Một số bảo tồn bởi các ánh xạ giả-mở

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết nghiên cứu về sự bảo tồn các tính chất topo thông qua các s-ánh xạ, và chứng minh rằng không gian Fréchet-Urysohn với wcs * -mạng điểm đếm được là bảo tồn qua các ánh xạ sau: 1) s-ánh xạ giả-mở và liên tục; 2) s-ánh xạ đóng (hoặc mở), liên tục và toàn ánh. Nhờ đó, nhóm tác giả thu được câu trả lời một phần cho bài toán trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bảo tồn bởi các ánh xạ giả-mở

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 20, NO. 1, 2022 65 MỘT SỐ BẢO TỒN BỞI CÁC ÁNH XẠ GIẢ-MỞ SOME PRESERVATIONS BY PSEUDO-OPEN MAPPINGS Lương Quốc Tuyển1, Phạm Thị Ái Lài2* 1 Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng 2 Sinh viên của Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tác giả liên hệ: laipham2101@gmail.com * (Nhận bài: 29/6/2021; Chấp nhận đăng: 21/10/2021) Tóm tắt - Tanaka [1] đã chứng minh rằng, một không gian topo Abstract - Tanaka [1] proved that a X topology space is a pseudo- X là s-ảnh giả-mở và liên tục của một không gian metric khi và open and continuous s-image of a metric one if and only if it is a chỉ khi nó là không gian Fréchet-Urysohn, với cs * - mạng điểm Fréchet-Urysohn space, with a point-countable cs * -network. Later, -đếm được. Sau đó, Gruenhage, Michael và Tanaka [2] đã nghiên Gruenhage, Michael and Tanaka [2] have studied the immutability of cứu tính bất biến của các phủ điểm-đếm được qua các ánh xạ giả the point-countable covers by the pseudo-open mappings, and given -mở, và đặt ra bài toán mở rằng “Không gian Fréchet-Urysohn a question that “Is Fréchet-Urysohn space with point-countable cs*- với cs*-mạng điểm-đếm được có bảo tồn qua s-ánh xạ giả-mở và network preserved by a pseudo-open and continuous s-mapping?” In liên tục hay không?”. Trong bài báo này, nhóm tác giả nghiên cứu this paper, the authors have examined the preservation of topology về sự bảo tồn các tính chất topo thông qua các s -ánh xạ, và chứng properties by s -mappings, and proved that a Fréchet-Urysohn space minh rằng không gian Fréchet-Urysohn với wcs * -mạng điểm- with a point-countable wcs * -network is preserved by these following đếm được là bảo tồn qua các ánh xạ sau: 1) s -ánh xạ giả-mở và mappings: 1) Pseudo-open and continuous s -mapping; 2) Close (or liên tục; 2) s -ánh xạ đóng (hoặc mở), liên tục và toàn ánh. Nhờ open), surjective and continuous s -one. Hence, the authors have got đó, nhóm tác giả thu được câu trả lời một phần cho bài toán trên. a partial answer to the above question. Từ khóa - wcs * -mạng; phủ điểm-đếm được; không gian Fréchet- Key words - wcs * -network; point-cointable cover; Fréchet- Urysohn; s -ánh xạ; ánh xạ giả-mở Urysohn space; s -mapping; pseudo-open mapping 1. Giới thiệu 2. Cơ sở lí thuyết và phương pháp nghiên cứu Năm 1984, Gruenhage, Michael và Tanaka [1] đã 2.1. Cơ sở lí thuyết nghiên cứu về không gian được xác định bởi các phủ điểm- Định nghĩa 2.1.1 ([1]). Giả sử f : ( X , ) → (Y ,  ) là đếm được, nhờ đó đã thu được bảo tồn của một số tính chất một ánh xạ. Khi đó, phủ thông qua các ánh xạ giả-mở. Hơn nữa, các tác giả đã đặt ra bài toán mở sau. (1) f được gọi là s -ánh xạ nếu f −1 ( y) khả ly trong Bài toán 1. Không gian Fréchet-Urysohn có cs* -mạng X với mọi y  Y . điểm-đếm được có bảo tồn qua s -ánh xạ, giả-mở và liên (2) f được gọi là ánh xạ giả-mở nếu với mọi y  Y và tục hay không? với mọi lân cận mở U của f −1 ( y) trong X ta có Bài toán này đã thu hút rất nhiều nhà nghiên cứu topo đại cương trên thế giới quan tâm. Họ đã nghiên cứu bài y  Int f (U ). toán theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhờ đó rất nhiều khái (3) f được gọi là ánh xạ mở (tương ứng, đóng) nếu ảnh niệm mới về mạng và nhiều bảo tồn các tính chất mạng qua của mỗi tập mở (tương ứng, tập đóng) trong X là tập mở ánh xạ giả-mở là thu được (xem [3-8]). Gần đây, Lin và (tương ứng, tập đóng) trong Y . Liu [6] đã nghiên cứu về cn -mạng, sp -mạng và đã chứng Nhận xét 2.1.2. (1) Ánh xạ giả-mở là một toàn ánh. minh được rằng, không gian Fréchet-Urysohn với cn - (2) Ánh xạ mở hoặc đóng là ánh xạ giả-mở. mạng hoặc sp -mạng được bảo tồn qua ánh xạ giả-mở, và Định nghĩa 2.1.3 ([1]). Giả sử rằng  là một phủ của không gian với cs*-mạng hoặc cs -mạng được bảo tồn qua không gian topo ( X , ). Khi đó, ánh xạ thương-dãy. Trong bài báo này, nhóm tác giả thu được câu trả lời (1)  được gọi là cs* -mạng của X nếu với mọi dãy riêng cho Bài toán 1 trong trường hợp không gian được {xn }  X hội tụ đến x U  , tồn tại dãy con {xnk } của nghiên cứu là Fréchet-Urysohn có wcs * -mạng điểm-đếm {xn } và F   sao cho: được. Nhờ đó, thu được một số kết quả tương tự cho sự bảo tồn không gian này qua s -ánh xạ, đóng (hoặc mở), liên tục {x} {xnk : k  }  F  U . và toàn ánh. (2)  được gọi là wcs* -mạng của X nếu với mọi dãy 1 The University of Danang - University of Science and Education (Luong Quoc Tuyen) 2 Student of Faculty of Mathematics, The University of Danang - University of Science and Education (Pham Thi Ai Lai)
66 Lương Quốc Tuyển, Phạm Thị Ái Lài {xn }  X hội tụ đến x U  , tồn tại dãy con {xnk } của {xn } và F   sao cho ( ) f X \ f −1 ( A)  A = . (b) Nhờ các khẳng định (a) và (b) ta suy ra tồn tại {xnk : k  }  F  U . x  f −1 ( y)  f −1 ( A). (3)  được gọi là điểm-đếm được của X nếu với mỗi x  X thuộc không quá đếm được phần tử của . (1.2) Bởi vì x  f −1 ( A) và X là một không gian (4) X được gọi là không gian Fréchet-Urysohn nếu với Fréchet-Urysohn nên tồn tại dãy {xn }  f −1 ( A) sao cho mọi tập con A  X và với mọi x  A, tồn tại một dãy xn → x. Mặt khác, vì f là ánh xạ liên tục nên {xn }  A sao cho xn → x. f ( xn ) → f ( x) = y. Nhận xét 2.1.4. Mỗi cs* -mạng là wcs* -mạng. Hơn nữa, vì { f ( xn )}  A nên ta suy ra rằng, tồn tại dãy 2.2. Phương pháp nghiên cứu trong A hội tụ đến y trong Y . Do đó, Y là không gian Nhóm tác giả sử dụng phương pháp nghiên cứu lý Fréchet-Urysohn. thuyết trong quá trình thực hiện bài báo. Nghiên cứu các bài báo của các tác giả đi trước, bằng cách tương tự hóa, Khẳng định 2: Y có wcs * -mạng điểm-đếm được. khái quát hóa nhằm đưa ra những kết quả mới cho mình. Bởi vì f là s -ánh xạ nên với mỗi y  Y , tồn tại tập 3. Kết quả và đánh giá con đếm được Dy trong X sao cho: 3.1. Kết quả Dy = f −1 ( y ). Định lí 3.1.1. Giả sử rằng ( X , ), (Y ,  ) là hai không Ta đặt gian topo Hausdorff, f : ( X , ) → (Y ,  ) là một s -ánh xạ, D = {Dy : y Y}; giả-mở và liên tục. Khi đó, nếu X là không gian Fréchet- Urysohn có wcs * -mạng điểm-đếm được, thì Y cũng là  = {f ( P  D) : P }. Fréchet-Urysohn có wcs * -mạng điểm-đếm được. Khi đó, Chứng minh. Giả sử  là wcs * -mạng điểm-đếm được (2.1) D = X . của không gian Fréchet-Urysohn X . Khi đó, Thật vậy, giả sử x  X , khi đó tồn tại y  Y sao cho Khẳng định 1: Y là không gian Fréchet-Urysohn. x  f −1 ( y). Suy ra: Giả sử A  Y và y  A. Khi đó, x  f −1 ( y ) = Dy  D, (1.1) Tồn tại x  f −1 ( y)  f −1 ( A). kéo theo X  D. Mặt khác, bởi vì D  X nên ta suy ra Thật vậy, giả sử ngược lại rằng rằng D = X . f −1 ( y)  f −1 ( A) = . (2.2)  là điểm-đếm được. Khi đó, Thật vậy, giả sử rằng y  Y , khi đó y  f ( P  D ) khi và chỉ khi tồn tại x  P  D sao cho y = f ( x), khi và chỉ khi f −1 ( y)  X \ f −1 ( A). −1 P  Dy = f −1 ( y)  ( P  D)  . −1 Như vậy, X \ f ( A) là một lân cận mở của f ( y) ( ) Như vậy, ta có trong X . Bởi vì f là ánh xạ giả-mở nên f X \ f −1 ( A) {G   : y  G} là lân cận của y trong Y . Mặt khác, vì y  A nên =  f ( P  D ) : P , y  f ( P  D ) (c) =  f ( P  D) : P , P  Dy   . ( ) f X \ f −1 ( A)  A  . (a) Bởi vì  là điểm-đếm được và Dy là tập đếm được Hơn nữa, vì f −1 ( A)  f −1 ( A) nên ta có nên nhờ (c) ta suy ra G : y  là tập đếm được. Do (X \ f −1 ) ( ) ( A)  f −1 ( A)  X \ f −1 ( A)  f −1 ( A) = , đó,  là điểm-đếm được. (2.3)  là wcs * -mạng của Y . kéo theo Thật vậy, giả sử { yn } là dãy hội tụ đến y  U với U (X \ f −1 ) ( A)  f −1 ( A) = . mở trong X . Ta có thể giả thiết rằng các phần tử của dãy { yn } là phân biệt. Đặt: Suy ra rằng A = { yn : n  } \{ y}.
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 20, NO. 1, 2022 67 Khi đó, A không là tập đóng trong Y . Nếu f ( A) là −1 • Với k1 = 1, tồn tại ynk1  A sao cho −1 tập đóng trong X , thì X \ f ( A) là tập mở trong X . Nhờ x1  f −1 ( yn1 )  D. đẳng thức: • Tồn tại k2 , nk2  sao cho k2  k1 , nk2  nk1 và X \ f −1 ( A) = f −1 (Y \ A) ta suy ra f −1 (Y \ A) là lân cận mở của f −1 ( y) trong X . xk2  f‍ −1 ( ynk ), j j  nk1 Bởi vì f là ánh xạ giả-mở nên xk2  f −1 ( ynk ). y  Int f (f −1 (Y \ A) )  f (f −1 (Y \ A) )  Y \ A. 2 Thật vậy, giả sử ngược lại rằng Do đó, Y \ A là lân cận của y trong Y . Bởi vì yn → y nên yn  Y \ A với n  nào đó, đây là một mâu thuẫn. xk  f‍ −1 ( ynk ) với mọi k  k1. j j  nk1 Như vậy, f −1 ( A) không đóng trong X . Khi đó, vì {xk } là dãy không tầm thường nên tồn tại Bởi vì f −1 ( A) không là tập đóng trong X nên tồn tại n0  nk1 và dãy con {xk j } của {xk } sao cho: x  f −1 ( A) \ f −1 ( A). (d) {xk j }  f −1 ( yn0 ). Hơn nữa, ta có Mặt khác, vì f là ánh xạ liên tục và X là không gian f −1 ( A) = f −1 ( A)  D. (e) Hausdorff nên f −1 ( yn0 ) đóng trong X . Do đó, Thật vậy, rõ ràng rằng f −1 ( A)  D  f −1 ( A). x  f −1 ( yn0 )  f −1 ( A), đây là một mâu thuẫn. Như vậy, tồn tại k2  sao cho: Bây giờ, giả sử rằng x  f −1 ( A) và W là một lân cận mở của x. Khi đó, xk2  f‍ −1 ( ynk ). j j  nk1 W  f −1 ( A)  . Suy ra rằng, tồn tại z  A và a  W sao cho z = f (a ), Do đó, tồn tại nk2  sao cho nk2  nk1 và nghĩa là: xk2  f −1 ( ynk ). 2 a W  f −1 ( z). • Bằng quy nạp, ta tìm được dãy con {xk j } của {xk } Bởi vì f −1 ( z ) = Dz và X là không gian Fréchet- và dãy con { ynk } của { yn } sao cho: Urysohn nên tồn tại dãy {zk }  Dz sao cho zk → a. Mặt j khác, vì W mở và a  W nên W là lân cận của a, do đó xk j  f −1 ( ynk ) với mọi j  . j tồn tại k0  sao cho zk0  W  Dz . Bởi vì  là wcs -mạng của X nên tồn tại P  và * −1 −1 Hơn nữa, vì Dz  f ( z)  f ( A) và Dz  D nên dãy con {xk j } của {xk j } sao cho l zk0  W  Dz  W  ( f −1 ( A)  D ) . {xk j : l  }  P  f −1 (U ). l Suy ra rằng Điều này suy ra rằng W  ( f −1 ( A)  D )  , { ynk : l  }  f ( P)  f f −1 (U )  U . ij ( ) do đó x  f −1 ( A)  D. Do đó,  là wcs* -mạng của Y . Như vậy, (e) thỏa mãn. Nhờ (d) và (e) ta suy ra: Như vậy, Y là một không gian Fréchet-Urysohn có wcs* -mạng điểm-đếm được. x  f −1 ( A)  D \ f −1 ( A). Nhờ Định lí 3.1.1 và Nhận xét 2.1.2 ta thu được Hệ quả sau. Bởi vì X là không gian Fréchet-Urysohn nên tồn tại Hệ quả 3.1.2. Giả sử ( X , ), (Y ,  ) là hai không gian dãy {xk }  f −1 ( A)  D sao cho xk → x. Nếu {xk } là topo Hausdorff, f : ( X , ) → (Y ,  ) là một s -ánh xạ, dãy tầm thường, nghĩa là tồn tại k0  sao cho xk = x đóng (hoặc mở), liên tục và toàn ánh. Khi đó, nếu X là với mọi k  k0 , thì x = xk0  f −1 ( A), đây là một mâu không gian Fréchet-Urysohn có wcs * -mạng điểm-đếm thuẫn. Như vậy, {xk } là một dãy không tầm thường. Hơn được, thì Y cũng là Fréchet-Urysohn có wcs * -mạng nữa, ta có: điểm-đếm được.
68 Lương Quốc Tuyển, Phạm Thị Ái Lài 3.2. Đánh giá làm phong phú cho lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết mạng, lý Các kết quả mới trong bài báo được thể hiện ở Định lí thuyết k-mạng trong topo đại cương. 3.1.1, Hệ quả 3.1.2. Trong đó: TÀI LIỆU THAM KHẢO - Định lí 3.1.1 là sự bảo tồn của Fréchet-Urysohn có wcs * -mạng điểm-đếm được thông qua s -ánh xạ, giả-mở [1] Y. Tanaka, “Point-countable covers and k-networks”, Topology Proceedings, 12 (1987), 327-349. và liên tục. Nhờ Nhận xét 2.1.4 ta suy ra rằng, kết quả này [2] G. Gruenhage, E. Michael and Y. Tanaka, “Spaces determined by là một câu trả lời riêng cho Bài toán 1. point-countable covers”, Pacific Journal of Mathematics, 113 - Hệ quả 3.1.2 là sự bảo tồn của Fréchet-Urysohn có (1984), 303-332. [3] C. Liu, “Notes on closed mappings”, Houston Journal of wcs * -mạng điểm-đếm được thông qua s -ánh xạ, mở Mathematics, 33 (2007), 249-259. (hoặc đóng), liên tục và toàn ánh. [4] L. Q. Tuyen, “Remarks on sequence-covering closed maps”, Fasciculi Mathematici, 53 (2014), 161-165. 4. Kết luận [5] L. Q. Tuyen, O. V. Tuyen, “On the n-fold symmetric product of a Bài báo đã nghiên cứu về sự bảo tồn của một số tính space with a σ-(P)-property cn-network (ck-network)”, Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, 61 (2020), chất topo thông qua các ánh xạ. Nhờ đó, nhóm tác giả đã 257-263. chứng minh được các kết quả mới rằng, không gian [6] S. Lin, X. Liu, “Notes on pseudo-open mappings and sequentially Fréchet-Urysohn có wcs * -mạng điểm-đếm được là bảo quotient mappings”, Topology and its Applications, 272 (2020), tồn qua các ánh xạ sau: 107-090. [7] X. Liu, C. Liu, S. Lin, “Strict Pytkeev networks with sensors and (1) s -ánh xạ, giả-mở và liên tục. their applications in topological groups”, Topology and its (2) s -ánh xạ, đóng (hoặc mở), liên tục và toàn ánh. Applications, 258 (2019), 58–78. [8] Y. Huang, Z. Tan, S. Lin, “On spaces with point-star networks Với kết quả nghiên cứu này, nhóm tác giả đã thu được consisting of cs-ﬁnite cs∗-coverings”, Topology and its câu trả lời riêng cho bài toán được đặt ra bởi Gruenhage, Applications, 258 (2020), 107–510. Michael và Tanaka [2]. Những kết quả này đã góp phần