14+nt ⇒M(−1+mt1;14+n1),N(−1+nt2;14+nt2)
3
http://www.math.vn
−→
AM = (mt1,nt1)−→
AN = (mt2,nt2)−→
AM =1
2−→
AN ⇔t1=1
2t2
Phương trình giao điểm của ∆và đương tròn: (−2+mt)2+ (19+nt)2=169
⇔(m2+n2)t2+ (−4m+38n)t+196 =0
Áp dụng viet:
t1+t2=4m−38n
m2+n2
t1t2=196
m2+n2
t1=1
2t2
Từ đó tính ra m=−nhoặc m=281
433n
Với m=−n. Chọn m=1,n=−1. Ta có phương trình đường thẳng: x+y−13 =0
Với m=281
433n. Chọn m=281,n=433. Ta có phương trình đường thẳng : 433x−281y+4767 =0
Câu VIa. 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trong không gian tọa độ Oxyz viết phương trình mặt cầu (S)tiếp xúc với (P): 2x+y−2z+8=0tại
A(−1;−2;2)và khoảng cách từ tâm Icủa mặt cầu đến điểm B(−2;3;0)bằng 5.
Lời giải:
Do (S)tiếp xúc với (P)tại Anên tâm Icủa (S)thuộc đường thẳng (∆)đi qua A và vuông góc với (P).
Có −→
a∆=−→
nP= (2;1;−2).
Từ pt tham số của (∆)
x=−1+2t
y=−2+t
z=2−2t
t∈R⇒I(−1+2t;−2+t;2−2t).
Mà IB2=25 ⇔9t2−14t+5=0⇔t=1hay t=5
9
Với t=1⇒I(1;−1;0),R=IA =3.
Lúc đó pt mặt cầu (S):x−12+y+12+z2=9
Với t=5
9⇒I1
9;−13
9;8
9,R=IA =5
3.
Lúc đó pt mặt cầu (S):x−1
92
+y+13
92
+z−8
92
=25
9
Câu VIIa. (1 điểm) ————————————————————————————————
Chín học sinh gồm 5nam và 4nữ rủ nhau vào rạp chiếu phim. Tại đó, người soát vé yêu cầu các học sinh
này phải xếp hàng sao cho không có bất kì 2nữ nào đứng liền nhau. Hỏi xác suất của sự kiện đó là bao
nhiêu?
Lời giải:
+) đầu tiên thì ta vẫn có 9! cách xếp vị trí cho 9 người
+) xếp cố định cho 5 thằng con trai thì vẫn có 5! cách xếp
+) còn lại 4 cô nữ và có 6 vị trí nên sô cách xếp sẽ là A4
6
còn có thể xếp tới 2 vị trí đầu tiên kẹp 4 thằng con trai vào giữa nên ta có P=5!A4
6
9!
Câu VIb. 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trên mặt phẳng Oxy cho d:x+2y−1=0;d′: 3x+y+7=0cắt nhau tại Ivà điểm M(1;2). Viết phương
trình đường thẳng ∆qua Mcắt d,d′lần lượt tại Avà Bsao cho AI =√2AB
Lời giải:
Cách 1:
Ta có tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình (x+2y−1=0
3x+y+7=0⇔(x=−3
y=2⇒I(−3;2)
Lấy điểm H(1;0)∈d(H6=A);K∈d′(K6=B)sao cho √2HK =HI. Do K∈d′⇒K(a:−3a−7)
Có −→
HI = (−4;2),−→
HK = (a−1;−3a−7)
Mà HI =√2HK ⇔HI2=2HK2⇔20 =2[(a−1)2+ (3a+7)2]⇔(a+2)2=0⇔a=−2.
4
http://www.math.vn
Vậy K(−2;−1).
Có: (HI =√2HK
AI =√2AB ⇒IH
AI =HK
AB ⇒HKkAB.
Vậy đường thẳng dđi qua Mvà có véctơ chỉ phương −→
KH = (3;1)⇒pt d:x−1
3=y−2
1
Cách 2:
Theo điều kiện AI =√2AB gợi ý cho ta nghĩ đến tam giác vuông AIB cạnh huyền AI.
Thật may mắn khi góc d
AIB =45◦thế nên AB ⊥BI.
Vậy ∆đi qua M(1;2)và vuông góc với (d′)và do đó ta có phương trình x−3y+5=0
Câu VIb. 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trong không gian Oxyz cho (S):(x−1)2+ (y+2)2+ (z−3)2=25 vàM(2;−4;1). Trong tất cả các đường
thẳng dqua Mcắt mặt cầu theo dây cung AB, viết phương trình tham số của đường thẳng cắt trục Ox và
thỏa mãn độ dài AB nhỏ nhất.
Lời giải:
Mặt cầu (S)có tâm I(1;−2;3)và bán kính R=5Có Mnằm trong mặt cầu (S).
Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của Ixuống (d). Lúc đó IH ≤IM ⇒ABmin ⇔(d)⊥IM.
Gọi N(t;0;0)∈Ox là giao điểm của (d)và Ox. Có −−→
MN = (t−2;4;−1)
Do IM ⊥(d)⇔−→
IM.−−→
MN =0với −−→
MN = (t−2;4;−1),−→
IM = (1;−2;−2)⇒t=8⇒N(8;0;0)
Vậy đường thẳng (d)cần tìm đi qua 2 điểm M,Nvà nhận −−→
MN = (6;4;−1)làm véctơ chỉ phương
nên có phương trình tham số:
x=2+6t
y=−4+4t
z=1−t
,t∈R
Câu VIIb. (1 điểm) ————————————————————————————————
Tìm các số phức wđể phương trình bậc hai (ẩn z): z2+wz+8i−6=0có 2 nghiệm mà nghiệm này gấp đôi
nghiệm kia.
Lời giải:
Gọi z1,z2là hai nghiệm của phương trình. Lúc đó theo giả thiết bài toán có :
z1=2z2
z2=2z1⇔(z1−2z2)(z2−2z1) = 0⇔9z1z2=2(z1+z2)2⇔9(4i−3) = w2
Gọi w=x+yi.x,y∈R.
Lúc đó có x2−y2+2xyi =−27+36i⇔(x2−y2=−27
xy =18 ⇔(x=3
y=6hay (x=−3
y=−6
Vậy có 2 số phức thõa yêu cầu bài toán: w=3+6i;w=−3−6i
5