VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
TRƯƠNG THỊ HIỀN
LŨY THỪA HÌNH THỨC
CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2023
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
TRƯƠNG THỊ HIỀN
LŨY THỪA HÌNH THỨC
CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 9 46 01 04
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn:
TS. Trần Nam Trung
HÀ NỘI - 2023
Tóm tắt
Cho R=k[x1, . . . , xr]là vành đa thức trên trường k,rbiến x1, . . . , xr
với r>1. Cho Ilà iđêan đơn thức của Rvà I(n)là lũy thừa hình thức thứ n
của I. Luận án nghiên cứu về hàm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford
(gọi tắt là chỉ số chính quy) của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức I,
ký hiệu reg(I(n)). Dựa trên việc nghiên cứu về đa diện lồi, các môđun đối
đồng điều địa phương, luận án đã đạt được một số các kết quả chính về
dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy reg(I(n))khi Ilà iđêan đơn
thức. Đồng thời, luận án cũng đưa ra một chặn trên tốt cho reg(I(n))khi
I=I∆là iđêan Stanley-Reisner của phức đơn hình ∆và áp dụng trong
trường hợp I=I(G)là iđêan cạnh của đồ thị G. Cuối cùng, luận án chỉ
ra một chặn trên cho chỉ số ổn định của chỉ số chính quy, reg-stab(J(G)),
trong trường hợp J(G)là iđêan phủ của đồ thị hai phần G.
Luận án được chia làm 04 chương.
Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả của phức
đơn hình, iđêan Stanley-Reisner, đồ thị; trình bày công thức Hochster,
công thức Takayama; và nghiên cứu một số tính chất của các đa diện lồi.
Chương 2, chúng tôi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số
chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức.
Chương 3, chúng tôi nghiên cứu về chặn trên của chỉ số chính quy của
lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương và ứng
dụng vào trường hợp iđêan cạnh của đồ thị.
Chương 4, chúng tôi nghiên cứu về chặn trên cho chỉ số ổn định
reg-stab(J(G)) với Glà đồ thị hai phần và J(G)là iđêan phủ của đồ thị.
ii
Abstract
Let R=k[x1, . . . , xr]be a polynomial ring over a field kwith rvariables
x1, . . . , xr, r >1. Let Ibe a monomial ideal of Rand I(n)be the n-th
symbolic power of I. The thesis aims to focus on studying the Castelnuovo-
Mumford regularity (briefly, regularity) function reg(I(n)). Based on inves-
tigating the theory of convex polyhedra and the local cohomology module,
we obtain some main results for the asymptotic behavior of the regularity
function reg(I(n))when Iis a monomial ideal. In addition, the thesis also
gives a sharp upper bound for reg(I(n))when I=I∆is a Stanley-Reisner
ideal of a simplicial complex ∆and applies to the case the edge ideal of
a simple graph. Finally, the thesis gives an upper bound for the stability
index of the regularity, reg-stab(J(G)), where J(G)is a cover ideal of a
bipartite graph G.
The thesis is divided into four chapters.
Chapter 1, we introduce some basic notions and results about the sim-
plicial complex, Stanley-Reisner ideals, graphs, Hochster’s and Takayama’s
formula. We also study some important properties of the convex polyhedra.
Chapter 2, we investigate the asymptotic behavior of the regularity
function reg(I(n)), when Iis a monomial ideal.
Chapter 3, we study an upper bound for the regularity of symbolic
powers of the square-free monomial ideals and apply it to the case edge
ideal of a simple graph.
Chapter 4, we consider a bound for reg-stab(J(G)) in the case Gis a
bipartite graph and J(G)is its cover ideal.
iii
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn thành
dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Nam Trung. Các kết quả viết chung với
các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước khi đưa
vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa
từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả
Trương Thị Hiền
iv