Chương 1
Hàm đơn điệu theo bậc và các tính
chất
Trong chương này, chúng tôi trình bày ngắn gọn các vấn đề lý thuyết
về hàm đơn điệu theo bậc làm cơ sở cho các vấn đề trình bày ở hai chương
sau. Hàm đơn điệu bậc nhất là các hàm đơn điệu, hàm đơn điệu bậc hai
chính là hàm lồi hay hàm lõm. Hàm đơn điệu bậc nlà hàm có đạo hàm
cấp nlà hàm đơn điệu. Ta sẽ tìm hiểu sơ qua định nghĩa, tính chất đặc
trưng cơ bản và các định lí quan trọng thường dùng liên quan đến các hàm
này. Tiếp đến, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất đặc biệt như tính liên tục,
tính khả vi.
1.1 Hàm đơn điệu bậc nhất
Trong luận văn này, ta sử dụng kí hiệu I(a, b)⊂Rnhằm ngầm định
một trong bốn tập hợp (a, b),[a, b),(a, b]hoặc [a, b]với a<b. Cho hàm
số y=f(x)xác định trên tập I(a, b)⊂R.
Định nghĩa 1.1 ([4],[5]).Với mọi x1, x2∈I(a, b), x1< x2,ta đều có
f(x1)≤f(x2),thì ta nói rằng f(x)là một hàm đơn điệu tăng trên I(a, b).
Định nghĩa 1.2 ([4],[5]).Với mọi cặp x1, x2∈I(a, b),ta đều có
f(x1)< f(x2)⇔x1< x2,
thì ta nói rằng f(x)là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b).
4
