ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
PHẠM VĂN NHÂM
MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2011
Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Các kiến thức cơ bản. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Dãysố......................................................... 6
1.1.1. Định nghĩa dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Dãy số đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Dãy số bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. Cấp số cộng, cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5. Các cách cho dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6. Dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Giới hạn của dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11
Chương 2. Một số lớp bài toán về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
2.1. Lớp bài toán có tính chất số học của dãy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15
2.2. Lớp các bài toán dãy số có bản chất đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Lớp các bài toán về bất đẳng thức dãy. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 27
2.4. Sử dụng lượng giác giải các bài toán về dãy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5. Lớp các bài toán về giới hạn của dãy . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 53
2.5.1. Phương pháp sử dụng định nghĩa tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5.2. Tính giới hạn nhờ sử dụng tính đơn điệu và bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.3. Tính giới hạn nhờ sử dụng định lý hàm số co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.4. Phương pháp sử dụng tổng tích phân tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.5. Tính giới hạn dựa vào việc giải phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.6. Sử dụng dãy phụ để tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2
2.5.7. Giới hạn của dãy sinh bởi phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5.8. Giới hạn của dãy tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
KẾTLUẬN............................................. 71
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 72
3
LỜI NÓI ĐẦU
Dãy số và một số vấn đề liên quan đến dãy số là một phần rất quan trọng của đại
số và giải tích toán học. Các học sinh và sinh viên thường phải đối mặt với nhiều
dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề này. Những ai mới bắt đầu làm quen với
khái niệm dãy số thường khó hình dung về cấu trúc đại số trên tập các dãy số, đặc
biệt là các phép tính đối với các dãy có chứa tham số, các biến đổi về dãy và đại số
các dãy,...
Dãy số đặc biệt quan trọng trong toán học không chỉ như là những đối tượng để
nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc
của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,...
Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi quốc gia , thi Olympic toán quốc tế, thi vô địch
toán các nước, các bài toán liên quan đến dãy số cũng hay được đề cập và thường
thuộc loại rất khó.
Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Các kiến thức cơ bản về dãy
Chương 2: Một số lớp các bài toán về dãy số
Chương 1: Nhắc lại các khái niệm cơ bản về dãy số, các định lý, các dấu hiệu liên
quan đến dãy số sẽ dùng trong luận văn.
Chương 2: Trong chương này tác giả trình bày các bài toán về dãy, trong đó có
nhiều bài toán có trong các kỳ thi học sinh giỏi các nước, Olympic toán quốc tế, các
bài toán này được trình bày theo nhóm các dạng, sau một số bài là sự phân tích để
tìm hướng giải cũng như ý tưởng phát triển bài toán.
Để hoàn thành luận văn này, trước nhất tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và kính trọng sâu sắc tới TS.Nguyễn Thành Văn, Trường THPT chuyên -Đại
học Khoa học Tự nhiên Hà nội, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả
trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này. Qua đây tác giả cũng xin được
gửi lời cảm ơn chân thành các thầy cô đã đọc, đánh giá và cho những ý kiến quý
4