Luận án Tiến sỹ Toán học: Các phương pháp hiệu chỉnh lặp newton kantorovich và điểm gần kề cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu

Chia sẻ: Lê Thị Hồng Nhung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:102

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của luận văn là đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của một cải biên mới của phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.6) của I.P. Ryazantseva để giải bài toán (0.1) với A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ , trong đó đã khắc phục được các hạn chế như đã nêu của phương pháp (0.6). Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sỹ Toán học: Các phương pháp hiệu chỉnh lặp newton kantorovich và điểm gần kề cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến đơn điệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN DƯƠNG NGUYỄN CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH LẶP NEWTON-KANTOROVICH VÀ ĐIỂM GẦN KỀ CHO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ KHÔNG CHỈNH PHI TUYẾN ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. GS. TS. Nguyễn Bường 2. PGS. TS. Đỗ Văn Lưu HÀ NỘI - NĂM 2018
ii LỜI CAM ĐOAN Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Bường và PGS. TS. Đỗ Văn Lưu. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng được công bố trong các công trình của người khác. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình. Tác giả luận án Nguyễn Dương Nguyễn
iii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS. Nguyễn Bường và PGS. TS. Đỗ Văn Lưu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy. Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo, các thầy cô cùng toàn thể cán bộ, công nhân viên thuộc Viện Công nghệ thông tin, Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo mọi điều kiện tốt nhất, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô trong Khoa Cơ bản, trường Đại học Ngoại thương, nơi tác giả đang công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án. Tác giả xin cảm ơn các anh chị em nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán ứng dụng, bạn bè đồng nghiệp đã có những trao đổi về kiến thức và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, seminar, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mình, những người đã luôn động viên, chia sẻ và khích lệ để tác giả có thể hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình, niềm vinh hạnh to lớn này. Tác giả
Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Một số ký hiệu và viết tắt vi Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 9 1.1. Không gian Banach và các vấn đề liên quan . . . . . . . . . 9 1.1.1. Một số tính chất trong không gian Banach . . . . . . 9 1.1.2. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 20 1.2. Phương pháp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3. Phương pháp điểm gần kề và một số cải biên . . . . . . . . . 24 1.3.1. Phương pháp điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2. Một số cải biên của phương pháp điểm gần kề . . . . 26 Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu 32 2.1. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử đơn điệu trong không gian Banach . . . . 32 2.2. Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach . . . 44 2.3. Ví dụ số về xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
v Chương 3. Phương pháp lặp tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert 64 3.1. Bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại . . . . 64 3.2. Các cải biên của phương pháp điểm gần kề với dãy tham số của toán tử giải khả tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Kết luận chung 83 Kiến nghị hướng nghiên cứu tiếp theo 84 Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 85 Tài liệu tham khảo 86
Một số ký hiệu và viết tắt Rn không gian Euclide n-chiều H không gian Hilbert E∗ không gian đối ngẫu của không gian Banach E θE phần tử không của không gian E 2E tập tất cả các tập con của không gian E hx, x∗ i giá trị của phần tử x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E R tập hợp các số thực ∅ tập rỗng A\B hiệu của tập hợp A và tập hợp B inf M cận dưới đúng của tập hợp số M sup M cận trên đúng của tập hợp số M S1 (0) mặt cầu đơn vị trong không gian E BE hình cầu đơn vị trong không gian E Br (x0 ) hình cầu tâm x0 và bán kính r ∀x với mọi x D(A) miền xác định của ánh xạ A R(A) miền ảnh của ánh xạ A A−1 ánh xạ ngược của ánh xạ A A∗ ánh xạ liên hợp của ánh xạ A I ánh xạ đơn vị Jk toán tử giải của ánh xạ A với tham số rk ZerA tập không điểm của ánh xạ A Lp (Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω (1 < p < ∞) lp không gian các dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞)
vii l1 không gian các dãy số khả tổng bậc 1 l∞ không gian các dãy số bị chặn Wpm (Ω) không gian Sobolev lim sup xn giới hạn trên của dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dưới của dãy số {xn } n→∞ αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm về α0 xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh đến x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu đến x Js ánh xạ đối ngẫu tổng quát J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T M bao đóng của tập hợp M ρE mêtric của không gian mêtric E int(C) phần trong của tập hợp C ∂ m x(t) đạo hàm riêng cấp m của hàm x(t), với t = (t1 , t2 , ..., tn ) ∂tα1 1 ∂tα2 2 · · · ∂tαnn Dom(f ) miền hữu hiệu của f PC phép chiếu mêtric lên tập hợp C ∂f dưới vi phân của phiếm hàm lồi f arg min f tập tất cả các điểm cực tiểu (toàn cục) của phiếm hàm f A×B tích đề các của hai tập hợp A và B A≡B A trùng B x≈y x xấp xỉ y
Mở đầu Nhiều vấn đề trong trong khoa học, công nghệ, kinh tế và sinh thái như quá trình xử lý ảnh, chụp cắt lớp vi tính, chụp cắt lớp địa chấn trong địa chất công trình, đo sâu bằng âm thanh trong xấp xỉ sóng, bài toán quy hoạch tuyến tính dẫn đến việc giải các bài toán dạng phương trình toán tử sau (xem [15, 67, 68]): A(x) = f, (0.1) trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ không gian mêtric E vào không e và f ∈ E. gian mêtric E e Tuy nhiên, tồn tại một lớp bài toán trong số các bài toán này mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổi nhỏ của các dữ kiện có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Do các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ...) và sau đó lại được xử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số. Vì vậy, yêu cầu đặt ra là phải có những phương pháp giải các bài toán đặt không chỉnh sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt không chỉnh là V.K. Ivanov [50], M.M. Lavrent’ev [57], J.L. Lions [102], A.N. Tikhonov [83, 84], ... Do tầm quan trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học đã dành phần lớn thời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán đặt không chỉnh, điển hình là Ya.I. Alber [9], A.B. Bakushinskii [15, 16], J. Baumeister [19], H.W. Engl [40, 41], V.B. Glasko [42], A.V. Goncharskii [15], R. Gorenflo [10, 44], C.W. Groetsch [40, 45], M. Hanke [41, 47], B. Hoffmann [49, 98], A.K. Louis [99], V.A. Morozov [63, 64], M.Z. Nashed [66], F. Natterer [67, 68], A. Neubauer [41], G.M. Vainikko [88], F.P. Vasil’ev [89, 90], ... Một số nhà toán học Việt Nam cũng đi sâu
2 nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết cũng như ứng dụng các bài toán đặt không chỉnh như Đ.Đ. Áng [10], P.K. Anh [1], Ng. Bường [1, 2], Đ.Đ. Trọng [10], v.v ... hoặc có công trình liên quan đến lý thuyết trên như Ng.M. Chương [36], Đ.N. Hào [48, 87], T.Đ. Vân [87], ... Nếu Ee là không gian Banach với chuẩn k.k thì trong một số trường hợp của ánh xạ A, bài toán (0.1) có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov: Fαδ (x) = kA(x) − fδ k2 + αkx − x+ k2 , (0.2) cùng với việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) > 0 thích hợp, ở đây fδ là xấp xỉ của f thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ & 0, (0.3) và x+ là phần tử được chọn trong E nhằm giúp cho ta tìm một nghiệm của (0.1) theo ý muốn. Chính vì lí do đó mà x+ được gọi là phần tử dự đoán. Nếu A là một ánh xạ phi tuyến thì phiếm hàm Fαδ (x) nói chung là không lồi. Do đó, không thể áp dụng những kết quả đã đạt được trong việc cực tiểu phiếm hàm lồi để tìm thành phần cực tiểu của Fαδ (x). Điều đó dẫn đến việc cực tiểu và rời rạc hóa (0.2) là rất phức tạp. Vì vậy, để giải bài toán (0.1) với A là một ánh xạ phi tuyến đơn điệu, người ta đã đưa ra một dạng mới của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, có tên là phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Tư tưởng của phương pháp này do F.E. Browder [24] đưa ra vào năm 1966 để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, trong đó sử dụng ánh xạ M làm thành phần hiệu chỉnh, với M có các tính chất như đơn điệu, hemi-liên tục, giới nội và thỏa mãn điều kiện bức. Cụ thể, cho T : E −→ E ∗ là một ánh xạ phi tuyến đơn điệu và cho f : E −→ (−∞, +∞] là một phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Với mỗi phần tử ω ∈ E ∗ , xét bài toán bất đẳng thức biến phân: Tìm phần tử u0 ∈ D(T ) sao cho hT (u0 ) − ω, v − u0 i ≥ f (u0 ) − f (v), v ∈ E. (0.4) Kí hiệu tập nghiệm của bài toán (0.4) tương ứng với phần tử ω là Aω . Thay cho việc giải bất đẳng thức biến phân (0.4), F.E. Browder đã xét
3 bất đẳng thức biến phân sau: hTα (uα ) − ωα , v − uα i ≥ f (uα ) − f (v), v ∈ E, (0.5) trong đó α > 0, Tα = T + αM và ωα = ω + αv0 , với v0 là phần tử bất kỳ trong E ∗ . Ông đã chỉ ra với mỗi α > 0, bất đẳng thức biến phân (0.5) có duy nhất một nghiệm uα và dãy nghiệm {uα } hội tụ mạnh về phần tử u0 ∈ Aω khi α → 0, với u0 là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân: hM u0 − v0 , v − u0 i ≥ 0, v ∈ Aω . Nếu E là không gian Banach phản xạ và không gian đối ngẫu E ∗ là không gian lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu tổng quát J s của E có tính chất như ánh xạ M nêu ở trên (xem [9]). Năm 1975, dựa trên tư tưởng phương pháp hiệu chỉnh của F.E. Browder và tính chất của ánh xạ đối ngẫu J s , Ya.I. Alber (xem [1, 7, 9]) đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Browder- Tikhonov để giải bài toán (0.1) khi A là ánh xạ phi tuyến đơn điệu như sau: A(x) + αJ s (x − x+ ) = fδ . (0.6) Năm 2016, Ng. Bường, T.T. Hương và Ng.T.T. Thủy [32] đã phát triển phương pháp (0.6) để đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử Ai (x) = fi , i = 0, 1, ..., N, (0.7) ở đây N là số nguyên dương cố định, fi ∈ E ∗ và Ai : E → E ∗ là ánh xạ đơn điệu trên không gian Banach E, i = 0, 1, ..., N . Ta thấy, trong trường hợp E không phải là không gian Hilbert thì J s là ánh xạ phi tuyến và do đó, (0.6) là bài toán phi tuyến, ngay cả khi A là ánh xạ tuyến tính. Đây là lớp bài toán khó giải trong thực tế. Hơn nữa, một vài thông tin của nghiệm chính xác, ví dụ như độ trơn, có thể sẽ không được giữ nguyên trong nghiệm hiệu chỉnh vì ánh xạ J s xác định trên toàn không gian nên ta không thể biết được nghiệm hiệu chỉnh nằm đâu trong E. Vì vậy, vào năm 1991, Ng. Bường (xem [2, 28]) đã cải tiến phương pháp (0.6) bằng cách thay ánh xạ J s bằng ánh xạ tuyến tính và đơn điệu mạnh B để đưa ra phương pháp sau: A(x) + αB(x − x+ ) = fδ . (0.8)
4 Rõ ràng, nếu A là một ánh xạ tuyến tính thì (0.8) là bài toán tuyến tính. Ngoài ra, phương pháp (0.8) còn có ưu điểm là nếu biết được một số thông tin về nghiệm chính xác thì ta có thể xây dựng ánh xạ B sao cho nghiệm hiệu chỉnh vẫn giữ nguyên được tính chất đó. Trường hợp E ≡ H là không gian Hilbert thì phương pháp (0.6) có dạng đơn giản nhất với s = 2. Khi đó, ánh xạ đối ngẫu J 2 ≡ I là ánh xạ đơn vị trong E và phương pháp (0.6) trở thành: A(x) + α(x − x+ ) = fδ . (0.9) Lý thuyết về ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach là một hướng mở rộng của lý thuyết ánh xạ đơn điệu trong không gian Hilbert. Bài toán (0.1) với A là ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach có mối liên hệ chặt chẽ với bài toán điểm bất động, phương trình tiến hóa và bất đẳng thức đồng biến phân (xem [8]). Ngoài ra, lớp bài toán này còn đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng trong không gian Lp và Wpm (xem [56, 59, 78, 79]). Năm 2006, Ya.I. Alber và I.P. Ryazantseva [9] đã đưa ra sự hội tụ của phương pháp (0.9) khi A là một ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach E dưới điều kiện ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của E liên tục yếu theo dãy. Rất tiếc là lớp không gian Banach vô hạn chiều có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy là quá nhỏ (chỉ có không gian lp ). Năm 2013, Ng. Bường và Ng.T.H. Phương [33] đã chứng minh được sự hội tụ của phương pháp (0.9) mà không đòi hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. Dựa vào phương pháp (0.9), vào năm 2014, Ng. Bường và Ng.Đ. Dũng [30] đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.7) trong trường hợp fi ∈ E, A0 là ánh xạ J-đơn điệu và Ai là ánh xạ ngược J-đơn điệu mạnh trên không gian Banach E, i = 1, 2, ..., N . Tuy nhiên, ta thấy, nếu A là ánh xạ phi tuyến thì (0.6), (0.8) và (0.9) là các bài toán phi tuyến. Chính vì lí do đó, một phương pháp ổn định khác để giải bài toán (0.1), có tên là phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich đã được quan tâm nghiên cứu. Phương pháp này được đề xuất bởi A.B. Bakushinskii [14] vào năm 1976 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ phi tuyến đơn điệu. Đây là phương pháp hiệu chỉnh được xây dựng dựa trên phương pháp nổi tiếng trong giải tích số là
5 phương pháp Newton-Kantorovich. Năm 1987, dựa trên cơ sở phương pháp của A.B. Bakushinskii, để tìm nghiệm của bài toán (0.1) trong trường hợp A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ , khi thay cho f ta chỉ biết xấp xỉ của nó là fδn thỏa mãn (0.3) với δ được thay thế bởi δn , I.P. Ryazantseva (xem [9, 77]) đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich: A(zn ) + A0 (zn )(zn+1 − zn ) + αn J s (zn+1 ) = fδn . (0.10) Tuy nhiên, do phương pháp (0.10) sử dụng ánh xạ đối ngẫu J s làm thành phần hiệu chỉnh nên nó có những hạn chế giống như phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov (0.6). Trường hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E, để tìm nghiệm của bài toán (0.1), cũng dựa trên tư tưởng của phương pháp của A.B. Bakushinskii, năm 2005, Ng. Bường và V.Q. Hùng [31] đã nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich sau: A(zn ) + A0 (zn )(zn+1 − zn ) + αn (zn+1 − x+ ) = fδ , (0.11) dưới các điều kiện kA(x) − A(x∗ ) − J ∗ A0 (x∗ )∗ J(x − x∗ )k ≤ τ kA(x) − A(x∗ )k, ∀x ∈ E (0.12) và A0 (x∗ )v = x+ − x∗ , (0.13) ở đây τ > 0, x∗ là nghiệm của bài toán (0.1), A0 (x∗ ) là đạo hàm Fréchet của ánh xạ A tại x∗ , J ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E ∗ và v là phần tử nào đó trong E. Ta thấy, các điều kiện (0.12) và (0.13) sử dụng đạo hàm Fréchet của ánh xạ A tại nghiệm chưa biết x∗ nên chúng là hết sức chặt chẽ. Năm 2007, A.B. Bakushinskii và A. Smirnova [17] đã chứng minh sự hội tụ của phương pháp (0.11) đến nghiệm của bài toán (0.1) khi A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Hilbert H vào H (trong không gian Hilbert, khái niệm J-đơn điệu trùng với khái niệm đơn điệu) dưới điều kiện là kA0 (x)k ≤ 1, kA0 (x) − A0 (y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ H, L > 0. (0.14)
6 Nội dung thứ nhất của luận án này trình bày các kết quả mới về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu (đơn điệu và J-đơn điệu) trong không gian Banach mà chúng tôi đạt được, trong đó đã khắc phục được các hạn chế của các kết quả đã nêu ở trên. Tiếp theo, ta xét bài toán: Tìm phần tử p∗ ∈ H sao cho 0 ∈ A(p∗ ), (0.15) trong đó H là không gian Hilbert, A : H → 2H là ánh xạ đa trị và đơn điệu cực đại. Phần tử p∗ được gọi là một không điểm của ánh xạ A. Ta đã biết, nếu f : H → (−∞, +∞] là phiếm hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới thì dưới vi phân ∂f là một ánh xạ đơn điệu cực đại trên H. Khi đó, bài toán tìm một cực tiểu của f tương đương với bài toán tìm một không điểm của ∂f . Ngoài ra, trong thực tế, có nhiều bài toán có thể đưa về bài toán tìm không điểm của một ánh xạ đơn điệu cực đại như phương trình tiến hóa (xem [46]), bài toán bất đẳng thức biến phân (xem [61, 76]), bài toán điểm yên ngựa lồi-lõm (xem [74]), bài toán quy hoạch lồi (xem [75]). Một trong những phương pháp đầu tiên để tìm nghiệm của bài toán (0.15) phải kể đến phương pháp điểm gần kề do B. Martinet [103] giới thiệu vào năm 1970 để tìm cực tiểu của một phiếm hàm lồi và được tổng quát hóa bởi R.T. Rockafellar [74] vào năm 1976 như sau: xk+1 = Jk xk + ek , k ≥ 1, (0.16) trong đó Jk = (I + rk A)−1 được gọi là toán tử giải của A với tham số rk > 0, ở đây ek là vectơ sai số và I là ánh xạ đơn vị trên H. Vì A là ánh xạ đơn điệu cực đại nên Jk là ánh xạ đơn trị (xem [91]). Do vậy, ưu điểm nổi bật của phương pháp điểm gần kề là đã đưa bài toán đa trị về bài toán đơn trị để giải. R.T. Rockafellar đã chứng minh được rằng phương pháp (0.16) hội tụ yếu tới một không điểm của ánh xạ A dưới giả thiết tập không điểm của ánh xạ A khác rỗng, ∞ k P k=1 ke k < ∞ và rk ≥ ε > 0, với mọi k ≥ 1. Bằng cách kết hợp giữa nguyên lý ánh xạ co Banach và phương pháp điểm gần kề (0.16), P.N. Anh và các cộng sự đã đưa ra các phương pháp mới để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu (xem [11, 12]). Năm 1991, O. G¨ uler [46] đã chỉ ra rằng phương pháp điểm
7 gần kề (0.16) chỉ đạt được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh trong không gian vô hạn chiều. Với mục đích đạt được sự hội tụ mạnh, một số cải biên của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert (xem [21, 22, 51, 58, 60, 82, 91, 95, 97]) cũng như của ánh xạ J-đơn điệu trong không gian Banach (xem [35, 52, 71, 80]) đã được nghiên cứu. Sự hội tụ mạnh của tất cả các cải biên này đều được đưa ra dưới các điều kiện dẫn tới dãy tham số của toán tử giải của ánh xạ A không khả tổng, tức là ∞ P k=1 rk = +∞. Vì vậy, một câu hỏi đặt ra là: có tồn tại một cải biên của phương pháp điểm gần kề mà sự hội tụ mạnh của nó được đưa ra dưới điều kiện dãy tham số của toán tử giải là khả tổng, tức là ∞ P k=1 rk < +∞? Để trả lời câu hỏi này, nội dung thứ hai của luận án giới thiệu các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề mà chúng tôi đã đạt được để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert, trong đó sự hội tụ mạnh của các phương pháp được đưa ra dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là khả tổng. Các kết quả thu được trong luận án là: 1) Đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của một cải biên mới của phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.10) của I.P. Ryazantseva để giải bài toán (0.1) với A là ánh xạ đơn điệu từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ , trong đó đã khắc phục được các hạn chế như đã nêu của phương pháp (0.10). 2) Đưa ra và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich (0.11) để tìm nghiệm của bài toán (0.1) trong trường hợp A là ánh xạ J-đơn điệu trên không gian Banach E với việc đã loại bỏ được các điều kiện (0.12), (0.13), (0.14) và không đòi hỏi tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J. 3) Đưa ra hai cải biên mới của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert, trong đó sự hội tụ mạnh của các cải biên này được chúng tôi chứng minh dưới giả thiết dãy tham số của toán tử giải là khả tổng. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được bố cục gồm ba chương như sau: Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
8 Chương này có tính chất bổ trợ, trình bày một số khái niệm và tính chất trong không gian Banach, khái niệm về bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. Chương này cũng trình bày phương pháp Newton-Kantorovich và một số cải biên của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert. Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình phi tuyến với toán tử loại đơn điệu Chương này trình bày về phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton- Kantorovich để giải phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến loại đơn điệu trong không gian Banach, bao gồm: đưa ra các phương pháp và định lí về sự hội tụ của các phương pháp này. Cuối chương đưa ra ví dụ số minh họa cho kết quả nghiên cứu đạt được. Chương 3. Phương pháp lặp tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert Chương này trình bày các cải biên mới của phương pháp điểm gần kề để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert, bao gồm: giới thiệu các phương pháp cũng như các kết quả về sự hội tụ của các phương pháp này. Một ví dụ số được đưa ra ở mục cuối của chương này nhằm minh họa cho các kết quả nghiên cứu đạt được. Các kết quả của luận án được báo cáo tại: • Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12, Ba Vì, Hà Nội, 23-25/04/2014. • Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 14, Ba Vì, Hà Nội, 21-23/04/2016. • Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 15, Ba Vì, Hà Nội, 20-22/04/2017. • Hội thảo Quốc gia lần thứ XVIII "Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin và truyền thông", Thành phố Hồ Chí Minh, 05-06/11/2015. • Seminar hàng tuần ở nhóm Toán ứng dụng của Viện Công nghệ thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các kiến thức cần thiết nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu chính của luận án ở các chương sau. Mục 1.1 giới thiệu một số khái niệm, tính chất trong không gian Banach, bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh. Mục 1.2 khái quát lại phương pháp Newton và phương pháp Newton-Kantorovich. Mục 1.3 trình bày phương pháp điểm gần kề và một số cải biên của nó để tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert. 1.1. Không gian Banach và các vấn đề liên quan 1.1.1. Một số tính chất trong không gian Banach Trước hết, mục này giới thiệu một số không gian Banach thông dụng. a) Không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω, trong đó Ω là một tập đo được trong Rn , ký hiệu Lp (Ω) (1 < p < ∞), được xác định như sau:    Z  p Lp (Ω) = x(t) : |x(t)| dt < ∞ .   Ω Lp (Ω) là không gian Banach, với chuẩn là  1/p Z kxkp =  |x(t)|p dt , x(t) ∈ Lp (Ω). Ω 1 1 Không gian đối ngẫu của Lp (Ω) là không gian Lq (Ω), với + = 1. p q Với x(t) ∈ Lp (Ω) và x∗ (t) ∈ Lq (Ω) thì Z hx, x∗ i = x(t)x∗ (t)dt. Ω Không gian L2 (Ω) là không gian Hilbert. b) Không gian các dãy số khả tổng bậc p (1 < p < ∞), ký hiệu lp , được
10 xác định như sau: ∞ ( ) X lp = x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) : |xi |p < ∞ . i=1 lp là không gian Banach, với chuẩn là ∞ !1/p X kxklp = |xi |p , x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) ∈ lp . i=1 1 1 Không gian đối ngẫu của lp là không gian lq , với + = 1. p q Với x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) ∈ lp và y = (y1 , y2 , ..., yi , ...) ∈ lq thì ∞ X hx, yi = xi yi . i=1 Không gian l2 là không gian Hilbert. c) Không gian các dãy số bị chặn, ký hiệu l∞ , được xác định như sau: l∞ = x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) : {xi }∞ i=1 bị chặn . l∞ là không gian Banach, với chuẩn là kxk∞ = sup |xi |, x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) ∈ l∞ , i∈N∗ ở đây N∗ = {1, 2, 3, ...}. d) Không gian các dãy số khả tổng bậc 1, ký hiệu l1 , được xác định như sau: ∞ ( ) X l1 = x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) : |xi | < ∞ . i=1 l1 là không gian Banach, với chuẩn là ∞ X kxk1 = |xi |, x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) ∈ l1 . i=1 Không gian đối ngẫu của l1 là l∞ . Với x = (x1 , x2 , ..., xi , ...) ∈ l1 và y = (y1 , y2 , ..., yi , ...) ∈ l∞ thì ∞ X hx, yi = xi yi . i=1
11 e) Không gian Sobolev Wpm (Ω) (1 < p < ∞, m > 0): Cho Ω là một tập con giới nội trong Rn . Kí hiệu C m (Ω) là tập các hàm số khả vi liên tục đến cấp m trên Ω. Do Ω là một tập compact nên C m (Ω) ⊂ Lp (Ω), m = 0, 1, 2, .... Vì vậy, với x ∈ C m (Ω), ta có X Z X Z p kDα xkLp (Ω) = |x(t)|p dt + |Dα x(t)|p dt < +∞, |α|≤m Ω 0
12 Định nghĩa 1.3. Cho E và E e là hai không gian định chuẩn và ánh xạ A : E → E, e với D(A) là tập mở. A được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ D(A) nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính và liên tục A0 (x) : E → E e sao cho với mọi h ∈ E thỏa mãn x + h ∈ D(A) thì A(x + h) − A(x) = A0 (x)h + ω(h), ω(h) trong đó lim = 0. Khi đó: khk→0 khk A0 (x) được gọi là đạo hàm theo nghĩa Fréchet của ánh xạ A tại điểm x. A0 (x)h được gọi là vi phân theo nghĩa Fréchet của ánh xạ A tại điểm x. Nếu ánh xạ A khả vi Fréchet tại điểm x thì nó cũng khả vi Gâteaux tại điểm x và khi đó hai đạo hàm là đồng nhất (xem [5]). Định nghĩa 1.4. Cho E và E e là hai không gian định chuẩn. Ánh xạ A:E→E e được gọi là hemi-liên tục tại điểm x0 ∈ D(A) nếu với mọi dãy số {tn }, tn → 0 khi n → ∞, mọi y ∈ E thỏa mãn x0 + tn y ∈ D(A) thì A(x0 + tn y) * A(x0 ) khi n → ∞. Nhận xét 1.1. Nếu ánh xạ A liên tục tại điểm x0 thì ánh xạ A là hemi- liên tục tại điểm x0 . Định lí 1.1. ([6]) Mọi ánh xạ tuyến tính là ánh xạ hemi-liên tục. Bổ đề 1.1. ([23, 62, 86]) Cho E là không gian Banach thực, f ∈ E ∗ và A : E −→ E ∗ là một ánh xạ hemi-liên tục. Khi đó, nếu bất đẳng thức sau thỏa mãn hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ D(A), thì A(x0 ) = f . Bổ đề 1.1 còn được gọi là Bổ đề Minty. Định nghĩa 1.5. Cho E là không gian Banach và E ∗ là không gian đối ∗ ngẫu của nó. Với số s ≥ 2, ánh xạ J s : E → 2E được xác định như sau: J s (x) = {g ∈ E ∗ : hx, gi = kxkkgk, kgk = kxks−1 } = {g ∈ E ∗ : hx, gi = kxks , kgk = kxks−1 }, x ∈ E được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E.
13 Trường hợp s = 2, ánh xạ đối ngẫu J 2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E và thường được ký hiệu là J. Ta có J(x) = {g ∈ E ∗ : hx, gi = kxk.kgk, kgk = kxk} = {g ∈ E ∗ : hx, gi = kxk2 , kgk = kxk}, x ∈ E. Đặc biệt, nếu J là đơn trị thì với x ∈ E, ta có hx, J(x)i = kxk2 , kJ(x)k = kxk. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của các không gian Lp (Ω), lp và Wpm (Ω) có dạng như sau: a) Đối với không gian Lp (Ω) (1 < p < ∞): Với x(t) ∈ Lp (Ω) thì J(x) = kxk2−p p |x(t)| p−2 x(t) ∈ Lq(Ω), 1 1 trong đó t ∈ Ω, + = 1. p q b) Đối với không gian lp (1 < p < ∞): Với x = (x1 , x2 , ...) ∈ lp thì J(x) = kxk2−p lp z ∈ lq , 1 1 trong đó z = (|x1 |p−2 x1 , |x2 |p−2 x2 , ...) ∈ lp/(p−1) , + = 1. p q c) Đối với không gian Sobolev Wpm (Ω) (m > 0, 1 < p < ∞): Với x(t) ∈ Wpm (Ω) thì X J(x) = kxk2−p m W (Ω) (−1)|α| Dα (|Dα x(t)|p−2 Dα x(t)) ∈ Wq−m (Ω), p |α|≤m 1 1 α ∂ |α| x(t) trong đó t = (t1 , t2 , ..., tn ) ∈ Ω, + = 1 và D x(t) = α1 α2 , p q ∂t1 ∂t2 · · · ∂tαnn n P với |α| = αi . i=1 ∗ Định lí 1.2. ([9]) Ánh xạ đối ngẫu J s : E → 2E tồn tại trong mọi không gian Banach E. Hơn nữa, D(J s ) = E. Định lí 1.3. ([9, 37]) Nếu E là không gian Hilbert thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của E là ánh xạ đơn vị.