Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số
42
8 9 1y x x
có đồ thị
()C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số.
2. Dựa vào đồ thị
C
của hàm số, biện luận theo
m
số nghiệm của phương trình:
42
8 c o s 9 c o s 0x x m
với
0;x
.
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình:
c o s c o s 2 c o s 3 c o s 4 c o s
2
51
x x x x x
Câu 3: (1 điểm)
Tính tích phân:
23
4
2
0
ln 9 3
9
x x x
I d x
x
Câu 4: (1 điểm)
Cho
,nk
là các số nguyên dương thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
2
2 2 2
n n n
n k n k n
C C C

Câu 5: (1 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ
O x y z
, cho đường thẳng
3 2 1
:
2 1 1
x y z
d

và mặt phẳng
: 2 0P x y z
. Gọi
M
là giao điểm của
d
và
P
. Viết phương trình đường thẳng
nằm
trong mặt phẳng
P
, vuông góc với
d
đồng thời khoảng cách từ
M
tới
bằng
42
.
Câu 6: (1 điểm)
Cho hình lăng trụ đứng
1 1 1
.A B C A B C
có
A B a
,
2A C a
,
125A A a
và
120o
BAC
. Gọi
M
là
trung điểm của cạnh
1
CC
. Chứng minh
1
M B M A
và tính khohanrg cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
1
A B M
.
Câu 7: (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
O xy
, cho tam giác
ABC
với
1; 2A
, đường cao
: 1 0C H x y
,
phân giác trong
: 2 5 0B N x y
. Tìm tọa độ các đỉnh
,BC
và tính diện tích tam giác
ABC
.
Câu 8: (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
42
22
698
81
3 4 4 0
xy
x y x y x y

Câu 9: (1 điểm)
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 10
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2
Cho
,,abc
là các số thực dương thỏa mãn
1 2; 8a b b c
. Chứng minh rằng:
1 1 1 8 1 2 1
2
12
abc
a b b c c a a b c



..................HẾT..................
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:
1.
Tập xác định:
D
.
Ta có:
3
0
3 2 1 8 ; ' 0 3
4
x
y x x y
x

233
'' 9 6 1 8; '' 0 ; ''( 0 ) 0 ; '' 0
44
y x y y y
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
3
4
x
và
3
4
x
và hàm số đạt cực đại tại
0x
. Hàm số nghịch biến
trên mỗi khoảng
3
;
4



và
3
0;
4



, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
3;0
4



và
3;
4




Tính giới hạn:
lim lim
xx
y
Bảng biến thiên:
x

3
4
0
3
4

'y
0
0
0 +
y

1

49
32
49
32
Đồ thị:
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 3
2.
Xét phương trình:
42
8 c o s 9 c o s 0x x m
với
0;x
1
Đặt
costx
, phương trình trở thành:
42
8 9 0t t m
2
Vì
0;x
nên
, tương ứng với mỗi giá trị của
t
là 1 giá trị duy nhất của
x
, do đó số
nghiệm của phương trình
1
và phương trình
2
bằng nhau.
Ta có:
42
2 9 1 1t t m
Gọi
'C
là đồ thị hàm số
42
8 9 1y t t
với
1;1t
, thì
'C
là phần đồ thị
C
trong đoạn
1;1
.
Số nghiệm của phương trình
2
là số giao điểm của
'C
với đường thẳng
.
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra:
Với
0m
: phương trình vô nghiệm.
Với
0m
: phương trình có 1 nghiệm.
Với
01m
: phương trình có 2 nghiệm.
Với
81
1
32
m
: phương trình có 4 nghiệm.
Với
81
32
m
: phương trình có 2 nghiệm.
Với
81
32
m
: phương trình vô nghiệm.
Nhận xét: Khi biện luận các phương trình mà cần thông qua phép đổi biến, ta phải xem xét đến sự
tương ứng về nghiệm giữa biến đã cho và biến số mới để tránh kết luận sai số nghiệm.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 4
1. Tìm các giá trị của
m
để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn
2
0;
3



:
6 6 4 4
s in c o s s in c o sx x m x x
Đáp số:
17
2 1 0
m
2. Tìm các giá trị của
m
để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
2
2 1 1 0
xx
e m e m
Đáp số:
7m
Câu 2:
Xét
2,x k k

, phương trình trở thành:
1
5
2

(loại)
Xét
2 , s in 0
2
x
x k k
.
Nhân hai vế của phương trình với
2 s i n 0
2
x
, ta được:
2 s in c o s 2 sin c o s 2 2 sin c o s 3 2 sin c o s 4 2 s in c o s 5 s in
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
x x x x x
3 5 3 7 5 9 7 1 1 9
s in s i n s in s i n s in s in s i n s i n s in s in s in
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x x x x
1 1 2
s in 0 ,
2 1 1
xk
xk
Đối chiếu với điều kiện ta được:
2,,
11
k
x k k

không chia hết cho 11.
Nhận xét: Dạng toán này sẽ giúp chúng ta giải quyết những phương trình lượng giác rất phức tạp.
Tuy nhiên, cần phải để ý xét các trường hợp cẩn thận trước khi nhân hay chia một biểu thức nào đó,
để tránh dẫn tới kết luận thừa nghiệm.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Giải phương trình:
1
c o s c o s 2 c o s 4 c o s 8
16
x x x x
.
Đáp số:
2 1 7 1
1 5 ; , , ,
1 5 1 7 1 7 2
k l n
x k n l k l n





.
2. Giải phương trình:
s in 5 1
5 s i n
x
x
.
Đáp số: Phương trình vô nghiệm.
Câu 3:
Ta có:
2
44
3
22
00
ln 9
3
99
xx x
I d x d x
xx




Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 5
Xét
2
4
12
0
ln 9
9
xx
I d x
x

Ta có:
22
422
22
1
0
ln 9 4ln 5 ln 3
ln 9 ln 9
0
22
xx
I x x d x x

Xét
43
22
09
x
I d x
x
Đặt
2 2 2
2
9 ; 9
9
x
x t d t d x x t
x
Đổi cận:
03xt
45xt
Suy ra:
53
2
2
3
544
99
3
33
t
I t d t t



Từ đó suy ra:
22
12
ln 5 ln 3
3 4 4
2
I I I
Nhận xét: Bài toán trên là dạng thường xuất hiện trong đề thi đại học, khi chúng ta thường tách
thành nhiều biểu thức tích phân nhỏ và giải quyết từng biểu thức một.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Tính tích phân:
3
14
2
01
xx
I x e d x
x





Đáp số:
3
3
e
I

2. Tính tích phân:
2
3
1
24
xx
I x e d x
x





Đáp số:
23
3
Ie
Câu 4:
Ta có:
2
2 2 2 0
n n n
n k n k n
C C C k n

2
2 ! 2 ! 2 !
.
! ! ! ! ! !
n k n k n
n k n n k n n n






2
1 2 1 2 1 2n k n k n k n n k n k n k n n n n n
2
11
nn
ii
n k i n k i n i





Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
20,n k i n k i n i k i n
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.