Nhị phân mũ của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hàm chấp nhận được

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Nhị phân mũ của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hàm chấp nhận được nghiên cứu tính đặc trưng nhị phân mũ của phương trình thông qua nghiệm của phương trình phi tuyến trong không gian hàm chấp nhận được.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nhị phân mũ của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hàm chấp nhận được

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 NHỊ PHÂN MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC Nguyễn Ngọc Huy Trường Đại học Thủy lợi, email: huynn@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG 2) Ánh xạ (t , )  T (t , ) x là liên tục với mọi x  X . Cho X  ( X ,‖  ‖ ) là một không gian Trong bài toán Cauchy: Banach và B( X ) là tập các toán tử tuyến  du( t ) tính bị chặn trên X . Cho A :   B( X ) là   A( t )u( t ), t   ,  dt một hàm liên tục mạnh hay t  A( t )x là liên u(  )  x  X , tục với x  X . Xét phương trình vi phân tuyến tính với A( t ) (trong trường hợp tổng quát) là dx một toán tử tuyến tính không bị chặn trên X ,  A( t )x, t   , x  X (1.1) thì u( t ) : T( t, )u(  ) là nghiệm của bài toán dt và phương trình có nhiễu: trên (xem Pazy [3]). dx Định nghĩa 2. Không gian vectơ E gồm  A( t )x  f ( t ), t   , x  X (1.2) các hàm đo được Borel trên  gọi là không dt trong đó f :   X . gian hàm Banach nếu 1) E có tính chất dàn Banach với chuẩn Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu tính đặc trưng nhị phân mũ của phương trình (1.1) véctơ trong E thì ( E , ‖  ‖E ) là một không gian thông qua nghiệm của phương trình phi tuyến Banach. Trong đó tính chất dàn Banach thỏa (1.2) trong không gian hàm chấp nhận được. mãn có nghĩa là nếu   E ,  là một hàm đo Kết quả chính đạt được là họ tiến hóa được Borel thỏa mãn | (  )||  (  )|,   h.k.n, T (t , ) của phương trình (1.1) có nhị phân thì   E và ‖ ‖E ‖  ‖E . mũ nếu và chỉ nếu họ tiến hóa bị chặn mũ và 2) Hàm đặc trưng  A thuộc E với A là tồn tại duy nhất nghiệm bị chặn của phương tập đo được hữu hạn và sup ‖ [ t ,t 1] ‖E   , trình (1.2) với nhiễu bị chặn trong không gian t   . Các kết quả này được nêu trong định lý inf ‖ [ t ,t 1] ‖E  0 . t 2.1 và định lý 2.2. 3) E  L1,loc (  ) , với mỗi nửa chuẩn pn 2. NỘI DUNG CHÍNH thuộc L1,loc () tồn tại một số  pn  0 thỏa Trước khi đưa ra kết quả chính, chúng tôi mãn pn ( f )   p ‖ f ‖E , f  E . n nhắc lại một số khái niệm và tính chất (trong Định nghĩa 3. Cho E là không gian hàm tài liệu tham khảo [1] và [2]). Banach và X là không gian Banach. Đặt Định nghĩa 1. Họ toán tử tuyến tính bị chặn  : (, X ) : { f :   X , ‖ f () ‖ E} T  ( T( t, ))t trong không gian Banach X là trang bị bởi chuẩn ‖ f ‖ :‖‖ f () ‖‖E , trong một họ tiến hóa liên tục mạnh nếu: 1) T (t , t )  Id và T (t , r )T (r , )  T (t , ) với đó f là đo được mạnh. Thì  là một không t, r,    . gian Banach và được gọi là không gian 85
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 Banach tương ứng với không gian hàm ‖ T(  ,t )x ‖ Ne ( t  ) ‖ x ‖ , Banach E . (2.3) x  KerP( t ),t   Gọi Cb (  , X ) là không gian các hàm liên Mệnh đề 1. Cho E là không gian hàm tục bị chặn nhận giá trị trong X (trang bị bởi Banach chấp nhận được thì các điều kiện sau chuẩn sup: ‖  ‖ ). Đặt  :   Cb (  , X ) thỏa mãn: trang bị bởi chuẩn ‖ f ‖ : max{‖ f ‖ , ‖ f ‖ } .   Cho   L1,loc (  ) thỏa mãn   0 và Định nghĩa 4. Không gian hàm Banach E 1  E , trong đó 1 được xác định trong gọi là chấp nhận được nếu thỏa mãn: Định nghĩa 4. Với   0 , các hàm    và 1) Tồn tại hằng số M  1 sao cho với mọi khoảng compact [a, b]   ta có:    xác định bởi: t b M(b  a )    ( t )   e  ( t s ) ( s )ds,  |( t )| dt  ‖  ‖E ,   E,  a ‖  [ a,b ] ‖E   ( s t )    ( t )   e  ( s )ds. 2) Cho   E , hàm 1 xác định bởi t t 1 Thì    và   cũng thuộc không gian E . 1 (t ) : t  ( ) d thuộc không gian E . t 1    Nếu sup  | (  )| d   thì    và    3) E là T -bất biến and T -bất biến, T t t và T xác định bởi: N1 là bị chặn và ta có ‖    ‖  ‖ 1 ‖ , 1  e T ( t ) :  ( t   ), t   N2  T  ( t ) :  ( t   ), t   ‖    ‖  ‖ 1 ‖ , trong đó ‖  ‖ 1  e  và tồn tại các hằng số N1 , N 2 thỏa mãn là chuẩn ess sup. ‖ T ‖ N1 , ‖ T ‖ N 2 với mọi    . 2) E gồm các hàm giảm cấp mũ Ví dụ. Các không gian L p (  ),1  p   ;  ( t )  e|t| , với t   và hằng số cố định   0.  t 1  M (  ) :  f  L1,loc (  ) : sup  |f (  )| d    3) E không bao gồm các hàm tăng cấp mũ  t t  t 1 f ( t )  eb|t| với t   và hằng số b  0 . trang bị bởi chuẩn ‖ f ‖M : sup t |f (  )| d Định lý 2.1. Giả thiết họ tiến hóa T( t , ) t xác định bởi phương trình (1.1) có nhị phân là các không gian hàm chấp nhận được. mũ trên  . Khi đó : Định nghĩa 5. Họ tiến hóa ( T( t, ))t ,  1) Với mỗi y   tồn tại duy nhất x   trong không gian Banach X được gọi là có thỏa mãn nhị phân mũ nếu tồn tại phép chiếu tuyến tính x( t )  A( t )x( t )  y( t ) h.k.n t  ; (2.4) bị chặn P( t ),t   trên X và các hằng số 2) Tồn tại K ,  0 sao cho dương N , , thỏa mãn 1) T( t , )P(  )  P( t )T( t , ), t,   , (2.1) ‖ T( t, ) ‖ Ke|t  | , t,  . (2.5) Chứng minh. Với y   , t   ta đặt: ‖ T( t, )x ‖ Ne ( t  ) ‖ x ‖ , t 2) x( t )   T( t , )P(  )y(  )d x  P(  ) X ,t   ,  ‖ T(  ,t )x ‖ Ne ( t  ) ‖ x ‖ ,   T( t, )Q(  )y(  )d , (2.2) t x  KerP( t ), t   , trong đó: Q ( )  Id  P ( ) . ‖ T( t , )x ‖ Ne  ( t  ) ‖x‖, Từ (2.2) và Mệnh đề 1 ta có: 3) x  P(  ) X ,t   , ‖ x( t ) ‖  NU   ( t )  N( 1  U ) ( t ) , 86
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 trong đó: trong đó u( t )  T( t, )x là nghiệm của  (t ) :‖ y (t ) ‖ và U : sup ‖ P(t ) ‖ . phương trình (1.1) với u(  )  x . t Do đó x   . Hơn nữa với t0   , ta có Khi đó Fs và Fu là các không gian con t của X và X  Fs  Fu . x( t )   T( t, )P(  )y(  )d   Với P(  ) : X  Fs và Q(  ) : X  Fu là  T( t , )Q(  )y(  )d các phép chiếu trong phân tích trên với t t P(  )  Q(  )  Id . Thì T( t , )P(  )    T( t, )y(  )d  T( t,t0 )x( t0 ) . P( t )T( t, ) , t,  . t0 Do ánh xạ x  y xác định bởi (2.4) là Ta có: tuyến tính và với mỗi x   thỏa mãn ‖ P(  )x ‖ M ‖ x ‖ (2.6) x(t )  A(t ) x(t ) với t   thì x  0 . Do đó x với M  0 , x  X ,   . là nghiệm duy nhất trong  thỏa mãn (2.4) Do đó tồn tại các hằng số N ,  0 thỏa mãn: h.k.n trên  . ‖ T( t, )x ‖ Ne ( t  ) ‖ x ‖ (2.7) Để chứng minh kết quả thứ 2 của định lý, với: x  P(  )X , t   . từ (2.2) và (2.3) ta có Và: ‖ T( t , )x ‖‖ T( t, )P(  )x ‖ ‖ T( t, )x ‖ Ne (  t ) ‖ x ‖ (2.8)  ‖ T( t , )Q(  )x ‖ với: x  KerP(  )X , t   .  2 N( 1  U )e ( t  ) ‖ x ‖, t   . Từ (2.7) và (2.8) ta được (2.2) thỏa mãn Tương tự: với t   . Với t   , từ (2.5) và (2.6) ta có: ‖ T( t, )x ‖ 2 N( 1  C )e (  t ) ‖ x ‖, t   . ‖ T( t, )P(  )x ‖ Ke|t  | ‖ P(  )x ‖ Do đó (2.5) thỏa mãn với K  2 N 1  C  và   max{  , } .  KMe  ( t  ) ‖ x ‖, Định lý 2.2. Giả thiết rằng với mỗi y   , trong đó   0. Lập luận tương tự với tồn tại duy nhất x   thỏa mãn phương ‖ T( t , )Q( t )x ‖ ta được (2.3) thỏa mãn với trình (2.4) h.k.n trên  và T (t , ) là họ tiến t  . hóa của phương trình (1.1) thỏa mãn điều 3. TÀI LIỆU THAM KHẢO kiện (2.5) thì T (t , ) có nhị phân mũ trên  . Chứng minh. Gọi H là toán tử tuyến tính xác [1] Barreira, Luis and Valls, Claudia, Strong  định bởi ( Hx )( t )  x( t )  A( t )x( t ), t   and weak admissibility of L spaces, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 78 trong miền D( H ) : { x   : Hx   } . Khi (2017), 1-22. đó H là toán tử đóng. [2] Nguyen Thieu Huy, Exponential dichotomy Do H là toán tử đóng và theo định lý đồ thị of evolution equations and admissibility of đóng thì toán tử H có khả nghịch bị chặn function spaces on a half-line, J. Funct. G :  . Anal. 235 (2006), 330-354. Với    , đặt: [3] A. Pazy, Semigroup of Linear Operators   and Application to Partial Differential Fs  x  X :  ,  ( t )T( t, )x   , Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1983. Fu   x  X :   , ( t )T( t , )x    ,  87