Phn th nht
Lý thuyt xác sut
XS
TK
2008
2
Xác sut
−
−−
−
Thng kê
Phm Đc Thông
Chương
1
Xác sut
Trong cuc sng, trong nhiu trưng hp, ngưi ta không th ñoán chc
rng mt s kin nào ñó có xy ra hay không, mc dù ñã nm ñưc nhng thông
tin v s kin ñó. Đ gii quyt nhng tình hung không chc chn ñó, ngưi ta
ñã nghiên cu và ñưa vào s dng lý thuyt xác sut
1. PHÉP TH, KHÔNG GIAN MU VÀ BIN C
Lý thuyt xác sut, hin nay, là mt lý thuyt toán hc ñưc xây dng cht
ch trên mt h tiên ñ. Tuy nhiên, ñ xây dng ñưc mt h tiên ñ cht ch v
mt toán hc cho lý thuyt xác sut, ngưi ta ñã da vào các khái nim cơ bn
mang tính cht kinh nghim, trc quan.
1.1. Phép th, không gian mu. B môn Xác sut nghiên cu v các loi
thí nghim có ñc trưng là: Trưc khi thc hin, chúng ta không ñoán trưc ñưc
kt qu nào s xy ra, nhưng chúng ta có th mô t ñưc tp hp tt c các kt qu
có th xy ra. Loi thí nghim như vy có th ñưc lp li nhiu ln trong cùng
mt ñiu kin; nó ñưc gi là mt Thí nghim ngu nhiên hay mt Phép th.
Khi mt phép th ñưc thc hiên, mt và ch mt kt qu trong trong tp
hp nói trên xut hin, và ñưc gi là mt kt qu sơ cp. Tp hp tt c các kt
qu sơ cp ñưc gi là Không gian các kt qu sơ cp. Đ tin li, chúng ta
xem nhng kt qu sơ cp như các ñim và gi là các Đim mu (hay ñim cho
gn). Như vy, mi kt qu sơ cp ñưc biu din b i mt và ch mt ñim m!u;
không gian các kt qu sơ cp ñưc biu din b i mt tp hp mà các phn t là
các ñim m!u; do ñó còn ñưc gi là Không gian mu và thưng ñưc ký hiu
là
.
Không gian m!u
ñưc gi là ri rc nu nó là mt tp hp không hơn
ñm ñưc (hu hn hoc ñm ñưc).
Thí d: Gieo mt con xúc xc và quan sát s xut hin mt trên c"a con
xúc xc. Khi ñó, không gian m!u có 6 ñim m!u:
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Chưng 1
XÁC SUT
3
Quan sát xem mt x th" bn mt viên ñn vào bia có trúng bia hay không.
Có hai kt qu sơ cp là: “trúng bia”, ký hiu là T, và “không trúng bia”, ký hiu
là B. Không gian m!u là:
= {T, B}.
1.2. Bin c. Mt s kin A ñưc gi là liên kt vi mt phép th (hay vi
không gian m!u
tương ng) nu, khi phép th ñưc thc hin, căn c vào kt
qu sơ cp m xut hin, ngưi ta bit ñưc A có xy ra hay không. Như vy,
ngưi ta có th ñ$ng nht A vi mt tp con c"a không gian m!u
, vi ñc
ñim: "A xy ra nu và ch nu m ∈
∈∈
∈ A", và gi A là mt bin c trong
. Bin
c không th xy ra, ñ$ng nht vi tp hp ∅, còn ñưc gi là bin c rng.
Bin c chc chn xy ra, ñ$ng nht vi c không gian m!u
, còn ñưc gi là
bin c chc chn.
Ngưi ta nói rng mt bin c A kéo theo mt bin c B nu khi A xy ra
thì nht ñ%nh B xy ra, và ñưc vit là A ⊂
⊂⊂
⊂ B (tp con). Bin c {m} cha mt
ñim m!u m ∈
duy nht ñưc gi là mt bin c sơ cp.
Có nhng bin c ñưc xây dng t& các bin c cho trưc.
1.3. Đnh nghĩa. Gi s A và B là hai bin c trong không gian m!u
cho trưc.
(i) Bin c "A không xy ra" ñưc gi là bin c ñi c"a bin c A, và
ñưc ñ$ng nht vi
A
, phn bù c"a
A
trong
.
(ii) Bin c "
A
và
B
cùng xy ra" ñưc ñ$ng nht vi tp
A
∩
∩∩
∩
B
, và ñưc
gi là Bin c giao ca
A
và
B
.
A
∩
B
còn ñưc ký hiu là
AB
.
Nu
AB
= ∅, i.e.
A
và
B
không th xy ra ñ$ng thi, ngưi ta nói rng
A
và
B
xung khc.
Tương t, chúng ta có th ñ%nh nghĩa giao c"a mt h các bin c
(
A
i
)
i∈
I
, ký hiu:
i
i I
A
∈
∩
(iii) Bin c " có ít nht mt trong hai bin c
A
hoc
B
xy ra" ñưc
ñ$ng nht vi tp
A
∪
∪∪
∪
B
và ñưc gi là Bin c hp ca
A
và
B
.
Trong trưng hp
A
và
B
xung khc,
A
∪
B
ñưc vit là
A
+
B
.
Tương t, chúng ta có th ñ%nh nghĩa hp c"a mt h các bin c
(
A
i
)
i∈
I
; ký hiu:
i
i I
A
∈
∪
hoc (
i
i I
A
∈
∑
nu các
A
i
xung khc t&ng ñôi )
Thut ng vit tt: i.e. (id est): nghĩa là; e.g. (exempli gratia): thí d
(iv) Bin c "
A
xy ra nhưng
B
không xy ra" ñưc ñ$ng nht vi tp
hp
A
−
−−
−
B
, và ñưc gi là Bin c hiu ca
A
vi
B
. Rõ ràng,
− =
A B A B
.
4
Xác sut
−
−−
−
Thng kê
Phm Đc Thông
1.4. Thí d..
1.4.1. Phép th:
Gieo hai con xúc xc khác màu và quan sát các s xut
hin mt trên c"a hai con xúc xc.
Không gian m!u g$m 36 cp th t (a,b), vi a và b thuc tp hp {1, 2, 3,
4, 5, 6}:
= {(1,1); (1,2); …; (1,6); (2,1); (2,2); …; (6,1); …; (6,6)}.
Gi A là bin c “xut hin hai s có tng bng 8 ”. T& nay, ñ cho tin,
chúng ta có th vit bin c như sau:
A: “xut hin hai s có t(ng bng 8”;
tương t, ñt
B: “xut hin hai s bng nhau”
và C: “xut hin hai s ch)n”;
chúng ta có:
A = {(2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2)};
B = {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)}
Khi ñó,
AB: “xut hin hai s bng nhau và có t(ng bng 8”;
AB = {(4,4)}.
A − B: “xut hin hai s khác nhau và có t(ng bng 8”;
A − B = {(2,6); (3,5); (5,3); (6,2)};
Bn ñc hãy xác ñ%nh các ñim m!u c"a C; mô t và xác ñ%nh các ñim m!u
c"a các bin c: B − A, AC, BC và
.
1.4.2. Phép th: Gieo 3 ñ$ng tin khác màu và quan sát dãy mt sp và
mt nga xut hin. Ký hiu S và N ln lưt ch mt sp và mt nga xut hin,
không gian m!u
g$m 8 phn t, biu din b i:
{SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}
Xét các bin c:
A: “ xut hin ít nht hai mt sp”
và B: “xut hin 3 mt ging nhau”,
chúng ta có:
A = {SSS, SSN, SNS, NSS}
và B = {SSS, NNN}.
Khi ñó, AB = {SSS}.
Bin c “xut hin 4 mt sp” là bin c ∅.
Chưng 1
XÁC SUT
5
1.4.3. Phép th: Gieo mt con xúc xc cho ñn khi mt 6 xut hin thì
d&ng và ñm s ln gieo con xúc xc. Không gian m!u là
= *. (tp hp ñm
ñưc).
1.4.4. Phép th: Quan sát thi gian sng τ c"a mt linh kin ñin t.
Không gian m!u c"a phép th là
=
+
Kt qu sơ cp " τ = to" có nghĩa là linh kin làm vic ñn ñúng thi ñim
to thì b% h*ng. Bin c " τ ≥ to" biu th% thi gian làm vic c"a sn ph+m không
nh* hơn to.
Trong trưng hp này, không gian m!u là mt tp hp không ñm ñưc.
1.5. Chú ý. Nu không gian m!u
là mt tp hp không hơn ñm ñưc
(gi là không gian mu ri rc ) thì mi tp con c"a
ñu là mt bin c.
Nhưng nu
là mt tp hp không ñm ñưc thì có th có mt s tp con c"a
không phi là các bin c.
T(ng quát, trong lý thuyt xác sut, mt không gian m!u
luôn ñi ñôi vi
mt h các bin c, g$m mt lp các tp con c"a
,
ñưc gi là mt σ
σσ
σ −
−−
− trưng
các tp con c"a
. Lp này tho mãn mt s tính cht, nhm bo ñm ∅ và
là
các bin c, và nó ñóng kín ñi vi mi phép toán hu hn hoc ñm ñưc v tp
hp. Lp này ñưc xác ñ%nh b i mt h tiên ñ. Tuy nhiên, vì giáo trình này
không ñi sâu vào lĩnh vc thun tuý toán hc c"a lý thuyt xác sut, nên chúng ta
s không ñ cp ñn h tiên ñ v xác sut.
2. KHÁI NI M XÁC SU!T
Nói chung, khái nim xác sut dùng ñ ch “ kh năng “ (hay cơ may) ñ
mt cái gì ñó xy ra. Khái nim xác sut bt ñu hình thành t& vic nghiên cu
các trò chơi may r"i, e.g. trò roulette và ñánh bài. Sau ñó, các nhà toán hc và
các nhà khoa hc ñã góp phn xây dng thành lý thuyt xác sut. Trong thc tin,
giáo trình này gii thiu vài phương pháp khác nhau ñ tip cn khái nim xác
sut.
Trưc ht, chúng ta xét trưng hp: Do nhng ñc ñim vt lý c"a mt
phép th, mi ñim c"a không gian m!u hu hn
tương ng có “ cùng kh
năng xy ra “; trong trưng hp ñó,
ñưc gi là mt Không gian hu hn
ñ"ng xác sut hay Không gian hu hn ñ#u .
2.1. Đnh nghĩa.
(theo phương pháp c$ ñin)
Gi s
A
là mt bin c có k ñim trong mt không gian m!u hu hn ñu
g$m n ñim. Ngưi ta gi s
k
n
là xác sut ca bin c A, ký hiu: P(
A
).
=
P( )
k
n
A
![Bài tập Đại số tuyến tính [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250930/dkieu2177@gmail.com/135x160/79831759288818.jpg)
