Luận án Tiến sĩ Toán học: Ứng dụng lý thuyết phương trình trong không gian banach có thứ tự vào một số lớp phương trình vi phân

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHÍ MINH  TRAÀN ÑÌNH THANH

TOAÙN GIAÛI TÍCH 1.01.01

LUAÄN AÙN TIEÁN SÓ TOAÙN HOÏC

Chuyeân ngaønh: Maõ soá:

PGS. TS NGUYEÃN BÍCH HUY

PGS. TS LEÂ HOAØN HOÙA

THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH - 2004

NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC

Toâi xin cam ñoan ñaây laø coâng trình nghieân cöùu cuûa toâi, caùc soá lieäu, caùc

keát quaû cuûa luaän aùn laø trung thöïc vaø chöa töøng ñöôïc ai coâng boá trong baát kyø

moät coâng trình naøo khaùc.

Taùc giaû luaän aùn.

LÔØI CAM ÑOAN 

LÔØI CAÙM ÔN 

 Toâi xin ñöôïc baøy toû loøng bieát ôn chaân thaønh vaø saâu saéc ñeán Thaày höôùng daãn,

PGS. TS NGUYEÃN BÍCH HUY, ñaõ taän tình höôùng daãn, ñoäng vieân vaø dìu daét toâi

 Toâi xin ñöôïc baøy toû loøng bieát ôn chaân thaønh vaø saâu saéc Thaày ñoàng höôùng daãn,

trong suoát quaù trình hoïc taäp, nghieân cöùu vaø thöïc hieän luaän aùn.

PSG. TS LEÂ HOAØN HOÙA ñaõ taän tình giuùp ñôõ ñoäng vieân toâi trong suoát quaù trình

 Toâi xin chaân thaønh caùm ôn caùc thaày giôùi thieäu luaän aùn, ñaõ ñoïc vaø cho yù kieán

hoïc taäp, nghieân cöùu vaø thöïc hieän luaän aùn.

 Toâi xin chaân thaønh caùm ôn Ban Giaùm Hieäu, Khoa Toaùn, Phoøng Khoa Hoïc

nhaän xeùt saâu saéc.

Coâng ngheä vaø Sau Ñaïi Hoïc tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm thaønh phoá Hoà Chí Minh, ñaõ

taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp, nghieân cöùu vaø

thöïc hieän luaän aùn.

Taùc giaû luaän aùn

MÔÛ ÑAÀU

1. Trong luaän aùn naøy chuùng toâi seõ aùp duïng moät soá keát quaû cuûa lyù thuyeát phöông

trình toaùn töû trong khoâng gian Banach coù thöù töï, ñeå nghieân cöùu caáu truùc nghieäm cuûa moät soá

lôùp phöông trình vaø baát phöông trình vi phaân.

Lyù thuyeát phöông trình toaùn töû trong khoâng gian Banach coù thöù töï ñöôïc hình thaønh

trong coâng trình môû ñaàu [22] cuûa M. Krein vaø A. Rutman vaøo nhöõng naêm 1940 vaø ñöôïc

phaùt trieån röïc rôõ vaøo thôøi kyø 1950-1980 trong caùc coâng trình cuûa M. A. Krasnoselskii vaø caùc

hoïc troø cuûa oâng [19,20,21], cuûa H. Schaffer, H. Amann, N. E. Dancer, R. Nussbaum, … (xem

[3,11,33] vaø caùc taøi lieäu tham khaûo trong ñoù). Caùc keát quaû tröøu töôïng cuûa lyù thuyeát naøy tìm

ñöôïc nhöõng öùng duïng roäng raõi trong vieäc nghieân cöùu ñònh tính vaø ñònh löôïng nhieàu lôùp

phöông trình vaø baát phöông trình vi phaân xuaát phaùt töø cô hoïc, vaät lyù, hoùa hoïc, y-sinh hoïc, …

 Chuùng cho pheùp chöùng minh söï toàn taïi nghieäm vôùi caùc tính chaát ñaëc bieät nhö tính

vì nhöõng öu ñieåm sau:

döông, tính loài, … laø nhöõng tính chaát caàn coù cuûa nghieäm caùc phöông trình xuaát phaùt töø nhöõng

 Chuùng cho pheùp chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cuûa nhöõng phöông trình chöùa caùc haøm

moâ hình thöïc teá.

giaùn ñoaïn laø nhöõng phöông trình thöôøng gaëp trong thöïc teá.

Ñeán nay, vieäc xaây döïng lyù thuyeát phöông trình toaùn töû trong khoâng gian Banach coù thöù

töï veà cô baûn ñaõ hoaøn thaønh vaø söï chuù yù ñöôïc taäp trung vaøo vieäc tìm nhöõng öùng duïng cuûa lyù

thuyeát vaøo caùc lôùp baøi toaùn môùi. Chính töø vieäc nghieân cöùu caùc lôùp phöông trình môùi maø gaàn

ñaây cuõng ñaõ nhaän ñöôïc moät soá keát quaû tröøu töôïng môùi [8,9,26,28].

Luaän aùn goàm phaàn môû ñaàu, keát luaän vaø hai chöông. Trong chöông 1 chuùng toâi nghieân

cöùu caáu truùc taäp nghieäm cuûa moät soá lôùp phöông trình vi phaân thöôøng chöùa tham soá. Trong

chöông 2 chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cöïc trò (nghóa laø nghieäm lôùn nhaát, nhoû

nhaát) cho hai baøi toaùn daïng bieán phaân.

Caùc baøi toaùn ñöôïc khaûo saùt ôû chöông 1 coù daïng toång quaùt sau: 2.

I

 ,0(

)



I

P

XP  laø moät noùn, hoaëc Cho X laø khoâng gian Banach thöïc vaø

 )x,(

\PI

 PI:F,

 

  ,0

laø aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc. Xeùt baøi toaùn tìm caëp





thoûa maõn phöông trình:

)x,(Fx

. (0.1)

Thoâng thöôøng, nghieäm cuûa (0.1) khoâng toàn taïi ñôn leû, rôøi raïc vaø ta quan taâm nhieàu veà





\PI

  )x,(

  

 )x,(Fx:



vaán ñeà, lieäu taäp nghieäm:

coù chöùa moät taäp con lieân thoâng hay khoâng vaø taäp caùc giaù trò  ñeå (0.1) coù nghieäm, coù

laáp ñaày moät khoaûng hay khoâng. Caùc taùc giaû H. Amann, E. N. Dancer, R. Nussbaum, Nguyeãn

Bích Huy, … ñaõ nhaän ñöôïc caùc keát quaû veà söï phaân nhaùnh toaøn cuïc cuûa taäp nghieäm  cuûa

phöông trình (0.1) trong khoâng gian coù thöù töï, töông töï ñònh lyù Rabinowitz. Tuy nhieân, vieäc

 hoaëc  .

nghieân cöùu taäp nghieäm  chæ thuaän lôïi khi aùnh xaï F khaû vi Frechet taïi

Trong luaän aùn chuùng toâi seõ khaûo saùt caùc phöông trình vôùi aùnh xaï khoâng khaû vi taïi 

hoaëc  . Do ñoù, ñeå nghieân cöùu caáu truùc nghieäm cuûa (0.1) chuùng toâi aùp duïng phöông phaùp

S

  

  \Px

 )x,(:I

cuûa Krasnoselskii khaûo saùt rieâng reõ caáu truùc cuûa taäp:

I

ñeå (0.1) coù nghieäm. Ta (taäp hình chieáu cuûa  leân X ) vaø sau ñoù taäp caùc giaù trò

coù ñònh nghóa sau cuûa Krasnoselskii [20].

Ñònh nghóa

Ta noùi taäp S laø nhaùnh lieân tuïc, khoâng bò chaën xuaát phaùt töø  neáu vôùi moïi taäp môû, bò

S

 G

G

thì . chaën

Khi taäp nghieäm S laø nhaùnh lieân tuïc, khoâng bò chaën, Krasnoselskii ñaõ chöùng minh moät

ñònh lyù baûo ñaûm taäp caùc giaù trò  ñeå (0.1) coù nghieäm, laáp ñaày moät khoaûng. Tuy nhieân theo

chuùng toâi, caùc giaû thieát maø Krasnoselskii ñöa ra chöa ñuû vaø trong chöùng minh cuûa oâng coøn

moät khoaûng troáng. Trong §1 cuûa chöông 1 chuùng toâi ñöa ra vaø chöùng minh moät chænh lyù keát

quaû treân cuûa Krasnoselskii (ñònh lyù 1.1.8). Cuõng trong §1 naøy chuùng toâi cuõng chöùng minh

moät soá keát quaû veà haøm loõm vaø neâu moät soá keát quaû ñaõ coù veà ñaùnh giaù baùn kính phoå cuûa caùc

toaùn töû tuyeán tính u0-bò chaën. Caùc keát quaû naøy ñöôïc söû duïng nhieàu laàn ôû caùc muïc sau.





,0)x(f)t(a

 ,1t0

ÔÛ §2 cuûa chöông 1 chuùng toâi nghieân cöùu baøi toaùn bieân giaù trò rieâng sau:





x // ,0)1(x)0(x

(0.2)

1,0:a



trong ñoù |R+ , f: |R+  |R+ laø caùc haøm lieân tuïc, khoâng ñoàng nhaát baèng 0 treân



moïi khoaûng vaø toàn taïi caùc giôùi haïn:

 f 

f 0

Lim  x 0

Lim  x

)x(f x

)x(f x

, .

Baøi toaùn (0.2) xuaát phaùt töø nhieàu lónh vöïc cuûa khoa hoïc töï nhieân (xem

f,

f0

[17] vaø taøi lieäu tham khaûo ôû ñoù). Neáu laø caùc soá höõu haïn, khaùc 0 thì caùc toaùn töû tích

phaân töông öùng vôùi baøi toaùn bieân (0.2) coù ñaïo haøm taïi  hoaëc  . Trong luaän aùn chuùng toâi

f,

f0

coù theå baèng 0 hoaëc  . Khi nghieân cöùu baøi toaùn (0.2) trong [17], caùc taùc cho pheùp

giaû J. Henderson vaø H. Wang khoâng khaûo saùt caáu truùc cuûa taäp nghieäm S hoaëc  vaø

duøng moät ñònh lyù Krasnoselskii veà ñieåm baát ñoäng trong noùn ñeå chöùng minh toàn taïi moät

khoaûng caùc giaù trò  ñeå baøi toaùn (0.2) coù nghieäm döông. Chuùng toâi duøng phöông phaùp khaùc

ñeå nghieân cöùu (0.2). Ñaàu tieân chuùng toâi duøng lyù thuyeát baäc toâpoâ cuûa tröôøng compaéc vôùi toaùn

töû döông ñeå chöùng minh taäp nghieâm S cuûa (0.2) taïo thaønh nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën.

Döïa vaøo keát quaû naøy vaø ñònh lyù 1.1.8, chuùng toâi nhaän ñöôïc moät khoaûng cuï theå caùc giaù trò 

ñeå (0.2) coù nghieäm döông, khoaûng naøy roäng hôn khoaûng nhaän ñöôïc trong [17]. Keát quaû trình

baøy ôû §2 chöông 1 ñaõ ñöôïc coâng boá

trong [ I ].

/

/







,1t0,0)x,x,t(f

/ )x(

Trong §3 chöông 1 chuùng toâi khaûo saùt baøi toaùn bieân giaù trò rieâng:



    ,0)1(x)0(x

/

/

 2p/

/

(0.3)

/ )x(

x.

x



  

  

vaø goïi laø toaùn töû p-Laplace. Baøi toaùn daïng (0.3) moâ taû trong ñoù  

nhieàu hieän töôïng trong caùc lónh vöïc khoa hoïc töï nhieân vaø ñöôïc nhieàu nhaø toaùn hoïc quan taâm

nghieân cöùu trong thôøi gian gaàn ñaây (xem [1,13,14,15] vaø caùc taøi lieäu tham khaûo ôû ñoù).

Trong [1], caùc taùc giaû R. Agarwal, H. Lü, D. O’Regan nghieân cöùu baøi toaùn (0.3) vôùi haøm

f khoâng phuï thuoäc ñaïo haøm x/ vaø chöùng minh toàn taïi khoaûng giaù trò  ñeå baøi toaùn coù 1

nghieäm döông hoaëc 2 nghieäm döông. Chuùng toâi vaãn aùp duïng phöông phaùp Krasnoselskii ñeå

 Taäp nghieäm S cuûa (0.3) laø nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën xuaát phaùt töø  .

 Taäp caùc giaù trò  ñeå (0.3) coù nghieäm döông seõ laáp ñaày moät khoaûng.

nghieân cöùu (0.3) vaø ñaõ nhaän ñöôïc caùc keát quaû sau:

Khoaûng naøy roäng hôn khoaûng nhaän ñöôïc trong [1 ]. Hôn nöõa, caùc ñaàu muùt cuûa khoaûng

trong luaän aùn ñöôïc tính baèng caùc coâng thöùc goïn vaø roõ raøng hôn so vôùi caùc ñaàu muùt cuûa

khoaûng ñöôïc tìm trong [1]. Ñeå nhaän ñuôïc keát quaû toát hôn naøy chuùng toâi ñaõ chöùng minh moät

soá keát quaû phuï coù yù nghóa ñoäc laäp veà caùc baát phöông trình vi phaân vaø veà giaù trò rieâng chính

cuûa toaùn töû p-Laplace.

Caùc keát quaû nhaän ñöôïc ôû §3 cuûa chöông 1 ñaõ ñöôïc coâng boá trong

[ V ] .

//

/

2 

x

x

,0

 ,1t0

Trong §4 cuûa chöông 1 chuùng toâi nghieân cöùu baøi toaùn bieân chöùa tham soá sau:

  

 ,xf  

1  



.0)1(x)0(x

(0.4)

Nhö ñöôïc chæ ra trong [20], baøi toaùn bieân (0.4) xuaát phaùt töø baøi toaùn tìm nghieäm tuaàn

hoaøn (chu kyø chöa bieát) cuûa phöông trình vi phaân oâtoânoâm baäc 2 sau ñaây thöôøng gaëp trong

//





lónh vöïc cô hoïc thieân theå

y

/ 0)y,y(f

.

Tuy ñöôïc ñaët ra töø laâu nhöng vieäc nghieân cöùu (0.4) môùi ñaït ñöôïc keát quaû veà toàn taïi

nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën cuûa taäp nghieäm. Krasnoselskii chöùng minh keát quaû naøy cho

tröôøng hôïp f khoâng phuï thuoäc ñaïo haøm x/, Bakhtin vaø Nguyeãn Bích Huy [25] chöùng minh

cho tröôøng hôïp toång quaùt. Vaán ñeà veà toàn taïi moät khoaûng cuï theå caùc giaù trò  ñeå (0.4) coù

nghieäm, cho ñeán nay vaãn chöa ñöôïc nghieân cöùu thoûa ñaùng. Trong luaän aùn chuùng toâi ñaõ nhaän

 Taäp nghieäm S cuûa (0.4) laø nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën xuaát phaùt töø  neáu f

ñöôïc caùc keát quaû sau ñaây veà baøi toaùn (0.4).

/

q/







thoûa ñieàu kieän:

)x,x(f

x.c

)x(g 1

)x(g 2





(0.5)

)1,0(q,0c

:g,g 1

2

vôùi vaø |R+ |R+ laø caùc haøm lieân tuïc, khoâng baèng haèng 0 treân

moïi khoaûng.

/

r/









ax

b

)x,x(f

x

r,

)2,0(

  1)x(c  

  

Neáu so vôùi giaû thieát sau ñaây ñöôïc ñaët ra trong [25]:

thì chuùng toâi ñaõ giaûm nheï ñieàu kieän veà chaën döôùi nhöng laøm chaët ñieàu kieän veà chaën

treân cuûa haøm f .

x  ,

0

x

 Vôùi giaû thieát (0.5) vaø giaû thieát veà toàn taïi giôùi haïn khi

cuûa

)x(g1 x

)x(g2 x

, caùc haøm chuùng toâi ñaõ nhaän ñöôïc hai keát quaû veà khoaûng giaù trò  ñeå (0.4)

coù nghieäm.

Caùc keát quaû cuûa §4 ñaõ ñöôïc coâng boá trong [ IV ].

3. Trong chöông 2 cuûa luaän aùn chuùng toâi ñaõ söû duïng moät ñònh lyù veà ñieåm baát ñoäng

cuûa aùnh xaï taêng trong khoâng gian coù thöù töï ñeå chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cöïc trò cho hai

baøi toaùn daïng bieán phaân. Vieäc aùp duïng tröïc tieáp caùc ñònh lyù ñieåm baát ñoäng vaøo caùc baøi toaùn

bieán phaân thöôøng gaëp khoù khaên. Phöông phaùp cuûa chuùng toâi laø söû duïng caùc keát quaû cuûa lyù

thuyeát phöông trình ñaïo haøm rieâng ñeå ñöa baøi toaùn bieán phaân veà baøi toaùn tìm ñieåm baát ñoäng

cuûa moät aùnh xaï taêng. Sau ñoù nhôø ñònh lyù veà toàn taïi ñieåm baát ñoäng cöïc trò cuûa aùnh xaï taêng

maø chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cöïc trò cuûa baøi toaùn bieán phaân ban ñaàu.

Trong §2 cuûa chöông 2 naøy chuùng toâi nghieân cöùu baøi toaùn tìm nghieäm yeáu cöïc trò cho







phöông trình logistic, laø moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa phöông trình elliptic sau:

)u,x(fu

trong

 0u,

treân

, (0.6)

:f

vôùi  |RN laø mieàn môû, bò chaën vôùi bieân trôn, |R|R laø haøm Caratheodory.

2



lôùp

C

hoaëc

 



 thuoäc

) lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa (0.6) giöõa moät nghieäm döôùi

p,2 (W 0

Khi f laø haøm khaû vi, Amann vaø Crandal [2] ñaõ chöùng minh söï toàn taïi nghieäm coå ñieån

vaø moät nghieäm treân ñaõ cho. Söï toàn taïi nghieäm yeáu lôùn nhaát, nhoû nhaát cuûa (0.6) giöõa nghieäm

yeáu döôùi vaø nghieäm yeáu treân ñöôïc chöùng minh bôûi Dancer – Sweers [12] khi f lieân tuïc vaø

Carl-Heikkila [10] khi f coù theå giaùn ñoaïn. Gaàn ñaây taùc giaû Nguyeãn Bích Huy [27] ñaõ

nghieân cöùu söï toàn taïi nghieäm yeáu cöïc trò cuûa (0.6) theo höôùng giaû thieát toàn taïi nghieäm yeáu

döôùi vaø thay ñieàu kieän toàn taïi nghieäm yeáu treân baèng ñieàu kieän bò chaën cuûa taäp caùc nghieäm

döôùi yeáu. Trong luaän aùn chuùng toâi cuõng nghieân cöùu theo höôùng naøy.

n

q











Xeùt phöông trình logistic moâ taû söï taêng tröôûng cuûa thuù trong moâi tröôøng töï nhieân:

vv)x(m

trong

0v,

treân

 v



, (0.7)

trong ñoù n  |N, q>1 vaø haøm troïng m(x) thuoäc moät khoâng gian haøm cuï theå. Tröôøng hôïp

s 

n = 1 (moâ hình khueách taùn tuyeán tính) vaø m(x) bò chaën söï toàn taïi nghieäm coå ñieån ñöôïc

(L)x(m

)

s

nghieân cöùu töø nhöõng naêm 1980. Tröôøng hôïp 1n  vaø vôùi , söï toàn taïi

nghieäm yeáu cuûa (0.7) ñöôïc nghieân cöùu bôûi J. Hernandez, Drabek [13,18] vaø Nguyeãn Bích

Huy





[27]. Caùc nghieân cöùu chæ ra raèng tính chính qui cuûa nghieäm yeáu phuï thuoäc vaøo ñoä lôùn cuûa s:

 (L)

)



s

1C 

(W 2,1 0

Nq  )1q(2

, khi nghieäm yeáu thuoäc . khi s >N nghieäm yeáu thuoäc lôùp

s 

N 2

Tröôøng hôïp n>1 vaø cuõng ñöôïc nghieân cöùu trong [18].

N 2

Trong luaän aùn chuùng toâi xeùt tröôøng hôïp n>1 vaø cho pheùp s coù theå nhoû hôn .

nvu 

r

q







Baèng pheùp bieán ñoåi baøi toaùn bieân (0.7) ñöôïc ñöa veà daïng:

 0u

treân

u)x(mu

u

trong  , , (0.8)

vôùi r





s  (L)x(m

s,)







)1q(N2 )r21q(N)1q(2

Vôùi giaû thieát:

vaø giaû thieát veà chaën döôùi cuûa m(x) chuùng toâi ñaõ chöùng minh söï toàn taïi nghieäm yeáu cöïc

,u0

0u ñöôïc xaây döïng cuï theå qua caùc döõ kieän cuûa baøi

vôùi trò cuûa (0.8) treân khoaûng 

toaùn. Keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng boá trong[ III ].

Trong §3 cuûa chöông 2 chuùng toâi xeùt baøi toaùn tìm nghieäm cöïc trò cuûa baát ñaúng thöùc bieán

phaân sau:



1  (L)v,x(f,Kv

,)

1  (L)v,x(vf

),

Tìm haøm v thoûa maõn:











wv,Av

 (LKw,dx)wv)(v,x(f

),





    

(0.9)

trong ñoù:











 |RN laø mieàn môû, bò chaën coù bieân trôn,

w:)

n.k.h

treân

 (L)

)

 

  0,

p,1 (WwK 0

p,1 (W 0





 2p 

,

Av

div

v



v

 2p





laø toaùn töû p-Laplace,

wv,Av

v

dx)wv(.v

  

.





)u,u,x(F)u,x(f

vôùi

:F

taêng

theo

bieán

giaûm

theo

bieán

v

vaø

thoûa

moät

soá

ñieàu

kieän

khaùc

,u   

|R+|R+ |R (0.10)

Söï toàn taïi nghieäm cuûa baøi toaùn (0.9) ñöôïc Boccardo, Giachetti, Murat chöùng minh trong

 .

0)u,x(uf

[5] khi haøm f laø haøm Caratheodory vaø thoûa maõn moät soá ñieàu kieän trong ñoù coù ñieàu kieän

Vaán ñeà toàn taïi nghieäm cöïc trò cuûa baát ñaúng thöùc bieán phaân môùi ñöôïc nghieân cöùu gaàn

ñaây trong caùc baøi baùo [31,32] cuûa Leâ Khoâi Vyõ, sau khi taùc giaû ñöa ra moät ñònh nghóa chænh

veà nghieäm döôùi vaø nghieäm treân cho baát ñaúng thöùc bieán phaân. Söû duïng khaùi nieäm nghieäm

döôùi, nghieäm treân naøy vaø caùc kyõ thuaät trong lyù thuyeát cuûa phöông trình ñaïo haøm rieâng, Leâ

Khoâi Vyõ ñaõ chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cöïc trò cuûa moät soá lôùp baát ñaúng thöùc bieán phaân.

Ñeå chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cöïc trò cuûa (0.9) chuùng toâi ñaõ söû duïng phöông phaùp khaùc.

Ñoù laø söû duïng keát quaû cuûa [5] veà baøi toaùn (0.9) khi f laø haøm taêng theo bieán u. Vôùi f thoûa

(0.10), baøi toaùn (0.9) ñöôïc ñöa veà baøi toaùn ñieåm baát ñoäng cuûa aùnh xaï taêng. Ñieåm baát ñoäng

cöïc trò cuûa aùnh xaï naøy chính laø nghieäm cöïc trò cuûa (0.9). Phöông phaùp tieáp caän naøy cho

pheùp chuùng toâi xeùt caùc haøm f coù theå giaùn ñoaïn theo bieán u. Caùc keát quaû cuûa luaän aùn veà

baøi toaùn (0.9) ñaõ ñöôïc coâng boá trong [ II ].

4. Caùc keát quaû cuûa luaän aùn ñaõ ñöôïc coâng boá trong caùc baøi baùo [ I-V ]

vaø ñöôïc baùo caùo trong hoäi nghò Toaùn hoïc toaøn quoác laàn thöù 5 taïi Hueá (9/2002), Hoäi nghò

khoa hoïc khoa Toaùn – Tin hoïc ÑHSPTpHCM laàn thöù 2 (12/2002).

CHÖÔNG 1

MOÄT SOÁ PHÖÔNG TRÌNH

CHÖÙA THAM SOÁ

Trong chöông naøy cuûa luaän aùn chuùng toâi nghieân cöùu caáu truùc nghieäm cuûa caùc phöông







trình vi phaân chöùa tham soá sau:

x //

,0)x(f)t(a

t

)1,0(



/

/





,

/ )x(

),x,x,t(f

t

)1,0(



 



 2p







,

)x(

x

)1p,x

//

/

2 



(ÔÛ ñaây

x

x

,0

t

)1,0(



1 

 ,xf  

  

,

vôùi ñieàu kieän bieân:

x(0) = x(1) = 0.

Chuùng toâi seõ söû duïng moät soá keát quaû cuûa lyù thuyeát phöông trình toaùn töû trong khoâng gian

Banach coù thöù töï ñeå nghieân cöùu söï toàn taïi nghieäm döông cuûa caùc baøi toaùn treân. Vôùi moät soá

giaû thieát ñaët leân haøm f chuùng toâi chöùng minh ñöôïc raèng taäp nghieäm döông cuûa caùc baøi toaùn

naøy laø nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën, vaø taäp caùc giaù trò  ñeå caùc baøi toaùn ñoù coù nghieäm

döông, laáp ñaày moät khoaûng vôùi caùc ñaàu muùt coù theå xaùc ñònh ñöôïc.

Caùc keát quaû cuûa chuùng toâi veà caùc baøi toaùn ñöôïc xeùt toát hôn caùc keát quaû lieân quan cuûa J.

Henderson vaø H. Wang; cuûa R. Agarwal, H. Lu,

D. O’Reagan vaø cuûa M. Krasnoselskii. Ñieàu ñoù coù ñöôïc laø do:

 Chuùng toâi ñaõ chöùng minh moät soá keát quaû veà haøm loõm, cho pheùp xeùt caùc phöông trình

]1,0[C

]1,0[C1

vi-tích phaân treân khoâng gian thay vì treân khoâng gian .

 Chuùng toâi ñaõ söû duïng moät caùch heä thoáng caùc keát quaû veà toaùn töû tuyeán tính u0-bò chaën

ñeå ñaùnh giaù daùng ñieäu tieäm caän cuûa tham soá  .

 Chuùng toâi ñaõ chöùng minh vaø söû duïng caùc keát quaû phuï veà giaù trò rieâng chính cuûa toaùn töû

p-laplace moät chieàu vaø veà baát phöông trình vi phaân chöùa toaùn töû p-laplace.

Phöông phaùp cuûa luaän aùn nghieân cöùu caùc baøi toaùn ôû chöông naøy coù theå aùp duïng cho caùc

ñieàu kieän bieân khaùc sao cho haøm Green töông öùng laø khoâng aâm hoaëc cho caùc phöông trình

§1. CAÙC KHAÙI NIEÄM VAØ KEÁT QUAÛ ÑÖÔÏC SÖÛ DUÏNG.

vi phaân baäc cao vôùi ñieàu kieän bieân nhieàu ñieåm.

A. Khoâng gian Banach coù thöù töï

Ñònh nghóa1.1.1.

Cho khoâng gian Banach thöïc X.

 Taäp XK  goïi laø moät noùn treân X neáu:

 K .

 KKK

i) K laø taäp ñoùng,





tK

K

vôùi

moïi

t

.0

  

ii)

 )K(K

  .

iii)

 Neáu XK  laø noùn thì thöù töï trong X sinh bôûi noùn K ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:

 Kxy

yx  khi vaø chæ khi

.

Chuù yù raèng trong lyù thuyeát phöông trình trong khoâng gian coù thöù töï, thuaät ngöõ noùn ñöôïc

duøng ñeå chæ taäp K thoûa maõn caùc ñieàu kieän i)–iii). Trong Giaûi tích ña trò, Lyù thuyeát ñieàu

khieån, …, taäp K thoûa caùc ñieàu kieän i)–iii) goïi laø noùn loài ñoùng nhoïn.

Ñònh nghóa1.1.2.

Cho X laø khoâng gian Banach vôùi thöù töï sinh bôûi noùn K. Khi ñoù ta noùi:

 K laø noùn sinh neáu: K – K = X.









 K laø noùn chuaån neáu:

,0N

yx:Ky,x

yNx

.

 K laø noùn chính qui neáu: Moïi daõy ñôn ñieäu taêng bò chaën treân ñeàu hoäi tuï.

 K laø noùn hoaøn toaøn chính qui neáu: Moïi daõy ñôn ñieäu taêng bò chaën theo chuaån, ñeàu

hoäi tuï.

Ta deã daøng kieåm tra raèng:

 Noùn caùc haøm khoâng aâm trong khoâng gian C(X) caùc haøm lieân tuïc treân khoâng gian



compaéc X laø noùn sinh, noùn chuaån nhöng khoâng laø noùn chính qui.

p1(

)

,XLp 

 Noùn caùc haøm khoâng aâm h. k. n trong , laø noùn sinh, noùn hoaøn

toaøn chính qui.

B. Toaùn töû tuyeán tính u0-bò chaën

Ñònh nghóa 1.1.3.

XX:A  laø toaùn töû tuyeán

Cho X laø khoâng gian Banach vôùi thöù töï sinh bôûi noùn K vaø

 \K

 

u0

. tính vaø

 ,

K)K(A

 Toaùn töû A goïi laø döông neáu:







noùi caùch khaùc:

0x,Xx

0)x(A

.

 \Kx

 

toàn taïi soá töï nhieân n =  Toaùn töû A goïi laø u0-bò chaën treân neáu: Vôùi moãi



n(x), soá a = a(x) > 0 sao cho

n )x(A

au

0

.

 \Kx

 

toàn taïi soá töï nhieân n =  Toaùn töû A goïi laø u0-bò chaën döôùi neáu: Vôùi moãi



n(x), soá b = b(x) > 0 sao cho

n )x(A

bu

0

.

 Neáu A laø u0-bò chaën döôùi vaø u0-bò chaën treân thì ta noùi A laø u0-bò chaën hay u0-

döông.

Trong caùc phaàn sau chuùng ta caàn caùc keát quaû döôùi ñaây veà ñaùnh giaù baùn kính phoå cuûa

toaùn töû tuyeán tính döông (xem trong [20,21]).

Meänh ñeà1.1.4.

X

X:A  laø toaùn töû tuyeán tính hoaøn toaøn lieân tuïc vaø u0-bò

Giaû söû K laø noùn sinh vaø

1

chaën. Khi ñoù:

x0  , töông öùng vôùi giaù trò rieâng

0

1) A coù duy nhaát trong K vectô rieâng x0 ,

0 

.

n

n

2) Giaù trò rieâng 0 truøng vôùi baùn kính phoå r(A) cuûa A; trong ñoù r(A) coù theå tính baèng

)A(r

A



Lim n 

coâng thöùc .

Meänh ñeà1.1.5.

x

u,Kv,u(vu





) 

1) Giaû söû A laø toaùn töû tuyeán tính döông, hoaøn toaøn lieân tuïc vaø toàn taïi phaàn töû

, soá töï nhieân n vaø soá döông  sao cho

)x(An

x 

.

Khi ñoù:

)A(r

n 

.

2) Cho A laø toaùn töû tuyeán tính döông, hoaøn toaøn lieân tuïc, u0-bò chaën treân, K laø noùn

 \Kx 

sinh vaø chuaån. Giaû söû toàn taïi , soá töï nhieân n vaø soá döông  sao cho

)x(An

x 

.

Khi ñoù:

)A(r

n 

,

hôn nöõa neáu x khoâng laø vectô rieâng cuûa A thì baát ñaúng thöùc laø nghieâm ngaët.

C. Nhaùnh lieân tuïc caùc nghieäm cuûa phöông trình chöùa tham soá

Cho X laø khoâng gian Banach vaø K laø noùn xaùc ñònh thöù töï trong X. Cuøng vôùi hình noùn



 \Px,I

KP  . Ta xeùt baøi toaùn K, chuùng ta xeùt theâm moät noùn

 





tìm thoûa maõn phöông trình:

)x,(Fx



(1.1)

I

I

PI:F

P

 ,0 

  ,0

trong ñoù hoaëc , laø moät toaùn töû hoaøn toaøn lieân tuïc, nghóa laø

b,a  moïi r > 0.

,I





  b,aF

)r,(BP 

F lieân tuïc vaø laø taäp compaêc töông ñoái vôùi moïi 

Ta kyù hieäu  laø taäp nghieäm cuûa phöông trình (1.1)









I

x),x,(Fx|P

 )x,(

 0



,



vaø ñaët

S

  

  \Px

)x,(Fx:I 

. (1.2)

Neáu toaùn töû F laø khaû vi taïi  hoaëc coù moät chaën döôùi ñôn ñieäu theo nghóa Krasnoselski

thì söï toàn taïi nhaùnh nghieäm lieân tuïc khoâng bò chaën trong  coù theå nghieân cöùu baèng caùch

söû duïng ñònh lyù toång quaùt cuûa Dancer [11], Amann [3]. Trong caùc phöông trình maø chuùng toâi

seõ xeùt, caùc toaùn töû khoâng ñoøi hoûi tính khaû vi taïi  cuõng nhö khoâng coù chaën döôùi ñôn ñieäu

vaø vì vaäy thay theá cho taäp nghieäm  chuùng toâi seõ xeùt hình chieáu S cuûa noù treân khoâng gian

X. Ñònh nghóa sau ñaây ñöôïc ñöa ra bôûi Krasnoselski.

Ñònh nghóa 1.1.6.

S

 G

Ta noùi raèng S laø moät nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën xuaát phaùt töø  neáu vôùi

moïi taäp môû bò chaën G chöùa  .

Ñeå khaûo saùt S chuùng toâi söû duïng nhieàu laàn ñeán caùc keát quaû sau:

Meänh ñeàù1.1.7. [19]

I:F

P

P 

Cho laø moät toaùn töû hoaøn toaøn lieân tuïc vaø G laø moät laân

 \P

1 , thuoäc I vaø phaàn töû

2

x0 

caän môû bò chaën cuûa . Giaû söû raèng toàn taïi caùc soá

(Fx

)x,

sao cho

Px

G

 

1 .



1

x

(F

)x,

i) vôùi vaø

Px

G



0 .



x   0

 2

ii) vôùi vaø

S

 G .

Khi ñoù:

Ñònh lyù1.1.8.

I:F

P

P 

Giaû söû laø aùnh xaï hoaøn toaøn lieân tuïc thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau:

1) Taäp nghieäm S cuûa (1.1) laø nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën xuaát phaùt töø .

I

S

 

)x( 

)x,( thoûa (1.1).

x  toàn taïi duy nhaát

R,r

,0(

)

,

,0(

)

2) Vôùi moãi ñeå









 

x

,S

x

)x(











 R,r



  , .

sao cho 3) Vôùi moãi ñoaïn  toàn taïi ñoaïn 

4)

sup

)x(

inf

)x(









0

  

Lim x 0 

Lim x 

, a)

hoaëc

sup

)x(

inf

)x(









  0



Lim x 

Lim x 0 

. b)

  

,0



0,  

Khi ñoù vôùi moïi ( hoaëc ) thì phöông trình (1.1) coù nghieäm

 \Px 

.

Chöùng minh

Ta chöùng minh ñònh lyù cho tröôøng hôïp a), tröôøng hôïp b) chöùng minh

hoaøn toaøn töông töï.

Giaû söû traùi laïi



\Px



  .

  x,Fx:





  ,0

(1.3)

Ta ñònh nghóa:

)x(

S1

)x(

  :Sx   :Sx

 ,  .

S2







Töø giaû thieát 4) vaø ñònh nghóa S1, S2 ta coù

,

inf

Sx:x

 sup





 0 

Sx:x 1

2



. (1.4)

inf

Sx:x



 0 1 

Töø (1.4) vaø giaû thieát 1) ta phaûi coù . (1.5)







Ta khaúng ñònh:

inf

 Sy,Sx:yx

0





1

2





x

y,S

S

. (1.6)

  n

1

2





sao cho Thaät vaäy, neáu (1.6) khoâng ñuùng thì tìm ñöôïc caùc daõy   n

x

y

0

n

n

Lim  n



R,r

 ,0(

)

x

R,r 

. (1.7)



  y,



n

n





Töø (1.4) vaø (1.7) ta thaáy toàn taïi ñoaïn  sao cho 

  ,

,

,)x( n

)y( n

ñeå . Töø söï bò chaën cuûa Do ñoù theo giaû thieát 3) toàn taïi 

 

  

,)x( n

)y( n





, töø

x

,

y

  x),x(F



  y),y(F

n

n

n

n

n

n

,



/ 

// 







sao cho vaø tính hoaøn toaøn lieân tuïc cuûa F, ta coù theå choïn daõy con 

,

x

x

 x





kn  y

n

n

n

y,x 0

n

0

k

k

k

k

, ,

vaø ta coù

,

x,

x

x,

x

/ // 

 /  F



 //  F

0

0

0

0

, .

/ // 

Nhöng khi ñoù theo giaû thieát 2) ta phaûi coù , ñieàu naøy maâu thuaån vôùi (1.3). Nhö

vaäy (1.6) ñuùng.



Baây giôø ta ñaët

G

  ,xB  2 

  

  1Sx

.

 G

 G

Ta coù G laø taäp môû, bò chaën (do (1.4) ) vaø chöùa  (do (1.5) ). Theo caùch xaây döïng G

S

 G

S1

S2

, coøn theo (1.6) ta coù , do vaäy , ñieàu naøy maâu ta coù

thuaån vôùi giaû thieát 1). Vaäy (1.3) laø sai. Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.



Ñònh lyù 1. 1. 8 laø moät chænh lyù cuûa ñònh lyù töông töï cuûa Kranoselski trong [20]. Ñoái vôùi

 )x,(F

)x(F

)x(F

truôøng hôïp rieâng caùc giaû thieát 2), 3) ñöôïc nghieäm ñuùng, neáu khi

 \Px

 

.

D. Moät soá tính chaát cuûa haøm loõm

]1,0[CX 





Trong phaàn naøy ta kyù hieäu

]1,0[

x

:)t(x

t

lieân tuïc treân ñoaïn vôùi chuaån laø khoâng gian Banach caùc haøm  ]1,0[ sup .

Giaû söû X ñöôïc saép thöù töï bôûi hình noùn K caùc haøm khoâng aâm. Xeùt P laø hình noùn taát caû

Kx  sao cho x(0) = x(1) = 0. caùc haøm loõm

Ñònh lyù 1.1.9.

)t(x

)t1(t.x

i) Moïi haøm x  P coù ñaïo haøm haàu khaép nôi (h.k.n) treân [0,1] vaø thoûa maõn:





vôùi moïi t  [0,1], (1.8)

)t('x



)t(x )t1(t 

]1,0[C

h.k.n treân [0,1]. (1.9)

knx

ii) Neáu daõy   P ñeán moät haøm x thì toàn taïi moät daõy con 

xn  hoäi tuï trong / knx

hoäi tuï h.k.n treân [0, 1] ñeán haøm x/. cuûa noù sao cho 

Chöùng minh

x 

0tx 

t

t

t









)t(x

1

)0(x

)t(x 0

)t(x 0

t

t

t

0

0

0

  

  





i) Giaû söû vôùi t0  (0,1) naøo ñoù. Bôûi tính loõm cuûa x ta coù

t



0tx)t1(t 

]t,0[ 0

0







)t(x

)1(x

)t(x 0

)t(x 0

 t t  t1

 t1  t1

 t1  t1

0

0

0

vôùi ,





t

]1,t[

)t(x)t1(t 0

0

vôùi .



neân (1.8) ñöôïc thoûa maõn.

t

 )s(x)t(x 

)s

t(

laø khoâng Cuõng bôûi tính haøm loõm cuûa x deã daøng chöùng minh raèng haøm

s

)1,0(

 s\]1,0[

taêng treân vôùi moïi . Vì vaäy haøm x laø Lipschitz, vaø do ñoù lieân tuïc tuyeät ñoái

)1,0(

]1,0[

 b,a 

. Töø ñoù x khaû vi h.k.n treân . (Xem [30]). treân moãi ñoaïn con 









Neáu x khaû vi taïi t  (0,1) naøo ñoù thì bôûi tính loõm cuûa x, ta coù

t)(t('x)s(x)t(x

s),s

]1,0[

.

/

/







Cho s = 0, s = 1 ta nhaän ñöôïc

)1t)(t(x)t(x,t)t(x)t(x

,







Do ñoù

/ )t(x

)t(x  t1

)t(x t

,







/ )t(x

)t(x  )t1(t

)t(x  )t1(t

neân .

Ñieàu naøy chöùng minh (1.9).

/ nx laø khoâng taêng trong taäp hôïp maø noù xaùc ñònh.

ii) Töø tính loõm cuûa nx suy ra raèng





inf

)s(x],t,0[

toàn

 s|)s(x

taïi .

)t(y n

/ n

/ n

Vôùi n = 1, 2,…, t  (0, 1) ta ñaët:

)1,0(

 b,a 

(theo (1.9) ), do Daõy  ny caùc haøm khoâng taêng laø bò chaën ñeàu treân moïi ñoaïn 

t 

)b,a(

. Baèng suy

kny

hoäi tuï ñeán moät haøm y vaäy theo ñònh lyù choïn Helly coù moät daõy con naøo ñoù cuûa noù hoäi tuï taïi moïi luaän veà daõy ñöôøng cheùo, ta keát luaän ñöôïc raèng coù moät daõy con 

t 

)1,0(

. taïi moïi

 )t(y)t(

]1,0[

 )t(x)t(y

n

/ n

Limx / kn

Vì h.k.n treân [0,1] neân ta coù h.k.n treân . Ta coøn

)1,0(

 t,s 

knx

. Theo [30] , vì phaûi chæ ra y(t) = x/(t) h.k.n treân [0, 1]. Xeùt tuøy yù moät ñoaïn 

t,s

neân lieân tuïc tuyeät ñoái treân 

x

 x)t(

)s(

x

du)u(

n

n

/ n

k

k

k

t  s

.

k

Cho theo ñònh lyù hoäi tuï bò chaën ta coù

 )s(x)t(x

du)u(y

t  s



.

)t(x/

)t(y

h.k.n treân (0, 1). Töø ñoù

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

§ 2. BAØI TOAÙN GIAÙ TRÒ RIEÂNG CHO MOÄT LÔÙP BAØI TOAÙN BIEÂN

BAÄC 2.

A. Öôùc löôïng baùn kính phoå cuûa toaùn töû tích phaân tuyeán tính



Giaû söû G : [0,1]  [0,1]  |R laø haøm Green cho baøi toaùn bieân:

x// 

y

trong (0,1), x(0) = x(1) = 0,



 )s1(t

neáu

t0

,1s



töùc laø:

)s,t(G



neáu

s0

.1t

   )t1(s 

(1.10)

Giaû söû a: [0,1]  [0, ) laø moät haøm lieân tuïc khoâng ñoàng nhaát baèng 0 treân moïi ñoaïn

 )t(a)t(a

  1,0:a

  ,0

  , 

1,0 





vaø laø haøm sao cho treân (, 1-), a(t) = 0 treân

 ,0

   1

1,

. Xeùt caùc toaùn töû tích phaân tuyeán tính.

)t(Bx

ds)s(x)s(a)s,t(G

1  0

, (1.11)

)t(xB 

ds)s(x)s(a)s,t(G 

1  0

. (1.12)

]1,0[C

vaøo

]1,0[C

B,B

laø hoaøn toaøn lieân tuïc töø . Ta coù

Ta kyù hieäu r(B), r(B) laø baùn kính phoå cuûa B vaø B .

]1,0[C

. Ta coù: Ñònh lyù 1.2.1. Kyù hieäu K laø noùn caùc haøm khoâng aâm cuûa

)B(r



0

)B(rLim   

i) .



ii) r(B) laø moät giaù trò rieâng cuûa B vôùi moät haøm rieâng thuoäc K.

)B(r 

iii) Neáu x  Bx vôùi moät x  K \   thì

 \Kx 

Neáu Bx  x vôùi moät thì r(B)  .

Caùc khaúng ñònh töông töï cuõng ñuùng cho toaùn töû B, vôùi caùc baát ñaúng thöùc nghieâm ngaët

trong keát luaän neáu x khoâng laø vectô rieâng cuûa B.

Chöùng minh





 BB

ds)s(a)s(a)s,t(G





1  sup  01t0



 ds)s(a)s(a

1  0

Ta coù

 2

)s(a

sup  1s0

.

B



BLim  0

Do ñoù trong L(X). Do ñoù khaúng ñònh i) suy ra töø tính lieân tuïc cuûa toaùn töû

A 

)A(r

töø L(X) vaøo |R.







Ta coù theå kieåm tra raèng:

)s,t(G)s1(s)t1(t

 )t1(t

 1,0 

1,0 

. treân 

Do ñoù vôùi Kx 







 ds)s(x)s(a)s1(s)t1(t

)t(Bx

ds)s(x)s(a)t1(t

1  0

1  0





,

)t(xB 

1   ds)s(x)s(a)t1(t 0

.

0u –bò chaën



 ).t1(t

Töø caùc baát ñaúng thöùc naøy deã daøng kieåm tra toaùn töû B laø

B laø

0u – bò chaën treân, vôùi

)t(u0

vaø toaùn töû Töø ñoù khaúng ñònh ii) suy töø meänh ñeà

1.1.4, khaúng ñònh iii) laø heä quaû cuûa meänh ñeà 1.1.5.

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

B. Nhaùnh lieân tuïc caùc nghieäm vaø khoaûng giaù trò rieâng

]1,0[CX 

]1,0[





Trong phaàn naøy laø khoâng gian Banach caùc haøm lieân tuïc treân ñoaïn vôùi

x

;)t(x

t

 sup

]1,0[ .

chuaån

Giaû söû X ñöôïc saép thöù töï bôûi noùn K caùc haøm khoâng aâm. Xeùt P laø noùn taát caû caùc

haøm loõm Kx  sao cho x(0) = x(1) = 0.







,0)x(f)t(a

t

)1,0(

Chuùng ta nghieân cöùu baøi toaùn bieân





x // .0)1(x)0(x

  

(1.13)

)H(

1 f: [0, )  [0, ) lieân tuïc vaø khoâng ñoàng nhaát trieät tieâu treân moïi ñoaïn con.

vôùi caùc giaû thieát

2H ) a: [0, 1]  [0, ) laø lieân tuïc vaø khoâng baèng haèng 0 treân moïi ñoaïn.

(

3H ) Toàn taïi caùc giôùi haïn (coù theå baèng  )





f

vaø

f 

0

Lim  x 0

Lim  x

)x(f x

)x(f x

(

 f

f0

vaø .

So vôùi caùc nghieân cöùu cuûa [17] veà baøi toaùn (1.13). Chuùng toâi seõ chöùng minh taäp nghieäm

döông cuûa baøi toaùn (1.13) laø nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën vaø chöùng minh raèng taäp caùc giaù

trò  ñeå baøi toaùn (1.13) coù nghieäm döông chöùa moät ñoaïn. Ñoaïn naøy laø lôùn hôn ñoaïn nhaän

ñöôïc trong [17].

Baøi toaùn bieân (1.13)ø töông ñöông vôùi baøi toaùn giaù trò rieâng sau:

)t(x

)]s(x[f)s(a)s,t(G

ds

1  0

, (1.14)

ôû ñaây haøm G xaùc ñònh nhö trong (1.10). Neáu ta goïi F laø toaùn töû trong veá phaûi cuûa (1.13)

sau thöøa soá  thì F: P  P laø hoaøn toaøn lieân tuïc.

Ñònh lyù 1.2.2.

1H ) vaø (

2H ) ñöôïc thoûa maõn. Khi ñoù taäp S ñònh nghóa trong

Giaû söû raèng caùc ñieàu kieän (

(1.2) cho phöông trình (1.14) laø moät nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën, xuaát phaùt töø .





Px,x

inf

m

Chöùng minh







M

Px,)x(F

 sup

G .

Giaû söû G laø moät taäp con môû bò chaën chöùa  . Ñaët ,G

Neáu x =  F(x) vôí  > 0,  > 0 vaø x  P  G thì m  M.

Vì vaäy ñieàu kieän i) trong meänh ñeà 1.1.7 seõ thoûa maõn neáu 1 ñuû nhoû. Baây giôø ta seõ chöùng

minh ñieàu kieän ii) trong meänh ñeà 1.1.7 thoûa maõn vôùi 2 ñuû lôùn vaø 0x (t) = t(1 – t).

Giaû söû traùi laïi. Khi ñoù

n = 1, 2, 3, ... xn – nx0 = nFxn,

 P

G

0

n

x n

n 

n

, vaø khi . Theo baát ñaúng vôùi

)1,0(

 b,a 





. Do ñoù vôùi moãi ñoaïn laø bò chaën ñeàu treân moïi ñoaïn  thöùc (1.9), daõy  / nx

,...)3,2k( 

1,

1,

1 k

1 k

1 k

1 k

 

 

 

 

theo ñònh lyù Ascoli. Töø  nx coù daõy con hoäi tuï ñeàu treân

ñoù söû duïng kyõ thuaät veà daõy ñöôøng cheùo, ta choïn ñöôïc töø daõy  nx ra moät daõy con, maø ta laïi

t 

)1,0(

ñeán moät haøm x lieân tuïc treân (0, 1) sao cho kyù hieäu laø  nx , hoäi tuï taïi moïi ñieåm



x(t)  mt(1 – t) treân (0, 1). Qua giôùi haïn trong baát ñaúng thöùc:

Fx

dx)]s(x[f)s(a)s,t(G

n

n

)t(x n 

n

1  0

,

do ñònh lyù hoäi tuï bò chaën, chuùng ta coù

0

)]s(x[f)s(a)s,t(G

ds

1  0

.

Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi vôùi ñieàu kieän (H1).

Vaäy caùc ñieàu kieän cuûa meänh ñeà 1.1.7 ñöôïc thoûa maõn. Do ñoù phöông trình (1.14) coù

P

 . G

nghieäm treân

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

Ñònh lyù 1.2.3.

Giaû thieát raèng caùc ñieàu kieän (H1) – (H3) ñöôïc thoûa maõn vaø 1 laø giaù trò rieâng beù nhaát

cuûa baøi toaùn bieân

x// + a(t)x = 0 trong (0, 1),

x(0) = x(1) = 0.

Khi ñoù vôùi moïi  thoûa maõn:

min

max

 

0

0





  

  1 1 ,  f f 

  

  1 1 ,  f f 

,



 \P

1 0

thì baøi toaùn (1.14) coù trong ít nhaát moät nghieäm. (ÔÛ ñaây chuùng ta hieåu raèng ,

0

 1  

).

Chöùng minh

 f

f0

ñöôïc chöùng minh Chuùng ta chæ chöùng minh cho tröôøng hôïp f0 < f. Tröôøng hôïp

moät caùch hoaøn toaøn töông töï .

1





Ta seõ chöùng minh raèng:

)x(

 f

Lim inf  x 0

0

1





, (1.15)

)x(

 f

sup 

Lim x



. (1.16)

Khi ñoù khaúng ñònh cuûa ñònh lyù 1.2.3 suy ra töø ñònh lyù 1.1.8.

 f

f0

0f



Vì neân .

m

 1 f 0





. Vì: Xeùt soá döông m sao cho

f

0

Lim  x 0

)x(f x

 1 m

,



neân ta coù theå choïn soá döông r sao cho

rx  .

)x(f

x

1 m







khi

x,0x,Sx

r

x 

Fx)x(





)s(a)s,t(G)x(

ds)s(x

 1 m

1  0



1



Neáu ta coù

)x(B

).x( m

.







ÔÛ ñaây B laø toaùn töû tuyeán tính xaùc ñònh trong (1.11). Vì vaäy, do ñònh lyù 1.2.1, chuùng ta

m)x( 

)B(r

)B(r





1 

m )x(

1

1



coù . Chuù yù raèng neân ta coù . Töø ñoù

 m)x(

Lim inf  x 0

.

 0f

1



Vì m coù theå choïn gaàn tuøy yù neân (1.15) ñöôïc chöùng minh.

 km

 f





Ñeå chöùng minh (1.16) ta xeùt m, k tuøy yù sao cho . Do:

  f

Lim  x

)x(f x

 1 m

,



neân ta coù theå choïn r sao cho

)x(f

x

1 m

vôùi x > r.

0



Theo ñònh lyù 1.2.1 ta choïn ñöôïc soá ñuû nhoû sao cho

)B(r

)B(r



m k

m  1.k

. (1.17)



 ,Sx

x

r 2







)t(x

)t1(tx



Khi thì do (1.8) ta coù

t

x 2 

r

  1,



vôùi .



)t(x

ds)s(xf)s(a)s,t(G)x(





1  0



)s(a)s,t(G)x(

ds)s(x



 1 m

1  0

Vì vaäy





1



)x(B 

)x( m

.

a vaø toaùn töû

B ñöôïc ñònh nghóa trong phaàn A cuûa § 2.

ÔÛ ñaây haøm



Aùp duïng ñònh lyù 1.2.1 ta coù

)B(r 



m )x(

 1



. (1.18)

k)x( 

 1 tuøy yù ta coù (1.16). f 

Keát hôïp (1.17) vaø (1.18) ta coù . Vì k coù theå choïn gaàn

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

Ghi chuù 1.2.4.

Ta seõ chöùng minh raèng khoaûng caùc giaù trò  ñeå baøi toaùn (1.13) coù nghieäm, trong ñònh lyù

1.2.3 laø roäng hôn caùc khoaûng tìm ñöôïc trong [17].

 f

f0

1

1

Ñeå laøm ví duï, ta xeùt tröôøng hôïp . Trong tröôøng hôïp naøy khoaûng trong ñònh lyù

,

 f

 f



0

  

  

3



1.2.3 laø .

4 ds)s(a)s,t(G

b

 Max 1t0

1

4





, Ñaët

c

ds)s(a)s1(s

1  0

,

thì trong [17] ñaõ nhaän ñöôïc khoaûng giaù trò  ñeå (1.13) coù nghieäm laø:

,

4 bf



1 0cf

  

  

.



Ta seõ chöùng minh:

1 

1

4 b

1 c

vaø .

Ta coù



ds)s(a)s,t(G

c

1  0

,

 khoâng laø vectô rieâng cuûa toaùn töû B

)1(B 

1.c

1)t(x





. Vì haøm hay ôû daïng töông ñöông

)B(r

c

1 

1







)t(u

neân theo ñònh lyù 1.2.1 ta coù .

)t(y

)t(Bu

t1,tmin



)t(y

ds)s(u)s(a)s,t(G

1  0

1

1







)s(a)s,t(G

sds

ds)s1)(s(a)s,t(G

2  0

 1 2





ds)s(a)s,t(G

1 4

1 1 2  4 1 4

3 4  ds)s(a)s,t(G 1 2

Ñaët vaø . Ta coù



1 4

3 4  ds)s(a)s,t(G 1 4

.



y 

b

)t(y

)t(uy

1 4



Do ñoù . Maët khaùc töø chöùng minh ñònh lyù 1.1.9 ta coù hay

)t(Bu

)t(bu

1 4

.



Do haøm u(t) khoâng laø vectô rieâng cuûa toaùn töû B neân töø baát ñaúng thöùc treân vaø ñònh lyù 1.2.1,

b

1 

1 4

1

§3. BAØI TOAÙN GIAÙ TRÒ RIEÂNG CHO BAØI TOAÙN BIEÂN BAÄC 2 CHÖÙA TOAÙN TÖÛ P-

LAPLACE.

ta coù

Trong muïc naøy ta nghieân cöùu baøi toaùn bieân chöùa toaùn töû

p-Laplace sau ñaây:

/

/



)x,x,t(f

/ )x(







  .

0)1(x)0(x

/



trong (0, 1), (1.19)

 1p,

/ )x(

/ xx

  

/2p/    

vôùi ñöôïc goïi laø toaùn töû p-Laplace moät chieàu.

A. Caùc keát quaû chuaån bò

 Tröôùc tieân ta nghieân cöùu moät vaøi tính chaát cuûa toaùn töû nghòch ñaûo cuûa toaùn töû p-

Laplace.

)1,0(Ly 



, trong [1,14] ñaõ chöùng minh raèng toàn taïi duy nhaát Vôùi moãi haøm khoâng aâm

/



haøm , x/ lieân tuïc tuyeät ñoái sao cho

/ )x(

y

]1,0[C)y(Ax  

1 





h.k.n trong (0,1),

0)1(x)0(x

.

 1





dr)r(y

t0,ds

,c

t  0

c  s

   

   

Haøm A(y) ñöôïc xaùc ñònh bôûi:



)t(Ay

 1





dr)r(y

c,ds

.1t

1  t

s  c

   

   

      

(1.20)

 1

 1



ÔÛ ñaây soá c ñöôïc choïn sao cho

dr)r(y

ds

dr)r(y

c  0

c  s

1   c

s  c

   

   

   

  ds  

.

1,0 .

Roõ raøng raèng Ay(c) laø giaù trò cöïc ñaïi cuûa Ay treân 

Caùc tính chaát sau ñaây cuûa A ñaõ ñöôïc thieát laäp trong [1,14,15].

Meänh ñeà 1.3.1.

i) Toaùn töû A laø hoaøn toaøn lieân tuïc töø

)1,0(L

0

]1,0[C



 )t(x:)1,0(Lx 

)1,0(



h.k.n treân vaøo .

)1,0(Ly 

haøm A(y) thuoäc P. ii) Vôùi moãi haøm döông

 zy0

1 1p 

Toaùn töû A laø döông, thuaàn nhaát baäc vaø ñôn ñieäu taêng theo nghóa keùo

)z(A)y(A 

. theo

/







/ )x(

0x,)x()t(c

trong

 

 Baây giôø ta xeùt vaán ñeà tìm soá döông  vaø tìm haøm x sao cho





 .0)1(x)0(x

  )1,0(  



(Pc)

)1,0(

  0)t(c,)1,0(Lc

0c  .

h.k.n treân , ÔÛ ñaây

0

c 

cxx 

Ta bieát raèng toàn taïi duy nhaát soá , duy nhaát haøm chính xaùc tôùi moät haèng

soá nhaân, thoûa maõn (Pc).

c goïi laø giaù trò rieâng chính cho baøi toaùn (Pc) vaø ñaëc tröng bôûi:

p

/ )t(x

dt

1  0

Soá





inf

0x,)1,0(Wx:

 c

p,1 0

p

)t(x)t(c

dt

1  0

      

      

. (1.21)

Ñeå nhaän ñöôïc khoaûng giaù trò rieâng cuûa baøi toaùn (1.19) ta caàn chöùng minh hai keát quaû

sau.

Ñònh lyù1.3.2.

]1,0[Cx

1

x  , 0

x  , 0

x  cx

Giaû söû sao cho x/ lieân tuïc tuyeät ñoái, ,

)0(x

)1(x

0





.

/

Khi ñoù:

/ )x(

)x()t(c

treân

)1,0(







 



i) (1.22)

/

, keùo theo

/ )x(

)x()t(c

treân

)1,0(







c  



ii) (1.23)

c

keùo theo .

Chöùng minh

/





 )x()t(c

)t(h

trong

),1,0(

/ )x(

 

c

 



,0)1(x)0(x



Trong [34] ñaõ chöùng minh raèng baøi toaùn bieân:

)1,0(Lh

khoâng coù nghieäm döông neáu haøm khoâng ñoåi daáu vaø khoâng ñoàng nhaát baèng

c

khoâng. Vì vaäy trong (1.22), (1.23).

Neáu (1.22) ñöôïc nghieäm ñuùng thì baèng caùch nhaân vôùi x vaø tích phaân

p



töøng phaàn ta ñöôïc

/ )t(x

dt

p dt)t(x)t(c

1  0

1  0

,

c

/









ñieàu naøy keùo theo bôûi (1.21)

 )x()t(c

/ )x(

(

)t(k)x()t(c)

 

c

c

 



, Neáu (1.23) ñöôïc nghieäm ñuùng thì coù 

0k,)1,0(Lk

vôùi moät haøm . Do ñoù theo keát quaû ñaõ ñeà caäp ôû treân cuûa [34] ta keát luaän

0

c 

ñöôïc .

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

Nhaän xeùt 1.3.3 .

Chuùng ta deã thaáy raèng baøi toaùn giaù trò rieâng (Pc) laø töông ñöông vôùi phöông trình toaùn





töû sau:

 )x()t(cAx 

.





Ta coù daïng yeáu cuûa khaúng ñònh ii) trong ñònh lyù 1.3.2 nhö sau:

]1,0[Cx 

0x  ,

0x  vaø

0

 )x()t(cAx 

c

ii/) Neáu vôùi naøo ñoù, thì .

c cuûa baøi toaùn

Thaät vaäy, giaû söû xc laø moät vectô rieâng öùng vôùi giaù trò rieâng chính

(Pc). Söû duïng bieåu dieãn cuûa A trong (1.20) vaø qui taéc L/Hospital ta thaáy raèng caû hai giôùi

haïn

)t(x Lim c t t  0

)t(x Lim c  )t1(  1t



)t1(t

,

0

)t(x c







/

laø höõu haïn. Nhö vaäy: vôùi naøo ñoù.

 )t1(t

)t(x

0

  )x()t(cA)t(x



)t(x c

/ 

)t(x

)t(x

Vì vôùi naøo ñoù neân vôùi

0

0

c

. Do ño toàn taïi moät soá lôùn nhaát sao cho . Bôûi tính ñôn ñieäu cuûa

1  1p







x

A ta coù

 



)x()t(cAx c

c

 

c

  

  

.

1  1p



1

 

c

  

  

Do tính cöïc ñaïi cuûa  , ta phaûi coù

c

hay .

c

Ñònh lyù 1.3.4.

)1,0(L

)1,0(L

c,cn

Lim n  trong c

Giaû söû laø caùc haøm döông trong vaø . Giaû söû n

Lim

  c

n

)P( nC

. Khi ñoù . laø giaù trò rieâng chính cuûa baøi toaùn

Chöùng minh

n chöùa moät daõy con hoäi tuï ñeán

c . Ñeå

Chæ caàn chöùng minh raèng moïi daõy con cuûa daõy 

n . Giaû söû

nx laø moät haøm rieâng töông öùng

ñôn giaûn kyù hieäu, giaû thieát daõy con ñöôïc xeùt laø 

xn  . 1

n ñaõ ñöôïc chuaån hoùa bôûi ñieàu kieän

vôùi





)t1(t 

)t(x n

)t(xx 0

n

 )t(x 0





x

Vì , ta coù

)x()t(cA

 

n

nn

n





(1.24)

)x()t(cA

 

nn

0

,



vaø vì vaäy



1   p1 n

n

n

0

.

n

0 naøo ñoù. Töø

kn

cuûa noù hoäi tuï ñeán

]1,0[C

)x()t(cA  x bò chaën vaø do ñoù coù moät daõy con  Töø ñoù, daõy  (1.24) vaø tính compact cuûa toaùn töû A, ta coù theå giaû thieát daõy con 

knx

0x  .



hoäi tuï trong

)1,0(L

)x( 

n

 )x()t(c0

c knkn

hoäi tuï ñeán trong . ñeán haøm Ta coù daõy  



A

x

c

 x()t(

 

)

n

n

n

n

k

k

k

k

Do ñoù qua giôùi haïn trong ñaúng thöùc:





ta ñöôïc

 

)x()t(cAx 0



.

0

c

)P( C .

Vì vaäy do tính duy nhaát cuûa giaù trò rieâng chính cuûa baøi toaùn

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

B. Nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën caùc nghieäm döông vaø khoaûng giaù trò rieâng

 Caùc giaû thieát - Ñöa veà phöông trình toaùn töû

Ñeå khaûo saùt baøi toaùn (1.19) chuùng ta ñöa ra caùc giaû thieát sau:

1,0:f 

  ,0





, (H1) Haøm |R+ |R|R laø lieân tuïc, ôû ñaây |R+

q0

b,a

0

)1,0(L

1p,1min



trong , caùc soá vaø (H2) Toàn taïi caùc haøm döông

:g |R+|R+ khoâng ñoàng nhaát baèng khoâng treân moïi khoaûng, thoûa maõn:

/

q/





haøm lieân tuïc

)x(g)t(a

 )x(g)t(b)x,x,t(f

x.

,

(1.25)

/

)x,x,t(

  1,0

 

vôùi |R+ |R.

(H3) Toàn taïi caùc giôùi haïn





g



,g 0

)x(g  1p

)x(g  1p

Lim  x 0

Lim  x

x

x

,

(coù theå baèng 0 hoaëc  ).

 Ta chuyeån baøi toaùn bieân (1.19) veà moät phöông trình toaùn töû daïng (1.1) nhö sau:

Px  (nhaéc laïi raèng P laø noùn cuûa taát caû caùc haøm loõm khoâng aâm, lieân tuïc treân Vôùi moãi

1,0 

trieät tieâu taïi 0 vaø 1) ta coù x/(t) toàn taïi h.k.n vaø theo i) cuûa ñònh lyù 1.1.9 vaø giaû thieát

q )t(x

/







(H2), ta coù

)t(x),t(x,tf0

 )t(xg)t(b







q

q  )t1(t

/



. (1.26)

)1,0(L

)t(Fx

)t(x),t(x,tf 

Töø ñaây ta thaáy toaùn töû laø taùc ñoäng töø P vaøo vaø chuyeån moãi

taäp bò chaën vaøo moät taäp bò chaën.

]1,0[C

xn  hoäi tuï trong

veà Px  . Ñeå chöùng Ta chöùng minh F lieân tuïc. Giaû söû daõy   P

)x(F n

)x(F n

minh  hoäi tuï veà F(x) trong L(0,1) ta chæ caàn chæ ra raèng moïi daõy con cuûa 

)x(F n

/



.

)t(x)t(

xLim

/ kn

knx



sao cho h.k.n. chöùa moät daõy con hoäi tuï veà F(x). Ñeå ñôn giaûn kyù hieäu ta coi daõy con ñöôïc xeùt laø  Do khaúng ñònh ii) cuûa ñònh lyù 1.1.9 toàn taïi daõy con 

LimFx

)t(

)t(Fx

kn

Do ñoù h.k.n.







Töø (1.25), (1.26) vaø tính bò chaën ñeàu cuûa daõy  nx ta coù

x),t(

)t(

b

 x,tf0



1

/ kn

kn

q

 1 q  )t1(t

.

LimFx

Fx

)1,0(L1

kn 

AÙp duïng ñònh lyù hoäi tuï chaën, ta coù trong .

Töø ñoù toaùn töû FA  laø hoaøn toaøn lieân tuïc töø P vaøo P. Baây giôø, baøi toaùn (1.19) laø töông

ñöông vôùi phöông trình giaù trò rieâng sau:





1  1p

)x(FA

  )x(FAx



. (1.27)

]1,0[CX 

Ta seõ xeùt phöông trình (1.27) vôùi vaø tìm caùc nghieäm trong noùn P.

Ñònh lyù 1.3.5.

Giaû söû raèng giaû thieát (H1) vaø (H2) ñöôïc thoûa maõn. Khi ñoù taäp nghieäm S cuûa phöông trình

(1.27) laø moät nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën xuaát phaùt töø .

Chöùng minh

S

 G

baèng caùch söû Giaû söû G laø moät laân caän môû bò chaën cuûa  . Ta seõ chöùng minh

0

duïng meänh ñeà 1.1.7.

1 



. Roõ raøng ñieàu kieän i) cuûa meänh ñeà 1.1.7 ñuùng vôùi

 )t1(t

)t(x 0

2 ñuû lôùn. Thaät vaäy, giaû söû

Ta seõ kieåm tra raèng ñieàu kieän ii) ñuùng vôùi vaø vôùi





traùi laïi raèng

x

 

n

x 0n

)x(FA n

n



x

 P

,G

G

,

n



   ,0

n

n

vaø khi neân toàn taïi vôùi caùc daõy   n . Vì   xn





)1,0(

Mxm0

Nn  . Vôùi moïi ñoaïn 

 d,c 

n 

m, M thoûa vôùi moïi , theo ñònh lyù giaù

trò trung bình vaø ñònh lyù 1.1.9

n

n



/ )u(x n

 )s(x)t(x 

s

t

ta coù

s,t 





d,c  .

)u(x n  )u1(u

M  )d1(c

vôùi

knx

hoäi tuï Nhö vaäy, daõy  nx ñoàng lieân tuïc treân  d,c ñöôøng cheùo, ta keát luaän raèng toàn taïi moät daõy con  vaø moät haøm x sao cho  . Söû duïng ñònh lyù Ascoli vaø kyõ thuaät daõy knx

)1,0(

 d,c 

. ñeán x ñeàu treân moïi khoaûng 





)1,0(

 )t(xM

)t1(mt





x

A

Roõ raøng raèng x laø lieân tuïc treân vaø . Töø

 

 

)x(g)t(a

n

 A)x(F n

n

n

n

,



ta suy ra

x

)x(g)t(aA



1   p1 n

n

n

.

n

Qua giôùi haïn khi trong baát ñaúng thöùc treân ta ñi ñeán moät maâu thuaãn laø

)x(g)t(aA0 



.

Vaäy taát caû caùc ñieàu kieän cuûa meänh ñeà 1.1.7 ñöôïc thoûa maõn.

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

Ñònh lyù 1.3.6.

Giaû söû caùc giaû thieát (H1) – (H3) ñöôïc thoûa maõn. Giaû söû theâm raèng:

a  b  g g 0



,

)P(),P(

a ,  laø caùc giaù trò rieâng chính cuûa caùc baøi toaùn

b

a

b

ôû ñaây töông öùng.





0

a  b , g g

  

  

baøi toaùn bieân (1.19) coù ít nhaát moät nghieäm döông. Khi ñoù vôùi moïi

0

0



0g

g 

 a  g0

b g

(ÔÛ ñaây chuùng ta coi neáu , neáu )

Chöùng minh

a





Chuùng ta seõ chöùng minh raèng:

)x(

 g

Lim sup  x 0

0

b





, (1.28)

inf

)x(

Lim  x

 g



, (1.29)





vaø aùp duïng ñònh lyù 1.1.8 ñeå ñi ñeán khaúng ñònh cuûa ñònh lyù.

0gm0

Ñeå chöùng minh (1.28) ta seõ xeùt soá m tuøy yù thoûa .



m

Lim  0 x

)x(g )x(

Do ta coù theå choïn r sao cho

 )x(m)x(g

 rx0

vôùi .

x  thì ta coù

r

Sx  vôùi

/

/



/ )x(

)x,x,t(f)x(

 









Neáu

)x(g)t(a)x(

)x()t(ma)x(





,

m)x(

a

vaø vì vaäy do ñònh lyù 1.3.2.





)x(

.

 a m

Lim sup  x 0

Töø ñoù

Vì m coù theå choïn tuøy yù gaàn 0g neân (1.28) ñuùng.

0

 gm1

Baây giôø ta chöùng minh (1.29). Coá ñònh ñuû nhoû vaø moät soá .



m

1

)x(g  1p

Lim  x

x

 1p

Do neân coù soá R sao cho

 1 x.m)x(g

vôùi Rx  .

Sx  vôùi



x

R 2







Neáu thì

t

)t(x

R)t1(tx

 1,



vôùi .

Do ñoù

t



  1p   )t(xm)t(xg



 1,



1

vôùi .

p

/ )t(x

dt

 / dt)t(x)t(x),t(x,tf



1  0

1  0

q





/ )t(x

dt)t(x

 )t(xg)t(b



 

 

1  0

Nhaân (1.19) vôùi x vaø laáy tích phaân töøng phaàn ta ñi ñeán

 1q







m

p dt)t(x)t(b

dt)t(x)t(xg)t(b

dt





1

)t( q

x q  )t1(t

 1  

 E

1  0

   

   





M

, (1.30)

Rx0:)x(g  sup

  ,0E

   1

1,

ôû ñaây . Ñaët .

 1p





Ta coù

x

  ,0

1xmM)x(g

vôùi moïi

p







vaø vì vaäy

dt)t(x)t(xg)t(b

xmx.Mb

2





1







 E

. (1.31)

p

p







Ñaët

)x(h

k,dt)t(x)t(b

p )t1(t)t(b

dt

1  0

1  0

.

pxk)x(h 

p

/ )t(x

dt

1  0

 b

)x(h

 p1q

 b2

x

dt

 p1



. Töø (1.21), (1.30 vaø (1.31) suy ra Ta coù theo ñònh lyù 1.1.9









m

x.M

m

1

1





q

k

k

q  )t1(t

1  0

   

   

.

 ,0p1

 ,0p1q

 b2







Vì ta suy ra

inf

1m).x(

 b

1

Lim  x

k

   

   

.

0

 g

m1

Baèng caùch cho vaø sau ñoù , ta coù (1.29).

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

0 trong (1.25), töùc laø:

Ñònh lyù 1.3.7.

Giaû söû caùc giaû thieát (H1) – (H3) ñöôïc thoûa maõn vôùi

)x(g)t(

)x,x,t(f

)x(g)t(b





/ 

/

, (1.32)

)x,x,t(

  1,0

 

a

vôùi IR+  IR. Giaû thieát theâm raèng:

0

 b  g g 

.

a

Khi ñoù baøi toaùn bieân (1.19) coù ít nhaát moät nghieäm döông vôùi moïi





 b , g g

0



  

  

.

Chöùng minh

b





Tröôùc tieân ta chöùng minh

)x(

 g

Lim inf  x 0

0

. (1.33)

0r  sao cho

0gm 

Xeùt soá vaø choïn

)r,0(x 



m

)x(g  )x(





khi .

x,Sx

r

/

/





/ )x(

)x,x,t(f)x(

)x(g)t(b)x(

 







Vôùi ta coù

)x(m)t(b)x(

.

m)x(

b 

Do ñoù theo ñònh lyù 1.3.2.



Töø ñaây ta coù

 b m

inf 

Lim x

.

0gm  ta coù (1.33).

Cho

a





Tieáp theo ta seõ chöùng minh

)x(

 g

sup 

Lim x



. (1.34)

0

 gm1



)x(m)x(g

Coá ñònh ñuû nhoû vaø . Choïn R lôùn sao cho

1

vôùi Rx  .

 vôùi

R)t(x

t

Sx  vaø



x

 1,



R 2



Neáu ta coù .

/

/





/ )x(

)x,x,t(f)x(

)x(g)t(a)x(

 







Töø ñoù

)1,0(

)x()t(am)x( 

1



 )t(a)t(a

0

trong . (1.35)

t

t

 1

 

 1,



 ,0



)t(a 

a

ôû ñaây neáu vaø .

)1,0(L

0

a 

1, neáu  laø giaù trò rieâng chính cuûa baøi toaùn 

aP



trong khi . Giaû söû . Roõ raøng



1m)x(

Khi ñoù töø (1.35) vaø ñònh lyù 1.3.2 ta coù .





Vì vaäy

)x(

  m

sup 

Lim x

1

.

0

 g

m1

Baèng caùch cho vaø ta nhaän ñöôïc (1.34) vì theo ñònh lyù 1.3.4 ta coù

a

. Baây giôø khaúng ñònh cuûa ñònh lyù ñöôïc suy ra töø (1.33), (1.34) vaø ñònh lyù 1.1.8.

Nhaän xeùt 1.3.8.

1. Trong tröôøng f khoâng phuï thuoäc x/ vaø thoûa maõn caùc giaû thieát töông töï (H1) – (H3), caùc

taùc giaû cuûa baøi baùo [1] ñaõ nhaän ñöôïc khoaûng giaù trò rieâng sau ñaây

,

g

g

1  )A( 2

1  )A( 1

0

  

  

,

s

1

1 2

1 2

 1

 1







A

max

dr)r(b

,ds

dr)r(b

ds

1









s

0

1 2

1 2

     

     

     

     

     

     

ôû ñaây:

b



2A,

g

 g

1  )A( 1

0

0



1.A)1()t(bA

vaø laø caùc soá ñöôïc xaùc ñònh thích hôïp. Ta chöùng toû .





1A vaø (1.20) ta thaáy raèng

1

Thaät vaäy, töø söï ñònh nghóa cuûa hoaëc moät caùch

töông ñöông:

A

 )1()t(b

1



1 )A( 1

  

  



.

b

1  1)A(

Nhö vaäy: theo nhaän xeùt 1.3.3.



2. Phöông phaùp cuûa chuùng toâi coù theå aùp duïng ñeå nghieân cöùu keát quaû veà toàn taïi 2 nghieäm.

 g

g0







Chaúng haïn neáu thì töø (1.28) vaø (1.34) ta coù

)x(

 0)x(

Lim  x 0

Lim  x

.



)x(

0

 0

Lim  x

inf r 0

Neáu ta tìm ñöôïc moät soá 0r sao cho

0,0  





thì do moät keát quaû töông töï ñònh lyù 1.1.8 ta keát luaän ñöôïc vôùi moïi baøi toaùn bieân

x

x

1

r 0

2

1 x,x

2

thoûa maõn . (1.19) coù ít nhaát hai nghieäm döông

§4. NGHIEÄM TUAÀN HOAØN CUÛA MOÄT LÔÙP PHÖÔNG TRÌNH OÂTOÂNOÂM CAÁP 2.

Trong muïc naøy cuûa luaän aùn chuùng toâi seõ khaûo saùt baøi toaùn bieân

//

/

2 

phuï thuoäc tham soá sau:

x

x

,0

trong

)1,0(

1 

 ,xf 

 





.0)1(x)0(x

, (1.36)

Chuùng toâi seõ chöùng minh söï toàn taïi nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën caùc nghieäm döông cuûa

(1.36) vaø söï toàn taïi khoaûng caùc giaù trò  ñeå (1.36) coù nghieäm.

Vieäc nghieân cöùu baøi toaùn bieân (1.36) xuaát phaùt töø vieäc tìm nghieäm tuaàn hoaøn (chu kyø

//





chöa bieát) cuûa phöông trình oâtoânoâm caáp 2:

y

/ 0)y,y(f

. (1.37)

Thaät vaäy, giaû söû haøm f: |R |R|R laø haøm leû ñoái vôùi bieán thöù nhaát.

)x,(

Khi ñoù töø nghieäm cuûa baøi toaùn (1.36) ta coù theå xaây döïng nghieäm y vôùi chu kyø 2 



cuûa baøi toaùn (1.37) nhö sau:

)t(x

)t(x

0,1



baèng caùch ñaët , thì do tính Tröôùc heát ta môû roäng haøm x(t) leân ñoaïn 

0)1(x)1(x

1,1



vaø . Tieáp leû cuûa f haøm nhaän ñöôïc seõ thoûa phöông trình (1.36) treân 

x)t(y

t 

  

  

theo ta môû roäng haøm nhaän ñöôïc leân |R ñeå coù haøm chu kyø 2. Khi ñoù haøm seõ laø

nghieäm cuûa (1.37) vôùi chu kyø 2  .



Baøi toaùn bieân (1.36) ñöôïc ñöa veà phöông trình toaùn töû:

2 

)t(x

:ds

 ),x,(F

1 

 ,)s(xf)s,t(G 

 / )s(x 

1  0

(1.38)



 )s1(t

neáu

t0

,1s



)s,t(G



neáu

s0

.1t

   )t1(s 

vôùi

)x,(F 



)t(Bx

,ds)s(x)s,t(G

1  0

Cuøng vôùi baøi toaùn phi tuyeán ta xeùt caùc toaùn töû tuyeán tính



)t(xB 

,ds)s(x)s(a)s,t(G 

1  0





(1.39)

1)t(a

t

 1,

0)t(a

,0

   1



 ,

1,





trong ñoù neáu . treân 

 1

1 2



Ta bieát B coù giaù trò rieâng lôùn nhaát laø , giaù trò naøy coù tính chaát ñaëc bieät. Noù

)B(r

1

2

dt

 / )t(x





0

2 





cuûa toaùn töû B vaø truøng vôùi baùn kính phoå

inf

0



2,1  x,1,0Wx: 0

1

1 

1

2

dt)t(x



0

      

      

. (1.40)

B,B

Chuù yù raèng caùc toaùn töû ñöôïc xeùt ôû muïc naøy laø tröôøng hôïp rieâng cuûa caùc toaùn töû

B,B

B,B

xeùt ôû §2, do ñoù ñònh lyù 1.2.1 ñuùng cho ôû (1.39).

]1,0[C

Chuùng ta vaãn xeùt (1.38) trong vôùi thöù töï sinh bôûi noùn K caùc haøm khoâng aâm vaø

tìm nghieäm trong noùn P caùc haøm loõm, khoâng aâm, baèng 0 taïi t = 0, t = 1.

Ta ñaët caùc giaû thieát sau leân haøm f .

x/ 

R

/  0)x,0(f

1 g,g

2

vaø toàn taïi caùc haøm lieân tuïc (H1) f: |R+ |R  |R+ lieân tuïc, : |R+

,0c 

)1,0(q 

/

q/





sao cho  |R+ khoâng baèng 0 treân moïi khoaûng vaø caùc soá

 )x(g)x,x(f

x.c

)x(g 1

2

,

,0(

),

.

 \Px

 

 2

1

 1

2



Neáu thì khoâng toàn taïi haøm sao cho (H2)

 (

)x,

(vaø

)x,

1

2

cuøng laø nghieäm cuûa (1.36).



Duøng caùc lyù luaän khi ñöa baøi toaùn (1.19) veà (1.27), töø giaû thieát (H1) ta coù theå chöùng

)x,(F 

,0(

P)

trong (1.38) taùc ñoäng töø vaøo P vaø hoaøn toaøn lieân tuïc. minh raèng aùnh xaï

Nhaän xeùt 1.4.1.

Ñieàu kieän (H2) khoâng phaûi laø quaù ngaët. Chaúng haïn noù ñöôïc thoûa maõn neáu haøm f coù



/





ñaïo haøm rieâng theo bieán thöù 2 vaø

/x,0x





/ x)x,x(f2

/ 0)x,x(f

/

 x

, |R.

Thaät vaäy, khi ñoù ta coù

/

/

/

/

x

x

x

x

2 

/

1 

1 

 

1 

 x 

  

 ,xf  

  

  

 ,xf2  

 ,xf  

  

  

/

> 0.



2 ,xf 

x

1 

  

  

Do ñoù haøm laø haøm taêng vaø ñieàu kieän (H2) ñöôïc nghieäm ñuùng.

Ñònh lyù 1.4.2.

Giaû söû ñieàu kieän (H1) ñöôïc thoûa maõn. Khi ñoù taäp S caùc nghieäm döông cuûa phöông trình

(1.38) laø moät nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën xuaát phaùt töø .

Chöùng minh

S

 G

G

Xeùt tuøy yù taäp môû, bò chaën . Ñeå chöùng minh ta cuõng söû duïng meänh ñeà

1.1.7. Lyù luaän töông töï nhö ôû chöùng minh ñònh lyù 1.3.5 ta coù theå chæ ra raèng ñieàu kieän ii)









x

(F

),x,

Px

0

 x

G

2

0

trong meänh ñeà 1.1.7

2 ñuû lôùn.

seõ ñöôïc thoûa maõn vôùi





(Fx

Px),x,

1

 

G

1

Tieáp theo ta kieåm tra raèng ñieàu kieän i) cuûa meänh ñeà 1.1.7







ñuùng vôùi 1 ñuû nhoû. Thaät vaäy, giaû söû m, M laø caùc soá döông thoûa:

,Mxm0

 Px

G

.







Px,)x,(Fx

G

Neáu

q

/ )s(x



2 



x

c

ds



2

q 

1  0

   )s(xg)s,t(G   

    

q )s(x

2 



c

ds

 )s(xg



2

q





qq )s1(s

  

  

1  0

thì theo ñieàu kieän (H1) vaø ñònh lyù 1.1.9

q

cM

2 



m

ds

c 1

qq q   )s1(s

  

  

1  0





hay ,

Mu0:)u(g  sup

c1

trong ñoù .

1

Töø ñaây ta coù khi  ñuû nhoû.

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

Ñònh lyù 1.4.3.

Giaû söû caùc giaû thieát (H1), (H2) ñöôïc thoûa maõn vaø hôn nöõa ta coù

a

a







0



Lim x 0 

Lim x 

)x(g 1 x

)x(g 2 x

. (H3)

 \P

Khi ñoù baøi toaùn (1.38) coù nghieäm trong vôùi moãi giaù trò  thoûa maõn





 , a0 a

   

   

.

Chöùng minh

Ta seõ chöùng minh raèng taát caû caùc ñieàu kieän cuûa ñònh lyù 1.1.8 ñöôïc

nghieäm ñuùng cho baøi toaùn (1.38). Ñieàu kieän 1) ñöôïc chöùng minh trong ñònh lyù 1.4.2. Ñieàu





kieän 2) ñöôïc suy töø giaû thieát (H2). Tieáp theo ta kieåm tra ñieàu kieän 3) cuûa ñònh lyù 1.1.8.

)x,(Fx

x 

R,r 

q

x

2 



)t(x

.

ds



2

q

c q 



q )s1(s

1  0

   

   )s(xg)s,t(G  

q

R

 q2



2 



Giaû söû: , . Ta coù

r

.c

ds

c 1

q

q  )s1(s

   

   

1  0





 ,

c

 sup x)x(g

R,0   .

1

2



vôùi

A

 x,Sx:)x(

 

R,r  

Töø ñaây ta thaáy taäp bò chaën döôùi bôûi soá döông. Neáu A khoâng

xn  ,

n

sao cho bò chaën treân thì ta tìm ñöôïc caùc daõy   S





x

(F

R,r 

xn 

n

)x, n

n

, , n=1,2,…

knx



hoäi Laëp laïi lyù luaän duøng ñeå chöùng minh ñònh lyù 1.2.2 vaø 1.3.5 ta tìm ñöôïc daõy con 

)1,0(

)t(x

 )t1(rt

tuï taïi moïi ñieåm cuûa (0, 1) veà haøm x lieân tuïc treân vaø thoûa . Khi ñoù qua

1

giôùi haïn trong baát ñaúng thöùc:

  ds)s(xg)s,t(G

1

kn



0

)t(x kn 2  kn

,

t 

ta gaëp ñieàu voâ lyù

0

)s(xg)s,t(G



 ds

1,0 

1

1  0

.

Vaäy ñieàu kieän 3) trong ñònh lyù 1.1.8 ñöôïc nghieäm ñuùng.





Cuoái cuøng ñeå kieåm tra ñieàu kieän 4) trong ñònh lyù 1.1.8 ñöôïc thoûa maõn ta seõ chæ ra raèng:

)x(

 a

Lim x

sup  0

0





, (1.41)

)x(

 a

inf 

Lim x



2



. (1.42)

 ma

m 

0

0a

Lim  0 x

)x(g 1 x

Tröôùc heát ta chöùng minh (1.41). Xeùt soá döông . Do neân

2

toàn taïi soá r >0 thoûa maõn

 ,xm)x(g

 x

r,0 

1

.





x,Sx

r

2 

)t(x

)s(xg)s,t(G)x(

 ds



1

1  0

2

2 

Vôùi ta coù

ds)s(x)s,t(Gm)x(

1  0

.

2

2



2 m)x( 

Do ñoù theo keát quaû cuûa ñònh lyù 1.2.1 aùp duïng cho aùnh xaï B trong (1.39). Töø





ñaây ta coù

)x(

 m

Lim sup  x 0

.

m 

0a



Cho ta coù (1.41).

m

0

 a

  a



2 1

m1

Lim  x

)x(g 2 x

Ñeå chöùng minh (1.42) ta xeùt soá ñuû nhoû vaø soá . Do

0r  sao cho



neân toàn taïi soá

 ,xm)x(g

rx

2

2 1





.

M

rx0:)x(g  sup 2





Ñaët ta coù

,xmM)x(g

x

  ,0

2

2 1

.





x,Sx

r 2



2

/

2 

dt

  / )t(x

1 

 ),t(xf 

 dt)t(x)t(x 

1  0

1  0

q

2 



> r . Nhaân hai veá cuûa (1.36) vôùi x(t) vaø laáy tích phaân töøng phaàn ta coù Xeùt

dt)t(x

 )t(xg



2

q



  )t(xc qq  )t1(t

1  0

   

   

.

t





2 

)t(x

)t1(tx

r

 1,



r 2







khi neân Ta coù

dt)t(xm

dt)t(xm

 dt)t(x)t(xg



2

22 1

22 1

 1  

 1  

1  0

.

   1

  ,0E

1,



Ñaët thì ta coù

 x.mMx2

 dt)t(x)t(xg







2

2 1



E

.

Do ñoù ta coù

2

 1q

2 



dt

2 dt)t(xm

 xmMx2

x

.



 / )t(x



2 1

2 1

 q2 c 1

1  0

1  0

    

   

(1.43)

2

Ñaët





)x(h

,dt)t(x

k

2 2  )t1(t

dt

1  0

1  0

.

2x.k)x(h 

2

2 

dt

 / )t(x



1 )x(h

1  0

 1q



2 





Chuù yù raèng , töø (1.40), (1.43) ta coù

m

m

x

2 1

2 1

c 1

 2 k

M x

 q2 k

   

   

   

   





. (1.44)

)x(

inf 

Lim x

2 

2 



thì hieån nhieân (1.42) ñuùng. Tröôøng hôïp ngöôïc laïi thì töø (1.44) ta coù Neáu

1.m).x(

2 1

 2 k

inf 

Lim x

  

  

. (1.45)

0

 a

m1

Cho roài , töø (1.45) ta ñöôïc (1.42).

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

Ñònh lyù 1.4.4.

Giaû söû caùc giaû thieát (H1), (H2) ñöôïc thoûa maõn vôùi c = 0 trong ñieàu kieän (H1) vaø hôn nöõa

ta coù

a

a







0



Lim x 0 

Lim x 

)x(g 2 x

)x(g 1 x

. (H4)

 \P

Khi ñoù baøi toaùn (1.38) coù nghieäm trong vôùi moïi  thoûa maõn

,





 a

 0a



   

   

.

Chöùng minh

Lyù luaän töôïng töï trong chöùng minh ñònh lyù 1.4.3 ta thaáy caùc giaû thieát 1), 2), 3) cuûa ñònh

lyù 1.1.8 ñöôïc nghieäm ñuùng. Ta seõ chöùng minh giaû thieát 4) trong ñònh lyù 1.1.8 ñöôïc thoûa maõn





ôû daïng:

)x(

 a

Lim inf  x 0

0





, (1.46)

)x(

 a

sup 

Lim x



. (1.47)

m 

0a

2



m

Lim  x 0

)x(g 2 x

. Ta coù Ñeå chöùng minh (1.46) ta xeùt soá

0r  sao cho

2

neân coù soá

 xm)x(g

x 

r,0 

2





, .

x,Sx

r

2 

)t(x

ds)s(xg)s,t(G)x(





2

1  0

2

2 

2 

ta coù Vôùi

ds)s(x)s,t(Gm)x(

2 )x(Bm)x(

1  0

.

1





)B(r

2

1 2

2 



m)x(

Do ñoù





theo ñònh lyù 1.2.1. Töø ñaây ta coù

)x(

 m

Lim inf  x 0

.

m 

0a

Cho ta coù (1.46).

k

 a

0



ñuû nhoû vaø soá . Ta choïn r ñuû lôùn Baây giôø ta chöùng minh (1.47). Xeùt soá

2



sao cho

 xk)x(g

rx

1

.





x,Sx

r 2







)t(x

)t1(tx

t

Vôùi ta coù



 ..

r

 1,



r 2



khi .

2



t

Do ñoù

)t(xk

 )t(xg



 1,



1

2



khi

t 

)t(x)t(ak

 )t(xg



1,0 



1





,

1)t(a

t

0)t(a

t

 

 1

 1,



 ,0

1,





trong ñoù neáu , neáu .

2 

)t(x

ds)s(xg)s,t(G)x(





1

1  0

2

2 

2 

ds)s(x)s(a)s,t(Gk)x(

2 )x(Bk)x(





1  0

Töø ñaây ta coù

1



vaø do ñoù, theo ñònh lyù 1.2.1 ta coù

 Br



2

2 

k)x(

.





Do vaäy

sup

)x(

Lim  x

1  Brk





.

k,0

 a

vaø chuù yù raèng Cho



)B(r



 

1 2

BrLim  0



,

ta coù (1.47) ñöôïc chöùng minh.

CHÖÔNG 2

NGHIEÄM CÖÏC TRÒ CUÛA MOÄT SOÁ

BAØI TOAÙN BIEÁN PHAÂN

§1. CAÙC KHAÙI NIEÄM VAØ KEÁT QUAÛ ÑÖÔÏC SÖÛ DUÏNG.

A. Ñieåm baát ñoäng cuûa aùnh xaï taêng



,u

Giaû söû X laø khoâng gian Banach treân tröôøng soá thöïc coù thöù töï ñöôïc sinh bôûi moät noùn. Ta

ux:Xx  .

laø taäp  seõ kyù hieäu 

 Ta noùi taäp







 x:MxMx,x

x,x

.x

1

2

1

2

XM  laø coù höôùng neáu



XXM:T

 AÙnh xaï







ñöôïc goïi laø aùnh xaï taêng neáu

yx,My,x

 )y(T)x(T

.

Trong chöông naøy chuùng toâi seõ aùp duïng moät ñònh lyù ñieåm baát ñoäng cuûa aùnh xaï taêng ñeå

chöùng minh söï toàn taïi nghieäm cöïc trò cho moät baøi toaùn tìm nghieäm yeáu cuûa phöông trình

elliptic vaø cho moät lôùp baát ñaúng thöùc bieán phaân.

Meänh ñeà sau ñaây laø söï keát hôïp cuûa hai keát quaû trong [8] vaø trong [27].

Meänh ñeà 2.1.1.

Giaû söû X laø khoâng gian Banach coù thöù töï sinh bôûi moät noùn, XM 

MM:T  laø aùnh xaï taêng thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau:

laø taäp ñoùng vaø



 u:Mu 

Tu

M 0

M

i) Taäp khaùc troáng vaø coù höôùng.

0

nTu hoäi tuï.

thì daõy  ii) Vôùi moïi daõy taêng   u  n

  ,uM

0Mu 

Khi ñoù, vôùi moãi thì aùnh xaï T coù trong ñieåm baát ñoäng lôùn nhaát u* vaø

  ,uMv

*

laø moät ñieåm baát ñoäng cuûa T thì ñieåm baát ñoäng nhoû nhaát u* , nghóa laø, neáu

uv



u *

.

Ghi chuù 2.1.2.

p 

Chuùng toâi seõ aùp duïng meänh ñeà 2.1.1 cho aùnh xaï T taùc ñoäng trong caùc khoâng gian

 p1

 (LX

)

, , vôùi thöù töï sinh bôûi noùn caùc haøm khoâng aâm haàu khaép nôi. Vôùi thöù töï

nTu

hoäi tuï, ta chæ caàn chöùng minh noù bò chaën theo chuaån. naøy thì ñeå chöùng minh daõy taêng 

B. Khoâng gian Sobolev

 p1

,...2,1,0m 

p 

Giaû söû  |RN laø moät mieàn. Vôùi vaø ta ñònh nghóa:

(W p,m  laø khoâng gian caùc haøm

)

 (Lu

)







coù ñaïo haøm suy roäng ñeán baäc m vaø

 (LuD

p  )

m

p,0 (W

p (L)

)

(W p,m  ta xeùt chuaån:

)

, Vôùi m = 0, ta ñaët . Trong vôùi moïi  maø



u

 uD

p,m

p



 m



,

(Lp  .

)

p

laø chuaån trong trong ñoù

(W p,m

)

)

)

(W p,m  . ÔÛ ñaây )



(Cc 

(Cc 

0  laø bao ñoùng cuûa

trong laø khoâng gian caùc

haøm coù giaù compaéc trong  vaø coù ñaïo haøm moïi haïng lieân tuïc treân  .

(W p,1

(W p,1

)

0  , trong )

0  ta seõ xeùt chuaån:



Ta thöôøng xeùt khoâng gian

u

u

p,1

p

.



Chuaån naøy töông ñöông vôùi chuaån:

u

u

p

p

.

(W 2,1  coøn ñöôïc kyù hieäu laø

)

(H1  .

)

Khoâng gian

/p,1 





 (W

)

/p,1   (W

)

1

(W p,1  laø )

 Khoâng gian lieân hôïp cuûa

1 /

1 p

p

vôùi vaø ñöôïc

ñònh nghóa trong [16].

Meänh ñeà 2.1.3. [9,16]

p,1 (W

*p (L

1

Np

)  

) 



p*



Np pN 

/*)p(

/p,1

1) Khi pheùp nhuùng laø lieân tuïc, vôùi vaø ta coù

L

( 

 W)

) ( 

,

1





1 /

1 s

s

. trong ñoù s/ laø chæ soá lieân hôïp vôùi s theo nghóa

),v,umax(

)v,umin(

(Wv,u

)

p,1  )



(W p,1  vaø

),x(uD

neáu

)x(u

)x(v



i

D



 )x()v,umax(



i

),x(vD

neáu

)x(v

,)x(u



i

  

),x(uD

neáu

)x(u

)x(v



i

D



 )x()v,umin(



i

),x(vD

neáu

)x(v

.)x(u



i

  

2) Neáu thì thuoäc

uDi

ÔÛ ñaây laø ñaïo haøm rieâng suy roäng theo bieán xi cuûa haøm u.

),x(uD

neáu

)x(u

0



i

 )x(uD



i

,

neáu

)x(u

,0



  0 

 )x(uD



i

neáu neáu

)x(u )x(u

0 .0

 

i

0 ,   ,)x(uD 

Noùi rieâng ta coù







 Baát ñaúng thöùc Gagliardo – Nirenberg

p,m (Wu

q (L)

 )

0

 1m

 Vôùi



 uD

u.C

u.

 p,m

 1 q

r

vaø , ta coù







1(

).

.

m N

1 q

1  Nr

1 p

   

  

trong ñoù  ñònh bôûi:





1m,0

 Vôùi



, ta coù

u

uC

u.

r

 p,1

 1 q

§2. NGHIEÄM YEÁU CÖÏC TRÒ CUÛA PHÖÔNG TRÌNH LOGISTIC.

.

n

p









Trong muïc naøy chuùng toâi xeùt phöông trình logistic vôùi söï khueách taùn phi tuyeán:

vv)x(m

trong

 v

  0v

treân

 ,





, (2.1)

1p,1n

. vôùi

nvu 

r

q







Baèng pheùp ñoåi bieán , phöông trình (2.1) ñöôïc ñöa veà phöông trình:

u)x(mu

u

trong

,



(2.2)

 0u

treân

.



Ta xeùt söï toàn taïi nghieäm yeáu cöïc trò cuûa (2.2) vôùi caùc giaû thieát:

soá

döông

s  (L)x(m,

),

 laø  ,1r

tham  .qr

    

|RN (N  3) laø mieàn môû, bò chaën vôùi bieân trôn,

Ñònh nghóa 2.2.1.



Xeùt phöông trình:

)u,x(fu

trong

 ,

 0u

treân

 ,

(2.3)

vôùi:

 |RN laø taäp môû, bò chaën coù bieân trôn,

:f

|R  |R laø moät haøm thoûa ñieàu kieän Caratheodory.



1 

(Hu

)

N2  )2N(



laø moät nghieäm yeáu cuûa (2.3) neáu 1) Ta noùi haøm

L)u,x(f

 (

)

,









 u

dx

)u,x(f

dx

)

1 (H 0











1 

.

(Hu

)

N2  )2N(





laø moät nghieäm döôùi cuûa (2.3) neáu 2) Ta noùi haøm

L)u,x(f

 (

,)

 0u

treân











,

 u

dx

)u,x(f

dx

),

n.k.h0

treân

1 (H 0









.

Meänh ñeà 2.2.2. [6]

:g

Giaû söû haøm IR  IR thoûa maõn ñieàu kieän Caratheodory vaø caùc ñieàu kieän sau:

0)0,x(g

u 

)u,x(g

 vaø haøm

thì laø taêng. i) Vôùi moïi x

1 (L ) 

h t

ii) Vôùi moïi t > 0 toàn taïi haøm sao cho

u:)u,x(g

t

)x(h

 sup

 t

.

  (Hh

1  )

)u,x(g

h

trong



u 





, 

Theá thì vôùi moïi baøi toaùn bieân

u

0

treân





,

(L)u,x(ug

1  ).

coù duy nhaát nghieäm yeáu u thoûa maõn ñieàu kieän









 Giaû söû caùc döõ kieän trong baøi toaùn (2.2) thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau:

s  (L)x(m

)

vôùi

s

1r,qr,







)1q(N2 )r21q(N)1q(2

/ coù bieân trôn sao cho

0)x(m  h.k.n trong  vaø toàn taïi soá

. (H1)

m 0  , taäp 0

/

/







x

(H2)

,m)x(m; 0

.

/



Goïi u1 laø haøm rieâng öùng vôùi giaù trò rieâng thöù nhaát cuûa baøi toaùn bieân

 u

u

trong

/



 0u

treân

, (2.4)

/

/ vôùi

0c  ñuû nhoû.

\ 

0u laø haøm baèng 0 treân

1cu treân

vaø , baèng

Ñònh lyù 2.2.3.

Giaû söû caùc ñieàu kieän (H1), (H2) ñöôïc thoûa maõn vaø haøm u0 ñöôïc ñònh nghóa nhö treân. Khi

,u0

. ñoù phöông trình (2.2) coù nghieäm lôùn nhaát vaø nhoû nhaát trong 

Chöùng minh

0u noùi trong phaùt bieåu ñònh lyù seõ

Böôùc 1: Ta seõ chöùng minh raèng haøm

laø moät nghieäm döôùi cuûa (2.2).

/



,)x(u

x

1



)x(u

/

,0

x

 \

,

   

Goïi 1 laø giaù trò rieâng ñaàu cuûa baøi toaùn bieân (2.4) vaø ñaët

u

1 u







, theo nghóa yeáu, nghóa laø: thì theo [4] ta coù

 u

dx

 u

,dx

1 (H

),

0

1









.

uc

u 0 

r

q















Do ñoù ñeå laø nghieäm döôùi cuûa (2.2) ta chæ caàn choïn c sao cho

uc

dx

,dx

 ),

0

 )x(uc)x(m



 )x(uc



1 (H 0

1





 

 





, (2.5)

r

q











cu

dx

)x(

)x(

,dx

 ),

.0

 cu)x(m



 cu



1 (H 0

1

1

1

1

 

 

 / 

 / 

hay

r

q









)x(

cu

)x(



 cu

 )x(

1

1

1

1

 rq

/









Ta coù

)x(

)x(

,0

x

 cu

 cu



 cu

 r1 

 cu)x(m  r   m)x(



1

0

1

1

1



,

/ . Nhö vaäy ta coù theå choïn

q

 r

r1,0

0

0c  ñuû nhoû vì

)x(u1

khi vaø bò chaën treân

uc

u 0 

c ñuû nhoû ñeå (2.5) ñuùng hay laø nghieäm döôùi cuûa (2.2).

Böôùc 2: Ñöa veà baøi toaùn tìm ñieåm baát ñoäng cuûa aùnh xaï taêng.

1q 

  (Lu

)

q

r



Vôùi moãi ta xeùt baøi toaùn tìm nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn:

 z

z

u)x(m

trong

 ,



(2.6)

 0z

treân



.

)z,x(g

qz

Ta seõ aùp duïng meänh ñeà 2.2.2 cho baøi toaùn (2.6). Hieån nhieân haøm thoûa maõn



caùc ñieàu kieän i), ii) cuûa meänh ñeà 2.2.2.

  1q (Lu

s  (Lm),

)

r



ta deã daøng suy ra Vì

u).x(m

t  (L

),

vôùi

t

 )1q(s  1q rs



.

t

N2  2N

N2



r

 2N





, do ñoù Töø ñieàu kieän (H1) cuûa ñònh lyù ta coù

u)x(m

L

 (

1 (H)

)

.



Nhö vaäy, taát caû caùc ñieàu kieän cuûa meänh ñeà 2.2.2 ñöôïc thoûa maõn vaø baøi toaùn (2.6) coù duy

(Hz

)

z

 1q 1 (L

)

1 0 

nhaát nghieäm yeáu sao cho .

 1qLu

Xeùt aùnh xaï T ñaët töông öùng moãi vôùi nghieäm duy nhaát z cuûa (2.6) thì ta coù T

1qL  vaøo

1qL  vaø u laø nghieäm yeáu cuûa (2.2) khi vaø chæ khi u laø ñieåm

laø moät aùnh xaï töø

 Ta seõ chöùng minh T laø aùnh xaï taêng.



1q 

baát ñoäng cuûa aùnh xaï T.

(H1

)

  (Lv,u

)

0 

Giaû söû vaø , theo ñònh nghóa cuûa T vaø khaùi nieäm vu  . Vôùi

r

q



 Tu

dx

u)x(m

)Tu(

,dx

 





   

r

q



,dx

 Tv

dx

v)x(m

)Tu(

 





   

nghieäm yeáu ta coù

vaø do ñoù

r

r

q

q













Tu(

)Tv

dx

v

)Tv(

.dx

 u)x(m



 )Tu(

  





   







(2.7)

Tu

Tv

)



1 0  (H



q

q







vaø deã daøng kieåm tra:

)Tu(

)Tv(

Tu(

)Tv

0





trong  . Theo meänh ñeà 2.1.3 ta coù  





Tu(

)Tv











trong (2.7) ta suy ra Do ñoù, cho

Tu(

 Tu()Tv

)Tv

dx

.0





(2.8)

 (Hw

)

1 0 



 



Maët khaùc, vôùi moïi ta coù theo meänh ñeà 2.1.3

dxww

0





. (2.9)

2









Do vaäy, töø (2.8) ta coù

Tu(

)Tv

dx

0



















.

Tu(

)Tv

0

Tu(

)Tv

0

Töø ñaây, ta suy ra hay h.k.n treân  .

Tu 

Tv

Tu 

Tv

 Tieáp theo ta chöùng minh

Ñieàu naøy coù nghóa h.k.n trong  . Nhö vaäy, . vu  keùo theo

u 

0 Tu

0

. (2.10)





Vì

u)x(m

,dx

dx

u

 ,)

0

r 0

1 (H 0

 

q 0

0u laø nghieäm döôùi cuûa (2.2) neân ta coù    

 u 0 

.

q











Keát hôïp vôùi

Tu

dx

u)x(m

,dx

)

 

0

r 0

)Tu( 0

1 (H 0





   

,

q













ta ñöôïc

u(

dx

,dx

 ,)

.0

)Tu( 0

1 (H 0

0

)Tu 0

 

 u

q 0

 

 

(2.11)



 u



0



q







u

Tu

0



)Tu( 0

0

0

 0 Tu  u

 

q 0

Cho trong (2.11) vaø chuù yù raèng:











u(

Tu

dx

.0

 u

 

0

)Tu 0

0

0

 

ta ñöôïc

2









Tu

dx

.0

 u



0

0

 







Laïi söû duïng (2.9) ta ñöôïc

u

u

Tu

0



0 

.Tu 0

0

0

h.k.n hay Töø ñaây ta suy ra 

,u 0

vaøo chính noù. Nghieäm Töø (2.10) vaø T laø aùnh xaï taêng ta thaáy T bieán taäp ñoùng 

,u 0

chính laø caùc ñieåm baát ñoäng lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa T yeáu cöïc trò cuûa (2.2) treân 

,u 0

. treân 

,u 0

. Böôùc 3: Chöùng minh T coù ñieåm baát ñoäng lôùn nhaát, nhoû nhaát treân 







u:

u

Ta seõ kieåm tra raèng taát caû caùc ñieàu kieän cuûa meänh ñeà 2.1.1 ñöôïc thoûa maõn. Vôùi

  u



Tu

Mu,u 2

1

0

 ,u 0

3 

)u,umax( 1 2

ta ñaët









thì ta coù do tính taêng cuûa T:

u

Tu

Tu

u 1

Tu 1

Tu 3

2

3

2

, .

u  3 Tu

3

3 Mu 

0

hay Töø ñaây ta coù . Vaäy M0 laø taäp coù höôùng.

Ñeå chæ ra raèng aùnh xaï T thoûa maõn ñieàu kieän ii) cuûa meänh ñeà 2.1.1 ta chæ caàn chæ ra raèng

(L 1q  )

. taäp T(M0) bò chaën theo chuaån trong

0Mu 

r

q



 Tu

dx

u)x(m

)Tu(

dx

 



Vôùi moãi



r

q





)Tu)(x(m

)Tu(

,dx

 ),

.0

 

1 (H 0

   

, ta coù    

Tu

2

 1q

 1r





Tu

)Tu(

)Tu)(x(m

dx

dx

Cho ta ñöôïc

.





 

  

/s)1r(

  L

Tu

 (

)





Döôùi ñaây ta seõ thaáy , do ñoù aùp duïng baát ñaúng thöùc Holder cho veá phaûi ta coù

Tu

Tu

/

2 H

 1q  1q

Tu.m s

 1r  s)1r(

1 2

2

. (2.12)







t (L

),

u

u

H

t





   

   

 Tröôøng hôïp (r + 1)s/  q+1

/s)1r(

trong ñoù laø chuaån trong .

 

Tu

  L

 (

)

Tu

1q  (L

)



Tu

Tuc

 1q  1q

 1r  1q

)M(T

Do ta coù . Töø (2.12), ta coù

0 laø taäp bò chaën

vôùi c laø moät haèng soá döông. Töø ñaây vaø chuù yù raèng r

(L 1q  ).

 Tröôøng hôïp (r+1)s/ > q+1

trong



Töø baát ñaúng thöùc ñaët leân chæ soá s trong ñieàu kieän (H1) cuûa ñònh lyù ta suy ra

N2  2N

 )1q(s  1q rs



. (2.13)

t

st 

rs(

)t

/

/

 s)1r(s





,

/

 s)1r( /

N2  2N





rs

 s)1r(

 s)1r(

1





Vì haøm taêng neân töø (2.13) ta coù

/s)1r( 

N2  2N

.

/







s)1r(1q

N2  2N

Nhö vaäy ta coù



vaø do ñoù ta coù theå aùp duïng baát ñaúng thöùc Gagliardo – Nirenberg ñeå coù:

Tu

Tu.C

Tu.

/s)1r( 

t H

 t1  1q

, (2.14)

1







trong ñoù soá t ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän:

t

/

1  q1

 2N N2

1  q1

 s)r1(

  

  

/s)1r(

.

Tu

  L

 (

)



Nhö vaäy ta cuõng coù . Töø (2.12) ta coù

Tu

C

Tu

1

H

 1r 2 /s)1r( 

, (2.15)

Tu

C

Tu

1

  1q

 1r  1q /s)1r( 

.





 )1r)(t1(  1q



Keát hôïp (2.14) vaø (2.15) ta ñöôïc

Tu

C

Tu

2

/s)1r( 

 )1r(t 2 /s)1r( 

.







Chuù yù raèng:

1t1t

 )1r)(t1(  1q

 )1r(t 2

/s)1r( 

)M(T

,

L

 (

)

(L 1q 

)

0 bò chaën trong

ta suy ra taäp vaø do ñoù cuõng bò chaën trong .

Nhö vaäy, aùnh xaï T thoûa maõn taát caû caùc ñieàu kieän cuûa meänh ñeà 2.1.1 vaø do ñoù noù coù

,u 0

, chính laø nghieäm yeáu lôùn nhaát vaø nhoû nhaát ñieåm baát ñoäng lôùn nhaát vaø nhoû nhaát treân 

cuûa baøi toaùn (2.2).

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

Ñònh lyù 2.2.4.

Giaû söû caùc giaû thieát cuûa ñònh lyù 2.2.3 ñuôïc thoûa maõn vaø 0u laø haøm ñöôïc ñònh nghóa trong

0

u

u)x(m

phaùt bieåu cuûa ñònh lyù 2.2.3. Goïi un laø nghieäm yeáu (duy nhaát) cuûa baøi toaùn:



u 







un  treân 

n

q n

r 1n 

treân , (n  IN).

(H 1

)

o  veà nghieäm yeáu nhoû nhaát cuûa baøi toaùn (2.2) treân

Khi ñoù daõy  nu hoäi tuï trong

 ,u0

.

Chöùng minh

Aùp duïng meänh ñeà 2.2.2 vaø lyù luaän ôû phaàn ñaàu böôùc 2 trong chöùng minh ñònh lyù 2.2.3 ta

thaáy haøm un ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát theo un-1.



u

u(T

)

u 

Töø ñònh nghóa cuûa aùnh xaï T trong chöùng minh ñònh lyù 2.2.3 vaø ñònh nghóa cuûa un , ta suy

n

 1n

0 Tu

0

nu

ra . Do laø daõy taêng. Cuõng neân deã daøng chöùng minh ñöôïc 

(L 1q  )

nu



y

u

bò chaën trong . Do ñoù toàn taïi giôùi haïn theo chöùng minh ñònh lyù 2.2.3 ta coù 

(L 1q  )

n

Lim  n





u

Ty

h.k.n trong  vaø trong .

n

n

q

r















(n |N). Theo ñònh nghóa nghieäm yeáu ta coù Vì T laø aùnh xaï taêng, ta coù

Ty(

dx

u

dx

u

dx

 y)x(m

Tu  

 )Ty(

)u n

q n

 r   1n















,

(H1

)

0 



.

Ty 

nu

2







c

u

dx

Ty(

dx

 Ty

2 

n

)u n





  

q

r













u

u

 dx

 y)x(m

 Ty

q n

dx)u n

r  1n

n







r









u

 )Ty(  y)x(m

 Ty(u  Ty(

r  1n

dx)u n





vaø aùp duïng baát ñaúng thöùc Poincare ta coù Cho

n

Cho vaø aùp duïng ñònh lyù Beppo-Levi ta coù Ty=y. Vaäy y laø moät ñieåm baát ñoäng

u

(H1

Lim n  trong y

0  . )

cuûa T. Cuõng töø baát ñaúng thöùc treân ta suy ra

,u 0



. Thaät vaäy, Ta coøn phaûi chöùng minh y laø ñieåm baát ñoäng nhoû nhaát cuûa T treân 

y



 ,u 0

1

neáu laø moät ñieåm baát ñoäng cuûa T thì duøng qui naïp ta chöùng minh ñöôïc

y

u  n

1

1yy 

(n  |N) vaø do ñoù .

§3. NGHIEÄM CÖÏC TRÒ CUÛA MOÄT LÔÙP BAÁT ÑAÚNG THÖÙC BIEÁN PHAÂN.

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

Trong muïc naøy chuùng toâi seõ nghieân cöùu söï toàn taïi nghieäm lôùn nhaát, nhoû nhaát cuûa baøi

toaùn sau.



1  (L)v,x(f,Kv

),

1  (L)v,x(vf

,)

Tìm haøm v sao cho













vw,Av

(LKw,dx)vw)(v,x(f

,)





    

(2.16)

 laø taäp môû bò chaën trong |RN, vôùi bieân trôn,





trong ñoù:

w:)

n.k.h

trong

 



p,1 (WwK 0







(2.17) ,

0

 (L)

)

p,1 (W 0





 2p 

laø haøm coá ñònh,

Av

div

v

2p  ,



v

 2p





laø toaùn töû p-Laplace,

vw,Av

v

dx)vw(.v

  

.



Chuùng toâi seõ ñaët caùc ñieàu kieän sau leân haøm f.

:F

)u,u,x(F)u,x(f





)v,u,x(F

laø

haøm

ño

ñöôïc

vôùi

vmoïi

)H( 1





v

)v,u,x(F

laø

haøm

lieân

tuïc

vôùi

)u,x(moïi

vôùi |R+ |R+ |R thoûa maõn:

)u,x(   





0)0,0,x(F

vôùi

xn.k.h

,





u

)v,u,x(F

laø

haøm

khoâng

giaûm

vôùi

moïi

)v,x(

)H( 2





v

)v,u,x(F

laø

haøm

khoâng

taêng

vôùi

moïi

)u,x(

|R+ coá ñònh , |R+ .

    

|R+ , |R+ .

r,q  vaø 0

1  (L)v,0,x(F

)

 H



3

vôùi moïi v > 0 vaø toàn taïi caùc soá a > 0 vaø caùc chæ soá

(Lm s 

)



haøm sao cho

 )v,u,x(F)0,u,x(F

qav

, (2.18)



)0,u,x(F

ru)x(m

, (2.19)

4H Ít nhaát moät trong hai baát ñaúng thöùc sau ñöôïc thoûa: 

r < q.





*p / 

*sp 

*p

sr



(2.20) ,



*p / 

 )1q(s  1q sr

(2.21) .

A. Ñöa veà baøi toaùn ñieåm baát ñoäng cuûa aùnh xaï taêng

*

Trong phaàn naøy chuùng toâi seõ ñöa vieäc tìm nghieäm baøi toaùn (2.16) veà baøi toaùn tìm

(L 0P  , vôùi )

p

p  0



ñieåm baát ñoäng cuûa moät aùnh xaï taêng, taùc ñoäng trong khoâng gian neáu

1q

p 0

coù ñieàu kieän (2.20) vaø neáu coù (2.21). Chuùng ta seõ söû duïng hai keát quaû sau ñaây.

Meänh ñeà 2.3.1. [5]

(

/p,1  Wz )





) 

 (L

) 

(W p,1 0

, , K laø Giaû söû  IRN laø moät taäp môû, bò chaën,

:g

taäp hôïp ôû (2.17) vaø IRIR laø haøm thoûa ñieàu kieän Caratheodory sao cho

g(x , u) laø haøm khoâng giaûm theo bieán u vaø g(x, 0) = 0,

sup

u:)u,x(g

1 (L)x(h ) 



 t 

t

vôùi moïi t > 0.

1 (L)v,x(g,Kv

1 (L)v,x(vg,)



), 







Av

dx)vw)(v,x(g

,0

 (LKw

), 



vw,z 













    

Khi ñoù baøi toaùn tìm v thoûa:

coù duy nhaát nghieäm, thoûa maõn ñaúng thöùc:

Av

,z

v

)(v,x(g

dx)v

0

























.

)

/p,1  (Wvaø

)

 ,

p,1 (W 0

ÔÛ ñaây laø taùc duïng cuûa caëp ñoái ngaãu .

Meänh ñeà 2.3.2. [5]

(

z

/p,1  Wz )



h   , vôùi

0u  h. k. n trong ,

p,1 (Wu ) 0 

(Lh

1  )

hu  h. v

Giaû söû , sao cho

vaø  *() (taäp caùc ñoä do Radon döông). Giaû thieát theâm raèng

k. n trong  vôùi moät haøm

1  (Lv )

naøo ñoù.

hu

1 (L

1 (Lu,)



 

)d, 

Khi ñoù vaø ta coù heä thöùc

u,h

ud

hudx

hudx

























.

(L1  laø khoâng gian caùc haøm khaû tích treân  ñoái vôùi ñoä ño Lebesgue, coøn

)

ÔÛ ñaây

(L1

 )d,

laø khoâng gian caùc haøm khaû tích treân  ñoái vôùi ñoä ño  .

*

1q

Boå ñeà 2.3.3.

p



p0

p  0

hoaëc töông öùng khi Giaû söû caùc giaû thieát (H1) – (H4) ñöôïc thoûa vaø

u

0p (L

,  

) 





1 (L)v,u,x(F,Kv

1 (L)v,u,x(vF),



), 







(2.20) hoaëc (2.21) ñuùng. Khi ñoù vôùi moãi haøm baøi toaùn tìm v thoûa:

vw,Av

 (LKw,dx)vw)(v,u,x(F

), 













    

(2.22)

,Av

v

)(v,u,x(F

dx)v











coù nghieäm duy nhaát v sao cho





. (2.23)

0p 



Chöùng minh

(Lu

)

(Lm s 

)

r



Töø vaø ta suy ra

t

u)x(m

t  ) (L

sp 

0 p

sr

0

 , neân töø (2.19) vaø (2.24) ta coù

/* )p(

t

vôùi (2.24) .

/

/

t

*)p(





Do giaû thieát (H4) ta coù

(L)0,u,x(F

L)

 (

 p,1 (W)

)

. (2.25)













Do ñoù baát ñaúng thöùc (2.22) coù theå vieát ôû daïng töông ñöông

vw),0,u,x(FAv

0

 dx)vw()v,u,x(F)0,u,x(F









, (2.26)

 (LKw

 )



 v,v),x(u,xF





.

)v,x(g



  0),x(u,xF  ,)v,x(g

  ,0  (v

 )0,

  

Haøm

v:)v,x(g

 )t,u,x(F)0,u,x(F

 Sup

  t





1 

(L)t,0,x(F)0,u,x(F

).

laø khoâng giaûm theo bieán v vaø thoûa maõn

ÔÛ ñaây ta ñaõ söû duïng caùc giaû thieát (H2), (H3) vaø (2.25).

u 

)v,u,x(F

khoâng giaûm, trong [23] ñaõ chöùng minh Do giaû thieát (H1) vaø ñieàu kieän haøm

)v,x( 

0),x(u,xF 

v),x(u,xF 

raèng haøm ño ñöôïc, haøm laø haøm Caratheodory. Do ñoù

haøm g laø haøm thoûa ñieàu kieän Caratheodory.

Kv  thoûa maõn (2.23)

Aùp duïng meänh ñeà 2.3.1 thì baøi toaùn (2.26) coù duy nhaát nghieäm

vaø

1  (L

)

 ),v,u,x(F)0,u,x(F   )v,u,x(F)0,u,x(Fv

   

/*)p(









. (2.27)

L)0,u,x(F

 (

)

*p (L)

)

p,1 (Wv 0

, , vì

1 

1 

neân töø (2.27) ta suy ra

(L)v,u,x(F

)

(L)v,u,x(vF

)

. ,

Vaäy v laø nghieäm cuûa baøi toaùn (2.22). Boå ñeà ñöôïc chöùng minh.

Boå ñeà 2.3.4.

u

(L

,  

0p  )





Ñaët T laø aùnh xaï gaùn moãi vaøo nghieäm duy nhaát v

,

(L

0p  )

  

vaøo chính noù vaø coù caùc tính chaát cuûa baøi toaùn (2.22). Khi ñoù T laø aùnh xaï töø 

sau:

1) T laø aùnh xaï taêng.

u:



 u



Tu

 ,  

M 0

2) Taäp laø taäp coù höôùng.

*





Chöùng minh

)

p

p  0

p,1 0  (WTu









1q

Theo ñònh nghóa cuûa T ta coù . Neáu thì do pheùp nhuùng

*p (L)

)

Tu

0p  (L

)

p 0

p,1 (W 0



q Tu.)Tu(a

Tu

1  (L

)

   )Tu,u,x(F)0,u,x(F

0p





ta coù . Trong tröôøng hôïp , ta coù töø (2.27) vaø (2.18)

Tu

  1q (L

(L)

)

,

0p  (L

)

 

u

Tu 

hay vaøo chính noù. . Vaäy T taùc ñoäng töø 

  ,

u,u 1

2

u  1

2

1 Tu

2





v

Tu

1) Xeùt , , ta seõ chöùng minh .

1

v,Tu 1

2

2

Ñaët

\ 

  x

)x(v)x(v: 

1

2

1

2

1

, .

















Tröôùc tieân ta seõ chöùng minh:

v(

v(

dx

v,Av 1

1

1

)v 2

 v)v,u,x(F 1

1

1

1

)v 2

 

















, (2.28)

v(

v(

 dx

v,Av 2

2

1

)v 2

 v)v,u,x(F 2

2

2

1

)v 2

 

. (2.29)









Ñeå kieåm tra (2.28) ta seõ aùp duïng meänh ñeà 2.3.2 vôùi

u

v(

v 1

1

)v 2



,

Av

1 

)v,u,x(F 1 1



,

)v,u,x(Fh 1

1

.

Ta coù





u

u  vì coù theå vieát

0

)v,vmin( 1 2

1 v,v

2

 vaø .









  laø ñoä ño Radon döông vì töø (2.22) ta coù

u,

,0

0u,)

(Cu c

.



hu



 )v,u,x(F )v,vmin( 1 1 1 2





1  (L)

)

v()v,u,x(F 1

1

1

.





Do ñoù caùc ñieàu kieän cuûa meänh ñeà 2.3.2 ñöôïc thoûa maõn vaø ta coù

u,h

hudx





.

Ñaây chính laø (2.28).









Töông töï, ñeå chöùng minh (2.29) ta seõ aùp duïng meänh ñeà 2.3.2 cho

u

v

v( 1

2

)v 2



Av

2 

),v,u,x(F 2

2



).v,u,x(Fh

2

2

,



 )

trong

,

2

2

1



hu





v)(v,u,x(F)

 )

trong

.

v)(v,u,x(F 2 v)(v,u,x(F 2

2

1

1

1

1

2

  

Trong tröôøng hôïp naøy, bôûi tính ñôn ñieäu cuûa haøm F, ta coù

(L1  . )





Vì vaäy haøm hu lôùn hôn moät haøm thuoäc

u

v

v,u 1

1

Cho trong (2.23) vaø coäng ñaúng thöùc nhaän ñöôïc vôùi (2.28)











ta ñöôïc

dx

v(,Av 1

1

)v 2

v)(v,u,x(F 1 1

1

)v 2

 





. (2.30)

u

v

v,u 2

2











Cho trong (2.23) roài coäng vôùi (2.29) ta ñöôïc

dx

v(,Av 2 1

)v 2

v)(v,u,x(F 2

2

1

)v 2

 

. (2.31)















Töø (2.30), (2.31) ta coù

Av

dx



1

v(,Av 2 1

)v 2

 v()v,u,x(F)v,u,x(F 1

2

2

1

1

)v 2

 

. (2.32)

Chuù yù raèng haøm döôùi daáu tích phaân trong veá phaûi cuûa (2.32) laø baèng 0

1 vaø khoâng döông treân

2 (theo tính ñôn ñieäu cuûa F) ta seõ coù









0

Av 1

v(,Av 2

1

)v 2

treân

 2p

 2p











v

v

v

v

v(

dx

1

 1

2

2

1

)v 2





  

2

 2p

 2p













v

v

v(

dx

1

2

)v 2

1





1 2

 

 2p

 2p

2

2

+









v

v

2

v 1

2

v 1



dx



1 2

  2















. +

v(

0

0

)v 2

1

v( 1

)v 2







v

v

Tu

Töø ñaây ta suy ra h.k.n vaø do ñoù h.k.n treân  . Ñieàu naøy

Tu 1

2

1

2







cho ta h.k.n treân  .

u

M)u,umax(

Mu,u 2

1

0

1

2

0

2) Giaû söû , ta seõ chöùng minh . Thaät vaäy, theo tính









u

Tu

u

Tu

Tu

taêng cuûa T ta coù

1

Tu 1

2

2

,

u 

Tu

0Mu 

Do ñoù hay .

Boå ñeà ñöôïc chöùng minh.

B. Söï toàn taïi nghieäm cöïc trò

Töø ñònh nghóa aùnh xaï T ta thaáy v laø nghieäm baøi toaùn (2.16) khi vaø chæ khi noù laø ñieåm

,

. Do ñoù ñeå chöùng minh (2.16) coù nghieäm lôùn nhaát, nhoû baát ñoäng cuûa aùnh xaï T treân 

,

. nhaát ta chæ caàn chöùng minh T coù ñieåm baát ñoäng lôùn nhaát, nhoû nhaát treân 

Ñònh lyù 2.3.5.

/

Giaû söû haøm f thoûa maõn caùc ñieàu kieän (H1)–(H3). Giaû thieát theâm raèng:

*)p(



*p

rs

*sp 

vaø r + 1 < p. (H5)

Khi ñoù baøi toaùn (2.16) coù moät nghieäm lôùn nhaát vaø moät nghieäm nhoû nhaát.

Chöùng minh



Do ñieàu kieän thöù nhaát trong (H5) vaø boå ñeà 2.3.4 ta coù T laø aùnh xaï taêng taùc ñoäng töø taäp

,

u:

(L *p  vaø taäp )

 u



Tu

,

 

M 0

vaøo chính noù trong khoâng gian laø coù ñoùng 

,

)M(T

höôùng. Do ghi chuù 2.1.2 ñeå chöùng minh T coù ñieåm baát ñoäng lôùn nhaát vaø nhoû nhaát treân 

0 laø taäp bò chaën. Trong caùc lyù luaän döôùi ñaây ta seõ duøng kyù hieäu

iC ñeå chæ nhöõng haèng soá döông khaùc nhau.





v

Tu

ta chæ caàn chæ ra raèng

)M(T 0





v,Av

dx)

 v()v,u,x(F)0,u,x(F



 











Vôùi ta coù theo (2.23)

v)(0,u,x(F

dx)

,Av





. (2.33)

p





Kyù hieäu A laø veá traùi cuûa (2.33). Töø (2.18) trong giaû thieát (H3) ta coù

A

dx

dx)

  v 

q  v(va 

.



  (Lv

1q  )

 (L 

)

Töø (2.19) vaø (2.27) ta coù . Töø ñaây vaø , ta coù theå aùp

q  1q

1  1q

q

 1q

 1q







duïng baát ñaúng thöùc Holder:

v

dx

dx

v

dx

vC

q  1q

 

 

   

   

      

   

.





 vCA

v

v

Vaäy ta coù





p p,1

 q1  q1

q  1q







v

C

vC 1

. (2.34)



2

p p,1

 q1  q1

r







v)(0,u,x(F

dx)

v(u)x(m

dx)









r





v(v)x(m

dx)





 1r



Tieáp theo ta ñi ñaùnh giaù veá phaûi cuûa (2.33). Do (2.19) ta coù

v)x(m

dx





. (2.35)

/

/

Deã daøng kieåm tra raèng:







*)p(

s)r1(

*p

*sp 

*p

rs

 1r



.



v

/s (L

)

(Lv

*p  )





v)(0,u,x(F

dx)

s v.m

 1r /s)1r( 

 



Do ñoù, vì ta suy ra . Töø (2.35) vaø baát ñaúng thöùc Holder ta coù

3 vC

 1r *p

. (2.36)

,Av

/p

p









Ñeå ñaùnh giaù ta söû duïng baát ñaúng thöùc Young

ab

 a

b)(c

b,0a

,0

0

, .

 2p

,Av

v

 v

dx

  



 v 1p

dx

  

/p)1p( 

p





v

 C

dx

  

  

 





Ta coù

v

C

4

p p,1

. (2.37)









Töø (2.33), (2.34), (2.36), (2.37) ta ñi ñeán

C

v

C

4

vC 1

2

vC 3

p p,1

 1r *p

p p,1

.





Choïn  ñuû nhoû ta coù

v

vC 5

.

1



p p,1

 1r *p



p,1 (W

*p (L)

 )





Cuoái cuøng do tính lieân tuïc cuûa pheùp nhuùng ta coù

v

vC 6

.



1

p *p

 1r *p

)M(T

 p1r

(L *p  . )

0 bò chaën trong

Söû duïng giaû thieát , töø ñaây ta suy ra taäp

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

Ñònh lyù 2.3.6.

/

Giaû söû caùc giaû thieát (H1)–(H3) vaø (H6) sau ñaây ñöôïc thoûa maõn:

*)p(



)1q(s  1q rs 

vaø r + 1  p. (H6)

Khi ñoù baát ñaúng thöùc bieán phaân (2.16) coù nghieäm lôùn nhaát, nhoû nhaát.

Chöùng minh

Vôùi caùc giaû thieát (H1)–(H3) vaø (H6) ta bieát aùnh xaï T ñònh nghóa trong boå ñeà 2.3.4 seõ taùc

(L 1q  )

,

,

trong khoâng gian vaø laø aùnh xaï taêng. Ñeå aùp duïng meänh ñeà ñoäng töø  vaøo 



,

u:

 u



Tu

 

M 0

2.1.1 veà ñieåm baát ñoäng ta seõ chöùng minh taäp laø bò chaën trong

(L 1q  )





.

v

Tu

)M(T 0

Vôùi ta vaãn coù ñaúng thöùc (2.33) vaø veá traùi A cuûa noù thoûa maõn baát ñaúng

thöùc (2.34). Tieáp theo ta chia chöùng minh laøm hai tröôøng hôïp.

/s)r1(

 

 Tröôøng hôïp (1 + r)s/  1 + q

Lv

 (

)

  (Lv

1q  )

Do , neân ta cuõng coù . Do ñoù töø (2.35) vaø baát ñaúng thöùc Holder





v)(0,u,x(F

dx)

s v.m

 1r /s)1r( 

 



ta ñöôïc

3 vC

 1r  1q

. (2.38)











Töø (2.33), (2.34), (2.37), (2.38) ta ñi tôùi

v

C

v

C

vC 1

2

vC 3

4

.





p p,1

 1q  1q

 1r  1q

p p,1





Choïn  < C1 ta coù

v

v

1C 5

.



1r

 1q  1q

  1q

)M(T

(L 1q  )

0 bò chaën trong

. Do r < q (ñieàu kieän (H3)) neân töø ñaây ta suy ra taäp

 Tröôøng hôïp (1 + r)s/ > 1 + q

Baát ñaúng thöùc thöù nhaát trong ñieàu kieän (H6) coù theå vieát laïi ôû daïng

töông ñöông



s/

 )1q(*p  1qr*p



. (2.39)

t

t*p 

r*p(

)t

/

 s)1r(*p

/



Haøm ñôn ñieäu taêng neân töø (2.39) vaø tröôøng hôïp ñang xeùt ta ñöôïc

s

/



r*p

s)r1(

/ 

,

 s)r1(

*p





/ 

vaø do ñoù . Nhö vaäy ta coù

s)r1(q1

*p

.



Do vaäy ta coù theå aùp duïng baát ñaúng thöùc Gagliardo – Nirenberg:

v

vC

v.

/s)r1( 

 p,1

 1  p1

, (2.40)

1





trong ñoù soá  xaùc ñònh bôûi:

/

1  1q

1  q1

1 *p

 s)r1(

   

  

/s)r1(

 

/ 



.

Lv

 (

)

 s)r1(

*p

(Lv

*p  )

Vì vaø neân vaø aùp duïng baát ñaúng thöùc Holder ta





coù töø (2.35)

v)(0,u,x(F

dx)

s v.m

 1r /s)1r( 

 

. (2.41)











Töø (2.33), (2.34), (2.37), (2.41) ta ñi tôùi

v

C

v

C

vC 1

4

2

vC 3





p p,1

 1q  1q

p p,1

 1r /s)1r( 

.

Choïn  ñuû nhoû ta coù





v

v

v

p p,1

 1q  1q

 1r /s)1r( 

  1C  5 

  

. (2.42)



 p

 1  q1



Töø (2.40) vaø (2.42) ta ñi ñeán

v

v

/s)r1( 

 r1 /s)r1( 

  1C  6 

  

. (2.43)





1(

 )

 p

 1  1q

 1r p

 1r  1q

   )1r( 

  

Vì

 1(

1)

/s)r1( 

)M(T

,

L

 (

)

(L 1q  )

0 bò chaën trong

neân töø (2.43) ta suy ra taäp vaø do ñoù bò chaën trong

/s)r1(1q 

vì ta ñang coù tröôøng hôïp .

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh.

r

q



Ví duï 2.3.7.

 u)x(m)u,x(f

u

s 

Xeùt baøi toaùn (2.16) vôùi vaø

 ,qr

(Lm

)

.

r

q



Haøm soá daïng naøy xuaát hieän trong phöông trình logistic xeùt ôû §2.

 u)x(m)v,u,x(F

v

. Caùc giaû thieát (H1) – (H3) ñöôïc thoûa maõn vôùi

/

 Theo ñònh lyù 2.3.5 baøi toaùn (2.16) trong tröôøng hôïp naøy coù nghieäm neáu



*)p(

*sp 

*p

rs

vaø r+1 < p.

Ñieàu naøy töông ñöông vôùi:



s

*p  r1*p

, r+1 < p.

 Theo ñònh lyù 2.3.6, baøi toaùn (2.16) coù nghieäm neáu

/

 p1r



*)p(

 )1q(s  1q sr

vaø .







Ñieàu naøy töông ñöông vôùi:

r

1p





s

,

r



 *p)1q(  )1*p)(1q(

*rp

)1*p)(1q( *p

, .

KEÁT LUAÄN

Trong luaän aùn chuùng toâi ñaõ öùng duïng moät soá keát quaû cuûa lyù thuyeát phöông trình toaùn töû

trong khoâng gian Banach coù thöù töï ñeå nghieân cöùu hai lôùp baøi toaùn ñang ñöôïc quan taâm

nghieân cöùu gaàn ñaây. Ñoù laø nghieân cöùu caáu truùc nghieäm cuûa caùc baøi toaùn bieân phi tuyeán phuï

thuoäc tham soá vaø nghieân cöùu söï toàn taïi nghieäm cöïc trò cuûa caùc phöông trình vaø baát phöông

trình bieán phaân.

Caùc keát quaû chính cuûa luaän aùn bao goàm:

1. Chöùng minh söï toàn taïi moät khoaûng giaù trò cuûa tham soá ñeå phöông trình toaùn töû toång

quaùt chöùa tham soá coù nghieäm.

2. Ñoái vôùi moät lôùp baøi toaùn giaù trò rieâng chöùa toaùn töû p-Laplace moät chieàu ñaõ chöùng minh

ñöôïc:

 Moät soá tính chaát cuûa giaù trò rieâng chính cuûa toaùn töû p-Laplace.

 Taäp nghieäm döông cuûa baøi toaùn laø nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën.

 Taäp caùc giaù trò rieâng laáp ñaày moät khoaûng vôùi caùc ñaàu muùt ñöôïc tính baèng caùc coâng

thöùc ñôn giaûn qua caùc döõ kieän cuûa baøi toaùn.

3. Chöùng minh söï toàn taïi nhaùnh lieân tuïc khoâng bò chaën cuûa taäp nghieäm vaø taäp caùc giaù trò

tham soá töông öùng laáp ñaày moät khoaûng, ñoái vôùi moät lôùp baøi toaùn bieân phi tuyeán chöùa tham

soá xuaát phaùt töø baøi toaùn tìm nghieäm tuaàn hoaøn cuûa phöông trình vi phaân oâtoânoâm caáp hai.

4. Chöùng minh toàn taïi nghieäm yeáu cöïc trò cuûa phöông trình logistic vôùi söï khueách taùn phi

tuyeán.

5. Chöùng minh toàn taïi nghieäm cöïc trò cho moät lôùp baát ñaúng thöùc bieán phaân elliptic.

Phöông phaùp nghieân cöùu cuûa luaän aùn veà baøi toaùn naøy cho pheùp khaûo saùt caùc baát ñaúng thöùc

chöùa caùc haøm giaùn ñoaïn.

Caùc keát quaû vaø phöông phaùp nghieân cöùu cuûa luaän aùn coù theå phaùt trieån theo höôùng:

1. Nghieân cöùu caáu truùc cuûa taäp nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn bieán phaân chöùa tham soá.

2. Nghieân cöùu baøi toaùn veà ñieåm tôùi haïn cuûa caùc phieám haøm treân caùc khoâng gian coù thöù

töï.

DANH MUÏC TAØI LIEÄU THAM KHAÛO

Tieáng Anh:

1. Agarwal. R.P., Lü. H., O’Regan. D, (2002), Eigenvalues and the one-dimensional p-

Laplacian, J. Math. Anal. Appl., 266, 383-400.

2. Amann H, Crandall M. G, (1978), On some existence theorems for semi-linear elliptic

equations, Indiana University Math. J., 27, 779-790.

3. Amann. H, (1976), Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered

Banach spaces, SIAM Rev., 18, 620-709.

4. Boccardo L., Orsina L, (1994), Sublinear elliptic equations in Ls, Houston Math. J., 20,

99-114.

5. Boccardo L., Giachetti D., Murat F, (1989), A generalization of a theorem of H. Brezis

and F. Browder and applications to some unilateral problems, Publ. du Lab. d’Anal.

Num., Univ. Pierre et Marie Curie R 89014.

6. Brezis H., Browder F, (1982), Some properties of higher order Sobolev spaces, J. Math.

Pures Appl., 61, 245-259.

7. Brezis H., Browder F, (1976), A general ordering principle in nonlinear functional

analysis, Adv. Math., 21, 355-364.

8. Carl S., Heikkila S, (1999), Operator and differential equations in ordered spaces. J.

Math. Anal. Appl., 234, 31-54.

9. Carl S., Heikkila S, (2000), Nonlinear Differential Equations in Ordered spaces,

Chapman & Hall/CRC.

10. Carl S., Heikkila S, (1992), On extremal solutions of an elliptic boundary value

problem involving discontinuous nonlinearities, Diff. Int. Equations, 5, 581-589.

11. Dancer E. N, (1973), Global solution branches for positive mapping, Arch. Rat. Mech.

Anal., 52, 181 – 192.

12. Dancer E. N., Sweers G, (1989), On the existence of a maximal weak solution for a

semilinear elliptic equation, Diff. Int. Equations, 2, 533-540.

13. Drabek P., Hernandez J, (2001), Existence and uniqueness of positive solutions for

some quasilinear elliptic problems, Nonlinear. Anal., 44, 189-204.

14. Garcia-Huidobro M., Manasevich R., Zanolin F, (1996), Strongly nonlinear second-

order ODEs with rapidly growing terms, J. Math. Anal. Appl., 202, 1-26.

15. Garcia M., Sabinade Lis, (1998), Maximum and comparison principles of operator

involving the p-Laplacian, J. Math. Anal. Appl., 218, 49-64.

16. Gilbarg D., Trudinger N. S. 1983, Elliptic Partial Differential Equations of Second

Order, Springer-Verlag, Berlin.

17. Henderson J., Wang H, (1997), Positive solutions for nonlinear eigenvalue problems,

J. Math Anal. Appl., 208, 252-259.

18. Hernandez J, (1998), Positive solutions for the logistic equation with unbounded

weights, in: G. Caristi, E. Mitidieri (Eds), Reaction-Diffusion Systems, Marcel-

Dekker, New York, 183-197.

19. Krasnoselskii M. A., Zabreiko P, (1984), Geomtrical Methods of Nonlinear Analysis,

Springer-Verlag, Berlin.

20. Krasnoselskii M. A, (1964), Positive Solutions of Operator Equations, Noordhoff P,

Groningen.

21. Krein S. G (Editor), (1972), Functional Analysis, Nauka.

22. Krein M. G., Rutman M. A, (1962), Linear operators leaving invariant a cone in a

Banach space, Amer. Math. Soc. Trasl., 10, 199-325.

23. Mitidieri E., Sweers G, (1994), Existence of a maximal solution for quasimonotone

elliptic systems, Diff. Int. Equations 7, 1495-1510.

24. Nguyen Bich Huy, (1996). On the applications of a global bipurcation theorem to the

raction-diffusion systems, Nonlinear Anal., 27, 1199-1206.

25. Nguyen Bich Huy, (1999), Global continua of positive solutions for equations with

nondifferentiable operators, J. Math. Anal. Appl., 239, 449-456.

26. Nguyen Bich Huy, Nguyen Huu Khanh, (2000), Fixed point for multivalued increasing

operators, J. Math. Anal. Appl., 250, 368-371.

27. Nguyen Bich Huy, (2002), Positive weak solutions for some semilinear elliptic

equations, Nonlinear. Anal., 48, 939-945.

28. Nguyen Bich Huy, (2002), Fixed points of increasing multivalued operators and an

applications to discontinuous elliptic equations, Nonlinear Anal., 51, 673-678.

/

/

/ )y(

y,y,t(qf

),





0 29. O’Regan D, (1993), Some existence principles and results for  

< t < 1, SIAM J. Math. Anal., 24, 648-668.

30. Rudin W, (1987), Real and Complex Analysis, Mc. Grall-Hill.

31. Vy Khoi Le, (2000), Existence of positive solutions of variational inequalities by a

subsolution-supersolution approach, J. Math. Anal. Appl., 252, 65-90.

32. Vy Khoi Le, (2001), Subsolution-supersolution method in variational inequalities,

Nonlinear. Anal., 45, 775-800.

33. Zeidler E., (1984), Nonlinear Functional Analysis and its Applications 1, Springer-

Verlag.

Tieáng Phaùp:

34. Fleckinger J., Jacqueline J. P. Gossez, Takaêc P, De Thelin F, (1995), Existence,

nonexistence et principe de l’antimaximum pour le p-Laplacien, C. R. Acad. Sci.

Paris 321, 731-734.

DANH MUÏC COÂNG TRÌNH COÂNG BOÁ

CUÛA TAÙC GIAÛ LIEÂN QUAN ÑEÁN LUAÄN AÙN.

I. Nguyen Bich Huy, Tran Dinh Thanh, (2002), Global continua of possitive solutions for

some boundary value problems, Demonst. Math., 35, 303–309.

II. N. B. Huy, N. D. Thanh, T. D. Thanh (2002), Extremal solutions for a class of

unilateral problems, Z. Anal. Anwendungen, 21, 371 – 380.

III. Traàn Ñình Thanh, (2002), Nghieäm yeáu döông cuûa moät lôùp phöông trình Elliptic, Taïp

chí Khoa hoïc Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TPHCM, soá 28, 39-42.

IV. Nguyeãn Bích Huy, Traàn Ñình Thanh, (2003), Nghieäm tuaàn hoaøn cuûa moät lôùp phöông

trình vi phaân oâtoânoâm caáp 2. Taïp chí Khoa hoïc Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TPHCM, soá 34, 7-

12.

V. Nguyen Bich Huy, Tran Dinh Thanh (2004), On an eigenvalue problem involoving the

one-dimesional p-Laplacian, J. Math. Anal. Appl.290, 123-131.