LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Ví dụ 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông
OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Hướng dẫn giải:
HD: a) * S
xq
= πRl = π.OB.AB = 15π
Tính: AB = 5 (
∨
∆
AOB tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 15π + 9π = 24π
b) V =
2
1
3
π
R h
=
2
1
3
π
=
2
1
3 4
3
. .
π
= 12π
Ví dụ 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Hướng dẫn giải:
HD: a) * S
xq
= πRl = π.OB.SB = 2πa
2
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 2πa
2
+ πa
2
= 23πa
2
b) V =
2
1
3
π
R h
=
2
1
3
π
.OB .SO
=
3
2
1 3
3
3 3
π
π = a
.a .a
Tính: SO =
2 3
3
2
=
a
a
(vì SO là đường cao của tam giac SAB đều cạnh 2a)
Ví dụ 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Hướng dẫn giải:
Tài liệu bài giảng:
MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN
Thầy Đặng Việt Hùng
2a
A
B
S
3
4
A
B
O
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên
A
∧
=
B
∧
= 45
0
* S
xq
= πRl = π.OA.SA = πa
2
2
Tính: SA = a
2
; OA = a (
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= πa
2
2
+ πa
2
=
(
)
1 2
+
π
a2
b) V =
2
1
3
π
R h
=
2
1
3
π
.OA .SO
=
3
2
1
3 3
π
π =
a
.a .a
Ví dụ 4:
M
ộ
t hình nón có
đườ
ng sinh b
ằ
ng l và thi
ế
t di
ệ
n qua tr
ụ
c là tam giác vuông.
a)
Tính di
ệ
n tích xung quanh và di
ệ
n tích toàn ph
ầ
n c
ủ
a hình nón
b)
Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i nón
Hướng dẫn giải:
HD: a) * Thi
ế
t di
ệ
n qua tr
ụ
c là tam giác SAB vuông cân t
ạ
i S nên
A
∧
=
B
∧
= 45
0
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.
2
l
.l =
2
2
l
π
Tính: OA =
2
l
(
∨
∆
SOA t
ạ
i O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
2
l
π
+
2
2
l
π
=
2
1 1
2
2
l
+ π
b) V =
2
1
3
π
R h
=
2
1
3
π
.OA .SO
=
2 3
1
3 2
2 6 2
π
π =
l l l
. .
Tính: SO =
2
l
(
∨
∆
SOA tại O)
Ví dụ 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 120
0
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Hướng dẫn giải:
45
S
B
A
l
45
S
B
A
O
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên
0
30
= =A B
hay
ASO
=
BSO
= 60
0
* S
xq
= πRl = π.OA.SA = π.
3
a
.2a =
2
2 3
πa
Tính: OA =
3
a
; SA = 2a (
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
2 3
πa
+ 3
π
a
2
=
(
)
2
2 3 3
+ π
a
b) V =
2
1
3
π
R h
=
2
1
3
π
.OA .SO
=
2 3
13
3
π = π
. a .a a
Ví dụ 6:
M
ộ
t hình nón có
độ
dài
đườ
ng sinh b
ằ
ng l và góc gi
ữ
a
đườ
ng sinh và m
ặ
t
đ
áy b
ằ
ng
α
.
a)
Tính di
ệ
n tích xung quanh và di
ệ
n tích toàn ph
ầ
n c
ủ
a hình nón
b)
Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i nón
Hướng dẫn giải:
a) * Góc gi
ữ
a
đườ
ng sinh và m
ặ
t
đ
áy là
A
∧
=
B
∧
=
α
* Sxq =
π
R
l
=
π
.OA.SA =
π
.
l
cos
α
.l =
2
ℓ
cos
Tính: OA = lcos
α
(
∨
∆
SOA t
ạ
i O)
* Stp = Sxq + Sđáy =
2
ℓ
cos
+
π
l
2cos2
α
=
(
)
2
1
cos l cos
+ α π α
b) V =
2
1
3
π
R h
=
2
1
3
π
.OA .SO
=
2
1
3
π α α
2
.l cos .lsin
=
3
3
π α α
2
l cos sin
Tính: SO = lsin
α
(
∨
∆
SOA t
ạ
i O)
Ví dụ 7:
M
ộ
t hình nón có
đườ
ng sinh b
ằ
ng 2a và di
ệ
n tích xung quanh c
ủ
a m
ặ
t nón b
ằ
ng 2
π
a
2
.
Tính th
ể
tích c
ủ
a hình nón
Hướng dẫn giải:
120
a
S
B
A
O
α
l
S
B
A
O
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
* S
xq
= πRl
⇔
πRl = 2πa
2
⇒
R =
2 2
2 2
2
π
= =
π
a a
a
l a
* Tính: SO =
3
a
(
∨
∆
SOA t
ạ
i O)
* V =
2
1
3
π
R h
=
2
1
3
π
.OA .SO
=
3
2
1 3
3
3 3
π
π = a
.a .a
Ví dụ 8:
M
ộ
t hình nón có góc
ở
đỉ
nh b
ằ
ng 60
0
và di
ệ
n tích
đ
áy b
ằ
ng 9
π
.
Tính th
ể
tích c
ủ
a hình nón
Hướng dẫn giải:
* Thi
ế
t di
ệ
n qua tr
ụ
c là tam giác SAB
đề
u
* S
đáy
=
π
R
2
⇔
9
π
=
π
R
2
⇔
R
2
= 9
⇔
R = 3
* SO =
3 2 3
3 3
2 2
= =
AB R
* V =
2
1
3
π
R h
=
2
1
3
π
.OA .SO
=
2
1
3 3 3 9 3
3
π = π
. .
Ví dụ 9:
Thi
ế
t di
ệ
n qua tr
ụ
c c
ủ
a m
ộ
t hình nón là m
ộ
t tam giác vuông có c
ạ
nh góc vuông b
ằ
ng a.
a)
Tính di
ệ
n tích xung quanh và di
ệ
n tích toàn ph
ầ
n c
ủ
a hình nón
b)
Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i nó
c)
M
ộ
t thi
ế
t di
ệ
n qua
đỉ
nh t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy m
ộ
t góc 60
0
. Tính di
ệ
n tích c
ủ
a thi
ế
t di
ệ
n này
Hướng dẫn giải:
a) S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
2
π
a
+
2
2
π
a
=
2
1 1
2
2
+ π
a
b) V =
2
1
3
π
R h
=
2
1
3
π
.OA .SO
=
2 3
1
3 2
2 6 2
π
π =
a a a
. .
Tính: SO =
2
a
(
∨
∆
SOA tại O)
c) Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 60
0
:
0
60
=SMO
2a
S
A
O
60
S
B
A
O
C
M
45
a
S
B
A
O
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian
Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
HD:
a) * Thiết diện qua trục là
∆
SAB
vuông cân tại Snên
A
∧
=
B
∧
=45
0
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
2
π
a
.a =
2
2
π
a
* S
SAC
=
1
2
SM.AC =
1
2
.
6
3
a
.
2 3
3
a
=
2
2
3
a
* Tính: SM =
6
3
a
(
∨
∆
SMO tại O).
* Tính: AC = 2AM =
2 3
3
a
Tính: OA =
2
a
(
∨
∆
SOA tại O)
* Tính: AM =
2 2
−
OA OM
=
3
3
a
* Tính: OM =
6
6
a
(
∨
∆
SMO tại O)
Ví dụ 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết
diện là 12 cm. Tính diện tích của thiết diện đó
Hướng dẫn giải:
a) * S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.25.SA = 25
π
1025
(cm
2
)
Tính: SA =
1025
(
∨
∆
SOA tại O)
S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 25
π
1025
+ 625
π
b) V =
2
1
3
π
R h
=
2
1
3
π
.OA .SO
=
2 2
1
25 20
3
π
. .
(cm
3
)
c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH
⊥
SI
⇒
OH = 12cm
* S
SAB
=
1
2
.AB.SI =
1
2
.40.25 = 500(cm
2
)
* Tính: SI =
OS.OI
OH
= 20
12
.OI
= 25(cm) (
∨
∆
SOI tại O)
* Tính:
2 2 2
1 1 1
= −
OI OH OS
⇒
OI = 15(cm) (
∨
∆
SOI t
ạ
i O)
* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)
* Tính: AI = 2 2
20
− =
OA OI (cm) (
∨
∆
AOI t
ạ
i I)
Ví dụ 11:
C
ắ
t hình nón
đỉ
nh S b
ở
i mp
đ
i qua tr
ụ
c ta
đượ
c m
ộ
t
∆
vuông cân có c
ạ
nh huy
ề
n b
ằ
ng
2
a
a)
Tính di
ệ
n tích xung quanh và di
ệ
n tích toàn ph
ầ
n c
ủ
a hình nón
b)
Tính th
ể
tích c
ủ
a kh
ố
i nón
l
h
O
I
H
B
A
S