Ánh xạ cảm sinh trên siêu không gian tích đối xứng cấp n

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong suốt bài viết này, nhóm tác giả quy ước rằng tất cả các không gian là không gian Hausdorff và các ánh xạ là liên tục giữa các không gian topo. Các khái niệm và thuật ngữ khác, nếu không nói gì thêm, thì được hiểu theo nghĩa thông thường.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ánh xạ cảm sinh trên siêu không gian tích đối xứng cấp n

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 22, NO. 9A, 2024 73 ÁNH XẠ CẢM SINH TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN TÍCH ĐỐI XỨNG CẤP n INDUCED MAPPINGS ON n – SYMMETRIC PRODUCT HYPERSPACE Trần Đức Thanh 1, Phạm Thị Ái Lài1*, Lương Quốc Tuyển 2 1 Học viên cao học Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Việt Nam 2 Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Việt Nam *Tác giả liên hệ / Corresponding author: laipham2101@gmail.com (Nhận bài / Received: 17/7/2024; Sửa bài / Revised: 17/9/2024; Chấp nhận đăng / Accepted: 24/9/2024) Tóm tắt - Gần đây, lớp hàm liên tục giữa các siêu không gian đã Abstract - Recently, the class of continuous functions between được nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xem [1-9]). Các nhà nghiên hyperspaces has been extensively studied by many authors (see [1- cứu đã tập trung vào việc phân tích các tính chất quan trọng của 9]). Researchers have focused on analyzing important properties of hàm liên tục và mối quan hệ giữa một ánh xạ f : X → Y và ánh continuous functions and the relationship between a mapping xạ cảm sinh tương ứng f n : n ( X ) → n (Y ) trên siêu không gian f : X →Y and its corresponding induced mapping tích đối xứng cấp n. Trong bài báo này, nhóm tác giả chứng minh f n : n ( X ) → n (Y ) on the n -th symmetric product hyperspace. rằng: f ∈  có thể được suy ra từ f n ∈  nếu  là các lớp In this paper, we prove that f ∈  can be derived from f n ∈  hàm liên tục như: mở, nửa mở, đóng, giả-mở. Nhóm tác giả cũng if  represents classes of continuous functions such as open, tìm ra các điều kiện cần và đủ để f ∈  suy ra f n ∈  cho các semi-open, closed, and quasi-open functions. We also identify the lớp hàm liên tục khác, chẳng hạn như: mở, mở cảm sinh, nửa mở. necessary and sufficient conditions under which f ∈  implies Thêm vào đó, nhóm tác giả xem xét sự ảnh hưởng của các biến f n ∈  for other classes of continuous functions, such as open, đổi này trong cấu trúc của siêu không gian và sự liên kết giữa các induced open, and semi-open functions. Additionally, we examine ánh xạ liên tục. the impact of these transformations on the mathematical structure of hyperspaces and the connection between continuous mappings. Từ khóa - Ánh xạ cảm sinh; ánh xạ mở; ánh xạ nửa mở; ánh xạ Key words - Induced mapping; open mapping; semi-open đóng; ánh xạ giả-mở. mapping; closed mapping; pseudo-open mapping. 1. Giới thiệu cứu mối quan hệ giữa các phát biểu (a) và (b) khi  là Giả sử X là một không gian Hausdorff được trang bị mỗi một trong các lớp sau của các hàm liên tục: mở, mở topo Vietoris và n ∈ * , siêu không gian gồm tất cả các cảm sinh, nửa mở, đóng và giả-mở. tập con khác rỗng của X có không quá n phần tử được Cụ thể hơn, nhóm tác giả sẽ chứng minh rằng (a) được suy gọi là tích đối xứng cấp n và được kí hiệu là n ( X ). Việc ra từ (b) cho các lớp hàm liên tục: mở, nửa mở, đóng, giả-mở. Ngoài ra, nhóm tác giả cũng sẽ tìm ra các điều kiện mà (a) suy nghiên cứu siêu không gian n ( X ) có thể cung cấp thông ra (b) cho các lớp hàm liên tục: mở, mở cảm sinh, nửa mở. tin về tính chất của không gian nền và ngược lại. Trong suốt bài báo này, nhóm tác giả quy ước rằng tất Mỗi hàm số liên tục giữa các không gian Hausdorff cả các không gian là không gian Hausdorff và các ánh xạ f : X → Y cảm sinh nên một hàm liên tục là liên tục giữa các không gian topo. Các khái niệm và thuật ngữ khác, nếu không nói gì thêm, thì được hiểu theo nghĩa f n : n ( X ) → n (Y ) thông thường. Hơn nữa, nhóm tác giả sử dụng ký hiệu C được xác định bởi công thức để chỉ lực lượng của tập hợp C và [C ]
74 Trần Đức Thanh, Phạm Thị Ái Lài, Lương Quốc Tuyển 2. Cơ sở lí thuyết f : X → Y là một ánh xạ. Khi đó, Giả sử X là một không gian. Ta đặt (1) f được gọi là ánh xạ mở nếu (1) ( X )  { A  X : A đóng và khác rỗng }; { f (U ) : U ∈ τ X } ⊂ τ Y ; (2) 2  {A  CL( X ) : A compact }; X (2) f được gọi là ánh xạ mở cảm sinh nếu tồn tại một X (3) n ( X )  {A  2 : A  n}; không gian con Z của X sao cho f ( Z ) = Y và f Z Ngoài ra, nếu U là một tập con của không gian X , thì là ánh xạ mở; ta kí hiệu (3) f được gọi là ánh xạ nửa mở nếu IntY f (U ) là không U + = ( X ) : A ⊂ U }; { A ∈  rỗng với mỗi U ∈ τ X \ {∅}; U − { A ∈ ( X ) : A ∩ U ≠ ∅}. = (4) f được gọi là ánh xạ đóng nếu Hơn nữa, nếu  là họ gồm các tập con hữu hạn của không { f ( A) : A ∈ ( X )} ⊂ (Y ); gian X , thì (5) f được gọi là ánh xạ giả-mở nếu với mọi y ∈ Y và (  ) ∩  U với mọi lân cận mở U của f −1 ( y ) , ta có + − = 〈 〉 . U ∈ y ∈ IntY f (U ); Nhận xét 2.1 ([10]). ( X ) với topo được định nghĩa Định nghĩa 2.6. Hàm chọn (choice function) của một bởi topo Vietoris với cơ sở: họ các tập hợp  là một hàm c sao cho với mỗi tập {〈  〉 :  ∈ [τ X ]
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 22, NO. 9A, 2024 75 A ∈ 〈  〉 n ,   ⊂  Thật vậy, giả sử B ∈ 〈 f [ ]〉 2 . Khi đó, B ⊂  f [ ] và và nếu a ∈ A ∩ V , thì U a ⊂ V . Do đó, theo Bổ đề 2.7, ta B ∩ f (W ) ≠ ∅ với mọi W ∈  . suy ra: A ∈ 〈  〉 n ⊂ 〈  〉 n . Bây giờ, giả sử c là một hàm chọn của họ Như vậy, bổ đề được chứng minh. {f −1 ( B) ∩ W : W ∈  } Bổ đề 3.2. Nếu  là một họ con không rỗng của X và A = ran(c), khi đó A ∈ 〈  〉 2 , f 2 ( A) = B. có nhiều nhất n phần tử, thì 1 (Y ) ∩ 〈 f [  ]〉 n ⊂ f n ( 〈  〉 n ) ⊂ 〈 f [  ]〉 n . Điều này chứng tỏ rằng B ∈ f 2 ( 〈  〉 2 ) , do đó ta thu được điều phải chứng minh. Chứng minh. Ta có Định lí 3.5. Nếu f n là ánh xạ mở, thì f là ánh xạ mở. • f n ( 〈  〉 n ) ⊂ 〈 f [  ]〉 n : Chứng minh. Giả sử U ∈ τ X , khi đó nhờ Bổ đề 3.3, ta Giả sử A ∈ 〈  〉 n , khi đó A ⊂  kéo theo f ( A) ⊂ [  ]. + ( ) + suy ra f n U n = f (U ) n . Ngoài ra, do U n là một tập mở + + Suy ra f ( A) ∈ ( [  ]) . Mặt khác, với mỗi U ∈  , vì + ( ) trong n ( X ) và f n là ánh xạ mở nên f n U n là một tập + U ∩ A ≠ ∅ nên f (U ) ∩ f ( A) ≠ ∅. mở trong n (Y ). Suy ra f (U ) cũng là một tập mở của n − { Do đó, f ( A) ∈  f (U ) : U ∈  . } n (Y ). Điều này chứng tỏ rằng f (U ) là một tập mở của Y , và do đó ta có điều phải chứng minh. Bởi vậy, f ( A) ∈ 〈 f [  ]〉 n . Định lí 3.6. f là ánh xạ mở khi và chỉ khi f 2 là ánh • 1 (Y ) ∩ 〈 f [  ]〉 n ⊂ f n ( 〈  〉 n ) : xạ mở. Xét { y} ∈ 〈 f [  ]〉 n , khi đó y ∈ f (U ) với mọi U ∈  . Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử f là ánh xạ mở và Giả sử c là một hàm chọn của họ  ∈ C 2 ( X ). Khi đó, theo Bổ đề 3.4, ta có {f −1 ( y) ∩ U : U ∈  . } f 2 ( 〈  〉 2 ) =f [ ]〉 2 . 〈 Ngoài ra, do f là ánh xạ mở nên f 2 ( 〈  〉 2 ) là một tập mở Ta đặt A = ran(c), khi đó A ∈ 〈  〉 n và f n ( A) = { y}. của 2 (Y ). Nhờ Bổ đề 3.1 ta suy ra rằng f 2 là ánh xạ mở. Do vậy, { y} ∈ f n ( 〈  〉 n ) . Điều kiện đủ: Suy trực tiếp từ Định lí 3.5. Bổ đề 3.3. Nếu U là một tập không rỗng của X , thì Định lí 3.7. Nếu f là ánh xạ mở cảm sinh, thì f 2 là ( ) + + f n U n = f (U ) n . ánh xạ mở cảm sinh. Chứng minh. Giả sử Z là một không gian con của X Chứng minh. Theo Bổ đề 3.2, ta có sao cho f ( Z ) = Y và f Z là ánh xạ mở. Ta cần chứng minh ( ) + + f n U n ⊂ f (U ) n . rằng f 2 2 ( Z ) là ánh xạ mở. Bây giờ, ta sẽ chứng minh Thật vậy, giả sử B ∈ 2 (Y ). Ta gọi c là một hàm chọn f (U ) + n ⊂ ( ). + fn U n của họ Thật vậy, giả sử B ∈ f (U ) n . Ta gọi c là một hàm chọn + {f −1 (b) ∩ Z : b ∈ B . } { −1 của họ U ∩ f ({b}) : b ∈ B , } Khi đó, A ran(c) ∈ 2 ( Z ), f 2 ( A) = B. = + Suy ra f 2 ( 2 ( Z ) ) = 2 (Y ), kéo theo và đặt A = ran(c). Khi đó, A ∈ U n , f n ( A) = B. + ( ) Bởi vậy, B ∈ f n U n , do đó bổ đề được chứng minh. f2 2 ( Z ) ( Z )2 . = f Nhờ Định lí 3.6 ta thu được điều phải chứng minh. Bổ đề 3.4. Giả sử  ∈ C 2 ( X ). Khi đó, Định lí 3.8. Nếu f n là nửa mở, thì f là nửa mở. f 2 ( 〈  〉 2 ) =f [ ]〉 2 . 〈 Chứng minh. Giả sử B là một tập con trù mật của Y Chứng minh. Ta xét hai trường hợp sau: và U là một tập mở không rỗng của X . Khi đó, Bn là + Trường hợp 1: Nếu  = 1, thì theo Bổ đề 3.3 ta suy ra điều phải chứng minh. −1 một tập con trù mật của n (Y ). Suy ra f n Bn + ( ) là tập + Trường hợp 2: Nếu  = 2, thì bởi Bổ đề 3.2, ta chỉ con trù mật của n ( X ). Bởi vì U n là một tập mở không cần chứng minh rằng 〈 f [ ]〉 2 ⊂ f 2 ( 〈  〉 2 ) . + −1 + rỗng của n ( X ) nên tồn tại A ∈ U n ∩ f n Bn . ( )
76 Trần Đức Thanh, Phạm Thị Ái Lài, Lương Quốc Tuyển Điều này chứng tỏ rằng A ⊂ U và f ( A) ⊂ B, kéo theo (f ( y ) )n + f n−1 ({ y} ) = −1 + ⊂ Un . A ⊂ U ∩ f −1 ( B ). Bởi vậy, f −1 ( B ) là một tập trù mật của X , và do đó ta có Do đó, { y} ∈ Int n (Y ) f n U n . + ( ) điều phải chứng minh. Theo Bổ đề 3.1, tồn tại V ∈ τ Y sao cho { y} ∈ Vn ⊂ f n (U n ) , Kết quả tiếp theo cho thấy rằng lớp các ánh xạ nửa mở + + được bảo toàn và đảo ngược bởi sự tương ứng f → f 2 . Định lí 3.9. f là nửa mở nếu và chỉ nếu f 2 là nửa mở. do đó y ∈ V . Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử rằng f là nửa mở Tiếp theo, ta sẽ chứng minh V ⊂ f (U ) . Thật vậy, giả và  ∈ C 2 ( X ). Theo Bổ đề 3.4, ta suy ra sử t ∈ V . Khi đó, tồn tại A ∈ U n sao cho + f 2 ( 〈  〉 2 ) =f [ ]〉 2 . 〈 f n ( A ) = {t} . Ngoài ra, vì IntY f (W ) ≠ ∅ với mọi W ∈  nên theo Bổ Như vậy, nếu a ∈ A, thì a ∈ U = và t f ( a ) ∈ f (U ). đề 2.7 ta suy ra Bởi thế, ta suy ra: y ∈ V ⊂ f (U ) , {IntY f (W ) : W ∈  } 2 do đó y ∈ IntY f (U ) . Điều này chứng tỏ rằng f là ánh xạ là một tập mở không rỗng của 2 ( X ) chứa trong giả - mở. f 2 ( 〈  〉 2 ) . Cuối cùng, theo Bổ đề 3.1, f 2 là nửa mở. 4. Kết luận Điều kiện đủ: Suy trực tiếp từ Định lí 3.8. Trong bài báo này, nhóm tác giả tìm ra được một số lớp Định lí 3.10. Nếu f n là ánh xạ đóng, thì f là ánh xạ đóng. các hàm được bảo toàn bởi sự tương ứng f → f 2 , và được Chứng minh. Giả sử A là một tập đóng trong X và thể hiện trong Định lí 3.6, 3.7, 3.9. Ngoài ra, nhóm tác giả + y ∈ Cl X ( f ( A)). Khi đó, An là một tập đóng trong siêu cũng chứng minh rằng: f ∈  được suy ra từ f n ∈  không gian n ( X ). nếu  là các lớp hàm liên tục: mở, nửa mở, đóng, giả-mở, được thể hiện trong Định lí 3.5, 3.8, 3.10 3.11. Bây giờ, ta sẽ chứng minh ( ) + { y} ∈ Cln (Y ) f n An . Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Chương trình học bổng đào tạo thạc sĩ, tiến sĩ trong nước của Quỹ Đổi mới Thật vậy, giả sử U ∈ τ n (Y ) sao cho { y} ∈ U . Theo Bổ đề sáng tạo Vingroup (VINIF), mã số VINIF.2023.ThS.121. 3.1, tồn tại U ∈ τ Y sao cho TÀI LIỆU THAM KHẢO + [1] T. V. An and L. Q. Tuyen, “Further properties of 1-sequence- { y} ∈ U n ⊂ U. covering maps”, Commet. Math. Univ. Carolin., vol. 49, pp. 477- Do vậy, y ∈ U . Kết hợp với y ∈ Cl X ( f ( A)) ta được 484, 2008. [2] J. G. Anaya, F. Capulín, D. Maya, and F. Orozco-zitli, “Induced U ∩ f ( A) ≠ ∅. mappings on symmetric product of continua”, Topology and it Application, vol. 214, pp. 100-108, 2016. Tiếp theo, chọn a ∈ A sao cho f (a ) ∈ U . Để ý rằng [3] F. Barragán, “Induced maps on n-fold symmetric product suspensions”, + + Topology and it Application, vol. 158, pp. 1192-1205, 2016. {a} ∈ An và f n ({a}) ∈ U n ⊂ U , do đó ta suy ra: [4] F. Barragán, S. Macías, and J. F. Tenorio, “More on induced maps on n -fold symmetric product suspensions”, Glasnik Matematicki, + ( ) U ∩ f n An ≠ ∅, vol. 50, pp. 489-512, 2015. [5] S. Franklin, “Spaces in which sequences suffices”, Fundamenta ( ) + { y} ∈ Cln (Y ) f n An . Mathematicae, vol. 57, pp. 107-115, 1965. [6] X. Ge, “Notes on almost open mappings”, Matemaichki Vesnik, vol 60, pp. 181-186, 2008. + Bởi vì f n là ánh xạ đóng và An là một tập đóng trong [7] Y. Ge, “Weak forms of open mappings and strong forms of sequence- covering mappings”, Matemaichki Vesnik, vol. 59, pp. 1-8, 2007. + ( ) + n ( X ), { y} ∈ f n An nên tồn tại B ∈ An sao cho [8] G. Higuera and A. Illanes, “Induced mappings on symmetric product”, Topology Proceedings, vol. 37, pp. 367-401, 2011. f n ( B ) = { y}. [9] A. Illanes, J. A. Naranjo-Murillo, J. E. Vega, and Y. N. Velázquez- Inzunza, “Induced mappings on symmetric product, some answers”, Điều này có nghĩa là nếu b ∈ B, thì b ∈ A và f (b) = y. Do Topology and it Application, vol. 243, pp. 52-64, 2018. [10] E. Michael, “Topology on spaces of subsets”, Transactions of the vậy, y ∈ f ( A) và f ( A) là một tập đóng trong Y . American Mathematical Society, vol. 71, pp. 152-182, 1951. [11] K. Borsuk and S. Ulam, “On symmetric products of topological Định lí 3.11. Nếu f n là ánh xạ giả-mở, thì f là ánh spaces”, Bulletin American Mathematical Society, vol. 37, pp. 875- xạ giả-mở. 882, 1931. [12] R. Engelking, General Topology, 2nd edition, Sigma Series in Pure Chứng minh. Giả sử y ∈ Y và U là lân cận mở của Mathematics, 6 Heldermann Verlag, Berlin, 1989. f −1 ( y ) . Theo Bổ đề 3.2, ta có [13] C. Good and S. Macías, “Symmetric products of generalized metric spaces”, Topology and it Application, vol. 206, pp. 93-114, 2016.