Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
86
NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÔNG Ô-TÔ-NÔM
TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM BỊ CHẶN
Nguyễn Ngọc Huy
Trường Đại học Thủy lợi, email: huynn@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Cho (,.)XX là một không gian Banach.
Xét phương trình vi phân tuyến tính không
ô-tô-nôm:
() () (), ,
dx
A
txt Bft t x X
dt  (1.1)
trong đó họ toán tử 0
(())
t
A
tlà tuần hoàn theo
chu kì T,
f
là hàm liên tục thuộc không
gian các hàm bị chặn:
( , ) : { : sup ( ) }
b
t
X
CXv X vt

 ‖‖∣
trang bị bởi chuẩn (, )
:()
bt
CRX X
vsupvt
,
B là toán tử tuyến tính ánh xạ từ không gian
(, )
b
CX vào X.
Bài toán nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
của nghiệm hầu tuần hoàn, tiệm cận hầu tuần
hoàn của các phương trình vi phân có nhiều ý
nghĩa và được các tác giả quan tâm trong thời
gian gần đây như Nguyen, N.H., Nguyen,
T.H. & Vu, T.N.H.[3]; Thuy, T. V., Van, N.
T., & Xuan, P. T. [4].
Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu sự
tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn của phương
trình (1.1). Kết quả chính đạt được là nếu giả
thiết họ toán tử (())
t
At là tuần hoàn theo
chu kì T, f là hàm hầu tuần hoàn thì phương
trình (1.1) có nghiệm hầu tuần hoàn. Kết quả
thu được sau đó mở rộng cho phương trình
nửa tuyến tính. Các kết quả này được nêu
trong Định lý 2.4 và Định lý 2.5.
2. NỘI DUNG CHÍNH
Trước khi đưa ra kết quả chính, chúng tôi
nhắc lại một số khái niệm và tính chất (trong
tài liệu tham khảo [1] và [2]).
Định nghĩa 2.1. Họ toán tử tuyến tính
((,))
t
UUt
trong không gian Banach Xlà
một họ tiến hóa liên tục mạnh nếu:
1) (,)Utt Id
và (, ) ( , ) (, )UtrUr Ut
với ,,tr
.
2) Ánh xạ (, ) (, )tUtx
là liên tục với
mọi
x
X
.
Trong bài toán Cauchy
() () (), ,
() ,
du t Atut t
dt
uxX

với A(t) (trong trường hợp tổng quát) là một
toán tử tuyến tính không bị chặn trên X, thì
(): (, ) ( )ut Ut u
là nghiệm của bài toán trên
(xem Pazy [2]).
Sự tồn tại của họ tiến hóa ((,))
t
UUt
cho ta định nghĩa nghiệm đủ tốt (mild solution)
của phương trình (1.1) là hàm :
x
X xác
định bởi phương trình tích phân:
() (, ) ,( )
t
xt Ut Bf d t


. (2.1)
Tiếp theo chúng tôi nêu ra khái niệm về
hàm hầu tuần hoàn (xem [1]).
Định nghĩa 2.2. Cho X là không gian
Banach. Một hàm liên tục :
f
X được
gọi là hầu tuần hoàn nếu với mọi 0 tồn tại
một số thực 0L
sao cho với mỗi a, ta
có thể tìm được ,[, ]
aaa L

sao cho:
,
()()
a
ft ft

 với mọi t.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
87
Ta sử dụng giả thiết sau đây được dùng
trong phần tiếp theo của bài báo.
Giả thiết 2.3. Giả thiết rằng ()
A
t là tuần
hoàn theo chu kì T, nghĩa là ()()
A
tT At
với 0T là một hằng số cố định với mọi
t. Khi đó theo Pazy ([2, Chương 5, Định
lý 6.1]) ta có ((,))
t
Ut
cũng tuần hoàn theo
chu kì T theo nghĩa:
(, ) (,) Ut T T Ut
 với mọi t
.
Ta thu được kết quả chính như sau:
Định lý 2.4. Giả sử rằng Giả thiết 2.3 được
thỏa mãn. Cho f là hàm hầu tuần hoàn và
nghiệm đủ tốt của phương trình (1.1) thỏa mãn:
(,) (,)
bb
CX CX
uMf

(2.2)
với M là một hằng số dương thì phương trình
(1.1) có nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn trong
không gian (, )
b
CX.
Chứng minh. Với:
0
() (, ) (
,
)
(, ) ( )
t
xt Ut Bf d
Utt Bft d t




là nghiệm đủ tốt của phương trình (1.1) xác
định trong (2.1), theo giả thiết hàm
f
là hầu
tuần hoàn nên với mọi 0 tồn tại một số
thực 0L
sao cho với mỗi a, ta có thể
tìm được ,[, ]
aaa L

sao cho:
,
()()
2
a
ft ft
M

với mọi t
.
với T là chu kì của (())
t
At trong Giả thiết 2.3
ta có:
0
0
() (, )( )
(, ) ( )
x
tT UtTtT BftT d
Utt Bft T d




do (, )(,)Ut Tt T Utt
 (theo Giả
thiết 2.3).
Tương tự ta có:
0
0
()
(, )( )
( , ) ( ) , .
xt nT
U t nT t nT Bf t nT d
Utt Bf t nT d n


 

Khi đó với 0 bất kỳ ở trên, ta đặt
lLT
 . Với a
, ta chọn a
n sao
cho [, ]
a
nT a a l
, thì ,
||
aa
nT l

. Theo
(2.2) ta có:
()()
a
x
tnT xt
0(, ) [ ( ) (B)]
a
Utt ft nT ft d


,
0
,
(, ) [ ( ) ( )
()()]
Baa
a
Utt ft nT ft
ft ft d




,
,
()()
()()
aa
a
fnTf
M
ff

 




. , t
Do đó x(t) là nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn
của phương trình (1.1).
Tiếp theo ta xét phương trình nửa tuyến tính:
() () ( )(), ,
dx
A
txt Bgx t t x X
dt
 (2.3)
trong đó họ toán tử A(t) thỏa mãn giả thiết
của phương trình tuyến tính (1.1) và toán tử
phi tuyến :(,) (,)
bb
g
CXCX thỏa mãn
các điều kiện sau:
(1) (,)
(0)
b
CX
g
trong đó
là một hằng
số không âm.
(2) g ánh xạ một hàm tuần hoàn chu kì T
thành một hàm tuần hoàn chu kì T.
(3) Tồn tại các hằng số dương
và L thỏa
mãn 12 12
(,) (,)
() ()
bb
CX CX
gv gv Lv v

với mọi 12
,(,) b
vv C X
và 12
(,) (,)
,
bb
CX CX
vv

. (2.4)
Khi đó nghiệm đủ tốt của phương trình (2.3)
là hàm :
x
X xác định bởi:
() (, ) ( )( ) ,
t
xt U t Bg x d t


. (2.5)
Ta được kết quả về sự tồn tại và duy nhất
nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình (2.3)
như sau.
Định lý 2.5. Giả thiết các điều kiện của
Định lý 2.4 được thỏa mãn và hàm g thỏa mãn
các điều kiện trong (2.4). Khi đó nếu L và
đủ nhỏ thì phương trình (2.3) có duy nhất
nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn ˆ
x
thuộc hình cầu
bán kính
trong không gian (, )
b
CX.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
88
Chứng minh. Xét hình cầu ,ap
B
xác định
bởi ,(,)
:{ (, ): }
b
ap b CX
BvCXv

trong
đó v là hàm hầu tuần hoàn. Với ,ap
v
B
ta
định nghĩa ánh xạ
như sau:
():vx
với (, )
b
x
CXlà nghiệm hầu tuần hoàn
của phương trình:
() () ( )(), ,
dx
A
txt Bgv t t x X
dt  (2.6)
Khi đó với L và
đủ nhỏ thì phép biến đổi
()v ánh xạ ,ap
B
vào chính nó và là ánh xạ
co. Do với ,ap
v
B
, theo tính chất của g thỏa
mãn (2.4) ta có:
(,) (,) (,)
() () (0) (0)
.
bbb
CX CX CX
gv gv g g
L




Áp dụng Định lý 2.4 cho phương trình
(2.6) và từ (2.1) ta được x(t) là nghiệm hầu
tuần hoàn của phương trình (2.6) thỏa mãn:
(,) (,)
() ( )
bb
CX CX
xMgv ML

 .
Do đó với L và
đủ nhỏ thì phép biến đổi
()v ánh xạ ,ap
B
vào chính nó.
Theo công thức (2.5) ta có nghiệm đủ tốt
của phương trình (2.6) được cho bởi:
()() () (,) ()() ,
t
vt xt Ut Bgv d t



(2.7)
với 12
,(,) b
vv C X, từ (2.7) và áp dụng lần
nữa Định lý 2.4 ta có hàm:
12
:() ()
x
vv
 là nghiệm đủ tốt hầu
tuần hoàn của phương trình:
12
() () () ( ( ) ( ))()
x
t Atxt Bgv gv t

và ta được:
12 12
(,) (,)
() () () ()
bb
CX CX
vv Mgvgv

12
(,)
b
CX
ML v v
.
Do đó với L và
đủ nhỏ, ánh xạ
,,
:ap ap
B
B
 là ánh xạ co nên tồn tại duy
nhất điểm bất động ˆ
x
của và theo cách
xác định của ánh xạ
thì ˆ
x
là nghiệm hầu
tuần hoàn duy nhất của phương trình (2.3).
3. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] B.M. Levitan, V.V. Zhikov, Almost Periodic
Functions and Differential Equations,
Cambridge University Press, 1982.
[2] A. Pazy, Semigroup of Linear Operators
and Application to Partial Differential
Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1983.
[3] Nguyen, N.H., Nguyen, T.H. & Vu, T.N.H.
Almost periodic motions and their
stability of the non-autonomous Oseen-
Navier-Stokes flows. Arch. Math. (2024).
https://doi.org/10.1007/s00013-024-02044-3.
[4] Thuy, T. V., Van, N. T., & Xuan, P. T.
(2024). On asymptotically almost periodic
solutions of the parabolic-elliptic Keller-
Segel system on real hyperbolic manifolds.
Dynamical Systems, 1-18.