http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 vuhoangbg@gmail.com
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI
HỌC VẬT LÝ
CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
1
I. KIẾN THỨC
* Con lắc đơn
+ Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giản, vật nặng kích thước không
đáng kể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật
nặng.
+ Khi dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)), con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình:
s = S
o
cos(ωt + ϕ) hoặc α = α
o
cos(ωt + ϕ); với α =
l
s
; α
o
=
l
S
o
+ Chu kỳ, tần số, tần số góc: T = 2π
g
l
; f =
π
2
1
l
g
; ω =
l
g
.
+ Lực kéo về khi biên độ góc nhỏ: F = -
s
l
mg
=-mgα
+ Xác định gia tốc rơi tự do nhờ con lắc đơn : g =
2
2
4
T
l
π
.
+ Chu kì dao động của con lắc đơn phụ thuộc độ cao, độ sâu, vĩ độ địa lí và nhiệt độ môi
trường.
* Năng lượng của con lắc đơn
+ Động năng : W
đ
=
2
1
mv
2
+ Thế năng: W
t
= mgl(1 - cosα) =
2
1
mglα
2
(α ≤ 1rad, α (rad)).
+ Cơ năng: W = W
t
+ W
đ
= mgl(1 - cosα
0
) =
2
1
mglα
2
0
.
Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát.
1. Tần số góc:
g
l
ω
=
; chu kỳ:
22
l
T
ππ
ω
= =
; tần số:
1 1
2 2
g
f
T l
ω
π π
= = =
Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và α
0
<< 1 rad hay S
0
<< l
2. Lực kéo về (lực hồi phục)
2
sin
s
F mg mg mg m s
l
α α ω
= − = − = − = −
Lưu ý: + Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ thuận với khối lượng.
+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng.
3. Phương trình dao động:
s = S
0
cos(ωt + ϕ) hoặc α = α
0
cos(ωt + ϕ) với s = αl, S
0
= α
0
l
⇒ v = s’ = -ωS
0
sin(ωt + ϕ) = -ωlα
0
sin(ωt + ϕ)
⇒ a = v’ = -ω
2
S
0
cos(ωt + ϕ) = -ω
2
lα
0
cos(ωt + ϕ) = -ω
2
s = -ω
2
αl
Lưu ý: S
0
đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x
4. Hệ thức độc lập:
* a = -ω
2
s = -ω
2
αl
*
2 2 2
0
( )
v
S s
ω
= +
Tìm chiều dài con lắc:
2 2
max
2
v v
g
α
−
=ℓ
CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 vuhoangbg@gmail.com
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI
HỌC VẬT LÝ
CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
2
*
2
2 2
0
v
gl
α α
= +
5. Cơ năng:
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
W
2 2 2 2
ω α ω α
= = = =
mg
m S S mgl m l
l
Lưu ý: Cơ năng của con lắc đơn tỉ lệ thuận với khối lượng vật còn cơ năng của con lắc lò
xo không phụ thuộc vào khối lượng của vật
6. Tại cùng một nơi con lắc đơn chiều dài l
1
có chu kỳ T
1
, con lắc đơn chiều dài l
2
có chu kỳ
T
2
, con lắc đơn chiều dài l
1
+ l
2
có chu kỳ T
2
,con lắc đơn chiều dài l
1
- l
2
(l
1
>l
2
) có chu kỳ T
4
.
Thì ta có:
2 2 2
312
T T T
= +
và
2 2 2
412
T T T
= −
7. Khi con lắc đơn dao động với α
0
bất kỳ. Cơ năng, vận tốc và lực căng của sợi dây con lắc
đơn
W = mgl(1-cosα
0
); v
2
= 2gl(cosα – cosα
0
) và T
C
= mg(3cosα – 2cosα
0
)
Lưu ý: - Các công thức này áp dụng đúng cho cả khi α
0
có giá trị lớn
- Khi con lắc đơn dao động điều hoà (α
0
<< 1rad) thì:
2 2 2 2
0 0
1
W= ; ( )
2
mgl v gl
α α α
= −
(đã có ở trên)
2 2
0
(1 1,5 )
C
T mg
α α
= − +
2
0
max 0 min
(1 ); (1 )
2
T mg T mg
α
α
= + = −
II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP:
BÀI TOÁN 1: TÌM CÁC ĐẠI LƯỢNG THƯỜNG GẶP VỀ CON LẮC ĐƠN
PHƯƠNG PHÁP:
Để tìm một số đại lượng trong dao động của con lắc đơn ta viết biểu thức liên quan đến
các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm.
1) Năng lượng con lắc đơn:
Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng O
+ Động năng: Wđ=
2
1
mv
2
+ Thế năng hấp dẫn ở ly độ
α
:
t
W = mg (1- cos
α)
ℓ
+ Cơ năng: W= W
t
+W
đ
=
2 2
1
m A
2
ω
Khi góc nhỏ:
2
t
1
W mg (1 cos ) mg
2
α α
= − =ℓ ℓ
W=
2
0
1mg
2
α
ℓ
2) Tìm vận tốc của vật khi đi qua ly độ
α
(đi qua A):
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có:
Cơ năng tại biên = cơ năng tại vị trí ta xét
W
A
=W
N
W
tA
+W
đA
=W
tN
+W
đN
α
α
O
l
T
P
F
’
F
t
F
s
N
O
A
0
α
α
P
τ
http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 vuhoangbg@gmail.com
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI
HỌC VẬT LÝ
CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
3
⇔
mg (1 cos )
α
−
ℓ
+
2
A
1
mv
2
=
0
mg (1 cos )
α
−
ℓ
+0
⇒
2
A 0
v 2g (cos cos )
α α
= −
ℓ
⇒
A 0
v = ± 2g (cos
α-cosα)
ℓ
Chú ý:+ Khi đi qua vị trí cân bằng(VTCB)
0
α
=
+ Khi ở vị trí biên
0
α α
=
Lực căng dây(phản lực của dây treo) treo khi đi qua ly độ
α
(đi qua A)
Theo Định luật II Newtơn:
P
+
τ
=m
a
chiếu lên
τ
ta được
2
A
ht
v
mgcos ma m
τ α
− = =
ℓ
⇔
2
A0
v
m mgcos m2g(cos cos ) mgcos
τ α α α α
= + = − +
ℓ
⇒
0
τ= mg(3cosα- 2cosα)
Khi góc nhỏ
0
10
α
≤
2
sin
cos 1
2
α α
α
α
≈
≈ −
khi đó
2 2 2
A 0
2 2
0
v g ( )
1
mg(1 2 3 )
2
α α
τ α α
= −
= − −
ℓ
Chú ý: Lực dụng lên điểm treo (là lực căng T)
VÍ DỤ MINH HỌA
VD1. Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s
2
, con lắc đơn dao động điều hoà với chu kì
7
2
π
s.
Tính chiều dài, tần số và tần số góc của dao động của con lắc.
HD:
Ta có: T = 2π
g
l
l =
2
2
4
π
gT
= 0,2 m; f =
T
1
= 1,1 Hz; ω =
T
π
2
= 7 rad/s.
VD2. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là 100cm, kéo con lắc lệch khỏi VTCB một góc
α0 với cosα0 = 0,892 rồi truyền cho nó vận tốc v = 30cm/s. Lấy g = 10m/s2.
a. Tính vmax
b. Vật có khối lượng m = 100g. Hãy tính lực căng dây khi dây treo hợp với phương thẳng
đứng góc α với cosα = 0,9
HD:
a. Áp d
ụ
ng công th
ứ
c tính t
ố
c
độ
c
ủ
a con l
ắ
c
đơ
n ta có:
b. Theo công th
ứ
c tính l
ự
c c
ă
ng dây treo ta có:
VD3. Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α
0
nhỏ (α
0
< 10
0
). Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Xác định vị trí (li độ góc α) mà ở đó thế
năng bằng động năng khi:
a) Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương về vị trí cân bằng.
b) Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương về phía vị trí biên.
http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 vuhoangbg@gmail.com
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI
HỌC VẬT LÝ
CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
4
HD: Khi W
đ
= W
t
thì W = 2W
t
2
1
mlα
2
0
= 2
2
1
mlα
2
α = ±
2
0
α
.
a) Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương từ vị trí biên α = - α
0
đến vị trí cân bằng
α = 0: α = -
2
0
α
.
b) Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương từ vị trí cân bằng α = 0 đến vị trí biên α
= α
0
: α =
2
0
α
.
VD4. Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m = 100 g, treo vào đầu sợi dây dài
l = 50 cm, ở một nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s
2
. Bỏ qua mọi ma sát. Con lắc dao
động điều hòa với biên độ góc α
0
= 10
0
= 0,1745 rad. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân
bằng. Tính thế năng, động năng, vận tốc và sức căng của sợi dây tại:
a) Vị trí biên. b) Vị trí cân bằng.
HD
a) Tại vị trí biên: W
t
= W =
2
1
mgl
2
0
α
= 0,0076 J; W
đ
= 0; v = 0; T = mg(1 -
2
2
o
α
) = 0,985 N.
b) Tại vị trí cân bằng: W
t
= 0; W
đ
= W = 0,0076 J; v =
m
Wd
2
= 0,39 m/s; T = mg(1 + α
2
0
) =
1,03 N.
VẬN DỤNG: CÂU 1,11,12,13,14,15/ĐỀ 8
BÀI TOÁN 2 : CẮT, GHÉP CHIỀU DÀI CON LẮC ĐƠN
VÍ DỤ MINH HỌA
VD1. Ở cùng một nơi trên Trái Đất con lắc đơn có chiều dài l
1
dao động với chu kỳ T
1
= 2 s,
chiều dài l
2
dao động với chu kỳ T
2
= 1,5 s. Tính chu kỳ dao động của con lắc đơn có chiều
dài l
1
+ l
2
và con lắc đơn có chiều dài l
1
– l
2
.
HD: Ta có: T
2
+
= 4π
2
g
ll
21
+
= T
2
1
+ T
2
2
T
+
=
2
2
2
1
TT
+
= 2,5 s; T
-
=
2
2
2
1
TT
−
= 1,32 s.
Từ (1) và (2) T
1
=
2
22
−+
+
TT
= 2 s; T
2
=
2
22
−+
−
TT
= 1,8 s; l
1
=
2
2
1
4
π
gT
= 1 m; l
2
=
2
2
2
4
π
gT
= 0,81 m.
VD2. Khi con lắc đơn có chiều dài l
1
, l
2
(l
1
> l
2
) có chu kỳ dao động tương ứng là T
1
, T
2
tại
nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s
2
. Biết tại nơi đó, con lắc đơn có chiều dài l
1
+ l
2
có chu
kỳ dao động là 2,7; con lắc đơn có chiều dài l
1
- l
2
có chu kỳ dao động là 0,9 s. Tính T
1
, T
2
và
l
1
, l
2
.
HD:
Ta có: T
2
+
= 4π
2
g
ll 21
+
= T
2
1
+ T
2
2
(1); T
2
+
= 4π
2
g
ll 21
−
= T
2
1
- T
2
2
(2)
http://lophocthem.com Phone: 01689.996.187 vuhoangbg@gmail.com
BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC – ÔN, LUYỆN THI ĐẠI
HỌC VẬT LÝ
CHỦ ĐỀ 3: CON LẮC ĐƠN
5
VD3. Trong cùng một khoảng thời gian và ở cùng một nơi trên Trái Đất một con lắc đơn thực
hiện được 60 dao động. Tăng chiều dài của nó thêm 44 cm thì trong khoảng thời gian đó, con
lắc thực hiện được 50 dao động. Tính chiều dài và chu kỳ dao động ban đầu của con lắc.
HD:
Ta có: ∆t = 60.2π
g
l
= 50.2π
g
l
44,0+
36l = 25(l + 0,44) l = 1 m; T = 2π
g
l
= 2 s.
VD4
Hai con lắc đơn chiều dài l1, l2 (l1>l2) và có chu kì dao động tương ứng là T1; T2,
tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2. Biết rằng, cũng tại nơi đó, con lắc có chiều dài
l1 + l2 , chu kì dao động 1,8s và con lắc đơn có chiều dài l1 - l2 có chu kì dao động 0,9 (s).
Tính T1, T2, l1, l2.
HD:
+ Con lắc chiều dài l1 có chu kì T1=
g
l
.2
1
π
→
l1=
g.
4
T
2
2
1
π
(1)
+ Co lắc chiều dài l2có chu kì T2=
g
l
.2
2
π
→
l1=
g.
4
T
2
2
2
π
(2)
+ Con lắc chiều dài l1 + l2 có chu kì T3= 2
Π
.
g
ll
21
+
→
l1 + l2 =
81
,0
4
10.)8,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π
(m) = 81 cm (3)
+ Con lắc có chiều dài l1 - l2có chu kì T' = 2
Π
.
g
ll 21 −
→
l1 - l2 =
2025
,0
4
10.)9,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π
(m) = 20,25 cm (4)
Từ (3) (4) l1= 0,51 (m) = 51cm
l2 = 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T1= 2
Π
42,1
10
51,0 =
(s)
T2= 2
Π
1,1
10
3,0 =
(s)