Luận văn Thạc sĩ: Hiệu chỉnh bất đẳng thức phân hỗn hợp

Luận văn này nghiên cứu về bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, một loại bài toán quan trọng trong toán học ứng dụng và phân tích phi tuyến. Bài toán này thường gặp phải hiện tượng "đặt không chỉnh" (ill-posed), tức là nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu. Mục tiêu chính của luận văn là trình bày và tổng hợp các kết quả về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để giải quyết các bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp đặt không chỉnh, dựa trên các nghiên cứu trước đây.

Luận văn này hướng tới các nhà nghiên cứu, giảng viên, và học viên cao học trong lĩnh vực toán học ứng dụng, đặc biệt là các chuyên gia quan tâm đến bất đẳng thức biến phân, tối ưu hóa và các bài toán đặt không chỉnh trong phân tích toán học.

Luận văn trình bày một cách chi tiết về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp. Trong Chương 1, các khái niệm cơ bản về bất đẳng thức biến phân hỗn hợp được giới thiệu, bao gồm định nghĩa, điều kiện tồn tại nghiệm và các tính chất của tập nghiệm. Đặc biệt, luận văn nhấn mạnh vấn đề "bài toán đặt không chỉnh" khi toán tử liên quan không có tính đơn điệu mạnh hoặc phiếm hàm không lồi mạnh, và minh họa bằng ví dụ cụ thể về phương trình toán tử đặt không chỉnh. Chương 2 là phần trọng tâm, tập trung vào phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp. Tại đây, tác giả trình bày việc xây dựng nghiệm hiệu chỉnh dựa trên việc giải bất đẳng thức biến phân đã được hiệu chỉnh, cùng với việc sử dụng ánh xạ đối ngẫu tổng quát. Các kết quả về sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chuẩn tắc của bài toán ban đầu được chứng minh. Luận văn cũng nghiên cứu sâu về phương pháp chọn tham số hiệu chỉnh, bao gồm nguyên lý độ lệch suy rộng và cách chọn tham số tiên nghiệm. Một phần quan trọng khác là việc đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh, cho thấy mức độ chính xác của phương pháp. Cuối cùng, một ví dụ số minh họa được trình bày để làm rõ hiệu quả của phương pháp nghiên cứu.