Lý thuyết xác suất thống kế (Phạm Đức Thông) - Chương 1: Xác suất

Chia sẻ: Nguyen Duy Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

195
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết xác suất thống kê là môn toán học, nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, để bắt đầu giúp các bạn nắm vững các kiến thức cơ bản mời các bạn tham khảo chương 1 xác suất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết xác suất thống kế (Phạm Đức Thông) - Chương 1: Xác suất

Ph n th nh t Lý thuy t xác su t XSTK 2008
2 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông Chương 1 Xác su t Trong cu c s ng, trong nhi u trư ng h p, ngư i ta không th oán ch c r ng m t s ki n nào ó có x y ra hay không, m c dù ã n m ư c nh ng thông tin v s ki n ó. gi i quy t nh ng tình hu ng không ch c ch n ó, ngư i ta ã nghiên c u và ưa vào s d ng lý thuy t xác su t 1. PHÉP TH , KHÔNG GIAN M U VÀ BI N C Lý thuy t xác su t, hi n nay, là m t lý thuy t toán h c ư c xây d ng ch t ch trên m t h tiên . Tuy nhiên, xây d ng ư c m t h tiên ch t ch v m t toán h c cho lý thuy t xác su t, ngư i ta ã d a vào các khái ni m cơ b n mang tính ch t kinh nghi m, tr c quan. 1.1. Phép th , không gian m u. B môn Xác su t nghiên c u v các lo i thí nghi m có c trưng là: Trư c khi th c hi n, chúng ta không oán trư c ư c k t qu nào s x y ra, nhưng chúng ta có th mô t ư c t p h p t t c các k t qu có th x y ra. Lo i thí nghi m như v y có th ư c l p l i nhi u l n trong cùng m t i u ki n; nó ư c g i là m t Thí nghi m ng u nhiên hay m t Phép th . Khi m t phép th ư c th c hiên, m t và ch m t k t qu trong trong t p h p nói trên xu t hi n, và ư c g i là m t k t qu sơ c p. T p h p t t c các k t qu sơ c p ư c g i là Không gian các k t qu sơ c p. ti n l i, chúng ta xem nh ng k t qu sơ c p như các i m và g i là các i m m u (hay i m cho g n). Như v y, m i k t qu sơ c p ư c bi u di n b i m t và ch m t i m m u; không gian các k t qu sơ c p ư c bi u di n b i m t t p h p mà các ph n t là các i m m u; do ó còn ư c g i là Không gian m u và thư ng ư c ký hi u là M. Không gian m u M ư c g i là r i r c n u nó là m t t p h p không hơn m ư c (h u h n ho c m ư c). Thí d : Gieo m t con xúc x c và quan sát s xu t hi n m t trên c a con xúc x c. Khi ó, không gian m u có 6 i m m u: M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Chng 1 XÁC SU T 3 Quan sát xem m t x th b n m t viên n vào bia có trúng bia hay không. Có hai k t qu sơ c p là: “trúng bia”, ký hi u là T, và “không trúng bia”, ký hi u là B. Không gian m u là: M = {T, B}. 1.2. Bi n c . M t s ki n A ư c g i là liên k t v i m t phép th (hay v i không gian m u M tương ng) n u, khi phép th ư c th c hi n, căn c vào k t qu sơ c p m xu t hi n, ngư i ta bi t ư c A có x y ra hay không. Như v y, ngư i ta có th ng nh t A v i m t t p con c a không gian m u M, v i c i m: "A x y ra n u và ch n u m ∈ A", và g i A là m t bi n c trong M. Bi n c không th x y ra, ng nh t v i t p h p ∅, còn ư c g i là bi n c r ng. Bi n c ch c ch n x y ra, ng nh t v i c không gian m u M, còn ư c g i là bi n c ch c ch n. Ngư i ta nói r ng m t bi n c A kéo theo m t bi n c B n u khi A x y ra thì nh t nh B x y ra, và ư c vi t là A ⊂ B (t p con). Bi n c {m} ch a m t i m m u m ∈ M duy nh t ư c g i là m t bi n c sơ c p. Có nh ng bi n c ư c xây d ng t các bi n c cho trư c. 1.3. nh nghĩa. Gi s A và B là hai bi n c trong không gian m u M cho trư c. (i) Bi n c "A không x y ra" ư c g i là bi n c i c a bi n c A, và ư c ng nh t v i A , ph n bù c a A trong M. (ii) Bi n c "A và B cùng x y ra" ư c ng nh t v i t p A ∩ B, và ư c g i là Bi n c giao c a A và B. A ∩ B còn ư c ký hi u là AB. N u AB = ∅, i.e. A và B không th x y ra ng th i, ngư i ta nói r ng A và B xung kh c. Tương t , chúng ta có th nh nghĩa giao c a m t h các bi n c (Ai)i∈I , ký hi u: ∩ Ai i∈ I (iii) Bi n c " có ít nh t m t trong hai bi n c A ho c B x y ra" ư c ng nh t v i t p A ∪ B và ư c g i là Bi n c h p c a A và B. Trong trư ng h p A và B xung kh c, A ∪ B ư c vi t là A + B. Tương t , chúng ta có th nh nghĩa h p c a m t h các bi n c (Ai)i∈I ; ký hi u: ∪ Ai ho c ( ∑ Ai n u các Ai xung kh c t ng ôi ) i∈ I i∈ I Thu t ng vi t t t: i.e. (id est): nghĩa là; e.g. (exempli gratia): thí d (iv) Bi n c "A x y ra nhưng B không x y ra" ư c ng nh t v i t p h p A − B, và ư c g i là Bi n c hi u c a A v i B. Rõ ràng, A− B = AB .
4 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông 1.4. Thí d .. 1.4.1. Phép th : Gieo hai con xúc x c khác màu và quan sát các s xu t hi n m t trên c a hai con xúc x c. Không gian m u g m 36 c p th t (a,b), v i a và b thu c t p h p {1, 2, 3, 4, 5, 6}: M = {(1,1); (1,2); …; (1,6); (2,1); (2,2); …; (6,1); …; (6,6)}. G i A là bi n c “xu t hi n hai s có t ng b ng 8 ”. T nay, cho ti n, chúng ta có th vi t bi n c như sau: A: “xu t hi n hai s có t ng b ng 8”; tương t , t B: “xu t hi n hai s b ng nhau” và C: “xu t hi n hai s ch n”; chúng ta có: A = {(2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2)}; B = {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)} Khi ó, AB: “xu t hi n hai s b ng nhau và có t ng b ng 8”; AB = {(4,4)}. A − B: “xu t hi n hai s khác nhau và có t ng b ng 8”; A − B = {(2,6); (3,5); (5,3); (6,2)}; B n c hãy xác nh các i m m u c a C; mô t và xác nh các i m m u c a các bi n c : B − A, AC, BC và A C . 1.4.2. Phép th : Gieo 3 ng ti n khác màu và quan sát dãy m t s p và m t ng a xu t hi n. Ký hi u S và N l n lư t ch m t s p và m t ng a xu t hi n, không gian m u M g m 8 ph n t , bi u di n b i: {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN} Xét các bi n c : A: “ xu t hi n ít nh t hai m t s p” và B: “xu t hi n 3 m t gi ng nhau”, chúng ta có: A = {SSS, SSN, SNS, NSS} và B = {SSS, NNN}. Khi ó, AB = {SSS}. Bi n c “xu t hi n 4 m t s p” là bi n c ∅.
Chng 1 XÁC SU T 5 1.4.3. Phép th : Gieo m t con xúc x c cho n khi m t 6 xu t hi n thì d ng và m s l n gieo con xúc x c. Không gian m u là M = *. (t p h p m ư c). 1.4.4. Phép th : Quan sát th i gian s ng τ c a m t linh ki n i n t . Không gian m u c a phép th là M = + K t qu sơ c p " τ = to" có nghĩa là linh ki n làm vi c n úng th i i m to thì b h ng. Bi n c " τ ≥ to" bi u th th i gian làm vi c c a s n ph m không nh hơn to. Trong trư ng h p này, không gian m u là m t t p h p không m ư c. 1.5. Chú ý. N u không gian m u M là m t t p h p không hơn m ư c (g i là không gian m u r i r c ) thì m i t p con c a M u là m t bi n c . Nhưng n u M là m t t p h p không m ư c thì có th có m t s t p con c a M không ph i là các bi n c . T ng quát, trong lý thuy t xác su t, m t không gian m u M luôn i ôi v i m t h các bi n c , g m m t l p các t p con c a M, ư c g i là m t σ − trư ng các t p con c a M. L p này tho mãn m t s tính ch t, nh m b o m ∅ và M là các bi n c , và nó óng kín i v i m i phép toán h u h n ho c m ư c v t p h p. L p này ư c xác nh b i m t h tiên . Tuy nhiên, vì giáo trình này không i sâu vào lĩnh v c thu n tuý toán h c c a lý thuy t xác su t, nên chúng ta s không c p n h tiên v xác su t. 2. KHÁI NI M XÁC SU T Nói chung, khái ni m xác su t dùng ch “ kh năng “ (hay cơ may) m t cái gì ó x y ra. Khái ni m xác su t b t u hình thành t vi c nghiên c u các trò chơi may r i, e.g. trò roulette và ánh bài. Sau ó, các nhà toán h c và các nhà khoa h c ã góp ph n xây d ng thành lý thuy t xác su t. Trong th c ti n, giáo trình này gi i thi u vài phương pháp khác nhau ti p c n khái ni m xác su t. Trư c h t, chúng ta xét trư ng h p: Do nh ng c i m v t lý c a m t phép th , m i i m c a không gian m u h u h n M tương ng có “ cùng kh năng x y ra “; trong trư ng h p ó, M ư c g i là m t Không gian h u h n ng xác su t hay Không gian h u h n u . 2.1. nh nghĩa. (theo phương pháp c i n) Gi s A là m t bi n c có k i m trong m t không gian m u h u h n u g m n i m. Ngư i ta g i s k là xác su t c a bi n c A, ký hi u: P(A). n P( A) = k n
6 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông Theo cách hi u c i n, nh ng i m c a không gian m u ư c g i là các “trư ng h p” và nh ng i m c a A là các “ trư ng h p thu n l i cho A ”, thì Soá caùc tröôøng hôïp thuaän lôïi cho A P(A) = Toång soá caùc tröôøng hôïp cuûa pheùp thöû Chúng ta s dùng c m t “ch n ng u nhiên“ hay “vô tư” trong các phát bi u ch trư ng h p này. Thí d . Gi s m t t p h p g m N ph n t , trong ó có T ph n t " ư c ánh d u". T t p h p trên, ch n ng u nhiên ra n ph n t không hoàn l i, g i là m t m u kích thư c n (hay c n). Tính xác su t c a bi n c : Ak : “có k ph n t ư c ánh d u trong m u”, v i k là m t s t nhiên không l n hơn min(T, n). Ch n không hoàn l i n ph n t t t p g m N ph n t : Có C n cách. N tính P(Ak) , chúng ta lưu ý r ng không gian m u h u h n và u. k n−k S trư ng h p thu n l i cho Ak là CT .C N − T . V y, v i m i k ∈ {max[0,n - (N - T)],…, min (T, n)}, n−k CT . C N − T k P( Ak ) = n , (1) CN Xác su t cho b i công th c (1) ư c g i là Phân ph i xác su t siêu hình h c (hay còn g i là Phân ph i xác su t siêu b i). • nh nghĩa xác su t theo phương pháp c i n d a trên i u ki n “ lý tư ng ” c a phép th nên cũng có nh ng h n ch . N u s k t qu sơ c p c a phép th là vô h n ho c h u h n nhưng không ng kh năng thì nh nghĩa c i n c a xác su t không còn dùng ư c. Ch ng h n, khi m t x th b n m t phát súng vào bia và quan sát xem n có trúng bia không. Có hai k t qu sơ c p, nhưng chúng ta không th nói r ng xác su t cho m i trư ng h p là 0,5. Như v y, làm th nào xác nh xác su t b n trúng bia c a x th này? Ngay c vi c gieo m t ng ti n, d a vào âu kh ng nh r ng kh năng xu t hi n c a hai “m t s p” và “m t ng a” là như nhau?. Suy nghĩ v v n này, các nhà toán h c ã khám phá ra i u thú v sau: Gi s khi th c hi n m t phép th , ngư i ta quan tâm n s xu t hi n m t bi n c A. Bây gi n u chúng ta l p l i phép th trên N l n trong các i u ki n như nhau, và th y A xu t hi n nA l n thì nA ư c g i là T n s xu t hi n c a nA bi n c A, và t s ư c g i là T n su t (hay T n s tương i ) xu t hi n N c a bi n c A trong m t dãy N phép th .
Chng 1 XÁC SU T 7 B ng th c nghi m, ngư i ta nh n th y r ng: Qua nhi u dãy phép th , có nhi u dãy t n su t khác nhau xu t hi n. Quan sát dãy t n su t này, ngư i ta nh n th y có m t c i m, mang tính qui lu t. ó là s n nh khi s phép th N khá l n. Chúng có khuynh hư ng ti n n m t giá tr nào ó khi N tăng lên vô h n. Các s li u sau ây minh h a i u trên: Các k t qu gieo ng ti n c a Buffon và Pearson. Ngư i thí nghi m S l n gieo S l ns p T n su t Buffon 4040 2048 0,5080 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 T s n nh c a t n su t, ngư i ta ưa ra: 2.2. nh nghĩa. (theo t n su t) Gi s m t bi n c A xu t hi n nA l n trong m t dãy phép th ư cl pl i nA N l n. Khi ó, xác su t A x y ra, ký hi u P(A), là gi i h n c a t s khi N s phép th tăng lên vô h n: nA P ( A) = lim N →∞ N nA Trong th c t , ngư i ta dùng ,v iN l n, ch P(A). N Thí d . k t lu n r ng m t x th có xác su t b n trúng bia là 80%, ngư i ta ã ghi t n su t b n trúng bia c a x th này trong m t lo t b n v i khá nhi u viên n. Cho x th này th c hi n nhi u lo t b n trong cùng m t i u ki n như trên, ngư i ta có m t dãy t n su t Giá tr trung bình c a dãy t n su t này là 0,8. nh nghĩa xác su t b ng t n su t có m t s như c i m như: Ch áp d ng ư c cho các phép th ng u nhiên có th l p l i r t nhi u l n trong cùng m t i u ki n. i u này không d th c hi n trong th c t . Ngoài ra, trong nhi u trư ng h p, chúng ta cũng không th ánh giá s phép th “ l n” t o ra xác su t theo t n su t. Hai nh nghĩa trên c a xác su t cho chúng ta giá tr xác su t khách quan. Khi các i u ki n khách quan không cho phép dùng chúng thì ngư i ta d a trên tính ch quan xác nh xác su t. 2.3. nh nghĩa. (theo ch quan) Xác su t ch quan c a m t bi n c là m c tin tư ng c a m t cá nhân vào kh năng x y ra c a bi n c ó. Xác su t ch quan c a m t bi n c ư c dùng khi bi n c ó ch có m t cơ h i x y ra, và nó có th x y ra ho c không x y ra m t th i i m khác.
8 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông Thí d . M t nhà u tư xác nh r ng s mua m t s lô t n u có xác su t ít nh t 0,90 r ng giá t s tăng 50% hay nhi u hơn trong vòng 4 năm t i. D a trên s nghiên c u các d án phát tri n kinh t và v trí a lý c a vùng, ông ta cho r ng xác su t nói trên kho ng 0,75. Do ó, ông ta quy t d nh không u tư vào các lô t nói trên. ( V n v i d ki n trên, m t nhà u tư khác, có th ưa ra xác su t khác 0,75, theo ch quan c a ông ta). Sau ây, chúng ta tr u tư ng hoá m t chút khái ni m xác su t cho không gian m u r i r c. 2.4. nh nghĩa. Gi s M = {m1, m2, . . .} là m t không gian m u r i r c. Ngư i ta gán cho m i i m mi ∈ M m t s th c ký hi u P({mi}), g i là xác su t c a bi n c {mi}. ó là các m t s không âm và sao cho ∞ P({m1}) + P({m2}) + . . .= ∑ P ({m i}) = 1 (3) i =1 Xác su t P(A) c a m t bi n c A b t kỳ trong M ư c nh nghĩa là t ng các xác su t c a t t c các {mi} v i mi ∈ A. ti n vi c ký hi u, chúng ta vi t P(mi) thay cho P({mi}). Rõ ràng nh nghĩa 2.1. là m t trư ng h p ăc bi t c a nh nghĩa 2.4.; ó là trư ng h p M = {m1, m2, . . ., mn} là h u h n và m i i m trong M có cùng m t xác su t (b ng 1/n). • Cho không gian m u M, trên ó có xác nh hàm xác su t P: A P(A) cho m i bi n c A trong M. C p (M, P) ư c g i là m t Không gian xác su t. Thông thư ng, n u không có s l m l n, ngư i ta cũng vi t M là m t không gian xác su t. 3. TÍNH CH T C A XÁC SU T Gi s M là m t không gian xác su t cho trư c; t (3), chúng ta có ngay: P(M) = 1 và N u A1, A2, … An là các bi n c t ng ôi xung kh c trong M thì  n  n P  ∑ Ak  = ∑ P ( Ak )  k =1  k =1   Ngoài ra, chúng ta cũng có: 3.1. nh lý. V i m i bi n c A và B trong không gian xác su t M, (i) P(∅) = 0; (ii) P( A) = 1 − P( A) ;
Chng 1 XÁC SU T 9 (iii) P( A − B ) = P( A) − P( AB ) ; (iv) P( A ∪ B ) = P( A) + P( B ) − P( AB ) ; (v) N u A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B); (vi) P(A) ≤ 1. Ch ng minh. (i) Vì A = A + ∅ nên P(A) = P(A) + P(∅). Do ó, P(∅ ) = 0 (ii) Vì M = A + A nên 1 = P(M) = P( A ) + P(A). V y, P( A ) = 1 − P(A) (iii) Vì A = ( A − B ) + AB nên P ( A) = P ( A − B ) + P ( AB ) V y, P ( A − B ) = P ( A) − P ( AB ) (iv) Vì A ∪ B = A + ( B − A) nên P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( AB) (v) N u A ⊂ B thì B = A + ( AB ) . Do ó: P ( B ) = P ( A) + P( AB) ≥ P ( A) (vi) Do A ⊂ M và (v).■ B ng phương pháp qui n p toán h c, chúng ta ch ng minh ư c công th c m r ng c a công th c c ng xác su t: 3.2. H qu . Cho n bi n c A1, A2, ... , An (n > 1) trên cùng m t không gian xác su t; ký hi u: S1 = ∑ P( Ai ); S2 = ∑ P ( Ai A j ); S3 = ∑ P( Ai A j Ak );...; , i i, j i, j ,k trong ó, 1 ≤ i < j < k ≤ n và trong m i t ng, m i nhóm ch s ( i, j, k, ...) ch xu t hi n m t l n (Sr có Cr n s h ng). Khi ó: n P ( ∪ Ak ) = S1 − S2 + S3 − S4 + ... + ( −1) n −1 S n . (4) k =1 c bi t, v i 3 bi n c A, B và C, chúng ta có: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC) 3.3. Thí d . T m t l p có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ngư i ta ch n ng u nhiên 5 sinh viên l p Ban cán b l p (BCB). Tính xác su t
10 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông (i) BCB g m 3 n và 2 nam, (ii) BCB có ít nh t m t n , (iii) BCB có ít nh t hai nam và hai n . Gi i. t Ak : “BCB có k nam sinh viên” ( k ∈ {0,1,2,3,4,5} ), chúng ta có: k 5−k C12. C8 P ( Ak ) = C5 20 (i) BCB g m 3 n và 2 nam. Xác su t ph i tính: 2 3 C12. C 8 P( A2 ) = = 77 C5 323 20 (ii) t N: “BCB có ít nh t m t n ”, thì N = A5 . Do ó, P( N ) = P( A5 ) = 1 − P( A5 ) 5 0 C12. C 8 =− = 1 − 33 = 613 C5 646 646 20 (iii) t H: “BCB có ít nh t hai nam và hai n ”, thì H = A 2 + A 3 Do ó, P(H) = P(A2) + P(A3) 3 2 = 77 + C 12. C 8 = 616 323 C5 969 20 4. XÁC SU T IÊU KI N - BI N C CL P Khi quan sát các hi n tư ng trong i s ng, chúng ta thư ng g p câu h i: Vi c x y ra m t bi n c H có nh hư ng gì n kh năng x y ra c a m t bi n c A hay không? Thí d ơn gi n nh t v m i quan h này là: “ Vi c x y ra bi n c H làm cho bi n c A nh t nh ph i x y ra hay ngư c l i, lo i tr kh năng kh năng x y ra bi n c A “. tr l i câu h i này, ngư i ta ưa vào lý thuy t xác su t khái ni m “ xác su t i u ki n và s c l p gi a các bi n c “. 4.1. nh nghĩa. Trong m t không gian xác su t M, cho bi n c H v i xác su t dương. V i m i bi n c A trong M, ngư i ta vi t:
Chng 1 XÁC SU T 11 P( A H ) P( A / H ) = (5) P( H ) và g i i lư ng ó là xác su t i u ki n c a bi n c A v i gi thi t H (ho c khi H ã x y ra). Tính xác su t có i u ki n c a nh ng bi n c khác nhau trên cùng m t gi thi t H ch ng khác gì ch n H làm không gian m u m i. Do ó các công th c v xác su t các ph n trên v n úng cho xác su t có i u ki n. Ch ng h n: * P (A / H) = 1 − P (A/ H) , * P ( A ∪ B / H ) = P ( A / H ) + P ( B / H ) − P ( AB / H ) . T công th c (5), chúng ta có 4.2. nh lý. V i m i bi n c A và B trong m t không gian xác su t, chúng ta có: P( AB ) = P( B ).P( A / B ) neáu P(B ) > 0; (6) P( AB ) = P( A).P( B / A) neáu P(A) > 0 Ngư i ta g i (6) là Công th c nhân xác su t. Công th c (6) có th ư c m r ng b ng phép qui n p như sau: 4.3. H qu . Trong m t không gian xác su t, cho các bi n c A1, A2, . . . , An (n ≥ 2) th a mãn i u ki n P(A1A2 … An - 1) > 0. Khi ó, P(A1A2... An) = P(A1). P(A2 /A1). P(A3 /A1A2) . . . P(An /A1A2 ... An 1). (7) V i hai bi n c A và B, thư ng thì P(A/B) không b ng P(A). Trư ng h p P(A / B) = P(A) , nghĩa là thông tin v s x y ra c a bi n c B không làm thay i xác su t c a bi n c A . Khi ó, ngư i ta nói bi n c A c l p v i bi n c B. V i công th c (6), i u ki n P(A/B) = P(A) có th vi t dư i d ng P(AB) = P(A).P(B). D ng này i x ng i v i A và B, nghĩa là n u A c l p v i B thì B cũng c l p v i A. 4.4. nh nghĩa. Hai bi n c A và B trong m t không gian xác su t ư c g i là cl p n u P(AB) = P(A).P(B) (8) Khái ni m c l p cũng ư c m r ng cho n (n > 2) bi n c . 4.5. nh nghĩa. Các bi n c A1, A2, ..., An ư c g i là c l p n u v i m i s nguyên m t 2 n n và v i m i nhóm bi n c Ak1 , Ak2 ,..., Akm ( 1 ≤ k1 < k2 < ...< km ≤ n), chúng ta có: P( Ak . Ak ... Ak ) = P( Ak ). P( Ak )... P( Ak ) . 1 2 m 1 2 m Thông thư ng, d a vào b n ch t c a phép th , chúng ta m c nhiên công nh n r ng các bi n c c l p mà không ph i ch ng minh.
12 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông 4.6. nh lý. Trong m t không gian xác su t, xét ba bi n c A, B và C. (i) N u A và B c l p thì m i nhóm 2 bi n c sau ây u cl p ( A và B), (A và B ) và ( A và B ) cũng c l p. (ii) N u A, B và C c l p thì m i nhóm 3 bi n c sau ây u c l p: ( A , B và C); (A, B và C); (A, B và C ); ( A , B và C); ( A , B và C ); ( A , B và C ) và ( A , B và C ) Ch ng minh. (i) P ( AB ) = P ( B ) − P ( AB ) = P ( B ) − P ( A).P ( B ) = (1 − P ( A)).P ( B ) = P( A)P( B ) V y, ( A và B) c l p. T k t qu trên, d dàng suy ra ( A và B ) và (A và B ) c l p. (ii) Dùng (i), ch ng minh ( A , B và C) c l p, chúng ta ch c n ch ng minh P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ). Tương t cho các nhóm 3 bi n c khác. (Dành cho b n c).■ 4.7. Thí d . 4.7.1. T m t h p ch a 8 viên bi và 5 viên bi tr ng ngư i ta l y ng u nhiên 2 l n, m i l n 1 viên bi, không hoàn l i. Tính xác su t l y ư c (a) 2 viên bi ; (b) hai viên bi khác màu; (c) viên bi th hai là bi tr ng. Gi i. V i i ∈ {1, 2}, ăt: Ti : “viên bi l y ra l n th i là bi tr ng”, Di : “viên bi l y ra l n th i là bi ”. (a) t A: “l y ư c 2 viên bi ”, chúng ta có: P(A) = P(D1D2) = P(D1).P(D2/D1) = 8 . 7 = 14 13 12 39 (b) t B: “l y ư c hai viên bi khác màu”, chúng ta có: P(B) = P(T1D2 + D1T2) = P(T1D2) + P(D1T2) = P(T1).P(D2/T1) + P(D1).P(T2/D1)
Chng 1 XÁC SU T 13 P(B) = 5 8 + 8 5 = 20 13 12 13 12 39 (c) T2 = T1T2 + D1T2, nên xác su t ph i tính là: P(T2) = P(T1T2) + P(D1T2) = P(T1).P(T2/T1) + P(D1).P(D2/T1) P(T2) = 5 4 + 8 5 = 5 13 12 13 12 13 4.7.2 Gi i l i Thí d 1.4.7.1, nhưng thay c m t “không hoàn l i” thành “có hoàn l i”. Gi i. V i gi thi t này, các c p bi n c (T1, T2); (T1, D2); (D1, T2) và (D1, D2) c l p. Do ó, (a) P(A) = P(D1D2) = P(D1).P(D2) = 8 . 8 = 64 13 13 169 Tương t cho các câu sau. B n c t gi i. 5. S PHÂN HO CH KHÔNG GIAN M U - CÔNG TH C BAYES Các bi n c H1, H2, . . ., Hn trong m t không gian m u M ư c g i là t o thành m t phân ho ch c a M n u: ( t I = {1,2, …, n} )  ∀( i, j ) ∈ I 2 , ( i ≠ j ⇒ H H = ∅ )  i j   n  ∪ Hi = M  i =1  Có tài li u g i chúng là m t Nhóm y các bi n c . V i bi n c A b t kỳ trong M: A = MA = (H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn)A = (H1A) + (H2A) + . . . + (HnA) V y, n P ( A) = ∑ P ( H i ). P ( A / H i ) (9) i =1 (9) ư c g i là công th c xác su t theo gi thi t. Các xác su t P(Hi) và P(A/ Hi) thư ng ư c bi t trư c khi th c hi n phép th và ư c g i là các xác su t ti n nghi m, còn các xác su t P ( H i / A ) , cho bi t kh năng tham gia c a Hi
14 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông vào vi c x y ra bi n c A, ư c g i là xác su t h u nghi m. Chúng ta có th tính xác su t h u nghi m t các xác su t ti n nghi m : P( Hi A) P( Hi ). P( A / Hi ) P( Hi / A) = = P( A) P( A) Dùng (9), chúng ta có 5.1. nh lý BAYES. Gi s H1, H2, . . ., Hn là m t phân ho ch c a không gian xác su t M và A là m t bi n c b t kỳ trong M. Khi ó, v i m i i ∈ {1, 2, ..., n }: P ( H i ). P ( A / H i ) P ( H i / A) = n (10) ∑ P ( H i ). P ( A / H i ) i =1 5.2. Thí d . 5.2.1. Ba ngư i cùng vào m t c a hàng. M i ngư i mu n mua m t cái Tivi, nhưng c a hàng ch còn hai cái Tivi. Ngư i bán hàng làm 3 lá thăm, trong ó có hai lá ư c ánh d u. M i ngư i l n lư t rút m t lá thăm. N u ai rút ư c lá có ánh d u thì ư c mua Tivi. Ch ng minh r ng cách làm trên là công b ng cho c 3 ngư i mua hàng. Gi i. t Ai : “ngư i th i rút ư c lá thăm có ánh d u” ( i ∈ {1,2,3} ), chúng ta có: • P(A1) = 2 , 3 • Vì A2 = A1 A2 + A1 A2 nên P ( A2 ) = P ( A1 ).P ( A2 / A1 ) + P ( A1 ).P ( A2 / A1 ) = 2. 1 + 1.1 = 2 3 2 3 3 • Vì A3 = ( A1 A2 ) + A1 , nên 1 P( A3 ) = P( A1 ).P ( A2 / A1 ) + P( A1 ) = 2.1 + 1 = 2 3 2 3 3 Vì P(A1) = P(A2) = P(A3) = 2 nên cách làm trên là công b ng cho c 3 3 ngư i mua hàng. Thí d 5.2.1 có th ư c m r ng như sau: Trong m t t x s , công ty phát hành N vé s , trong ó có k vé trúng thư ng (1 ≤ k ≤ N). n ngư i (1 ≤ n ≤ N) l n lư t mua m i ngư i m t vé s .
Chng 1 XÁC SU T 15 Ch ng minh r ng n ngư i ó u có cơ h i trúng thư ng như nhau. ( xem như bài t p) 5.2.2. M t lô h t gi ng g m làm 3 lo i l n l n. Lo i 1 chi m 2/3 s h t, lo i 2 chi m 1/4, còn l i là lo i 3. T l n y m m c a lo i 1, lo i 2 và lo i 3, theo th t , là 80%, 70% và 50%. L y ng u nhiên m t h t t lô h t gi ng . (a) Tính xác su t h t gi ng l y ra là n y m m ư c. Ý nghĩa c a xác su t này i v i lô h t gi ng là gì? (b) Gi s h t gi ng l y ra là n y m m ư c. Tính xác su t h t gi ng ó thu c lo i 2. (c) Gi s h t gi ng l y ra là không n y m m ư c. Nhi u kh năng nh t là h t gi ng ó thu c lo i nào? T i sao? Gi i. (a) G i A: “h t gi ng l y ra là h t n y m m ư c” và Hi là bi n c " h t gi ng l y ra thu c lo i i" (i = 1, 2, 3), chúng ta có: P(H1) = 2/3, P (H2) = 1/4, P(H3) = 1/12, P(A/H1) = 0,8; P (A/H2) = 0,7 và P(A/H3) = 0,5. 3 P ( A) = ∑ P ( H i ). P( A / H i ) i =1 = 2 .0,8 + 1 .0,7 + 1 .0, 5 = 0,75. 3 4 12 Xác su t P(A) chính là t l n y m m chung c a lô h t gi ng. (b) Gi s h t gi ng l y ra là n y m m ư c. Xác su t ph i tính là P(H2 /A). Theo nh lý Bayes, P ( H 2 ). P( A / H 2 ) 0,25 × 0,7 P( H 2 / A) = = = 7 P( A) 0,75 30 (c) Gi s h t gi ng l y ra là không n y m m ư c. So sánh giá tr các xác su t: P ( H1 / A) , P ( H 2 / A) và P ( H 3 / A) ; s th y nhi u kh năng nh t là h t gi ng ó thu c lo i 1. ( P ( H1 / A) l n nh t). B n c t gi i. 5.2.3. Có hai h p ng bi. H p th nh t có 2 bi tr ng và 8 bi ; h p th hai có 3 bi tr ng và 5 bi .
16 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông (a) L y ng u nhiên t m i h p ra 2 bi. Tính xác su t l y ư c 3 bi ; l y ư c 4 bi cùng màu. (b) L y ng u nhiên m t h p r i t h p ó l y ra 4 bi thì ư c 2 bi tr ng. Tính xác su t 4 bi ó thuôc h p th nh t. Gi i. (a) L y ng u nhiên t m i h p ra hai viên bi: V i i ∈ {0,1, 2} và j ∈ {0,1, 2}, ăt tên các bi n c : Ai : “l y ư c i bi t h p 1”, Bj : “l y ư c j bi t h p 2”; K: “l y ư c 3 bi và 1 bi tr ng”; và M: “l y ư c 4 bi cùng màu”. Các c p bi n c (Ai, Bj) c l p. K = A1B2 + A2B1 nên P(K) = P(A1).P(B2) + P(A2).P( B1); C1 .C1 C 2 C 2 C1 C1 P(K) = 8 2 . 5 + 8 . 5 3 = 29 . 2 C10 C 8 2 2 C10 C8 2 63 M = A 2 B2 + A 2 B2 nên P(M) = P(A 2 ).P(B2 ) + P(A 2 ).P(B2 ) ; 2 C8 C 2 C2 C2 P(M) = . 5 + 2 . 3 2 2 C10 C 8 2 2 C10 C 8 (b) L y ng u nhiên m t h p r i t h p ó l y ra 4 bi: t Hi : “l y ư c h p th i” ( i = 1, 2 ) và T : “l y ư c 2 bi tr ng”, chúng ta có: P(H1) = P(H2) = 1 ; 2 C2 .C2 P(T/H1) = 2 8 = 2 C4 15 10 C2 .C52 và P(T/H2) = 3 =3 C4 7 8
Chng 1 XÁC SU T 17 Xác su t ph i tính là P(H1 / T). Vì T = H1T + H2T nên P(T) = P(H1).P(T/H1) + P(H2).P(T/H2) = 1 . 2 + 1 . 3 = 59 2 15 2 7 210 V y, P ( H1 ). P (T / H1 ) P( H1 / T ) = P (T ) = 1 . 210 = 14 . 15 59 59 6. QUÁ TRÌNH BERNOULLI 6.1. nh nghĩa. (a) Gi s m t phép th ch có hai k t qu sơ c p; m t ư c g i là "Thành công" ký hi u là T, và k t qu kia ư c g i là "Th t b i", ký hi u là B. N u xác su t cho thành công là p thì xác su t cho th t b i là q = 1 − p. M t phép th như th ư c g i là m t phép th Bernoulli, v i xác su t cho thành công là p, ký hi u là B(p). (b) L p l i phép th B(p) n l n c l p nhau, chúng ta có m t phép th ư c g i là m t Quá trình Bernoulli (n,p), ký hi u là B(n,p). Không gian m u c a B(n,p) ch a 2n i m, m i i m ư c bi u di n b i m t dãy n ký t g m các ch T và B. Theo nh nghĩa, P(TTBT...BT) = ppqp...qp. S l n thành công trong m t quá trình B(n,p) có th là 0, 1, 2, ..., n và bài toán t ra là: Tính xác su t có x thành công trong quá trình (0 ≤ x ≤ n). S trư ng h p bi n c " có x thành công trong quá trình" có th x y ra b ng v i s trư ng x h p phân ph i x ch T trong n v trí; s ó là Cn . Nói cách khác, bi n c trên x ch a Cn i m, m i i m có xác su t pxq n − x. V y, v i m i x ∈ {0,1,…, n}, bi n c Tx : “có x thành công trong B(n, p)” có xác su t là P(Tx ) = Cn p x ( 1 − p) n − x x (11) c bi t, xác su t không có l n thành công nào là qn và xác su t có ít nh t m t l n thành công là 1 − qn. ( v i q = 1 − p) (11) ư c g i là công th c Bernoulli.
18 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông • N u gi n và p c nh thì xác su t P(Tx), ký hi u là Pn(x), là m t hàm theo x. Chúng ta kh o sát s bi n thiên c a Pn(x) khi x tăng t 0 n n. V im ix {1, 2, . . . , n }, Pn ( x) (n − x + 1) p (n + 1) p − x = = 1+ Pn ( x − 1) xq xq Do ó, Pn(x) > Pn(x −1) ⇔ x < (n + 1)p. Ký hi u [(n + 1)p] là ph n nguyên c a (n + 1)p, chúng ta có 6.2. nh lý. Trong quá trình B(n,p), xác su t có x thành công, x ∈ {0, 1,…, n}, là: Pn x ) = Cn p x ( 1 − p) n − x x (14) Ngoài ra, khi x tăng d n t 0 n n thì Pn(x) tăng d n và t giá tr l n nh t khi x = [(n + 1)p], sau ó Pn(x) gi m d n. Ngư i ta g i xo = [(n + 1)p] là S thành công có xác su t l n nh t hay còn g i là S thành công có kh năng nh t. Th c ra, khi n có giá tr l n, t t c các s h ng Pn(x) u bé. 6.3. Thí d . 6.3.1. T l s n xu t ra ph ph m c a m t máy là 8%. Kh o sát m t lô hàng g m 75 s n ph m do máy ó s n xu t ra. (a) Tính xác su t trong lô hàng, có 10 ph ph m (b) Trong lô hàng, nhi u kh năng nh t là có bao nhiêu ph ph m? Tính xác su t tương ng. Gi i. N u xem vi c máy s n xu t ra m t s n ph m là m t phép th Bernoulli, v i xác su t cho “thành công” là p = 0,08, thì khi máy ó s n xu t 75 s n ph m, nó ã th c hi n quá trình B(75; 0,08). (a) Xác su t ph i tính: P75(10) = C10 (0, 08)10 .(0, 92)65 = 0, 03941 75 (b) S ph ph m nhi u kh năng nh t trong lô hàng là: [(75 + 1). 0,08] = 6, v i xác su t tương ng:
Chng 1 XÁC SU T 19 P75(6) = C6 (0, 08)6 .(0, 92)69 = 0,16745 75 6.3.2. Ngư i ta mu n l y ng u nhiên m t s h t gi ng t m t lô h t gi ng có t l h t lép là 3% nghiên c u. H i ph i l y ít nh t bao nhiêu h t sao cho xác su t có ít nh t m t h t lép không bé hơn 95% ?. Gi i. G i n là s h t ph i l y, chúng ta có B(n; 0,03). Xác su t có ít nh t m t h t lép là 1 − (1 − 0,03)n = 1 − (0,97)n . Theo gi thi t, chúng ta có: 1 − (0,97)n ≥ 0,95 ⇔ (0,97)n ≤ 0,05 ln 0, 05 ⇔ n≥ = 98,3523 ln 0, 97 V y, ph i l y ít nh t 99 h t gi ng. 7. NGUYÊN LÝ BI N C HI M Chúng ta ã bi t, m t trong nh ng cơ s c a khái ni m xác su t c a m t bi n c là tính n nh t n su t c a bi n c ó. Như v y quy lu t xác su t s xu t hi n khi có m t s l n các phép th . Tuy nhiên, trong th c t , khi ch ti n hành m t phép th , nguyên lý sau ây, g i là Nguyên lý bi n c hi m, s ư c áp d ng. M t bi n c có xác su t r t bé là bi n c r t khó x y ra. Khi ch ti n hành m t phép th v bi n c ó, trong th c hành, bi n c ó ch c ch n s không x y ra. Tùy theo m i lĩnh v c ng d ng, ngư i ta qui nh m t m c α khác nhau; xác su t dư i m c α ó ư c coi là r t bé. M c α có th là 5%, 1%, có khi là vài ph n nghìn, e.g. trong sinh h c, m t bi n c có xác su t không qu 5% thư ng ư c xem là hi m, g n như không th có. N u ch th c hi n m t phép th ã th y m t bi n c A x y ra thì xác su t c a bi n c A ph i l n hơn α. Nguyên lý bi n c hi m ư c dùng làm cơ s lôgic cho nhi u phán oán th ng kê mà chúng ta s g p ph n th hai c a giáo trình. Thí d . M t l p có m t 50 h c sinh. Th y giáo g i ng u nhiên 2 h c sinh lên b ng, th y c hai u không thu c bài. Hãy d oán xem, hôm nay, l p có bao nhiêu h c sinh không thu c bài? Gi i. Gi s trong l p có x h c sinh không thu c bài, xác su t hai h c sinh, ư c g i ng u nhiên, u không thu c bài là:
20 Xác su t − Th ng kê Ph m c Thông C2 x x ( x −1) = 2 C50 50. 49 Bi n c “hai h c sinh ư c g i lên u không thu c bài” x y ra ngay phép th u tiên, nên không ph i là m t bi n c hi m. Theo nguyên lý bi n c h m, n u l y m c α = 5% thì chúng ta có: x ( x −1) > 5 50. 49 100 ⇔ 2x2 − 2x − 245 > 0 V y, hôm nay, l p có ít nh t 12 h c sinh không thu c bài. TK XS 2008 BÀI T P 1.1. Cho ba bi n c A, B và C. Hãy vi t thành bi u th c theo A, B và C các bi n c sau: (a) c A, B và C u x y ra; (b) ít nh t m t trong các bi n c A, B ho c C x y ra; (c) ch có A x y ra;