ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------
HOÀNG THANH NGA
BÀI TOÁN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Giải tích
Mã số : 60 46 01
Thái Nguyên
1
Môc lôc
MétsèkýhiÖu............................ 2
Lêinãi®Çu ............................. 3
1 C¬ së to¸n häc 5
1.1 Bµi to¸n æn ®Þnh vµ æn ®Þnh hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Bµi to¸n æn ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Ph¬ng ph¸p hµm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Bµi to¸n æn ®Þnh hãa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Bµi to¸n æn ®Þnh vµ æn ®Þnh hãa hÖ cã trÔ . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Bµi to¸n æn ®Þnh hÖ cã trÔ . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Bµi to¸n æn ®Þnh hãa hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n vµ ®iÒu
khiÓncãtrÔ........................10
1.3 Bµi to¸n ®iÒu khiÓn tèi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Mét sè bµi to¸n tèi u ®Æc biÖt . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Bµi to¸n tèi u toµn ph¬ng tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . 13
1.4 Métsèbæ®Òbætrî.......................14
2 Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u 15
2.1 Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u cho hÖ tuyÕn tÝnh . . 15
2.2 Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u hÖ tuyÕn tÝnh cã trÔ 18
3 Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u cho hÖ tuyÕn tÝnh cã
®é trÔ kh«ng kh¶ vi 24
3.1 Bµi to¸n ®¶m b¶o gi¸ trÞ ®iÒu khiÓn tèi u cho hÖ tuyÕn tÝnh cã
®étrÔkh«ngkhvi .......................24
3.2 VÝdô...............................36
TµiliÖuthamkho...........................40
.
2
Mét
sè
ký
hiÖu
•
R
=
(−∞;
+∞)
:
tËp
c¸c
sè
thùc.
•
R+
=
[0;
+∞)
:
tËp
c¸c
sè
thùc
kh«ng
©m.
•
Rn×r
:
kh«ng
gian
c¸c
ma
trËn
n
×
r
chiÒu.
•
Rn
:
kh«ng
gian
vÐct¬
tuyÕn
tÝnh
thùc
n
chiÒu
víi
ký
hiÖu
tÝch
v«
híng
lµ
<
.,
.
>
vµ
chuÈn
vÐc
t¬
lµ
||
.
||.
•
C([a;
b],
Rn)
:
tËp
tÊt
c
c¸c
hµm
liªn
tôc
trªn
[a;
b]
vµ
nhËn
gi¸
trÞ
trªn
Rn.
•
L2([a,
b],
Rm)
:
tËp
tÊt
c¶
c¸c
hµm
kh
tÝch
bËc
hai
trªn
[a,
b]
vµ
lÊy
gi¸
trÞ
trong
Rm.
•
AT
:
ma
trËn
chuyÓn
vÞ
cña
A
;
ma
trËn
A
®îc
gäi
lµ
ma
trËn
®èi
xøng
nÕu
A
=
AT
.
•
I
:
ma
trËn
®¬n
vÞ.
•
λ(A)
:
tËp
c¸c
gi¸
trÞ
riªng
cña
A
.
•
λmax(A)
=
max{Reλ
:
λ
∈
λ(A)}.
•
λmin(A)
=
min{Reλ
:
λ
∈
λ(A)}.
•
A
>
0
:
ma
trËn
A
x¸c
®Þnh
d¬ng.
•
A
≥
0
:
ma
trËn
A
x¸c
®Þnh
kh«ng
©m.
.
3
Lêi
nãi
®Çu
Lý
thuyÕt
®iÒu
khiÓn
tèi
u
ra
®êi
vµo
cuèi
nh÷ng
n¨m
50
cña
thÕ
kØ
hai
m¬i.
Tr¶i
qua
qu¸
tr×nh
ph¸t
triÓn
m¹nh
mÏ
nã
®·
thu
®îc
nhiÒu
thµnh
tùu
rùc
rì.
Ngµy
nay,
c¸c
bµi
to¸n
®iÒu
khiÓn
tèi
u
cã
tÇm
quan
träng
®Æc
biÖt,
thu
hót
sù
quan
t©m
cña
®«ng
®¶o
c¸c
nhµ
khoa
häc.
Lý
thuyÕt
®iÒu
khiÓn
tèi
u
®·
trë
thµnh
mét
lÜnh
vùc
nghiªn
cøu
quan
träng
trong
to¸n
häc,
cã
nhiÒu
øng
dông
to
lín
trong
®êi
sèng
kinh
tÕ,
khoa
häc
vµ
kÜ
thuËt.
Ph¸t
triÓn
tõ
bµi
to¸n
tèi
u
hãa
cæ
®iÓn,
bµi
to¸n
®iÒu
khiÓn
tèi
u
lµ
bµi
to¸n
t×m
qu¸
tr×nh
tèi
u
cho
c¸c
hÖ
®iÒu
khiÓn
m«
t
bëi
ph¬ng
tr×nh
to¸n
häc.
Trªn
thùc
tÕ
c¸c
hÖ
thèng
®iÒu
khiÓn
thêng
bÞ
t¸c
®éng
bëi
nhiÒu
®iÒu
kiÖn
ph¸t
sinh
tõ
®Æc
tÝnh
vËt
lÝ
cña
®èi
tîng
vµ
yªu
cÇu
thiÕt
kÕ
®Æt
ra.
V×
vËy,
viÖc
nghiªn
cøu
hÖ
thèng
®iÒu
khiÓn
tèi
u
lµ
mét
nhiÖm
vô
quan
träng
cña
lý
thuyÕt
®iÒu
khiÓn
to¸n
häc.
Môc
®Ých
cña
luËn
v¨n
lµ
nghiªn
cøu
bµi
to¸n
®iÒu
khiÓn
gi¸
trÞ
tèi
u
cho
c¸c
hÖ
®éng
lùc
®îc
m«
t¶
bëi
hÖ
ph¬ng
tr×nh
vi
ph©n
cã
trÔ.
LuËn
v¨n
bao
gåm
3
ch¬ng:
Ch¬ng
1:
C¬
së
to¸n
häc.
Trong
ch¬ng
nµy,
tríc
hÕt
chóng
t«i
tr×nh
bµy
mét
sè
kiÕn
thøc
c¬
së
vÒ
hÖ
ph¬ng
tr×nh
vi
ph©n
vµ
®iÒu
khiÓn
cã
trÔ,
bµi
to¸n
æn
®Þnh,
æn
®Þnh
hãa
hÖ
ph¬ng
tr×nh
vi
ph©n
vµ
®iÒu
khiÓn
cã
trÔ,
mét
sè
bæ
®Ò
dïng
®Ó
chøng
minh
kÕt
qu¶
ë
ch¬ng
sau.
Ch¬ng
2:
Bµi
to¸n
®¶m
b¶o
gi¸
trÞ
®iÒu
khiÓn
tèi
u.
Ch¬ng
nµy,
chóng
t«i
tr×nh
bµy
mét
sè
kÕt
qu¶
c¬
së
gi¶i
bµi
to¸n
®¶m
b¶o
gi¸
trÞ
®iÒu
khiÓn
tèi
u.
PhÇn
®Çu
ch¬ng
tr×nh
bµy
vÒ
bµi
to¸n
®¶m
b¶o
gi¸
trÞ
®iÒu
khiÓn
tèi
u
cho
hÖ
tuyÕn
tÝnh
víi
hµm
môc
tiªu
toµn
ph¬ng.
PhÇn
tiÕp
theo
chóng
t«i
tr×nh
bµy
bµi
to¸n
®¶m
b¶o
gi¸
trÞ
®iÒu
khiÓn
tèi
u
cho
hÖ
tuyÕn
tÝnh
cã
trÔ.
PhÇn
cuèi
cña
ch¬ng
lµ
më
réng
kÕt
qu¶
®Þnh
lÝ
cho
hÖ
cã
trÔ
biÕn
thiªn.
Ch¬ng
3:
Bµi
to¸n
®¶m
b¶o
gi¸
trÞ
®iÒu
khiÓn
tèi
u
cho
hÖ
tuyÕn
tÝnh
cã
®é
trÔ
kh«ng
kh¶
vi.
Môc
®Ých
cña
ch¬ng
nµy
lµ
viÖc
t×m
lêi
gi¶i
cho
bµi
to¸n
®¶m
b¶o
gi¸
trÞ
®iÒu
khiÓn
cho
hÖ
tuyÕn
tÝnh
cã
®é
trÔ
kh«ng
kh
vi.
.
4
Trong ch¬ng nµy, chóng t«i còng ®a ra mét vÝ dô minh häa cho kÕt qu¶
chøng minh.
T«i xin bµy tá sù biÕt ¬n s©u s¾c tíi GS. TSKH Vò Ngäc Ph¸t, ngêi thÇy
®· tËn t×nh chØ b¶o t«i trong suèt thêi gian t«i lµm luËn v¨n.
T«i rÊt biÕt ¬n Trêng §HSP Th¸i Nguyªn, Khoa To¸n, Khoa Sau ®¹i häc
®· gióp ®ì t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp t¹i trêng.
T«i xin c¶m ¬n ngêi th©n, ®ång nghiÖp, b¹n bÌ ®· cæ vò ®éng, viªn t«i
trong qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n.
MÆc dï ®· cè g¾ng rÊt nhiÒu nhng v× thêi gian vµ tr×nh ®é cßn h¹n chÕ
nªn luËn v¨n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt vµ sai lÇm. T«i rÊt mong
nhËn ®îc sù chØ b¶o vµ nh÷ng ®ãng gãp cña thÇy c« vµ c¸c b¹n.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n!
.