Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số
24
1
x
y
x
có đồ thị
()C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Tìm trên
C
hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng
MN
, biết
3; 0 , 1; 1MN
.
Câu 2: (1 điểm)
Giải phương trình:
33
1
1 sin 2 c o s 2 sin 4
2
x x x
Câu 3: (1 điểm)
Tính tích phân:
2
0
c o s
1 sin 2
x
x
I d x
ex
Câu 4: (1 điểm)
Việt và Nam thi đấu với nhau một trận cầu lông, ai thắng trước 3 ván sẽ giành chiến thắng chung
cuộc. Xác suất để Nam thắng mỗi ván là 0,6; xác suất xảy ra 1 ván hòa là 0. Hỏi xác suất Việt thắng
chung cuộc là bao nhiêu?
Câu 5: (1 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ
O x y z
, cho mặt phẳng
: 2 5 0P x y z
và điểm
,
đường thẳng
3 1 3
:
2 1 1
x y z
d

. Gọi
là đường thẳng nằm trên
P
đi qua giao điểm của
d
và
P
, đồng thời vuông góc với
d
. Tìm trên
điểm
M
sao cho khoảng cách
AM
ngắn nhất.
Câu 6: (1 điểm)
Cho hình chóp tứ giác
.S A B C D
có đáy
A B C D
là hình bình hành,
4A D a
, các cạnh bên của hình
chóp bằng nhau và bằng
6a
. Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng
S B C
và
S C D
khi thể tích
khối chóp
.S A B C D
là lớn nhất.
Câu 7: (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
O xy
, cho đường tròn
22
( ) : 2 2 8 0C x y x y
và đường thẳng
: 2 2 0d x y
. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn
C
, biết tiếp tuyến tạo với đường
thẳng
d
một góc
45o
.
Câu 8: (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
22
22
33
30
xy
x
xy
xy
y
xy


ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 9
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2
Câu 9: (1 điểm)
Cho
,,x y z
là các số thực thuộc đoạn
0; 2
. Chứng minh bất đẳng thức:
24x y z xy yz zx
..................HẾT..................
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:
1. Tập xác định:
\ { 1}D
.
Ta có:
20,
( 1)
6
y x D
x
Suy ra hàm số không có cực trị và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( ; 1)
và
( 1; )
Ta có:
lim lim 2
xx
y

nên hàm số có tiệm cận ngang
2y
.
11
lim ; lim
xx
y


nên hàm số có tiệm cận đứng
1x
.
Bảng biến thiên:
x

-1

'y
||
y

2
2

Đồ thị:
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 3
2.
Phương trình đường thẳng
MN
là:
2 3 0xy
.
Phương trình đường thẳng
d
vuông góc với
MN
có dạng:
2y x m
Phương trình hoành độ giao điểm của
C
và
d
là:
2
24
2 2 4 0 1 (* )
1
xx m x m x m x
x
Đường thẳng
d
cắt
C
tại 2 điểm phân biệt
,AB
28 3 2 0mm
Khi đó phương trình
*
có 2 nghiệm
12
,xx
, ta có:
12 2
m
xx

Tọa độ
,AB
là
1 1 2 2
; 2 , ; 2A x x m B x x m
Tọa độ trung điểm
I
của
AB
là:
12
12
;
2
xx
I x x m




hay
;
42
mm
I


,AB
đối xứng nhau qua
4M N I M N m
Với
4m
, ta có tọa độ
,AB
là
0; 4 , 2; 0AB
Nhận xét: Bài toán này thuộc lớp các bài toán liên quan đến sự tương giao của đồ thị. Trong dạng
bài này, chúng ta thường sử dụng các kỹ thuật liên quan đến dấu của tam thức bậc hai và sử dụng
định lý Viète về mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức (đã được đề cập đến ở đề số
5).
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Cho hàm số
2
1
x
y
x
có đồ thị
()C
. Tìm trên đồ thị
C
hai điểm
,BC
thuộc hai nhánh sao cho
tam giác
ABC
vuông cân tại đỉnh
A
với
2; 0A
.
Đáp số:
1;1 , 3; 3BC
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 4
2. Cho hàm số
1
2
x
y
x

có đồ thị
()C
. Tìm trên đồ thị
C
các điểm
,AB
sao cho độ dài đoạn
AB
bằng 4 và đường thẳng
AB
vuông góc với đường thẳng
yx
.
Đáp số:
1 2 ; 2 2 , 1 2 ; 2 2AB
Câu 2:
Phương trình đã cho tương đương với:
1
1 sin 2 co s 2 1 sin 2 co s 2 s in 4
2
x x x x x
11
1 s in 4 s in 2 c o s 2 1 sin 4 0
22
x x x x
1
1 s in 4 s i n 2 c o s 2 1 0
2
x x x



1
1 s i n 4 0
2
s in 2 c o s 2 1 0
x
xx

sin 2 cos 2 1xx
2 c o s 2 1
4
34
c o s 2 co s
44
2
x
xk
xk
xk






 
.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Giải phương trình:
2
1 sin 2
1 tan 2
c o s 2
x
x
x

.
Đáp số:
,
2
k
xk

.
2. Giải phương trình:
1
ta n s in 2 c o s 2 2 2 c o s 0
c o s
x x x x
x



.
Đáp số:
42
,
k
xk

.
Câu 3:
Ta có:
2
0
c o s s in
s in c o s
x
xx
Id
e x x



Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 5
2
0
c o s sin sin c o s
.2
sin c o s sin c o s
0
xx
x x x x
d
e x x x x e





22
00
sin 1
sin
xx
x d x xd
ee






2
0
sin 1 sin
2
0
xx
xdx
ee


22
00
22
1 c o s 1 1
c o s
xx
x d x xd
ee
ee






22
00
22
1 c o s 1 1 s in
c o s 1
2
0
x x x
x x d x
dx
e e e
ee



Từ đó suy ra:
2
2
11
21
2
e
II
e

Nhận xét: Kỹ thuật áp dụng liên tiếp phương pháp tích phân từng phần để làm xuất hiện lại biểu
thức cần tính tích phân là một kỹ thuật tương đối quen thuộc. Nó thường được áp dụng khi biểu
thức cần tính tích phân có chứa hàm
sin x
(hoặc
c o s x
) và hàm số mũ.
Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện:
1. Tính tích phân:
66
4
4
s in c o s
2015 1
x
xx
I d x
Đáp số:
32
I
2. Tính tích phân:
4
6
6
sin
2015 1
x
x d x
I
Đáp số:
4 7 3
64
I
3. Tính tích phân:
4
0
ln 1 ta nI x d x

Đáp số:
ln 2
8
I
Câu 4:
*) Trường hợp 1: Trận đấu có 3 ván.