Luận án Tiến sĩ Toán học: Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:101

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học "Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức" trình bày các nội dung chính sau: Giới thiệu một số khái niệm và kết quả của phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner; Nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức; Nghiên cứu về chặn trên của chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương và ứng dụng vào trường hợp iđêan cạnh của đồ thị.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRƯƠNG THỊ HIỀN LŨY THỪA HÌNH THỨC CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRƯƠNG THỊ HIỀN LŨY THỪA HÌNH THỨC CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS. Trần Nam Trung HÀ NỘI - 2023
Tóm tắt Cho R = k[x1 , . . . , xr ] là vành đa thức trên trường k, r biến x1 , . . . , xr với r 1. Cho I là iđêan đơn thức của R và I (n) là lũy thừa hình thức thứ n của I. Luận án nghiên cứu về hàm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford (gọi tắt là chỉ số chính quy) của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức I, ký hiệu reg(I (n) ). Dựa trên việc nghiên cứu về đa diện lồi, các môđun đối đồng điều địa phương, luận án đã đạt được một số các kết quả chính về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy reg(I (n) ) khi I là iđêan đơn thức. Đồng thời, luận án cũng đưa ra một chặn trên tốt cho reg(I (n) ) khi I = I∆ là iđêan Stanley-Reisner của phức đơn hình ∆ và áp dụng trong trường hợp I = I(G) là iđêan cạnh của đồ thị G. Cuối cùng, luận án chỉ ra một chặn trên cho chỉ số ổn định của chỉ số chính quy, reg-stab(J(G)), trong trường hợp J(G) là iđêan phủ của đồ thị hai phần G. Luận án được chia làm 04 chương. Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả của phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner, đồ thị; trình bày công thức Hochster, công thức Takayama; và nghiên cứu một số tính chất của các đa diện lồi. Chương 2, chúng tôi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức. Chương 3, chúng tôi nghiên cứu về chặn trên của chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương và ứng dụng vào trường hợp iđêan cạnh của đồ thị. Chương 4, chúng tôi nghiên cứu về chặn trên cho chỉ số ổn định reg-stab(J(G)) với G là đồ thị hai phần và J(G) là iđêan phủ của đồ thị. ii
Abstract Let R = k[x1 , . . . , xr ] be a polynomial ring over a field k with r variables x1 , . . . , x r , r 1. Let I be a monomial ideal of R and I (n) be the n-th symbolic power of I. The thesis aims to focus on studying the Castelnuovo- Mumford regularity (briefly, regularity) function reg(I (n) ). Based on inves- tigating the theory of convex polyhedra and the local cohomology module, we obtain some main results for the asymptotic behavior of the regularity function reg(I (n) ) when I is a monomial ideal. In addition, the thesis also gives a sharp upper bound for reg(I (n) ) when I = I∆ is a Stanley-Reisner ideal of a simplicial complex ∆ and applies to the case the edge ideal of a simple graph. Finally, the thesis gives an upper bound for the stability index of the regularity, reg-stab(J(G)), where J(G) is a cover ideal of a bipartite graph G. The thesis is divided into four chapters. Chapter 1, we introduce some basic notions and results about the sim- plicial complex, Stanley-Reisner ideals, graphs, Hochster’s and Takayama’s formula. We also study some important properties of the convex polyhedra. Chapter 2, we investigate the asymptotic behavior of the regularity function reg(I (n) ), when I is a monomial ideal. Chapter 3, we study an upper bound for the regularity of symbolic powers of the square-free monomial ideals and apply it to the case edge ideal of a simple graph. Chapter 4, we consider a bound for reg-stab(J(G)) in the case G is a bipartite graph and J(G) is its cover ideal. iii
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Nam Trung. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Trương Thị Hiền iv
Lời cảm ơn Sau một thời gian tiến hành triển khai nghiên cứu, tôi đã hoàn thành nội dung luận án "Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức". Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy: TS. Trần Nam Trung. Thầy đã dành cho tôi nhiều thời gian, tâm sức, cho tôi nhiều ý kiến, nhận xét quý báu, chỉnh sửa những chi tiết nhỏ trong luận án, giúp luận án của tôi được hoàn thiện hơn về cả mặt nội dung và hình thức. Thầy đã dạy cho tôi kiến thức, kinh nghiệm trong nghiên cứu và cũng luôn quan tâm, giúp đỡ tôi trong mọi mặt. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc của mình đến Thầy. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH. Lê Tuấn Hoa. Thầy đã luôn quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi để tôi có cơ hội tham gia các hội thảo quan trọng, các buổi học về các vấn đề mới. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn TS. Lê Xuân Dũng, TS. Đỗ Trọng Hoàng, TS. Nguyễn Thu Hằng những người luôn quan tâm, động viên tôi trong toàn bộ quá trình học tập, nghiên cứu của mình. Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, các phòng ban của Viện Toán học đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu tại Viện. Tôi cũng trân trọng cảm ơn GS.TSKH. Ngô Việt Trung, PGS.TS. Đoàn Trung Cường, TS. Trần Giang Nam đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi được tham gia các buổi sinh hoạt khoa học của phòng Đại số-Lý thuyết số, các seminar tại Viện nghiên cứu cao cấp về Toán. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Trung tâm Quốc tế Đào tạo và Nghiên cứu v
vi Toán học đã có những hỗ trợ tích cực về mặt tài chính cũng như về mặt tinh thần để tôi có thêm động lực và điều kiện tập trung cho việc học tập và nghiên cứu của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Tự nhiên - trường Đại học Hồng Đức đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành việc học tập của mình. Tôi xin cảm ơn các anh, chị, em nghiên cứu sinh đang học tập, nghiên cứu tại phòng Đại số và phòng Lý thuyết số, Viện toán học đã giúp đỡ tôi trong học tập và cuộc sống. Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới Bố, Mẹ, các em và mọi người trong đại gia đình, những người luôn yêu thương, là nguồn động viên và truyền nhiệt huyết để tôi hoàn thành luận án này. Tác giả Trương Thị Hiền
Bảng các ký hiệu N tập các số tự nhiên Z tập các số nguyên Q tập các số hữu tỷ R tập các số thực I (n) lũy thừa hình thức thứ n của iđêan I reg(I) chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của iđêan I d(I) bậc sinh lớn nhất của iđêan I βi (M ) số Betti thứ i của môđun M G(I) tập các đơn thức sinh tối tiểu của iđêan I K α (I) phức đơn hình Koszul trên liên kết với iđêan I tại bậc α i Hm (M ) môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá m Hi (∆, k) đồng điều đơn hình rút gọn thứ i của ∆ trên k N P (I) đa diện Newton của I SP(I) đa diện hình thức của I ∆ phức đơn hình I∆ iđêan Stanley-Reisner liên kết với phức đơn hình ∆ k[∆] vành Stanley-Reisner của phức đơn hình ∆ F(∆) tập các mặt cực đại của phức đơn hình ∆ ∆(I) phức đơn hình liên kết với iđêan I G = (V (G), E(G)) đồ thị với tập đỉnh V (G) và tập cạnh E(G) vii
viii NG (S) tập các đỉnh kề với tập S trong G degG (u) bậc của đỉnh u trong G G[S] đồ thị con cảm sinh của G trên S J(G) iđêan phủ của đồ thị G I(G) iđêan cạnh của đồ thị G I bao đóng nguyên của iđêan I H = (V, E) siêu đồ thị với tập đỉnh V và tập cạnh E J(H) iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị H I(H) iđêan cạnh liên kết với siêu đồ thị H pd(M ) chiều xạ ảnh của môđun M lk∆ F phức con nối của F trong ∆ ∆∗ đối ngẫu Alexander của phức đơn hình ∆ I∗ đối ngẫu Alexander của I Gα đối giá của véctơ α (H) số trội cạnh thành phần của siêu đồ thị H ∆(G) phức độc lập của G match(G) số ghép cặp của G ν(G) số ghép cặp cảm sinh của G ord-match(G) số ghép cặp có thứ tự của G
Mục lục Tóm tắt ii Abstract iii Lời cam đoan iv Lời cảm ơn v Bảng các ký hiệu vii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Phức đơn hình và iđêan Stanley-Reisner . . . . . . . . . . . 9 1.3. Công thức Hochster - Công thức Takayama . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Công thức Hochster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Công thức Takayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Lý thuyết đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1. Đồ thị đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Đồ thị hai phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.3. Ghép cặp trong đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.4. Siêu đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5. Đa diện lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1. Tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ix
x 1.5.2. Phức bậc và đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.3. Đa diện hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy 28 2.1. Hàm bậc sinh lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Hàm chỉ số chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3. Tính không tuyến tính của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Chặn trên của hàm chỉ số chính quy 47 3.1. Iđêan đơn thức không chứa bình phương . . . . . . . . . . . 47 3.2. Iđêan cạnh của đồ thị G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 Tính ổn định của hàm chỉ số chính quy 64 4.1. Đa diện nguyên ứng với đồ thị hai phần . . . . . . . . . . . 64 4.2. Chỉ số chính quy của lũy thừa của iđêan phủ . . . . . . . . . 72 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 83 Bảng thuật ngữ 89
Mở đầu Cho R = k[x1 , . . . , xr ] là vành đa thức của r biến x1 , . . . , xr trên trường k và I là iđêan thuần nhất của R. Đối tượng nghiên cứu trong luận án của chúng tôi là chỉ số chính quy Castelnouvo-Mumford (gọi tắt là chỉ số chính quy) của iđêan, ký hiệu reg(I). Đối với lũy thừa thường của iđêan I, hàm reg(I n ) không tuân theo quy luật nào khi n nhỏ. Tuy nhiên, dựa trên tính chất phân bậc chuẩn của đại số Rees của I thì Cutkosky, Herzog, N. V. Trung [9] độc lập với Kodiyalam [33] đã chứng minh rằng reg(I n ) là một hàm tuyến tính khi n đủ lớn. Điều này có nghĩa là, tồn tại các số nguyên không âm d, b và n0 sao cho reg(I n ) = dn + b với mọi n n0 . Trong khi hệ số d đã được mô tả một cách rõ ràng (xem [33], [46]), thì các thông tin về b và n0 còn rất ít. Hơn nữa, hai câu hỏi rất tự nhiên được đặt ra (xem [9], [33], [14]): 1. Đặc trưng của số b? 2. Tìm chặn tốt cho n0 ? Khi chuyển sang lũy thừa hình thức của iđêan thì dáng điệu của hàm chỉ số chính quy trở nên phức tạp hơn. Nhắc lại rằng, lũy thừa hình thức thứ n của I được định nghĩa I (n) = I n Rp ∩ R. p∈Min(R/I) Nói cách khác, lũy thừa hình thức thứ n của I là giao của các thành phần nguyên sơ của I n liên kết với các iđêan nguyên tố tối tiểu của I. 1
2 Lý do cho sự phức tạp đó là đại số Rees hình thức, được định nghĩa bởi Rs (I) = R ⊕ I (1) ⊕ I (2) ⊕ · · · , không là đại số hữu hạn sinh trên trường k trong trường hợp tổng quát. Cho đến thời điểm hiện tại, chúng ta vẫn chưa có một ví dụ nào về một iđêan thuần nhất I trong vành đa thức mà limn→∞ reg I (n) /n không tồn tại. Từ đó một câu hỏi rất tự nhiên được đặt ra là liệu giới hạn limn→∞ reg I (n) /n có tồn tại với mọi iđêan thuần nhất I trên một vành đa thức (Herzog, L. T. Hoa, N. V. Trung [25, Câu hỏi 2])? Đối với trường hợp I là iđêan đơn thức, theo kết quả của Herzog, Hibi và N. V. Trung [23] thì đại số Rees hình thức là hữu hạn sinh nhưng không nhất thiết là phân bậc chuẩn, do đó hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức I là một hàm tựa tuyến tính khi n đủ lớn. Nhắc lại, một hàm f : N → Q ∪{−∞} được gọi là tựa tuyến tính nếu tồn tại một số nguyên dương N và các số ai ∈ Q ∪{−∞}, bi ∈ Q, với i = 0, . . . , N − 1, sao cho f (n) = ai n + bi , với mọi n ∈ N, n ≡ i (mod N ). Số N nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là chu kì của hàm f . Ta thấy rằng, mặc dù hàm chỉ số chính quy reg I (n) của iđêan đơn thức I là một hàm tựa tuyến tính khi n đủ lớn, nhưng các hệ số đầu ai không nhất thiết bằng nhau. Hay nói cách khác, giới hạn limn→∞ reg I (n) /n chưa hẳn đã tồn tại. Do đó, chúng tôi nghiên cứu bài toán thứ nhất của luận án như sau. Bài toán 1. Cho I là một iđêan đơn thức trên R. Tồn tại hay không reg(I (n) ) giới hạn lim ? n→∞ n Trong trường hợp I là iđêan đơn thức không chứa bình phương, các tác giả L. T. Hoa, T. N. Trung [30, Định lý 4.9], đã chứng minh được sự tồn tại của giới hạn limn→∞ reg(I (n) )/n. Kết quả chính đầu tiên của luận án
3 chúng tôi đã mở rộng điều này đối với trường hợp I là một iđêan đơn thức bất kì. Công cụ để chúng tôi giải quyết bài toán thứ nhất xuất phát từ lý thuyết của đa diện lồi. Giả sử I có phân tích nguyên sơ thu gọn I = Q1 ∩ · · · ∩ Qs ∩ Qs+1 ∩ · · · ∩ Qt , trong đó Q1 , . . . , Qs là các iđêan nguyên sơ liên kết với các iđêan nguyên tố tối tiểu của I (tức là, Qs+1 , . . . , Qt là các thành phần nguyên sơ nhúng). Ta định nghĩa đa diện lồi liên kết với I như sau: SP(I) = N P (Q1 ) ∩ · · · ∩ N P (Qs ) ⊂ Rr , trong đó N P (Qi ) là các đa diện Newton của Qi . Khi đó, SP(I) là một đa diện lồi trong Rr . Với véctơ v = (v1 , . . . , vr ) ∈ Rr , ký hiệu |v| = v1 +· · ·+vr . Đặt δ(I) = max{|v| | v là một đỉnh của SP(I)}. Từ đó, chúng tôi thu được kết quả sau (xem Định lý 2.5, Định lý 2.7): Với mọi iđêan đơn thức I, d(I (n) ) reg(I (n) ) lim = lim = δ(I). n→∞ n n→∞ n Với kết quả thu được, câu hỏi đặt ra tiếp theo là liệu reg I (n) có phải là một hàm tuyến tính hay không? Tuy nhiên điều này không đúng ngay cả trong trường hợp I là iđêan đơn thức không chứa bình phương (Ví dụ 2.16). Như vậy chúng ta thấy rằng, nhìn chung reg I (n) không là một hàm tuyến tính đối với iđêan đơn thức I. Do đó, bài toán tiếp theo chúng tôi nghiên cứu như sau. Bài toán 2. Cho I là một iđêan đơn thức. Tìm một chặn tốt cho reg(I (n) ) theo n. Trong trường hợp I là iđêan đơn thức không chứa bình phương, theo các tác giả L. T. Hoa và T. N. Trung (xem [30, Định lý 4.9]), ta có reg(I (n) ) <
4 δ(I)n + dim(R/I) + 1 với mọi n 1. Gần đây, bài toán trên đã có nhiều kết quả khi nghiên cứu đối với một loại iđêan đặc biệt hơn, iđêan cạnh của đồ thị G, ký hiệu I(G). Một số kết quả có thể kể đến như: Gu, Hà, O’Rourke và Skelton [19] xét trong trường hợp iđêan cạnh của một chu trình lẻ I = I(C2s+1 ) thì reg(I (n) ) = reg(I n ) với mọi n 1, và reg(I (n) ) = 2s+1 2n + 3 − 1; theo Fakhari [17], ta có reg(I(G)(n+1) ) max{reg(I(G)) + 2n, reg(I(G)(n+1) + I(G)n )} và trong trường hợp G là đồ thị không có chu trình lẻ nào có độ dài bé hơn hoặc bằng 2k − 1 thì reg(I(G)(n) ) 2n + reg(I(G)) − 2 với mọi n k + 1. Nghiên cứu về bài toán trên, chúng tôi sử dụng công thức Takayama để tính các môđun đối đồng điều địa phương của lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức. Từ đó, chúng tôi chuyển về việc nghiên cứu các điểm nguyên của một đa diện lồi trong Rr theo lý thuyết đa diện lồi. Kết quả chúng tôi thu được là một chặn trên tốt cho hàm reg(I (n) ) theo n trong trường hợp iđêan đơn thức không chứa bình phương theo các dữ liệu tổ hợp từ phức đơn hình và siêu đồ thị liên kết với iđêan (Định lý 3.7 và Định lý 3.12). Hơn nữa, chặn này có thể đạt được dấu bằng đối với nhiều lớp iđêan (Ví dụ 3.13). Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu bài toán sau. Bài toán 3. Cho I là iđêan đơn thức. Tìm chặn trên cho b và reg-stab(I). Chú ý rằng, reg-stab(I) là chỉ số ổn định của hàm chỉ số chính quy của iđêan I và được định nghĩa như sau: reg-stab(I) = min{n0 | reg I n = dn + b, với mọi n n0 }. Khi I là một iđêan đơn thức bất kỳ, theo L. T. Hoa [29, Định lý 2.8], trong trường hợp xấu nhất thì các hệ số b và reg-stab(I) bị chặn dưới bởi một hàm mũ của bậc sinh của iđêan với số mũ là khoảng số biến. Đây cũng chính là một trong những lý do tại sao việc nghiên cứu về hệ số b và reg-stab(I) trong các trường hợp tổng quát là rất khó khăn. Gần đây, bài toán đã được nghiên cứu nhiều nhưng rất khó để có được những thông
5 tin cho những lớp iđêan tổng quát và việc nghiên cứu chủ yếu được thực hiện cho các iđêan cạnh của một đồ thị. Một số kết quả có thể kể đến như: Beyarslan, H` và T. N. Trung [5] đã chứng minh rằng nếu G là rừng thì a reg(I n ) = 2n + ν(G) − 1 với mọi n 1, trong đó ν(G) là số ghép cặp cảm sinh của đồ thị G; Công thức này cũng đúng trong trường hợp G là đồ thị Cameron-Walker (xem [3]); Alilooee, Beyarslan và Selvaraja [1] đã chứng minh rằng với bất kì đồ thị unicyclic (mà không phải là một chu trình) ta luôn có reg(I n ) = 2n + reg(I) − 2 với mọi n 1. Trong trường hợp I = J(G) là iđêan phủ của đồ thị, theo một kết quả của N. T. Hang và T. N. Trung [22] khi nghiên cứu đối với lớp đồ thị hai phần G, tồn tại số nguyên không âm b |V (G)| − d(J(G)) − 1 sao cho reg(J(G)n ) = d(J(G))n+b với mọi n |V (G)|+2, tức là reg-stab(J(G)) |V (G)| + 2. Tuy nhiên, khi tiến hành tìm ra các trường hợp xảy ra dấu bằng thì chúng tôi nhận thấy tất cả các reg-stab(J(G)) đều nhận giá trị nhỏ hơn |V (G)| + 2. Do đó, mục tiêu của chúng tôi là làm giảm chặn của reg-stab(I) trong trường hợp này. Chú ý rằng, trong trường hợp đồ thị hai phần thì lũy thừa thường và lũy thừa hình thức trùng nhau. Do đó, chúng tôi sử dụng các kĩ thuật đã dùng trong hai bài toán 1 và 2 nêu trên để giải quyết bài toán 3 đối với lớp iđêan I = J(G) là iđêan phủ của đồ thị hai phần G, và kết quả chúng tôi thu được đã cải tiến được chặn của reg-stab(I) trong [22] (Định lý 4.6). Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu cấu trúc của luận án. Ngoài bảng ký hiệu, mục lục, phần mở đầu, phần kết luận, bảng thuật ngữ, luận án được chia thành bốn chương chính. Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở cần thiết cho toàn bộ luận án. Chương này gồm 5 mục. Mục 1.1, chúng tôi trình bày hai cách định nghĩa về chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford. Mục 1.2, chúng tôi nêu sơ lược về phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner và đối ngẫu Alexander. Mục 1.3, chúng tôi giới thiệu công thức Hochster và công thức
6 Takayama. Mục 1.4, chúng tôi trình bày sơ lược về một số kiến thức trong lý thuyết đồ thị như đồ thị đơn, ghép cặp trong đồ thị, siêu đồ thị. Mục 1.5, chúng tôi nói về tập lồi đa diện và một số các đa diện lồi. Chương 2, chúng tôi trình bày về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức. Mục 2.1, chúng tôi nghiên cứu đối với hàm bậc sinh (hàm bậc lớn nhất của các phần tử trong một hệ sinh tối tiểu thuần nhất). Mục 2.2, chúng tôi nghiên cứu đối với hàm chỉ số chính quy. Chúng tôi chỉ ra rằng với iđêan đơn thức I bất kì reg(I (n) ) d(I (n) ) luôn tồn tại các giới hạn lim và lim và hai giới hạn này n→∞ n n→∞ n bằng nhau. Đồng thời, chúng tôi cũng mô tả giới hạn chung theo đa diện liên kết với iđêan I (Định lý 2.5 và Định lý 2.7). Mục 2.3, chúng tôi nghiên cứu về lũy thừa hình thức của iđêan phủ của đồ thị và đưa ra một ví dụ về đồ thị mà reg(J(G)(n) ) không là hàm tuyến tính khi n đủ lớn (Ví dụ 2.16). Chương 3, chúng tôi xây dựng chặn trên cho chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương. Cụ thể trong mục 3.1, chúng tôi thu được chặn trên cho chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan Stanley-Reisner (Định lý 3.7). Đây là một chặn có thể xảy ra dấu bằng đối với nhiều lớp iđêan (Ví dụ 3.13). Đồng thời, chúng tôi mở rộng kết quả đó trong trường hợp siêu đồ thị (Định lý 3.12). Cuối cùng, trong mục 3.2 chúng tôi áp dụng các chặn được xây dựng trong mục 3.1 cho trường hợp iđêan cạnh của một đồ thị G (Định lý 3.18). Chương 4, chúng tôi nghiên cứu về tính ổn định của chỉ số chính quy của iđêan phủ của lớp đồ thị hai phần. Với G là một đồ thị hai phần và J(G) là iđêan phủ của đồ thị, chúng tôi đã đưa ra được một chặn trên cho chỉ số ổn định reg-stab(J(G)) (Định lý 4.6). Các kết quả trong luận án được chúng tôi công bố trong ba bài báo [12], [28] và [20].
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về chỉ số chính quy, phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner và lý thuyết đồ thị nhằm giúp cho việc trình bày ở các chương sau được rõ ràng và có hệ thống hơn. Đồng thời, chúng tôi cũng nhắc lại một số kiến thức về đa diện lồi, công thức Hochster và công thức Takayama. Đây là những công cụ chủ yếu mà chúng tôi dùng để chứng minh các kết quả chính của luận án. Trong luận án này nếu không nói gì khác thì R = k[x1 , . . . , xr ] là một vành đa thức phân bậc chuẩn của r biến trên trường k. 1.1. Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford Khái niệm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford (gọi tắt là chỉ số chính quy) được bắt nguồn từ những công trình về đường cong xạ ảnh của Castelnuovo và được Mumford [38] phát biểu định nghĩa cho các đa tạp xạ ảnh. Bất biến này có thể được định nghĩa thông qua giải tự do tối tiểu hoặc môđun đối đồng điều địa phương. Cho M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh khác không và F. : · · · −→ Fp −→ Fp−1 −→ · · · −→ F1 −→ F0 −→ 0 là giải tự do tối tiểu của M trên R. 7
8 Với mỗi i 0, j ∈ Z, ký hiệu βiR (M ) = rank Fi = dimk TorR (k, M ) và i βi,j (M ) = dimk TorR (k, M )j . Đặt R i bi (M ) = max{j | βi,j (M ) = 0}, trong đó quy ước bi (M ) = −∞ nếu Fi = 0. Chỉ số chính quy Castelnuovo–Mumford của M là đại lượng để đo độ lớn của bậc sinh của Fi , i 0. Cụ thể, regR (M ) = max{bi (M ) − i | i 0} = max{j − i | βi,j (M ) = 0}. Ký hiệu d(M ) = b0 (M ). Như vậy, d(M ) là bậc lớn nhất của các phần tử sinh thuần nhất tối tiểu của M , gọi tắt là bậc sinh lớn nhất của M . Từ định nghĩa về chỉ số chính quy ta luôn có d(M ) regR (M ). Nếu M được sinh bởi các phần tử có cùng bậc d và chỉ số chính quy regR M = d, ta nói rằng M có giải tự do tuyến tính trên R, hoặc M có một giải tự do d-tuyến tính. Với I là một iđêan thuần nhất khác không của R, thông qua giải tự do tối tiểu ta có regR (I) = regR (R/I) + 1. Ngoài ra, chỉ số chính quy của M còn được định nghĩa theo môđun đối đồng điều địa phương của M . Với i = 0, . . . , dim(M ), bất biến ai của M được xác định như sau: i ai (M ) = max{t | Hm (M )t = 0}, i trong đó Hm (M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá m = (x1 , . . . , xr ) là iđêan thuần nhất cực đại của R (Quy ước max ∅ = −∞). Khi đó, regR (M ) = max{ai (M ) + i | i = 0, . . . , dim(M )}.
9 Nhận xét 1.1. 1) Quy ước regR (M ) = −∞ nếu M = 0. 2) Trong trường hợp R là vành đa thức phân bậc chuẩn trên trường k, ta có thể ký hiệu reg M thay cho regR M . Hai cách định nghĩa về chỉ số chính quy ở trên là tương đương. Điều này được chỉ ra bởi Eisenbud và Goto [13]. Như vậy, chỉ số chính quy vừa là một chặn trên của bậc không triệt tiêu của các môđun đối đồng điều địa phương với giá là iđêan thuần nhất cực đại, vừa được sử dụng để chặn trên các bậc sinh của các môđun xoắn trong giải tự do phân bậc tối tiểu của môđun. Đây là các ý nghĩa quan trọng của chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford. 1.2. Phức đơn hình và iđêan Stanley-Reisner Một phức đơn hình ∆ trên tập hữu hạn V là tập hợp gồm các tập con của V sao cho nếu F ∈ ∆ và G ⊆ F thì G ∈ ∆. Các phần tử F ∈ ∆ được gọi là mặt của ∆. Mặt lớn nhất (theo quan hệ bao hàm) được gọi là mặt cực đại của ∆. Nếu ký hiệu tập các mặt cực đại của ∆ là F(∆) thì ta có ∆ =< F | F ∈ F(∆) >. Nếu G ∈ ∆ thì G được gọi là không mặt của ∆. / Không mặt G được gọi là không mặt cực tiểu nếu G là một không mặt và không có tập con thực sự nào của G là không mặt của ∆. Tập các không mặt cực tiểu của ∆ được ký hiệu bởi N (∆). Với F ∈ ∆, chiều của F được xác định bởi dim F = |F | − 1. Chiều của ∆ là dim ∆ = max{dim F | F ∈ ∆}. Tập rỗng, ∅, là mặt duy nhất của ∆ có chiều bằng −1. Nếu ∆ không chứa mặt nào thì ∆ được gọi là phức đơn hình trống, {}. Nếu các mặt cực đại của ∆ có chiều bằng nhau thì ∆ được gọi là phức thuần. Liên kết của F trong ∆ là một phức con của ∆ được xác định bởi: lk∆ (F ) = {H ∈ ∆ | H ∪ F ∈ ∆ và H ∩ F = ∅},