Một tương tự của định lý Nevanlinna - Cartan P-Adic

Chia sẻ: Kinh Kha | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dịnh lý Nevanlinna - Cartan P-Adic có ý nghĩa trong việc thiết lập mối quan hệ giữa hàm độ cao của đường cong chỉnh hình và hàm đếm các không điểm, đặc biệt nó là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu tính hyperbolic Brody của các siêu mặt trong không gian xạ ảnh p-adic. Mời các bạn cùng tìm hiểu

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một tương tự của định lý Nevanlinna - Cartan P-Adic

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 13, 2002 MỘT TƯƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ NEVANLINNA CARTAN PADIC Nguyễn Thành Quang Nguyễn Quốc Hải, Phan Đức Tuấn Đại học Vinh 1. GIỚI THIỆU Năm 1995, Hà Huy Khoái và Mai Văn Tư đã diễn đạt và chứng minh định lý Nevanlinna – Cartan padic (xem [1]). Định lý này có ý nghĩa trong việc thiết lập mối quan hệ giữa hàm độ cao của đường cong chỉnh hình và hàm đếm các không điểm, đặc biệt nó là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu tính hyperbolic Brody của các siêu mặt trong không gian xạ ảnh padic. Nhắc lại rằng, với mỗi hàm chỉnh hình padic g, chúng ta sử dụng ký hiệu Nk(g , t) để chỉ hàm đếm Cartan mức k và N(g, t) là hàm đếm các không điểm của g (xem [1]). Định lý Nevanlinna Cartan padic (xem [1]). Giả sử H1 , H2 , . . . , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh padic P n(Cp) và f = ( f1 , f2 , ... , fn+1) : Cp Pn(Cp) là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Khi đó, ta có: q n(n 1) (q n 1)h ( f , t ) N n ( f  H j , t) t O(1) , j 1 2 trong đó 0(1) là đại lượng giới nội khi t . Trong bài báo này, bằng kỹ thuật Wronskian, chúng tôi đưa ra một đánh giá khác về hàm độ cao và hàm đếm. 2. ĐỊNH LÝ KIỂU NEVANLINNA CARTAN PADIC 2.1. ĐỊNH LÝ. Giả sử H1 , H2 , ... , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong P 15 n (Cp), tương ứng được xác định bởi các phương trình tuyến tính: F 1 = 0 , F2 = 0 , ... , Fq = 0 và f = ( f1, f2, ..., fn+1) : Cp P n(Cp) là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính. Giả sử rằng j F j o f (a ) 0 , j 1 ,... , q k, q với mọi không điểm a của hàm Fj  f . Khi đó, ta có: j 1 q k 1 n(n 1) (q n 1) h ( f , t ) n N1 (F j  f , t ) t O(1) , 2 j 1 2 trong đó 0(1) là đại lượng giới nội khi t . Để chứng minh Định lý 2.1. ta cần xét các bổ đề sau: 2.1.1. BỔ ĐỀ. ( xem [1]) Giả sử Gj = Fj  f với j = 1 , ... , q. Khi đó, với mỗi z Cp có nhiều nhất n hàm Gj sao cho Gj(z) = 0. Gọi 1, 2, ..., qn1 là q n 1 số phân biệt của tập số I = {1, 2,..., q}, ta đặt G = ( ..., G 1G 2... G qn1,... ), trong đó ( 1 , , ... , 2 qn1 ) được lấy với m = C qq n 1 ( tổ hợp chập q n 1 của q) cách chọn q n 1 chỉ số của tập I. Vì m n 1 nên từ Bổ đề 2.1.1, suy ra các hàm G 1 , G 2 , ... , G qn1 không có không điểm chung. Vì vậy, G xác định một đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh. 2.1.2. BỔ ĐỀ. (xem [1]) Với mỗi t R, ta có: h( G, t) ( q n 1) h ( f , t ) O (1) , trong đó O (1) không phụ thuộc vào t. 2.1.3. BỔ ĐỀ . ( xem [1]) Giả sử rằng 1 , 2 , . . . , n+1 là n+1 số phân biệt của tập số I = { 1, 2, . . . , q } . Khi đó: 1 G 1, G 2,  , G n 1 f1 , f 2 ,  , f n 1 , C 1 , 2 , , n 1 trong đó hằng số C ( 1 , 2 ,  , n 1 ) chỉ phụ thuộc vào ( 1, 2 ,  , n 1 ) . G 1 , G 2 , , G G 1G G và R( z ) 2 q Đặt ( 1, 2 , , n 1) 16 n 1 . G G G f1 , f 2 ,  , f n 1 1 2 n 1 n (n 1 ) 2.1.4.. BỔ ĐỀ ( xem [1]). h ( , t ) t O(1) . 2 q k 1 2.1.5. BỔ ĐỀ. N ( R, t ) n N 1 ( Gi , t ) . 2 i 1 CHỨNG MINH. Giả sử a là một không điểm của R(z), suy ra a là một không điểm q của Gi . Theo Bổ đề 2.1.1, tồn tại ít nhất q n hàm Gi không nhận a làm không i 1 điểm. Giả sử 1 , 2 ,  , q n 1 là các chỉ số sao cho G 1 , G 2 ,  , G q n 1 không nhận a làm không điểm và 1, 2, ..., n+1 là các chỉ số còn lại. Từ Bổ đề 2.1.3, suy ra: G1G 2 G n1 R( z ) . C 1 , 2 , ... , n 1 G 1 , G 2 , ... , G n 1 1 1 ... 1 G /1 G /2 G /n 1  G 1 , G 2 , ... , G G 1 G G 2 n 1 Đặt Q(z) = n 1 . . . . . . ... . . . . G1G  G G( n ) G( n ) G( n ) 2 n 1 1 2 n 1  G G Gn1 1 2 Định thức trên bằng tổng của các hạng tử có dạng: Gi/ Gi//  Gi n Gi/ Gi//  Gi n 1 2 n ( 1 ). Giả sử hạng tử 1 2 n chứa p hàm Gi sao Gi1 Gi2  Gin Gi1 Gi2  Gin Gi1/ cho Gi(a) = 0. Từ giả thiết định lý, suy ra p k. Ta có: Ord a Gi1 Gi//2 G i( n ) Ord a  Ord a n n17 (n 1)  (n p 1) Gi2 G in p 1 k 1 = p n n p. 2 2 Từ đó suy ra: Gi/ Gi//  Gi n k 1 n 1 Orda 1 2 n 2 Gi1 Gi2  Gin 1 i q Gi ( a ) 0 . Theo cách đánh giá này thì mọi số hạng còn lại của Q(z) đều có bậc tại a không bé k 1 n 1 hơn: 2 . 1 i q Gi ( a ) 0 k 1 n 1. Vì vậy Orda(Q(z)) 2 1 i q Gi ( a ) 0 k 1 n 1 Từ đó ta có: Orda(R(z)) = Orda(Q(z)) 2 . 1 i q Gi ( a ) 0 k 1 n ( (a ) t ) Do đó Orda(R) ( (a) t ) 2 1 i q . Gi ( a ) 0 Bất đẳng thức trên đúng với mọi a là không điểm của R(z). Theo định nghĩa của hàm đếm của hàm phân hình padic, suy ra: q k 1 N( R, t ) n N 1 ( Gi , t ) . 2 i 1 Bây giờ ta chứng minh Định lý 2.1. G 1G G Bởi vì R( z ) ( 1, 2 , , ) , 2 q n 1 n 1 C 1 , 2 , ... , n 1 cho nên: h(G, t) = ( min h (G 1 G G , t) 1 , , q n 1 ) 2 q n 1 18 = min h ( R (z ) C ( 1, 2 , , n 1 ) ( 1 , 2 ,  , n 1 ) , t ) = ( 1 , , q n 1 ) min [ h (R , t) h (C ( 1, 2 , , n 1 ) ( 1, 2 , , n 1) , t )] . ( 1 , , q n 1 ) Theo Bổ đề 2.1.4. ta có: n(n 1) h (C ( 1, 2 , , n 1) ( 1, 2 , , n 1), t) t O (1). 2 Theo Bổ đề 2.1.5, ta có: h(R, t) = h+(R, t) = N(R, t) + 0 (1) q k 1 n N 1 (G i , t ) . 2 i 1 q k 1 n( n 1) Suy ra: h(G, t) n N 1 (G i , t ) t O(1) . 2 i 1 2 Kết hợp với Bổ đề 2.1.2, suy ra: q k 1 n( n 1) (q n 1) h(f, t) n N 1 (G i , t ) t O(1) . 2 i 1 2 Do đó: q k 1 n(n 1) (q n 1) h+(f, t) n N 1 (G i , t ) t O(1) . 2 i 1 2 Giả sử Hj , j = 1 , ... , q là các siêu phẳng của P n(Cp) ở vị trí tổng quát được xác định bởi phương trình Fj = 0 . Từ Định lý 2.1, chúng tôi mở rộng được Định lý về số khuyết (xem [1]), như sau: 2.2. ĐỊNH LÝ. Giả sử f là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính và rẽ nhánh ít nhất là dj trên các siêu phẳng Hj . Giả sử rằng j F j o f (a ) 0 , j 1 ,... , q k, q với mọi không điểm a của hàm F j  f . Khi đó, ta có: j 1 k 1 q n 1 2 n 1. j 1 d19 j CHỨNG MINH. Từ Định lý 2.1. ta có: k 1 q n N1 ( F j  f , t ) 2 n( n 1 ) t O(1) 1 n 1 j 1 h ( f , t) 2 h ( f , t) h ( f, t) Từ định nghĩa hàm đếm, ta có: k 1 k 1 n N1 ( F j  f , t ) n N1 ( F j  f ) 2 2 N ( F j  f , t) 1 1 h ( f , t) N F j  f , t) h ( f , t) k 1 n 2 N ( F j  f , t ) = 1 dj h ( f , t) n k 1 h ai j f j , t O(1) = n 2 j 0 1 dj h ( f , t) k 1 n 2 O(1) . 1 1 dj h ( f , t) k 1 n Do vậy k 1 N1 ( F j  f , t ) 2 O(1) . 1 n 1 2 h ( f , t) dj h ( f , t) k 1 q n 2 n(n 1) t O(1) Suy ra 1 ( n 1) . j 1 dj 2 h ( f , t) h ( f , t) Chú ý rằng, khi t thì h ( f , t ) nên với t đủ lớn thì: n( n 1) t O(1) 0, 2 h ( f , t20 ) h ( f , t) suy ra: k 1 q n 1 2 n 1. j 1 dj 2.3. HỆ QUẢ (xem [4]). Giả sử f1 , f2 ,..., fn ( n 3 ) là các hàm nguyên padic không có không điểm chung trên Cp sao cho: f1 + f2 +  + fn = 0. Giả sử rằng j f j(a ) 0, j 1, 2,  , n k , đối với mọi không n điểm a của hàm f j . Khi đó f1 , f2 ,..., fn1 phụ thuộc tuyến tính nếu bất đẳng thức j 1 sau được thực hiện n 1 1 j 1dj k 3. n 2 CHỨNG MINH. Giả sử ngược lại f1 , f2 ,..., fn1 độc lập tuyến tính. Ta định nghĩa một đường cong chỉnh hình g trong P n2 (Cp) như sau: g : Cp P n2(Cp) z  ( f1 ( z ), f 2 ( z ), , f n 1 ( z )) . Chọn n siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong P n2(Cp) là Hj = { zj = 0 }, j = 1 , 2 , ... , n 1 và Hn = { z1 + z2 +  + zn1 = 0 }. Khi đó g thoả mãn các giả thiết của Định lý 2.2, suy ra: k 1 n n (n 2) 1 1 1 2 ( n 2 ) 1, hay là j 1dj k 3. j 1 dj n 2 Điều này mâu thuẫn với giả thiết. 2.4. ĐỊNH LÝ. Giả sử f1 , f2 , . . . , fn ( n 3 ) là các hàm nguyên padic không có không điểm chung trên Cp và các hàm f1 , f 2 , . . . , f n1 độc lập tuyến tính sao cho f 1 + 21  f2 + + fn = 0. Khi đó, ta có: n ( n 1) ( n 2) max ( N ( f j , t )) (n 2) N1 ( f j , t ) t O(1) . 1 j n j 1 2 CHỨNG MINH. Trong P n2(Cp) ta định nghĩa đường cong chỉnh hình g và chọn n siêu phẳng Hj , j = 1 , ... , n như trong chứng minh hệ quả 2.3. Khi đó từ Định lý 2.1 (với cách chọn k = 1), ta có: n (n 2) (n 1) h+(g, t) (n 2) N1 ( F j  g , t ) t O(1) , j 1 2 n (n 2) (n 1) hay là h+(g, t) (n 2) N1 ( f j , t ) t O(1) . j 1 2 Từ đó, suy ra: n ( n 2) ( n 1) max ( N ( f j , t )) (n 2) N1 ( f j , t ) t O(1) . 1 j n 1 j 1 2 Mặt khác N ( f n , t ) N ( f1  fn 1 , t) n ( n 2) ( n 1) max ( N ( f j , t )) (n 2) N1 ( f j , t ) t O(1) . 1 j n 1 j 1 2 Vì vậy: n ( n 2) ( n 1) max ( N ( f j , t )) (n 2) N1 ( f j , t ) t O(1) . 1 j n j 1 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Ha Huy Khoai and Mai Van Tu, padic Nevanlinna Cartan theorem, Inter. J. Math . 6(7), 719731 (1995). 2. S. Lang, Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer – Verlag – New York – Berlin – Heidelberg, (1987). 3. Nguyen Thanh Quang, padic hyperbolicity of the complement of hyperplanes in P n(Cp) , Acta Math. Vietnamica, Vol. 23 , No.1, 143 149 (1998) 4. Nguyen Thanh Quang, Borel's lemma on the padic case, Viet nam J. Math, 26 : 4, 311 – 313 (1998). 5. Y. T. Siu and S. K. Yeung, Defects for ample divisors of abelian varieties, Schwars lemma, and hyperbolic hypersurfaces of low degree, Amer. J. Math. 22 119, 1139 1172 (1997). AN ANALOG OF THE PADIC NEVANLINNA CARTAN THEOREM Nguyen Thanh Quang Nguyen Quoc Hai, Phan Duc Tuan Department of Mathematics, Vinh University SUMMARY By using the technique of Wronskian, we proved an analog of padic NevanlinnaCartan theorem and proved a version of padic Borel/s lemma. 23