Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán học: Độ đo xác suất trên không gian hàm và không gian Hilbert

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài ''Độ đo xác suất trên không gian hàm và không gian Hilbert'' nghiên cứu có cấu trúc gồm 3 chương trình bày về độ đo xác suất trên không gian metric, độ đo xác suất trên không gian Hilbert; độ đo xác suất trên C[0,1]. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán học: Độ đo xác suất trên không gian hàm và không gian Hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI ———————————– NGUYỄN THẾ LÂM ĐỘ ĐO XÁC SUẤT TRÊN KHÔNG GIAN HÀM VÀ KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng Hà Nội - 2013 i
Mục lục Mục lục ii 1 Độ đo xác suất trên không gian Metric 1 1.1 Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Giá của một độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Tính chất Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Độ đo hoàn hảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Liên hệ giữa phiếm hàm tuyến tính và độ đo . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Tôpô yếu trong không gian các độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Sự hội tụ của phân phối mẫu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Độ đo xác suất trên không gian Hilbert 21 2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Hàm đặc trưng và tiêu chuẩn compact . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Một ước lượng của phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Phân phối chia vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Tiêu chuẩn compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6 Luật kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Độ đo xác suất trên C[0,1] 51 3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Các độ đo xác suất trên C [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Một điều kiện cho sự tồn tại một quá trình ngẫu nhiên với quỹ đạo trong C[0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Sự hội tụ tới chuyển động Brownian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5 Phân bố của biến ngẫu nhiên liên hệ với chuyển động Brownian . . 60 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 ii
Lời mở đầu Độ đo xác suất trên không gian metric là một lĩnh vực quan trọng của xác suất thống kê. Để giúp độc giả hiểu rõ hơn về độ đo, các tính chất của độ đo, vai trò của độ đo cũng như mối liên hệ của độ đo với các lĩnh vực toán học khác, tôi đã hoàn thành luận văn này. Luận văn được chia thành 3 chương cùng với phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục. Chương 1: Trình bày về độ đo xác suất trên không gian metric. Chương 2: Trình bày về độ đo xác suất trên không gian Hilbert. Chương 3: Trình bày về độ đo xác suất trên C[0,1]. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng thuộc khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy về sự giúp đỡ khoa học mà thầy đã dành cho tôi và đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn. Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy phản biện, những người đã đọc và đóng góp ý kiến cho tôi để luận văn được hoàn thiện hơn. Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội đã tận tình giảng dạy, cung cấp kiến thức để tôi ngày một hoàn thiện hơn về chuyên môn. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và người thân đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian làm luận văn. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để luận văn của em được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2013 iii
Danh mục các ký hiệu 1. C (X): Không gian các hàm liên tục và bị chặn trên X; 2. C [0, 1]: Không gian các hàm liên tục trên [0, 1]; 3. Cµ : Giá của µ; 4. d (x, A) = inf d (x, y); y∈A 5. µ là độ đo xác định bởi : µ (A) = µ (−A); ¯ ¯ 6. µ (A): Độ đo của tập A; 7. |µ|2 := µ ∗ µ; ¯ 8. µ (y): Hàm đặc trưng của µ; ˆ 9. µα ⇒ µ: µα hội tụ yếu tới µ; 10. µ ∗ ν: Tích chập của µ và ν; 11. M (X): Không gian các độ đo xác suất trên X; 12. f|A : f hạn chế trên A; 13. W: Độ đo wiener. iv
Chương 1 Độ đo xác suất trên không gian Metric 1.1 Tính chính quy Chúng ta hiểu một độ đo µ trên một không gian Metric là một hàm tập không âm, cộng tính đếm được µ trên lớp các tập Borel BX thỏa mãn µ(X) = 1. Định nghĩa 1.1. Cho µ là một độ đo trên không gian Metric X. Một tập Borel A ⊆ X được gọi là µ−chính quy nếu µ (A) = sup µ (C) : C ⊆ A, C đóng = inf µ (U ) : A ⊆ U, U mở . Nếu mọi tập Borel là µ−chính quy ta nói rằng µ là chính quy. Định lý 1.1. Cho X là một không gian Metric và µ là một độ đo trong X. Khi đó một tập A ∈ BX là µ−chính quy khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại tập mở Uε và tập đóng Cε sao cho: (i) Cε ⊆ A ⊆ Uε ; (ii) µ(Uε − Cε ) < ε. Định lý 1.2. Cho X là một không gian Metric và µ là độ đo bất kì trên X. Khi đó µ là chính quy. Chứng minh. Kí hiệu B = {A ⊂ X : A−µ chính quy} ⇒ B ⊂ BX . 1
Bởi vì φ, X vừa là tập đóng, vừa là tập mở ⇒ φ ∈ B, X ∈ B. B là đóng đối với phép lấy phần bù. Thật vậy , cho A ∈ B và ε > 0. Khi đó tồn tại tập mở Uε ⊇ A và tập đóng Cε ⊆ A sao cho µ(Uε − Cε ) < ε. Ta có Uε ⊆ A ⊆ Cε , Cε − Uε = Uε − Cε µ(Cε − Uε ) = µ(Uε − Cε ) < ε ⇒ A ∈ B. Vậy B đóng đối với phép lấy phần bù . Ta chứng minh B đóng đối với phép hợp ∞ đếm được. Thật vậy, cho A1 , A2 , ... ∈ B, A = Ai . Cho ε > 0 cố định nhưng tùy i=1 ý. Do An ∈ B nên tồn tại tập mở Un,ε và tập đóng Cn,ε sao cho Cn,ε ⊆ An ⊆ Un,ε ∞ và µ(Un,ε −Cn,ε ) < 3εn . Đặt Uε = Un,ε , C = Cn,ε . Do µ là một độ đo nên ta n=1 n k k ε có thể chọn một số k đủ lớn để µ(C − Cn,ε ) < 2 .Đặt Cε = Cn,ε . Khi đó Uε − n=1 n=1 là tập mở, Cε − là tập đóng, Cε ⊆ A ⊆ Uε và µ(Uε − Cε ) ≤ µ(Uε − C) + µ(C − Cε) ∞ ε ≤ µ (Un,ε − Cn,ε ) + n=1 2 ε ε < n + = ε. 3 2 Suy ra A ∈ B. Vậy B là một σ- đại số. Tiếp theo ta chứng minh B chứa tất cả các tập đóng. Cho C ⊂ X là tập đóng và ε > 0 ⇒ C là một Gσ . Do đó tồn tại các ∞ tập mở U1 , U2 , ..., U1 ⊇ U2 ⊇ ... sao cho C = Un . Do µ(Un ) → µ(C) ⇒ ∃n0 : n=1 µ(Un0 − C) < ε. Lấy Cε = C, Uε = Un0 ⇒ µ(Uε − Cε ) < ε ⇒ C ∈ B. 1.2 Giá của một độ đo Định lý 2.1. Cho X là một không gian Metric tách được và µ là một độ đo trên X. Khi đó tồn tại duy nhất một tập đóng Cµ thỏa mãn: i) µ(Cµ ) = 1, ii) Nếu D là tập đóng nào đó sao cho µ(D) = 1 thì Cµ ⊆ D. Hơn nữa Cµ là tập tất cả các điểm x ∈ X sao cho µ(U ) > 0 với mọi tập mở U chứa x. 2
Chứng minh. Đặt U ={U:U mở,µ (U) = 0} Bởi vì X là tách được ⇒ có nhiều đếm . được các tập mở U1 , U2 , ... sao cho Un = {U : U ∈ U}. Kí hiệu Un = Uµ . Đặt n n Cµ = X − Uµ . Bởi vì µ(Uµ ) = µ( Un ) ≤ µ(Un ) = 0 ⇒ µ(Cµ ) = 1. Hơn nữa, n n nếu D là tập đóng thỏa mãn µ(D) = 1 ⇒ µ(X − D) = 0 ⇒ X − D ∈ U và do đó X − D ⊆ Uµ tức là Cµ ⊆ D. Tính duy nhất của Cµ là hiển nhiên. Để chứng minh khẳng định cuối cùng chú ý rằng với x ∈ X − Cµ , Uµ là một tập mở chứa x và µ(Uµ ) = 0. Trái lại, nếu x ∈ Cµ và U là một tập mở chứa x ⇒ µ(U ) > 0, nếu không thì U ⊆ Uµ (theo định nghĩa của Uµ ). Định nghĩa 2.1. Tập đóng Cµ trong định lí 2.1 được gọi là giá của µ . Hệ quả 2.1. Cho X là một không gian Metric và µ là một độ đo trên X sao cho với E ⊆ X, E là tập Borel tách được, µ(X − E) = 0. Khi đó µ có một giá tách được và Cµ ⊆ E. 1.3 Tính chất Radon Bây giờ ta sẽ nghiên cứu một lớp nhỏ hơn các độ đo trên không gian Metric - Các độ đo chặt. Các độ đo chặt được xác định bởi các giá trị của chúng đối với các tập compact. Định nghĩa 3.1. Một độ đo µ trên một không gian Metric X được gọi là chặt nếu ∀ε > 0 tồn tại một tập compact Kε ⊆ X sao cho µ(X − Kε ) < ε. Định lý 3.1. Cho X là một không gian Metric và µ là một độ đo chặt trên X. Khi đó µ có một giá tách được và với tập Borel bất kì E và ε > 0 nào đó, có một tập compact Kε ⊆ E với µ(E − Kε ) < ε. 1 Chứng minh. Giả sử Kn là một tập compact sao cho µ(X − Kn ) < n . Một tập compact trong một không gian metric là tách được và do đó Kn là tách được. n Nếu E0 = Kn ⇒ µ(E0 ) = 1. Do đó khẳng định thứ nhất được suy ra từ hệ quả n 2.1. Bây giờ giả sử E ∈ BX . Theo định lí 1.2, tồn tại một tập đóng Cε ⊆ E sao cho ε ε µ(E − Cε ) < 2 . Với N đủ lớn, µ(X − KN ) < 2 . Đặt Kε = Cε ∩ KN . Bởi vì Cε đóng , Kε compact . Hơn nữa, Kε ⊆ Cε ⊆ E. µ(E −Kε ) ≤ µ(E −Cε )+µ(X −KN ) < ε. Bổ đề 3.1. Cho X là một không gian Metric đủ và K ⊆ X, K- đóng . Giả sử với kn mỗi n, tồn tại một số nguyên kn sao cho K ⊆ Snj , Snj là hình cầu đóng bán j=1 1 kính n trong X. Khi đó K là compact. 3
Định lý 3.2. Cho X là một không gian metric tách được thỏa mãn tồn tại một ∼ ∼ không gian metric tách được, đủ X sao cho X được chứa trong X như một tập con ∼ tôpô và X là một tập con Borel của X . Khi đó mọi độ đo µ trên X là chặt. Đặc biệt nếu X là một không gian metric tách được, đầy đủ thì mọi độ đo trên X là chặt. ∼ ∼ Chứng minh. Giả sử X ⊆ X , X là không gian metric tách được, đầy đủ và X là ∼ ∼ một tập con borel của X . Cho trước một độ đo µ trên BX . Ta định nghĩa µ trên lớp B ∼ bằng cách đặt X ∼ ∼ ∼ ∼ µ(A) = µ(A ∩X), A ∈ B ∼ . X ∼ ∼ Bởi vì X ∈ B ∼ ⇒ µ X − X ˜ ˜ = 0. Suy ra µ là một độ đo chặt trên X . Thực X ∼ vậy, giả sử điều này đã được thiết lập. Bởi vì X là một tập borel trong X ⇒ ∼ ∼ ∀ε > 0, ∃Kε ⊂ X, Kε compact trong X sao cho µ(X − Kε ) < ε (định lí 3.1). ∼ Kε cũng là compact trong X bởi vì X là một tập con tôpô của X . Hơn nữa ∼ µ(X − Kε ) = µ(X − Kε ) < ε. Điều này chỉ ra rằng µ là chặt. Do đó ta có thể giả định rằng X là một không gian metric tách được, đầy đủ. Chọn và cố định ε > 0. 1 Giả sử d là khoảng cách trong X. Với số nguyên n bất kì, hình cầu bán kính n bao quanh mỗi điểm thiết lập một cái phủ của X. Bởi vì X là tách được, ta có thể tìm thấy nhiều đếm được Sn1 , Sn2 , ... sao cho X = Snj . Rõ ràng X = Snj và do đó j j tồn tại một số nguyên kn sao cho kn ε µ( Snj ) ≥ 1 − . j=1 2n kn ∞ kn Đặt Xn = Snj , Xn là đóng. Đặt Kε = Xn . Bởi vì Kε ⊆ Snj , Kε là j=1 n=1 j=1 ε compact (bổ đề 3.1). Hơn nữa µ(X − Kε ) ≤ µ(X − Xn ) ≤ 2n = ε. n n 1.4 Độ đo hoàn hảo Định nghĩa 4.1. Một không gian với độ đo (X, B, µ) được gọi là hoàn hảo nếu với hàm f nhận giá trị thực B- đo được bất kì và tập A bất kì trên đường thẳng thực sao cho f −1 (A) ∈B có các tập borel A1 và A2 trên đường thẳng thực sao cho A1 ⊆ A ⊆ A2 và µf −1 (A2 − A1 ) = 0. Bổ đề 4.1. Cho X là một không gian metric và µ là một độ đo trên X. Nếu f là hàm đo được borel bất kì trên X và ε > 0 tùy ý thì tồn tại một tập đóng Cε sao cho: 4
i)µ(X − Cε ) ≤ ε; ii)f|Cε là liên tục. Chứng minh. Cho {f n } là một dãy các hàm đơn giản hội tụ theo từng điểm tới f. Cho trước ε > 0 , theo định lí Egoroff tồn tại một tập borel E ⊆ X sao cho ε µ(X − E) < 2 và fn hội tụ đều đến f trên E. Bởi vì fn là đơn giản trên E, ta có thể kn kn viết fn = ani χEni . Ở đó En1 , ..., Enkn là các tập borel rời nhau, Eni = E và i=1 i=1 χA là hàm đặc trưng của A. Bởi vì µ là chính quy nên tồn tại tập đóng Cni ⊆ Eni kn ε sao cho µ(Eni − Cni ) ≤ 4n .kn . Đặt Cn = Cni . Bởi vì Cni là các tập đóng rời i=1 ∞ nhau và fn là hằng số trên Cni ⇒ fn|Cn là liên tục. Đặt Cε = Cn ⇒ Cε đóng. n=1 Hơn nữa µ(X − Cε ) = µ(X − E) + µ(E − Cε ) ≤ µ(X − E) + µ(E − Cn ) n ε ε < + kn . n < ε. 2 n 4 .kn Ta có Cε ⊆ Cn với mọi n, fn|Cε là liên tục với mọi n và f|Cε cũng liên tục bởi vì fn f trên Cε . Bổ đề 4.2. Cho X là không gian metric bất kì và µ là một độ đo chặt trên X. Nếu f là một hàm đo được và ε > 0 thì tồn tại một tập compact Kε sao cho: i) µ(X − Kε ) ε; ii) f|Kε là liên tục. Định lý 4.1. Cho X là không gian metric bất kì và µ là một độ đo chặt trên X. Khi đó (X, BX , µ) là một không gian với độ đo hoàn hảo. Chứng minh. Cho f là hàm đo được nhận giá trị thực bất kì. Thật là đủ để chứng minh rằng với tập bất kì A ⊂ R1 sao cho f −1 (A) ∈ BX sẽ tồn tại một tập borel A1 ⊆ A với µ(f −1 (A − A1 )) = 0, sau đó A2 có thể được xác định như một tập borel sao cho A2 ⊆ A và µ (f −1 (A − A 2 )) = 0. Thật vậy, giả sử A ⊆ R1 là một tập sao cho E = f −1 (A) ∈ BX . Cho { Cn } ,n = 1,2,... và { Kn } ,n = 1,2,... là hai dãy các tập hợp sao cho i)K1 ⊆ K2 ⊆ ..., Kn − compact, f|Kn liên tục và µ(X − Kn ) → 0, ii) C1 ⊆ C2 ⊆ ... ⊆ E, Cn là đóng , µ(E − Cn ) → 0. Đặt ∼ ∼ ∼ ∼ Kn = Kn ∩ Cn ⇒ K1 ⊆ K2 ⊆ ... ⊆ E, Kn −compact 5
∼ ∼ f ∼ liên tục và µ(E − Kn ) → 0 (n → ∞). Nếu Bn = f (Kn ) ⇒ Bn ⊂ R1 là một Kn tập compact bởi vì f ∼ là liên tục và do đó A1 = Bn là một tập borel. Bởi vì Kn n ∼ ∼ f[ Kn ] = A1 ⇒ Kn ⊆ f −1 (A1 ). Rõ ràng A1 ⊆ A và f −1 (A1 ) ⊆ f −1 (A) = E. n n ∼ Bởi vì µ(E − Kn ) = 0, µ(E − f −1 (A1 )) = 0. n 1.5 Liên hệ giữa phiếm hàm tuyến tính và độ đo Ở đây ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ giữa phiếm hàm tuyến tính và độ đo. Cho X là một không gian metric và C(X) là không gian các hàm thực liên tục và bị chặn trên X. Với f ∈ C(X), ta kí hiệu f = Sup |f (x)| ⇒ (C(X), . )−không gian x∈X Banach. Định nghĩa 5.1. Một phiếm hàm tuyến tính ∧ trên C(X) là một ánh xạ ∧ : C(X) → R f → ∧(f ) sao cho ∧(αf + βg) = α ∧ (f ) + β ∧ (g) với mọi hằng số α, β, với mọi f, g ∈ C(X) Một phiếm hàm tuyến tính ∧ được gọi là dương nếu ∧(f ) 0 ∀f 0. Chú ý rằng nếu ∧ là một phiếm hàm tuyến tính dương thì ∧(f ) ∧(g), ∀f g. Kí hiệu 1 là hàm nhận giá trị 1 mọi nơi. Cho trước độ đo µ bất kì trên X , một phiếm hàm ∧µ : g → gdµ dễ thấy là một phiếm hàm tuyến tính dương trên C(X) với ∧µ (1) = 1. Trong phần này ta sẽ chứng minh rằng khi X là compact mọi phiếm hàm tuyến tính dương có thể được tạo ra theo nghĩa này. Từ giờ trở đi ta sẽ xét một phiếm hàm tuyến tính dương cố định ∧ trên C(X) với ∧(1) = 1. X là một không gian metric . F0 : lớp tất cả các tập con đóng của X, G0 : lớp tất cả các tập con mở của X. Với tập bất kì C ∈ F0 , đặt λ(C) = inf{∧(f ) : f χC } Với χC là hàm đặc trưng của C. Xuyên suốt phần này ta sẽ kí hiệu C là tập đóng và G là tập mở . Định lý 5.1. λ là một hàm được định nghĩa tốt trên F0 và có các tính chất sau: i) 0 λ(C) 1 ∀C ∈ F0 ; ii) nếu C1 ⊆ C2 ⇒ λ(C1 ) λ(C2 ); 6
iii) nếu C1 ∩ C2 = ∅ ⇒ λ(C1 ∪ C2 ) = λ(C1 ) + λ(C2 ); iv) λ(C1 ∪ C2 ) λ(C1 ) + λ(C2 ) ∀C1 , C2 ; v) λ(∅) = 0, λ(X) = 1. Chứng minh. Bởi vì 1 χC với C là tập bất kì ⇒ 1 = ∧(1) λ(C) . Hơn nữa, nếu f χC thì f 0 và do đó ∧(f ) 0 ⇒ λ(C) 0. Vậy 0 λ(C) 1; ii) Hiển nhiên. Chứng minh iv). Nếu f1 χC1 , f2 χC2 sao cho:∧(f1 ) λ(C1 ) + ε và ∧(f2 ) λ(C2 ) + ε thì ∧(f1 + f2 ) λ(C1 ) + λ(C2 ) + 2ε. Bởi vì f1 + f2 χC1 ∪C2 ⇒ λ(C1 ∪ C2 ) ∧(f1 + f2 ) λ(C1 ) + λ(C2 ) + 2ε Cho ε → 0 ⇒ iv) Chứng minh iii) Ta chứng minh: λ(C1 ∪ C2 ) λ(C1 ) + λ(C2 ) nếu C1 ∩ C2 = ∅ Theo Định lí 1 ( Phụ lục ) ⇒ Tồn tại một hàm h ∈ C(X) sao cho   1, x ∈ C1 0 h 1 và h(x) =  0, x ∈ C2 Nếu f ∈ C(X) và f χC1 ∪C2 ⇒ f h χC1 và f (1 − h) χC2 . Ta có ∧(f ) = ∧(f h) + ∧(f (1 − h)) λ(C1 ) + λ(C2 ) ⇒ λ(C1 ∪ C2 ) ≥ λ(C1 ) + λ(C2 ). v) là hiển nhiên. Bây giờ ta định nghĩa cho tập mở bất kì G τ (G) = Sup{λ(C) : G ⊇ C ∈ F0 } . Định lý 5.2. τ là một hàm được định nghĩa tốt trên G0 và có các tính chất sau: i) 0 τ (G) 1 ∀G ∈ G0 ; ii) τ (G1 ) τ (G2 ) nếu G1 ⊆ G2 ; N N iii) τ ( Gi ) τ (Gi ); i=1 1 iv) τ (∅) = 0, τ (X) = 1. Chứng minh. Bởi vì 0 λ(C) 1 ∀C ∈ F0 ⇒ τ là được định nghĩa tốt và 0 τ (G) 1 ∀G ⇒ i) . ii) và iv) là hiển nhiên (tầm thường). Chứng minh iii) : Ta chỉ cần chứng minh với N = 2 Cho G1 , G2 là hai tập mở và C ⊆ G1 ∪ G2 ⇒ C − G1 và C − G2 là các tập đóng ∼ ∼ ∼ rời nhau. Do đó tồn tại các tập mở G1 và G2 rời nhau sao cho C − G1 ⊂ G1 , 7
∼ ∼ ∼ C − G2 ⊂ G2 . Đặt C1 = C − G1 , C2 = C − G2 thì C1 , C2 ∈ F0 , C = C1 ∪ C2 , C1 ⊆ G1 , C2 ⊆ G2 . ⇒ λ(C) λ(C1 ) + λ(C2 ) τ (G1 ) + τ (G2 ). Bởi vì C ⊆ G1 ∪ G2 là một tập đóng tùy ý ⇒ τ (G1 ∪ G2 ) τ (G1 ) + τ (G2 ). Bây giờ ta định nghĩa cho tập A ⊆ X bất kì, µ∗ (A) = inf{ τ (G):A ⊆ G } . Định lý 5.3. µ∗ là một hàm được định nghĩa tốt trên lớp tất cả các tập con của X và có các tính chất sau: i) µ∗ (∅) = 0, µ∗ (X) = 1; ii) µ∗ (G) = τ (G); iii) µ∗ (A) µ∗ (B) nếu A ⊆ B; N N iv) µ∗ ( Aj ) µ∗ (Aj ); 1 j=1 ∗ v) µ (G) λ(C) nếu G ⊆ C. Chứng minh. i), ii) và iii) là tầm thường iv): Chọn Gj ⊇ Aj sao cho τ (Gj ) µ∗ (Aj ) + ε N . N N N N N N Do Aj ⊆ Gj ⇒ µ∗ ( Aj ) τ ( Gj ) τ (Gj ) µ∗ (Aj ) + ε . 1 1 1 1 1 j=1 Cho ε → 0 ⇒ iv). v) Nếu C1 ⊆ G ⇒ C1 ⊆ C và λ(C1 ) λ(C). ∗ Do đó µ (G) = Supλ(C1 ) λ(C). Định lý 5.4. Với tập đóng bất kì C ta có λ(C) = µ∗ (C). Chứng minh. Theo định nghĩa của τ ta có λ(C) τ (G) nếu C ⊆ G. Do đó λ(C) µ (C) nếu C ∈ F0 . Bây giờ ta sẽ chứng minh : λ(C) ∗ µ∗ (C). ε Cho trước ε > 0 ⇒ tồn tại f ∈ C(X) sao cho f ≥ χC và ∧(f ) λ(C) + 2 . Với số γ bất kì thỏa mãn 0 < γ < 1, kí hiệu Gγ = { x:f(x) > γ} và Cγ = { x:f(x) γ} . Bởi vì Gγ ⊆ Cγ ⇒ µ∗ (Gγ ) λ(Cγ ). Nhưng f /γ χCγ ⇒ ∧(f /γ) λ(Cγ ). ∧(f ) Ta có µ∗ (Gγ ) λ(Cγ ) γ ε 1 (λ(C) + 2 ). γ . Chọn γ đủ gần 1 ta có thể giả định ε 1 rằng (λ(C) + 2 ). γ λ(C) + ε. Cho ε → 0 ⇒ µ∗ (C) λ(C) ∗ Vậy λ(C) = µ (C). Định lý 5.5. Nếu G là tập mở bất kì thì với tập A ⊆ X bất kì, µ∗ (A) µ∗ (G ∩ A) + µ∗ (G ∩ A). 8
Chứng minh. Cho G1 là tập mở bất kì sao cho A ⊆ G1 . Cho tập đóng C1 ⊆ G ∩ G1 sao cho λ(C1 ) τ (G ∩ G1 ) − ε và cho C2 là một tập con đóng của G1 − C1 sao cho λ(C2 ) τ (G1 − C1 ) − ε. Bởi vì C1 và C2 rời nhau ⇒ λ(C1 ∪ C2 ) = λ(C1 ) + λ(C2 ) τ (G ∩ G1 ) − ε + τ (G1 − C1 ) − ε µ∗ (G ∩ G1 ) + µ∗ (G ∩ G1 ) − 2ε. Do C1 ∪ C2 ⊆ G1 ⇒ τ (G1 ) λ(C1 ∪ C2 ) µ∗ (G ∩ G1 ) + µ∗ (G ∩ G1 ) − 2ε. Vì µ∗ (A) = inf τ (G1 ) và µ∗ (G∩G1 ) µ∗ (G∩A), µ∗ (G ∩G1 ) µ∗ (G ∩A) ⇒ µ∗ (A) µ∗ (G ∩ A) + µ∗ (G ∩ A) − 2ε. Cho ε → 0 ⇒ µ∗ (A) µ∗ (G ∩ A) + µ∗ (G ∩ A). Định lý 5.6. Cho AX là đại số (không là σ đại số) được sinh ra bởi lớp G0 - lớp tất cả các tập con mở của X. Khi đó µ∗ là một độ đo chính quy cộng tính hữu hạn trên AX . Với độ đo cộng tính hữu hạn bất kì µ (µ(X) = 1) trên AX ta định nghĩa tính khả tích và tích phân của một hàm đúng như trong trường hợp của một độ đo thông thường. Ta xét sự phân hoạch của toàn bộ không gian thành các tập thuộc vào AX và thiết lập các tổng Darboux trên và dưới. Nếu infimum của tất cả các tổng Darboux trên bằng Supremum của tất cả các tổng Darboux dưới thì hàm được gọi là khả tích. Mỗi hàm nhận giá trị thực, bị chặn thỏa mãn f −1 ((a, b]) ∈ AX ∀(a, b] có thể được xem là khả tích. Đặc biệt các hàm liên tục, bị chặn là khả tích. Tích phân của f theo µ được kí hiệu : f dµ Định lý sau cho ta các tính chất của tích phân: Định lý 5.7. i) Nếu α và β là các hằng số và f, g là các hàm khả tích thì αf + βg là khả tích và (αf + βg)dµ = α f dµ + β gdµ ; ii) f dµ 0 nếu f 0; iii) 1dµ = 1; iv) f dµ f . Định lý 5.8. Cho X là một không gian metric và C(X) là không gian các hàm thực liên tục bị chặn. Cho ∧ là một phiếm hàm tuyến tính không âm trên C(X) sao cho ∧(1) = 1. Khi đó tồn tại duy nhất một độ đo µ chính quy, cộng tính , hữu hạn trên AX (Đại số sinh bởi tất cả các tập con mở của X) sao cho ∧(f ) = f dµ , f ∈ C(X). 9
Ngược lại, nếu µ là một độ đo cộng tính, hữu hạn trên AX thì ánh xạ ∧ : f → f dµ là không âm, tuyến tính và ∧(1) = 1. Chứng minh. Cho µ là độ đo cộng tính hữu hạn đạt được bằng cách hạn chế µ∗ trên AX , µ∗ được định nghĩa như trong định lí 5.3. Cho f là hàm bất kì trong C(X) sao cho 0 f 1. Trước hết ta sẽ thiết lập ∧(f ) f dµ . Để hoàn X i thành điều này ta cho n là số nguyên bất kì và đặt Gi = { x:f(x) > n } . Khi đó G0 ⊇ G1 ⊇  ⊇ Gn = ∅. Cho φi là hàm liên tục trên khoảng đơn vị [0, 1] ...  0, 0 t i − 1  sao cho φi (t) = n và φ tuyến tính ở giữa. Đặt f (x) = φ (f (x)), i i i  i  1, t 1 n 1 1 i = 1, 2, ..., n. Vì n (φ1 (t) + ... + φn (t)) ≡ t. Ta có n .(f1 + ... + fn ) = f . Do đó 1 ∧(f ) = n ( ∧(fi )). fi χGi và do đó ∧(fi ) µ(Gi ). i Ta có 1 Λ (f ) = Λ (fi ) n i 1 ≥ µ (Gi ) n i n i i−1 = − µ (Gi ) i=1 n n n−1 i = µ (Gi − Gi+1 ) i=1 n n−1 i+1 1 = µ (Gi − Gi+1 ) − µ (G1 ) i=1 n n n−1 1 ≥ f dµ − µ (G1 ) i=1 G −G n i i+1 1 = f dµ − µ (G1 ) n G1 1 ≥ f dµ − µ (G0 ) . n X Cho n → ∞ ta có ∧(f ) f dµ . Nếu f là hàm không âm bất kì trong X C(X) ta có thể tìm thấy một hằng số dương c sao cho 0 cf 1. Do đó ∧(f ) = 1 1 c ∧ (cf ) c cf dµ = f dµ . X 10
Nếu f là hàm bất kì trên C(X) ta có thể tìm thấy một hằng số c sao cho f + c ´ ´ 0, và do đó ∧(f ) = ∧(f + c) − c ´ ´ (f + c)dµ − c = ´ ´ f dµ . X Do đó với f ∈ C(X) bất kì ta có ∧(f ) f dµ . Thay f bởi -f ta có ∧(−f ) − f dµ ⇒ ∧(f ) f dµ . Do đó ∧(f ) = f dµ . Bây giờ ta giả sử rằng ν là độ đo cộng tính , hữu hạn chính quy khác trong AX sao cho ∧(f ) = f dν . Khi đó ta có f dµ = f dν ∀f ∈ C(X). Cho C là tập đóng bất kì . Vì µ và ν là chính quy, ta có thể tìm thấy hai dãy Gn và Hn các tập mở sao cho G1 ⊇ G2 ⊇ ... và H1 ⊇ H2 ⊇ ..., C được chứa trong tất cả Gi và Hi và lim µ(Gn ) = µ(C), n→∞ lim ν(Hn ) = ν(C) n→∞ Nếu đặt Un = Gn ∩ Hn thì rõ ràng lim µ(Un ) = µ(C) n→∞ lim ν(Un ) = ν(C) n→∞ Theo định lí 1 (Phụ lục) , ta có thể xây dựng một hàm liên tục fn sao cho   1, x ∈ C 0 fn 1, fn (x) =  0, x ∈ X − Un . Khi đó ta có : f n dµ = fn dν ∀n. Vì fn = 0 trên X − Un , ta có µ(C) + fn dµ = ν(C) + f n dν Un −C Un −C nhưng fn dµ µ(Un − C) = µ(Un ) − µ(C), f n dν ν(Un − C) = ν(Un ) − Un −C Un −C ν(C). Cho n → ∞, ta được µ(C) = ν(C). Vì C là một tập đóng tùy ý và µ và ν là chính quy ⇒ µ = ν. Phần cuối của định lí dễ dàng chứng minh được từ tính chất của tích phân đã được đề cập. Định lý 5.9. Cho X là một không gian metric compact và ∧ là một phiếm hàm tuyến tính không âm trên C(X) với ∧(1) = 1. Khi đó tồn tại duy nhất một độ đo trên BX sao cho ∧(f ) = f dµ , f ∈ C(X). 11
Chứng minh. Thật là đủ để chứng minh rằng hàm tập µ∗ của định lí 5.3 là một độ đo ngoài . Khi đó định lí sẽ suy ra từ định lí 5.5. Do đó ta chỉ phải chỉ ra rằng ∞ ∞ ∞ ∞ µ∗ ( Ai ) µ∗ (Ai ). Điều này dẫn tới việc chỉ ra rằng µ∗ ( Gj ) µ∗ (Gj ). 1 1 1 1 ∞ ∞ ∞ với các tập mở tùy ý G1 , G2 , ..., tức là τ ( Gj ) τ (Gj ). Nếu C ⊆ Gj , 1 1 1 N tính compact của C chỉ ra rằng C ⊆ Gj với N nào đó . Khi đó ta có λ(C) 1 N N ∞ τ ( Gj ) τ (Gj ) τ (Gj ). Do đó τ ( Gj ) = Sup ∞ λ(C) τ (Gj ) . 1 j=1 j 1 C⊆ Gj j 1 Điều này hoàn thành chứng minh vì lớp các tập µ∗ − đo được là một σ đại số và theo định lí 5.5 các tập mở là µ∗ − đo được. Từ chứng minh của định lý 5.7, rõ ràng nếu µ và ν là 2 độ đo và f dµ = f dν với mọi f ∈ C (X) thì µ = ν. Định lý 5.10. Cho X là một không gian metric, U(X) là không gian các hàm liên tục đều, nhận giá trị thực và bị chặn và µ và ν là hai độ đo sao cho f dµ = f dν ∀f ∈ U (X). Khi đó µ = ν. 1 Chứng minh. Cho C là tập đóng bất kì và Gn = x : d (x, c) < n ⇒ Gn là mở ∞ (Định lí 2-Phụ lục) và Gn = C. C và Gn là các tập đóng rời nhau sao cho 1 1 inf d(x, y) n . Bởi vậy theo định lí 1(Phụ lục), tồn tại một hàm fn ∈ U (X) x∈C,y∈Gn 0, x ∈ Gn sao cho fn (x) = và 0 fn (x) 1. Lấy tích phân fn theo µ và ν, ta 1, x ∈ C được µ(C) fn dµ = fn dν = fn dν ν(Gn ). Cho n → ∞, ta có µ(C) ν(C). Gn Đổi chỗ µ và ν trong khẳng định ở trên ta được ν(C) µ(C). Do đó µ(C) = ν(C) với mọi tập đóng. Tính chính quy của độ đo chỉ ra rằng µ = ν. 1.6 Tôpô yếu trong không gian các độ đo Cho X là một không gian metric và M(X) là không gian các độ đo trên BX . Một phần tử µ ∈ M(X) là một hàm tập không âm, cộng tính đếm được, được xác định trên BX với µ(X) = 1. C(X) là không gian các hàm thực , liên tục và bị chặn trên X. Xét họ các tập có dạng Vµ (f1 , f2 , ..., fk ; ε1 , ..., εk ) = { ν:ν ∈ M(X), fi dν − fi dµ < εi ,i = 1,2,...,k} , 12
với f1 , f2 , ..., fk là các phần tử của C(X) và ε1 , ε2 , ..., εk là các số dương. Thật là dễ để thử lại rằng họ các tập đạt được bằng cách thay đổi k, f1 , f2 , ..., fk ,ε1 , ε2 , ..., εk thỏa mãn các tiên đề của một cơ sở cho một tôpô. Ta sẽ đề cập tới điều này như tôpô yếu trong M(X) . Ta thấy rằng một lưới {µα } các độ đo hội tụ yếu tới một độ đo µ nếu và chỉ nếu f dµα → f dµ ∀f ∈ C(X), kí hiệu µα ⇒ µ. Trừ khi được phát biểu cách khác , M(X) sẽ luôn được xem như một không gian tôpô với tôpô yếu. Trước hết ta sẽ chứng minh một định lí mà cho ta vài định nghĩa tương đương về tôpô yếu. Định lý 6.1. Cho µα là một lưới trong M(X). Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (a) µα ⇒ µ; (b) lim gdµα = gdµ ∀g ∈ U (X), U(X) là không gian các hàm liên tục đều, nhận α giá trị thực và bị chặn; (c) limα µα (C) µ(C), với mọi tập đóng C; (d) limα µα (G) µ(G), với mọi tập mở G; (e) lim µα (A) = µ(A), với mọi tập borel A mà biên của A có µ− độ đo 0. α Chứng minh. Vì U (X) ⊆ C(X) nên a ⇒ b. Bây giờ ta sẽ chứng minh b ⇒ c. 1 Cho C là tập đóng bất kì và Gn = { x:d(x,C) < n } với d(x, C) = inf d(x, y). Khi y∈C 1 đó C và Gn là các tập đóng rời nhau sao cho inf d(x, y) n . Do đó theo x∈C,y∈Gn định lí 1 (Phụ lục), tồn tại hàm fn ∈ U (X) sao cho 0 fn 1, fn (x) = 1 với x ∈ C, fn (x) = 0 với x ∈ Gc . Hơn nữa G1 ⊇ G2 ⊇ ... và ∩ Gn = C. Do đó n limα µα (C) limα fn dµα = fn dµ µ(Gn ). Cho n → ∞ ⇒ limα µα (C) µ(C). (c) ⇔ (d) là hiển nhiên bởi vì các tập mở là phần bù của các tập đóng và ngược lại, và toàn bộ không gian có độ đo là 1 với mọi độ đo. Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng (c) và (d) ⇒ (e) . Kí hiệu A là bao đóng của 0 0 0 A và A là phần trong của A. Khi đó A ⊆ A ⊆ A. A là đóng và A là mở . Giả sử 0 µ(A − A) = 0. Khi đó limµα (C) limµα (A) µ(A) = µ(A) α α 0 0 limα µα (A) limα µα (A) µ(A) = µ(A). Do đó lim µα (A) = µ(A). α Bây giờ ta sẽ hoàn thành việc chứng minh của định lí bằng cách chỉ ra rằng 13
(e) ⇒ (a). Cho g là phần tử bất kì của C(X) và lim µα (A) = µ(A) với mọi tập α 0 borel A sao cho µ(A − A) = 0. Kí hiệu µg là độ đo trên đường thẳng thực xác định bởi µg (E) = µ{ x:g(x) ∈ E} với tập borel E bất kì trên đường thẳng thực. Bởi vì g là một hàm bị chặn µg tập trung trong một khoảng bị chặn(a,b). Độ đo µg có thể có nhiều nhất một số đếm được các chất điểm. Do đó , cho trước ε > 0 ta có thể tìm thấy các số t1 , ..., tm sao cho (i) a = t0 < t1 < ... < tm = b; (ii) a < g(x) < b ∀ x ∈ X; (iii) tj − tj−1 < ε ∀ j=1, ... , m; (iv) µ({ x:g(x) = tj } ) = 0 ∀ j = 1, ..., m. Cho Aj = { x:tj−1 g(x) < tj } . A1 , A2 , ..., Am là các tập borel rời nhau với Aj = j 0 0 X. Hơn nữa, Aj − Aj ⊆ { x:g(x) = tj−1 } { x:g(x) = tj } . Bởi vậy µ(Aj − Aj ) = 0. Do đó ta có lim µα (Aj ) = µ(Aj ) j = 1, 2, ..., m. Đặt g ∗ = tj−1 χAj . Chú ý rằng α j |g ∗ (x) − g(x)| < ε ∀x ∈ X. Ta có : gdµα − gdµ { |g − g ∗ |dµα + |g − g ∗ |dµ + g ∗ dµα − g ∗ dµ } m 2ε + |µα (Aj ) − µ(Aj )| |tj−1 | j=1 Cho α → ∞ , lim gdµα − gdµ 2ε. Cho ε → 0 suy ra điều phải chứng α minh. Với mỗi điểm x ∈ X , kí hiệu px : độ đo suy biến tại x. Bổ đề 6.1. X đồng phôi với tập con D = { px :x ∈ X} . Chứng minh. Với điểm x bất kì và g ∈ C(X) ta có gdpx = g(x). Nếu xα → x0 thì g(xα ) → g(x0 ). Do đó pxα ⇒ px0 . Ngược lại cho pxα ⇒ px0 . Nếu xα không hội tụ tới x0 , có một tập mở G và một lưới con xβ sao cho x0 ∈ G và xβ ∈ X − G ∀β. Cho g là một hàm liên tục sao cho 0 g 1, g(x0 ) = 0 và g(x) = 1, x ∈ X − G. Khi đó gdpxβ = 1 trong khi gdpx0 = 0. (mâu thuẫn). Bổ đề 6.2. D là một dãy các tập con đóng của M(X). 14
Chứng minh. Cho {xn } là một dãy các điểm trong X sao cho pxn ⇒ q. Giả sử {xn } không có dãy con hội tụ nào.Khi đó tập S = {x1 , x2 , ...} là đóng và do đó mọi tập C ⊆ S là đóng. Bởi vì pxn ⇒ q ,theo định lý 6.1 ta có q (C) ≥ limpxn (C) với C ⊆ S Do đó với mỗi tập con vô hạn S1 ⊆ S, q (S1 ) = 1, Điều này là vô lý do q là một độ đo. Do đó có 1 dãy con {xnk }, xnk → x. Theo bổ đề 6.1, q = px . Do đó D là dãy các tập đóng. Bổ đề 6.3. Nếu X là một không gian mêtríc hoàn toàn bị chặn thì U (X) là một không gian Banach tách được với chuẩn Sup. Định lý 6.2. M(X) là không gian metric tách được ⇔ X là không gian metric tách được. Định lý 6.3. Cho X là một không gian metric tách được và E ⊆ X. Khi đó tập tất cả các độ đo mà có giá là tập con hữu hạn của E là trù mật trong M(X). Chứng minh. Tập hợp các độ đo có giá là tập con hữu hạn của X là trù mật trong M(X) Ta sẽ ký hiệu lớp các độ đo như thế là F (X). Rõ ràng độ đo bất kỳ tập trung trong 1 tập con đếm được của X là một giới hạn yếu của các độ đo từ F (X). Do đó thật là đủ để chứng minh rằng,độ đo bất kỳ là giới hạn yếu của các độ đo mà triệt tiêu ở bên ngoài các tập con đếm được của X. Chọn và cố định µ ∈ M(X). Bởi vì X là tách được, với mỗi số nguyên n, ta có thể viết X = Anj , Anj ∩ Ank = φ j nếu j = k, Anj ∈ BX ∀n, j và đường kính của Anj ≤ 1 n ∀j. Cho xnj tùy ý ∈ Anj . Cho µn là độ đo với khối lượng µ Anj lần lượt tại các điểm xnj . Cho g ∈ U (X) tùy ý, đặt : αnj = inf g (x) , βnj = Sup g (x) x∈Anj x∈Anj Bởi vì g là liên tục đều và đường kính của Anj → 0 khi n → ∞ đều theo j, Supj βnj − αnj → 0 khi n → ∞. Ta có: gdµn − gdµ = g − g xn j dµ ≤ Sup βnj − αnj → 0 khi A nj j n→∞ Do g ∈ U (X) là bất kỳ, theo định lý 6.1 suy ra µn ⇒ µ. Định lý 6.4. M(X) là một không gian metric compact ⇔ X là một không gian metric compact. Chứng minh. Cho X là một không gian metric compact khi đó C (X) là một không gian Banach tách được. Do đó tồn tại một dãy các phần tử thuộc C (X) g1 , g2 , ...sao 15
cho g1 ≡ 1, gn ≤ 1 và {gn } trù mật trong hình cầu đơn vị bao quanh 0 trong C (X). Cho T là ánh xạ µ → g1 dµ, g2 dµ, ... . Khi đó T ánh xạ M(X) vào không gian ∞ ∞ I -Tích đếm được của các khoảng [−1, 1]. I là một không gian metric compact. T là một đồng phôi từ M(X) vào I ∞ . Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng T (M (X)) là ∞ một tập con đóng của I . Giả sử {µn } là một dãy các độ đo sao cho T (µn ) hội tụ tới (α1 , α2 , ...) trong I ∞ . Cho g là hàm bất kỳ thuộc hình cầu đơn vị của C (X). Khi đó tồn tại một dãy gkr sao cho gkr − g → 0 khi r → ∞. Ta có: gdµn − gdµm ≤ 2 g − gkr + gkr dµn − gkr dµm Bởi vậy: lim gdµn − gdµm ≤ 2 g − gkr m,n→∞ Cho r → ∞, lim gdµn − gdµm = 0 m,n→∞ Do đó với mỗi g thuộc hình cầu đơn vị S0 của C (X), lim gdµn tồn tại. ký hiệu: lim gdµn = Λ (g). Với phần tử bất kỳ f ∈ C (X) ta có thể tìm thấy một hằng số c = 0 sao cho cf ∈ S0 . Định nghĩa Λ (f ) = cΛ (f /c). Ta thấy Λ là một phiếm hàm tuyến tính không âm trên C (X) với Λ (1) = 1. Do đó theo định lý 5.9, tồn tại duy nhất một độ đo µ sao cho Λ (g) = gdµ. Đặc biệt gr dµ = αr . Do đó T (µ) = (α1 , α2 , ...). Nói cách khác T (M (X)) là đóng. Tính compact của I ∞ chỉ ra rằng M(X) là một không gian metric compact. Ngược lại, cho M(X) là một không gian metric compact. Theo bổ đề 6.1 và 6.2, X là đồng phôi với một tập con đóng của M(X) . Do đó X là một không gian metric compact. Bây giờ ta chuyển sang chứng minh định lí trong không gian đủ tôpô M(X) . Ta nhớ lại rằng, một không gian metric được gọi là đủ tôpô nếu nó đồng phôi với một không gian metric đủ. Một kết quả nổi tiếng của Alexandroff (cf.kelley [16],pp.207 - 208) là: Một không gian metric là đủ Tôpô ⇔ nó là một Gσ trong không gian metric đủ nào đó. Định lý 6.5. Cho X là một không gian metric tách được. Khi đó M(X) là đủ Tôpô ⇔ X cũng là đủ Tôpô. Chứng minh. Cho X là đủ Tôpô. Như chứng minh trong định lý 6.2 ta có thể giả sử X là hoàn toàn bị chặn. Sự mở rộng X1 của X là compact và X là một Gσ . Đặt M0 = {µ : µ ∈ M (X1 ) , µ (X1 − X) = 0}. Khi đó M0 và M(X) là đồng phôi. Theo định lí 6.4, M (X1 ) là một không gian metric compact và do đó là không gian đủ. 16