intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề của lý thuyết Nevanlinna ứng dụng cho đa thức vi phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:88

14
lượt xem
5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học "Một số vấn đề của lý thuyết Nevanlinna ứng dụng cho đa thức vi phân" trình bày các nội dung chính sau: Không điểm của các đa thức vi phân của hàm phân hình; Phân bố giá trị của đa thức vi phân của hàm phân hình; Tính duy nhất của các hàm phân hình trong trường hợp các đa thức vi phân chung một hàm nhỏ.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề của lý thuyết Nevanlinna ứng dụng cho đa thức vi phân

  1. VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM VI›N TON HÅC NGUY™N VI›T PH×ÌNG MËT SÈ V‡N — CÕA LÞ THUY˜T NEVANLINNA V€ ÙNG DÖNG CHO A THÙC VI PH…N LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC H  Nëi - 2022
  2. VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM VI›N TON HÅC NGUY™N VI›T PH×ÌNG MËT SÈ V‡N — CÕA LÞ THUY˜T NEVANLINNA V€ ÙNG DÖNG CHO A THÙC VI PH…N Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 9 46 01 02 LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS.TSKH. T¤ Thà Ho i An H  Nëi - 2022
  3. Líi cam oan „æi xin ™—m 1o—n 1¥y l  ™æng tr¼nh nghi¶n ™ùu ™õ— tæi d÷îi sü h÷îng d¨n ™õ— €qƒF „ƒurF „¤ „hà ro i enF g¡™ k¸t qu£ trong luªn ¡n vi¸t ™hung vîi ™¡™ t¡™ gi£ kh¡™ 1¢ 1÷ñ™ sü nh§t tr½ ™õ— 1çng t¡™ gi£ khi 1÷— v o luªn ¡nF g¡™ k¸t qu£ 1÷ñ™ n¶u trong luªn ¡n l  trung thü™ v  ™h÷— tøng 1÷ñ™ —i ™æng ˜è trong ˜§t ký ™æng tr¼nh n o kh¡™F T¡c gi£ Nguy¹n Vi»t Ph÷ìng i
  4. Líi c£m ìn vuªn ¡n 1÷ñ™ ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n ™õ— €qƒF „ƒurF „¤ „hà ro i enD mët nh  gi¡o m¨u mü™D nh  kho— hå™ tªn t¥m 1¢ khæng ™h¿ 1ành h÷îng v  d¼u d­t t¡™ gi£ tr¶n ™on 1÷íng nghi¶n ™ùuD m  ™án luæn qu—n t¥m v  d¤y ˜£o ™ho t¡™ gi£ nhúng ˜ i hå™ quþ gi¡ trong ™uë™ sèngF víi 1¦u ti¶nD t¡™ gi£ xin 1÷ñ™ ph²p ˜ y tä láng ˜i¸t ìn s¥u s­™ nh§t 1¸n ng÷íi ™æ 1¡ng k½nhF „¡™ gi£ xin 1÷ñ™ tr¥n trång ™£m ìn f—n l¢nh 1¤o †i»n „o¡n hå™ E †i»n r n l¥m uho— hå™ v  gæng ngh» †i»t x—mD „rung t¥m 1 o t¤o s—u 1¤i hå™D ™¡™ pháng ™hù™ n«ng v  ™¡™ nh  kho— hå™ ™õ— †i»n „o¡n hå™ 1¢ gióp 1ïD t¤o 1i·u ki»n thuªn lñi nh§t ™ho t¡™ gi£ trong qu¡ tr¼nh hå™ tªp v  nghi¶n ™ùu t¤i †i»nF „¡™ gi£ ™ông xin tr¥n trång ™£m ìn pháng 0¤i sè v  vþ thuy¸t sè 1¢ t¤o 1i·u ki»n thuªn lñi 1º t¡™ gi£ 1÷ñ™ th—m gi— ™¡™ ˜uêi sinh ho¤t kho— hå™ ™õ— li¶n phángF „¡™ gi£ xin ™h¥n th nh ™£m ìn f—n qi¡m hi»u tr÷íng 0¤i hå™ uinh t¸ v  u£n trà uinh do—nh E 0¤i hå™ „h¡i xguy¶nD uho— uho— hå™ ™ì ˜£n v  ™¡™ th¦y ™æ gi¡o trong fë mæn „o¡n 1¢ luæn 1ëng vi¶n v  t¤o 1i·u ki»n tèt nh§t 1º t¡™ gi£ ho n th nh 1÷ñ™ luªn ¡n n yF xh¥n dàp n y t¡™ gi£ ™ông xin gûi líi ™£m ìn s¥u s­™ tîi €qƒF „ƒF r  „r¦n €h÷ìng 1¢ d nh ™ho t¡™ gi£ nhúng t¼nh ™£m v  sü 1ëng vi¶n gióp 1ï quþ ˜¡uF guèi ™òngD xin d nh mân qu  tinh th¦n n y d¥ng t°ng fèD wµD ™¡™ —nh ™hà em trong 1¤i gi— 1¼nh th¥n y¶uD t°ng ng÷íi vñ hi·n y¶u d§uD nhúng ng÷íi 1¢ ™hàu nhi·u khâ kh«n v  d nh h¸t nhúng t¼nh ™£m y¶u th÷ìngD 1ëng vi¶n t¡™ gi£ ho n th nh k¸t qu£ nghi¶n ™ùu ™õ— m¼nhF T¡c gi£ Nguy¹n Vi»t Ph÷ìng ii
  5. Möc löc víi ™—m 1o—n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F i víi ™£m ìn F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ii Mð ¦u 1 1 Khæng iºm cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 7 IFI wët sè ki¸n thù™ ™hu©n ˜à F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F U IFIFI vþ thuy¸t xev—nlinn— ™ê 1iºn F F F F F F F F F F F F F F F F F F U IFIFP wët sè k¸t qu£ ™õ— ‰—m—noi F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IP IFP ×î™ l÷ñng khæng 1iºm ™õ— 1— thù™ vi ph¥n ™õ— h m ph¥n h¼nh F F F IS IFQ u¸t luªn F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PH 2 Ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 22 PFI u—n h» sè khuy¸t ™õ— 1— thù™ vi ph¥n ™õ— h m ph¥n h¼nh F F F F F PQ PFP wð rëng ™õ— gi£ thuy¸t r—ym—n ™ho mët sè d¤ng 1— thù™ vi ph¥n F F PT PFQ u¸t luªn F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QU 3 T½nh duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp c¡c a thùc vi ph¥n chung mët h m nhä 39 QFI g¡™ h m ph¥n h¼nh ™hung mët h m nhä F F F F F F F F F F F F F F F F QW QFP g¡™ 1— thù™ vi ph¥n ™õ— ™¡™ h m ph¥n h¼nh ™hung mët h m nhä F F SP QFQ u¸t luªn F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F UQ K¸t luªn cõa luªn ¡n 75 T i li»u tham kh£o 79 iii
  6. Mð ¦u 0ành lþ ™ì ˜£n ™õ— 0¤i sè nâi r¬ng mët 1— thù™ ˜ª™ n tr¶n tr÷íng sè phù™ C ™â 1óng n khæng 1iºmF † o nhúng n«m ™uèi ™õ— th¸ k' IV 1¦u th¸ k' IWD ™¡™ nh  to¡n hå™ 1¢ ph¡t triºn nhúng k¸t qu£ 1¤t 1÷ñ™ v· sü ph¥n ˜è gi¡ trà ™õ— ™¡™ 1— thù™ l¶n 1èi t÷ñng l  ™¡™ h m nguy¶n trong m°t ph¯ng phù™F „rong thíi gi—n n yD forel 1¢ th nh ™æng trong vi»™ k¸t hñp v  ™£i ti¸n ™¡™ k¸t qu£ ™õ— €i™—rdD €oin™—r² v  r—d—m—rd ™ho ™¡™ h m nguy¶n v  lþ thuy¸t ph¥n ˜è gi¡ trà ˜­t 1¦u h¼nh th nhF vþ thuy¸t n y nghi¶n ™ùu mªt 1ë ™õ— ™¡™ 1iºm m  t¤i 1â h m ph¥n h¼nh nhªn mët gi¡ trà ™ö thºF wët 1âng gâp nêi ˜ªt ™õ— lþ thuy¸t ph¥n ˜è gi¡ trà ™ho ™¡™ h m ph¥n h¼nh 1¢ 1÷ñ™ nh  to¡n hå™ ng÷íi €h¦n v—n ‚olf xev—nlinn— 1÷— r—F ƒ—u n yD ™¡™ k¸t qu£ 1â 1¢ g­n li·n vîi t¶n tuêi ™õ— æng v  th÷íng 1÷ñ™ nh­™ 1¸n vîi t¶n gåi vþ thuy¸t xev—nlinn—F ƒü r— 1íi ™õ— lþ thuy¸t n y 1÷ñ™ 1¡nh gi¡ l  mët trong nhúng th nh tüu 1µp 1³ v  s¥u s­™ nh§t trong ng nh gi£i t½™h phù™ v  ng y ™ ng ™â nhi·u ùng döng trong nhúng l¾nh vü™ kh¡™ nh—u ™õ— to¡n hå™D ™h¯ng h¤n nh÷ lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥nD lþ thuy¸t hå ™hu©n t­™D h¼nh hå™ phù™ v  lþ thuy¸t sèDFFFF „r£i qu— g¦n mët tr«m n«mD h÷îng nghi¶n ™ùu 1¢ 1÷ñ™ ph¡t triºn r§t m¤nh m³ v  1¢ ™hùng ki¸n sü 1âng gâp to lîn ™õ— ™¡™ nh  to¡n hå™ n÷î™ ngo i nh÷ qol9d˜ergD ystrovskiiD ehlforsD ƒhimizuD hr—sinD r—ym—nD fergweilerD v—ngleyD ‚uD †ojt—D ‰—m—noiDFFF v  ™¡™ nh  to¡n hå™ trong n÷î™ nh÷ vF †F „hi¶mD rF rF uho¡iD 0F 0F „h¡iD ƒF 0F u—ngD „F †F „§nD „F „F rF enDFFFF „uy nhi¶nD vîi t¦m qu—n trång trong gi£i t½™h phù™D h÷îng nghi¶n ™ùu n y v¨n 1—ng ti¸p tö™ thu hót 1÷ñ™ sü qu—n t¥m ™õ— ™¡™ nh  to¡n hå™F wö™ ti¶u ™õ— ™¡™ nh  to¡n hå™ l  1÷— r— ™¡™ ˜§t 1¯ng thù™ giú— h m 1¸mD h m x§p x¿ v  h m 1°™ tr÷ng ™õ— h m ph¥n h¼nhD thæng qu— ™¡™ ˜§t 1¯ng thù™ 1⠙â thº xem x²t sü ph¥n ˜è gi¡ trà ™õ— ™¡™ h m ph¥n h¼nh v  t¼m ™¡™ ùng döng ™õ— ™¡™ k¸t qu£ 1âF f i to¡n qu—n trång trong lþ thuy¸t n y l  nghi¶n ™ùu mèi qu—n h» giú— ™¡™ khæng 1iºmD ™ü™ 1iºm ™õ— mët h m v  1¤o h m ™õ— h m 1âF x«m IWPPD €âly— ‘RQ“ 1¢ ™hùng m¼nh r¬ng n¸u h m ph¥n h¼nh f ™â ½t nh§t h—i ™ü™ 1iºm th¼ vîi méi sè nguy¶n d÷ìng k 1õ lînD 1¤o h m ™§p k ™õ— h m ph¥n h¼nh 1⠙⠽t nh§t mët khæng I
  7. 1iºmF vi¶n qu—n tîi k¸t qu£ 1âD qol9d˜erg ‘IW“ 1¢ 1°t r— gi£ thuy¸t s—uX gho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C v  k ≥ 2 l  mët sè nguy¶nF uhi 1âD t— ™â 1 N (r, f ) ≤ N r, + o(T (r, f )), f (k) khi r → ∞ ngo i mët tªp ™â 1ë 1o húu h¤nD trong 1â T (r, f ) l  h m 1°™ tr÷ng xev—nlinn—D N (r, f ) l  h m 1¸m ™¡™ ™ü™ 1iºm khæng t½nh ˜ëi ™õ— f v  N r, f (k) l  1 h m 1¸m ™¡™ khæng 1iºm ™õ— 1¤o h m ™§p k ™õ— h m f t½nh ™£ ˜ëiF qi£ thuy¸t ™õ— qol9d˜erg ™h¿ 1óng vîi ™¡™ 1¤o h m ™â ™§p ½t nh§t l  h—iD ™hóng t— x²t v½ dö 1ìn gi£n l  h m f (z) = tan z D khi 1â h m f ™â væ sè ™ü™ 1iºm trong khi 1¤o h m ™§p mët f khæng ™â khæng 1iºmF x«m IWVTD pr—nk v  ‡eissen˜orn ‘IV“ 1¢ ™hùng minh gi£ thuy¸t qol9d˜erg ˜¬ng ph÷ìng ph¡p ‡ronski—n 1èi vîi tr÷íng hñp h m ph¥n h¼nh f ™h¿ ™â ™¡™ ™ü™ 1iºm 1ìnF ƒ—u 1âD v—ngley ‘PS“ 1¢ ™hùng minh r¬ng n¸u f l  mët h m ph¥n h¼nh ™§p húu h¤n thä— m¢n 1i·u ki»n 1¤o h m ™§p h—i f ™â húu h¤n khæng 1iºm th¼ f ™â húu h¤n ™ü™ 1iºmF x«m PHIQD ˜¬ng vi»™ x¥y düng h m x§p x¿ hi»u ™h¿nh v  1÷— r— ™¡™ ™h°n ™ho h m x§p x¿ 1âD ‰—m—noi ‘QQ“ 1¢ t¤o r— mët ˜÷î™ 1ët ph¡ trong lþ thuy¸t xev—nlinn— vîi ™hùng minh ho n to n gi£ thuy¸t qol9d˜erg v  thªm ™h½ k¸t qu£ ™õ— æng 1÷— r— ™án m¤nh hìn gi£ thuy¸t ˜—n 1¦uF †i»™ ™hùng minh gi£ thuy¸t qol9d˜erg ™â þ ngh¾— r§t lîn trong lþ thuy¸t ph¥n ˜è gi¡ tràD nâ 1¢ gióp ™ho ™¡™ nh  to¡n hå™ v÷ñt qu— nhi·u khâ kh«n trong vi»™ gi£i quy¸t ™¡™ ˜ i to¡n qu—n trång ™õ— lþ thuy¸t ph¥n ˜è gi¡ trà ™õ— ™¡™ h m ph¥n h¼nhF qi£ sû f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v  a ∈ C. u½ hi»u 1 1 m r, f −a N r, f −a δ(a, f ) = lim inf = 1 − lim sup r→∞ T (r, f ) r→∞ T (r, f ) l  sè khuy¸t Nevanlinna ™õ— h m f v  1 N r, f −a Θ(a, f ) = 1 − lim sup r→∞ T (r, f ) l  ph¥n nh¡nh to n ph¦n ™õ— f. „ø ™¡™ 1ành ngh¾— tr¶nD ™hóng t— d¹ d ng thu 1÷ñ™ ™¡™ ™h°n s—uX 0 ≤ δ(a, f ) ≤ Θ(a, f ) ≤ 1. w°t kh¡™D 0ành lþ ™ì ˜£n thù h—i ™õ— xev—nlinn— ™ho ™hóng t— th§y têng t§t ™£ ™¡™ sè khuy¸t ™õ— mët h m ph¥n h¼nh luæn ˜à ™h°n tr¶n ˜ði 2 v  1¥y l  ˜à ™h°n tèt nh§t 1èi vîi h m ph¥n h¼nh khi x²t trong tr÷íng hñp têng qu¡tF „uy nhi¶nD 1èi vîi mët sè lîp h m hµp hìnD ™h°n tr¶n n y ™â thº 1÷ñ™ gi£m xuèngF „hªt vªyD vîi ™hó P
  8. þ r¬ng t§t ™£ ™¡™ ™ü™ 1iºm ™õ— 1¤o h m ™§p k ™õ— h m ph¥n h¼nh f 1·u ™â ˜ëi ½t nh§t l  k + 1, r—ym—n ‘PI“ 1¢ ™h¿ r— r¬ngD vîi måi k ∈ N, 1 Θ(a, f (k) ) ≤ 1 + . k+1 a∈C x«m IWUID wues ‘RI“ 1¢ ™hùng minh d§u ˜¬ng trong ˜§t 1¯ng thù™ tr¶n x£y r— khi f l  mët nghi»m ™õ— ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ‚i™™—ti vîi ™¡™ h» sè h¬ngF 0i·u 1⠙hùng tä ˜§t 1¯ng thù™ tr¶n ™õ— r—ym—n l  tèt nh§tF uhi th—y ph¥n nh¡nh to n ph¦n Θ(a, f (k) ) ˜ði sè khuy¸t δ(a, f (k) ) trong ˜§t 1¯ng thù™ tr¶n th¼ ™h°n tr¶n thu 1÷ñ™ ™â thº l  mët sè nhä hìn thü™ süF gö thºD wues 1¢ ™hùng minh r¬ng k 2 + 5k + 4 1 δ(a, f (k) ) ≤
  9. h¬ng ™h¿ ™â thº ™â nhi·u nh§t h—i gi¡ trà €i™—rd húu h¤nF x«m IWSWD r—ym—n 1¢ ™hùng minh r¬ng 1¤o h m ™§p k (k ≥ 1) ™õ— mët h m ph¥n h¼nh ˜§t ký ™â thº ™â nhi·u nh§t mët gi¡ trà €i™—rd húu h¤nF 0èi vîi tr÷íng hñp h m nguy¶nD k¸t qu£ ™õ— willoux ‘PP“ ™h¿ r— r¬ng n¸u mët h m nguy¶n si¶u vi»t ™â mët gi¡ trà €i™—rd húu h¤n th¼ ™¡™ 1¤o h m ™õ— nâ nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡™ khæng væ sè l¦nF u¸t qu£ n y s—u 1â 1÷ñ™ mð rëng ™ho h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t ˜ði r—ym—n ‘PI“F wët 1iºm h¤n ™h¸ trong ™¡™ k¸t qu£ tr¶n 1â l  y¶u ™¦u h m ph¥n h¼nh ™â gi¡ trà €i™—rd húu h¤nF wët ™¥u häi tü nhi¶n 1÷ñ™ 1°t r— l  li»u gi£ thi¸t v· sü tçn t¤i ™õ— gi¡ trà €i™—rd ™â thº ˜ä 1i h—y khæng n¸u t— xem x²t mët lîp h m ph¥n h¼nh n o 1âc vi¶n qu—n 1¸n v§n 1· n yD r—ym—n ‘PI“ 1¢ ™hùng minh r¬ngX Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C v  n ≥ 3 l  mët sè nguy¶n. Khi â, f n f nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n. Æng gi£ thuy¸t r¬ng k¸t qu£ n y 1óng vîi måi n ≥ 1. x«m IWUWD wues ‘RP“ 1¢ 1÷— r— ™hùng minh ™ho tr÷íng hñp n = 2. 0¸n n«m IWWSD fergweiler v  iremenko ‘IH“ v  ghen v  p—ng ‘IR“ 1¢ 1÷— r— ™hùng minh ™ho tr÷íng hñp n = 1F „h—y ™ho vi»™ ™h¿ x²t ˜ i to¡n ™ho 1ìn thù™ vi ph¥nD r—ym—n ‘PI“ 1¢ 1÷— r— ™¥u häiX N¸u f l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C, n ≥ 3 v  a = 0 th¼ ϕ = f − af n nhªn méi gi¡ trà húu h¤n væ sè l¦n? Æng 1¢ ™hùng minh 1÷ñ™ r¬ng kh¯ng 1ành 1â 1óng khi n ≥ 5 v  ™ông 1÷— r— ™¡™ ph£n v½ dö 1º ™h¿ r— r¬ng kh¯ng 1ành tr¶n khæng 1óng khi n = 1 v  n = 2. „uy nhi¶nD wues ‘RP“ 1¢ 1÷— r— ™¡™ ph£n v½ dö 1º ™h¿ r— r¬ng kh¯ng 1ành 1â khæng 1óng vîi n = 3, 4 ˜¬ng vi»™ x²t h m f l  nghi»m kh¡™ h¬ng ˜§t ký ™õ— ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ‚i™™—ti w = −(1 + 2η)(w + 1)(w + η) (vîi η = e2πi/3 ) ™ho tr÷íng hñp n = 3 v  ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ‚i™™—ti w = 2(w2 + 1) ™ho tr÷íng hñp n = 4. x«m IWVPD h¤ringer o ‘IS“ 1¢ ™hùng minh r¬ng k¸t qu£ tr¶n 1÷ñ™ thä— m¢n n¸u th—y ϕ = f − af n ˜ði ϕ = f (k) − af n khi n ≥ k + 4. wö™ ti¶u ti¸p theo 1÷ñ™ ™hóng tæi nghi¶n ™ùu trong luªn ¡n n y 1â l X ˆem x²t ph¥n ˜è gi¡ trà ™õ— 1— thù™ vi ph¥n têng qu¡t hìnF „hæng th÷íng vîi méi k¸t qu£ tr¶n trong lþ thuy¸t ph¥n ˜è gi¡ tràD ™hóng t— hy vång ™â mët k¸t qu£ t÷ìng ùng v· sü x¡™ 1ành duy nh§t ™õ— ™¡™ h mF x«m IWWTD p—ng v  ru— ‘IU“ 1¢ xem x²t sü x¡™ 1ành duy nh§t ™õ— ™¡™ h m nguy¶n f thæng qu— £nh ng÷ñ™ ™õ— 1— thù™ vi ph¥n f f n . ƒ—u 1âD k¸t qu£ n y 1÷ñ™ ‰—ng v  ru— ‘QS“ mð rëng ™ho tr÷íng hñp ™¡™ h m ph¥n h¼nhF f i to¡n ™ho 1— thù™ vi ph¥n ™§p mët f f n (f − 1) 1÷ñ™ ™hùng minh ˜ði p—ng v  rong ‘IT“ khi f l  h m nguy¶n v  ˜ði vin v  ‰i ‘PU“ khi f l  h m ph¥n h¼nhF x«m PHIQD fouss—f v  ™¡™ 1çng nghi»p ‘IP“ 1¢ x²t ˜ i to¡n ™ho tr÷íng hñp têng qu¡t hìn ˜¬ng vi»™ 1÷— r— ™¡™ 1i·u ki»n th½™h hñp v· sè ˜ëi ™õ— ™¡™ khæng 1iºm ™õ— 1¤o h m ™õ— 1— thù™ Q(z) s—o ™ho vîi h—i h m ph¥n h¼nh f v  g D n¸u (Q(f )) v  (Q(g)) ™hung mët h m nhä α t½nh ™£ R
  10. ˜ëi th¼ f = g. f¶n ™¤nh 1â mët sè t¡™ gi£ kh¡™ ™h¯ng h¤n nh÷X fhoosnurm—th— v  hy—v—n—l ‘II“D —ng ‘QV“D ˆu ™òng 1çng nghi»p ‘QI“DFFF 1¢ x²t ™ho tr÷íng hñp 1— thù™ vi ph¥n ™§p ™—o hìnF ghó þ r¬ng ™¡™ k¸t qu£ tr¶n 1·u x²t 1— thù™ vi ph¥n ™â d¤ng [f n P (f )](k) v  k¸t luªn r¬ng n¸u f v  g l  ™¡™ h m ph¥n h¼nh thä— m¢n [f n P (f )](k) − α v  [g n P (g)](k) − α ™hung khæng 1iºmD vîi α l  h m nhä v  n l  sè nguy¶n d÷ìng 1õ lînD th¼ f = g. „uy nhi¶nD ™hóng tæi nhªn th§y ™â mët sè h¤n ™h¸ li¶n qu—n 1¸n ™¡™ k¸t qu£ n yF gö thºD ™¡™ t¡™ gi£ ™h¿ x²t ™¡™ 1— thù™ ™â ½t nh§t mët khæng 1iºm ™§p 1õ ™—o v  ™¡™ h m nhä α ph£i ™â húu h¤n khæng 1iºm v  ™ü™ 1iºmF †¼ vªyD mö™ ti¶u ti¸p theo ™õ— ™hóng tæi l  x²t ˜ i to¡n tr¶n ™ho ™¡™ ˜iºu di¹n têng qu¡t hìn v  ˜ä qu— 1i·u ki»n v· t½nh húu h¤n ™õ— ™¡™ khæng 1iºm v  ™ü™ 1iºm ™õ— h m nhä α. 0çng thíiD ™hóng tæi ™ông 1÷— r— ™¡™ k¸t qu£ trong tr÷íng hñp ™¡™ 1— thù™ vi ph¥n ™hung mët h m nhä khæng t½nh ˜ëiF vuªn ¡n 1÷ñ™ ™hi— th nh ˜— ™h÷ìng ™òng vîi ph¦n mð 1¦uD k¸t luªn v  t i li»u th—m kh£oF gh÷ìng ID ngo i ph¦n 1¦u d nh ™ho vi»™ tr¼nh ˜ y mët sè kh¡i ni»m ™ì ˜£n 1÷ñ™ dòng trong luªn ¡nD ™hóng tæi 1÷— r— ™¡™ k¸t qu£ v· ™¡™ khæng 1iºm ™õ— 1— thù™ vi ph¥n ™õ— ™¡™ h m ph¥n h¼nh @0ành lþ IFPFIAF 0ành lþ n y 1÷— r— mèi li¶n h» giú— sè ™ü™ 1iºm ™õ— mët h m ph¥n h¼nh v  sè khæng 1iºm ™õ— 1— thù™ vi ph¥n ™õ— h m ph¥n h¼nh 1âF xh÷ mët h» qu£ ™õ— 0ành lþ IFPFI ™hóng tæi thu 1÷ñ™ k¸t qu£ ™õ— ‰—m—noi trong tr÷íng hñp 1°™ ˜i»t v  mð rëng gi£ thuy¸t qol9d˜ergF u¸t qu£ nghi¶n ™ùu ™õ— ™hóng tæi trong ™h÷ìng n y dü— v o ˜ i ˜¡o ‘S“F gh÷ìng P d nh ™ho vi»™ nghi¶n ™ùu ph¥n ˜è gi¡ trà ™õ— ™¡™ 1— thù™ vi ph¥nF €h¦n 1¦u ™õ— ™h÷ìng 1÷— r— qu—n h» sè khuy¸t ™ho 1— thù™ vi ph¥n ™õ— h m ph¥n h¼nh @0ành lþ PFIFIAF 0ành lþ n y l  mët ùng döng trü™ ti¸p ™õ— 0ành lþ IFPFI trong gh÷ìng I v  1çng thíi ™ông ™ho t— mët d¤ng têng qu¡t hìn ™õ— gi£ thuy¸t wues ™ho 1— thù™ vi ph¥n ™õ— ™¡™ h m ph¥n h¼nhF €h¦n ™uèi ™õ— ™h÷ìng n y 1÷ñ™ d nh ™ho vi»™ nghi¶n ™ùu ph¥n ˜è gi¡ trà ™õ— ™¡™ 1— thù™ vi ph¥n ™õ— h m ph¥n h¼nhF „rong ph¦n n yD ™¡™ 0ành lþ PFPFID PFPFS v  PFPFU l  ™¡™ mð rëng ™õ— gi£ thuy¸t r—ym—n ™ho ™¡™ 1— thù™ vi ph¥n têng qu¡t hìnF gh÷ìng P 1÷ñ™ tr¼nh ˜ y dü— v o ™¡™ ˜ i ˜¡o ‘SD U“F gh÷ìng Q tr¼nh ˜ y ™¡™ k¸t qu£ v· t½nh duy nh§t ™õ— ™¡™ h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp ™¡™ 1— thù™ vi ph¥n ™hung mët h m nhäF €h¦n 1¦u ™õ— ™h÷ìng 1÷— r— ™¡™ 1°™ tr÷ng ™õ— ™¡™ h m ph¥n h¼nh ™hung nh—u mët h m nhä trong ™¡™ tr÷íng hñp t½nh ™£ ˜ëi v  khæng t½nh ˜ëi @0ành lþ QFIFPD 0ành lþ QFIFR v  0ành lþ QFIFSAF €h¦n ™uèi ™õ— ™h÷ìng 1÷— r— ™¡™ ùng döng ™õ— ™¡™ 1ành lþ ð ph¦n 1¦u ™ho vi»™ nghi¶n ™ùu t½nh duy nh§t ™õ— ™¡™ h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp ™¡™ 1— thù™ vi S
  11. ph¥n ™hung nh—u mët h m nhä 1÷ñ™ thº hi»n trong nëi dung ™õ— ™¡™ 1ành lþX 0ành lþ QFPFI 1¸n 0ành lþ QFPFTD 0ành lþ QFPFV v  0ành lþ QFPFWF u¸t thó™ ph¦n n yD ™hóng tæi 1÷— r— 1°™ tr÷ng nghi»m ™õ— ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Q(f ) = Q(g) + c trong 1â Q(z) l  1— thù™ vîi h» sè tr¶n C, f, g l  ™¡™ h m ph¥n h¼nh v  c l  mët h¬ng sè phù™F xëi dung ™õ— ™h÷ìng dü— v o ™¡™ ˜ i ˜¡o ‘TD VD PV“F T
  12. Ch÷ìng 1 Khæng iºm cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh „rong ™h÷ìng n y ngo i vi»™ tr¼nh ˜ y mët sè ki¸n thù™ ™hu©n ˜à ™ho ™¡™ nëi dung ™h½nhD ™hóng tæi tr¼nh ˜ y k¸t qu£ nghi¶n ™ùu v· khæng 1iºm ™õ— ™¡™ 1— thù™ vi ph¥n ™õ— h m ph¥n h¼nhF †îi þ t÷ðng sû döng ™¡™ ÷î™ l÷ñng thæng qu— h m x§p x¿ hi»u ™h¿nhD ™hóng tæi 1÷— r— mèi li¶n h» giú— sè ™ü™ 1iºm ™õ— h m ph¥n h¼nh v  sè khæng 1iºm ™õ— mët 1— thù™ vi ph¥n ™õ— h m ph¥n h¼nh 1âF „rong tr÷íng hñp 1°™ ˜i»tD k¸t qu£ ™õ— ™hóng tæi thu 1÷ñ™ k¸t qu£ 1¢ ˜i¸t ™õ— ‰—m—noi ‘QQ“ v  gi£ thuy¸t ™õ— qold9˜ergF u¸t qu£ nghi¶n ™ùu ™õ— ™hóng tæi trong ™h÷ìng n y dü— v o ˜ i ˜¡o ‘S“F „r÷î™ h¸tD ™hóng tæi tr¼nh ˜ y mët sè ki¸n thù™ ™ì ˜£n trong lþ thuy¸t xev—nlinn— ™ê 1iºn v  mët sè k¸t qu£ ™õ— ‰—m—noiF 1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.1.1 Lþ thuy¸t Nevanlinna cê iºn „rong ph¦n n y ™hóng tæi tr¼nh ˜ y mët sè kh¡i ni»m ™ì ˜£n trong lþ thuy¸t ph¥n ˜è gi¡ trà ™ê 1iºn dòng ™ho vi»™ nghi¶n ™ùu ™¡™ nëi dung ™h½nhF g¡™ kh¡i ni»m v  ™¡™ k¸t qu£ ™ì ˜£n n y ™hõ y¸u 1÷ñ™ th—m kh£o trong ™¡™ t i li»u ‘IQD PPD PW“F ghóng t— nh­™ l¤i mët trong nhúng k¸t qu£ qu—n trång ™õ— gi£i t½™h phù™ 1â l  ™æng thù™ tensenF gæng thù™ n y ™ho t— ™¡™h t½nh mæ1un ™õ— h m ph¥n h¼nh t¤i gè™ thæng qu— mæ1un ™õ— h m t¤i ™¡™ 1iºm tr¶n 1÷íng trán v  ™¡™ khæng 1iºmD ™ü™ 1iºm ™õ— h m ph¥n h¼nh trong 1¾— 1âF U
  13. ành lþ 1.1.1 @gæng thù™ tensenA. Cho f ≡ 0 l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n ¾a ¯ D(r) = {z ∈ C||z| ≤ r}, (r < ∞). Gi£ sû a1 , . . . , aM l  c¡c khæng iºm cõa f trong D(r) t½nh c£ bëi v  b1 , . . . , bN l  c¡c cüc iºm cõa f trong D(r) t½nh c£ bëi. Khi â, n¸u f (0) = 0, ∞ th¼ 2π M N iθdθ r r log |f (0)| = log |f (re )| − log + log . 0 2π |aµ | |bν | µ=1 ν=1 Chó þ 1.1.2. qi£ sû f (z) ™â khæng 1iºm ™§p m @vîi m > 0A ho°™ ™ü™ 1iºm ™§p −m @vîi m < 0A t¤i z = 0. uhi 1âD t— vi¸t f (z) = cm z m + cm+1 z m+1 + . . . trong 1â cm l  h» sè kh¡™ khæng 1¦u ti¶n trong kh—i triºn v—urent ™õ— f (z) t¤i z = 0. rm 0°t Ψ(z) = f (z) . uhi 1âD t— 1÷ñ™ Ψ(0) = rm cm = 0, ∞, |Ψ(z)| = |f (z)| vîi zm måi |z| = r v  Ψ(z) ™â ™òng ™¡™ khæng 1iºm v  ™ü™ 1iºm kh¡™ 0 vîi f (z) trong 1¾— |z| < rF ho 1âD ¡p döng ™æng thù™ tensen ™ho Ψ(z) t— 1÷ñ™ 2π M N 1 iθ |aµ | |bν | log |Ψ(0)| = log |Ψ(re )|dθ + log − log 2π 0 r r µ=1 ν=1 „ø 1â suy r— 2π M N 1 iθ |aµ | |bν | log |cm | = log |f (re )|dθ + log − log − m log r. 2π 0 r r µ=1 ν=1 „i¸p theoD t— 1ành ngh¾— h m 1°™ tr÷ngD h m x§p x¿ v  h m 1¸m ™õ— h m ph¥n h¼nh tr¶n C. †îi méi sè thü™ x ≥ 0, t— k½ hi»uX log+ x = max{log x, 0}. ành ngh¾a 1.1.3. gho f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v  a l  mët sè phù™F H m x§p x¿ ™õ— f 1÷ñ™ 1ành ngh¾— ˜ðiX 2π 1 m(r, f ) = log+ |f (reiθ )|dθ, 2π 0 V
  14. v  2π 1 1 1 m r, = log+ dθ. f −a 2π 0 |f (reiθ ) − a| †· m°t þ ngh¾— t— th§y h m x§p x¿ m(r, f ) 1o 1ë lîn trung ˜¼nh ™õ— tªp hñp ™¡™ 1iºm trong 1¾— D(r) m  t¤i 1â h m nhªn gi¡ trà x§p x¿ ∞. u½ hi»u n(t, f ) l  sè ™ü™ 1iºm ™õ— f (z) trong 1¾— |z| ≤ tD trong 1â méi ™ü™ 1iºm 1÷ñ™ 1¸m vîi sè l¦n ˜¬ng ˜ëi ™õ— nâD n(t, f ) l  sè ™ü™ 1iºm ™õ— f (z) trong 1¾— |z| ≤ tD trong 1â méi ™ü™ 1iºm ™h¿ 1÷ñ™ 1¸m mët l¦nD n(0, f ) l  sè ˜ëi ™õ— ™ü™ 1iºm ™õ— f (z) t¤i z = 0 v  0 n¸u f (0) = ∞; n(0, f ) = 1 n¸u f (0) = ∞. gho a l  mët sè phù™F u½ hi»u n t, f −a l  sè khæng 1iºm ™õ— f (z) − a trong 1¾— 1 |z| ≤ tD trong 1â méi khæng 1iºm 1÷ñ™ 1¸m vîi sè l¦n ˜¬ng ˜ëi ™õ— nâD n t, f −a 1 l  sè khæng 1iºm ™õ— f (z) − a trong 1¾— |z| ≤ tD trong 1â méi khæng 1iºm ™h¿ 1÷ñ™ 1¸m mët l¦nD n 0, f −a l  sè ˜ëi ™õ— khæng 1iºm ™õ— f (z) − a t¤i z = 0 v  1 1 0 n¸u f (0) = a; n 0, = f −a 1 n¸u f (0) = a. ành ngh¾a 1.1.4. H m ¸m c¡c cüc iºm ™õ— f 1÷ñ™ 1ành ngh¾— nh÷ s—uX r n(t, f ) − n(0, f ) N (r, f ) = dt + n(0, f ) log r. 0 t H m ¸m c¡c cüc iºm khæng t½nh bëi ™õ— f 1÷ñ™ 1ành ngh¾— ˜ðiX r n(t, f ) − n(0, f ) N (r, f ) = dt + n(0, f ) log r. 0 t H m ¸m c¡c a-iºm ™õ— f 1÷ñ™ 1ành ngh¾— ˜ðiX r 1 1 1 n t, f −a − n 0, f −a 1 N r, = dt + n 0, log r. f −a 0 t f −a H m ¸m c¡c a-iºm khæng t½nh bëi ™õ— f 1÷ñ™ 1ành ngh¾— ˜ðiX r 1 1 1 n t, f −a − n 0, f −a 1 N r, = dt + n 0, log r. f −a 0 t f −a W
  15. †· m°t þ ngh¾— t— th§y ™¡™ h m 1¸m N (r, f ) v  N r, f −a l¦n l÷ñt 1o 1ë lîn 1 ™õ— tªp ™¡™ ™ü™ 1iºm v  tªp ™¡™ aE1iºm t÷ìng ùng ™õ— h m f (z) trong 1¾— ˜¡n k½nh r t¥m t¤i gè™F ành ngh¾a 1.1.5. gho f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v  a l  mët sè phù™F H m °c tr÷ng ™õ— h m f 1÷ñ™ 1ành ngh¾— ˜ði T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ), v  1 1 1 T r, = m r, + N r, . f −a f −a f −a ành ngh¾a 1.1.6. gho f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡™ h¬ng tr¶n C. wët h m ph¥n h¼nh α 1÷ñ™ gåi l  mët h m nhä so vîi f n¸u thä— m¢n T (r, α) = o(T (r, f )) khi r → +∞ ™â thº trø r— mët tªp ™â 1ë 1o húu h¤nF wët sè t½nh ™h§t ™õ— ™¡™ h m xev—nlinn— 1÷ñ™ ™ho trong m»nh 1· s—uF M»nh · 1.1.7. Gi£ sû fk vîi k = 1, . . . , p l  c¡c h m ph¥n h¼nh trong m°t ph¯ng phùc C. Khi â, ta câ p p 1) m r, k=1 fk ≤ k=1 m(r, fk ) + log p, p p 2) m r, k=1 fk ≤ k=1 m(r, fk ), p p 3) N r, k=1 fk ≤ k=1 N (r, fk ), p p 4) N r, k=1 fk ≤ k=1 N (r, fk ), p p 5) T r, k=1 fk ≤ k=1 T (r, fk ) + log p, p p 6) T r, k=1 fk ≤ k=1 T (r, fk ). Bê · 1.1.8. N¸u f (z) l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C th¼ T (r, f ) lim = ∞. r→∞ log r Bê · 1.1.9 . @‘QR“A Cho f (z) l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng v  an (≡ 0), an−1 , . . . , a0 l  c¡c h m nhä so vîi f. Khi â, ta câ T (r, an f n + an−1 f n−1 + · · · + a0 ) = nT (r, f ) + o(T (r, f )). IH
  16. „i¸p theoD ™hóng tæi nh­™ l¤i fê 1· 1¤o h m log—ritF fê 1· n y l  ™h¼— kh◠trong ™hùng minh 0ành lþ ™ì ˜£n thù h—i ™õ— xev—nlinn—F „uy nhi¶nD ˜¶n ™¤nh 1⠘ê 1· ™án th÷íng xuy¶n 1÷ñ™ sû döng trong nhi·u v§n 1· kh¡™F Bê · 1.1.10 @fê 1· 1¤o h m vog—ritA. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Khi â, ta câ f m r, = o(T (r, f )) f khi r → +∞ câ thº trø ra mët tªp câ ë o húu h¤n. ành lþ 1.1.11 @0ành lþ ™ì ˜£n thù nh§tA. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v  a l  mët sè phùc húu h¤n. Khi â, ta câ 1 T r, = T (r, f ) + O(1), f −a trong â O(1) l  ¤i l÷ñng giîi nëi. 1 1 „ø 0ành lþ ™ì ˜£n thù nh§t t— ™â thº xem têng m r, +N r, khæng f −a f −a phö thuë™ v o gi¡ trà ™õ— aD ngh¾— l  h m ph¥n h¼nh nhªn måi gi¡ trà a v  gi¡ trà g¦n a mët sè l¦n nh÷ nh—uF 0¥y ™h½nh l  mët t÷ìng tü ™õ— 0ành lþ ™ì ˜£n ™õ— 1¤i sè ™ho tr÷íng hñp ™¡™ h m nguy¶n v  h m ph¥n h¼nhF „uy nhi¶nD trong 0ành lþ ™ì 1 ˜£n thù nh§t ngo i h m 1¸m N r, t— ph£i ˜ê sung th¶m mët h m x§p x¿ f −a 1 m r, m  thü™ ™h§t dòng 1º 1o ™¡™ 1iºm m  t¤i 1â h m 1¢ ™ho nhªn gi¡ trà f −a g¦n vîi a. x¸u h m x§p x¿ qu¡ lîn th¼ 0ành lþ ™ì ˜£n thù nh§t ™õ— xev—nlinn— trð n¶n ½t þ ngh¾—F wåi thù 1¢ trð n¶n s¡ng sõ— hìn khi xev—nlinn— ™hùng minh 0ành lþ ™ì ˜£n thù h—iD 1â l  mët k¸t qu£ s¥u s­™ hìn nhi·u so vîi 0ành lþ ™ì ˜£n thù 1 nh§tF 0ành lþ ™ì ˜£n thù h—i ™ho th§y r¬ng 1¤i l÷ñng m r, nâi ™hung l  r§t f −a nhäF xëi dung ™õ— 0ành lþ ™ì ˜£n thù h—i nh÷ s—uF ành lþ 1.1.12 @0ành lþ ™ì ˜£n thù h—iA. Cho a1, . . . , aq (q ≥ 2) l  q sè phùc ph¥n bi»t v  f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Khi â, ta câ b§t ¯ng thùc q 1 m(r, f ) + m(r, ) ≤ 2T (r, f ) − N1 (r) + o(T (r, f )) f − aj j=1 II
  17. óng vîi måi r câ thº trø ra mët tªp E ⊂ (0, +∞) câ ë o Lebesgue húu h¤n, trong â 1 N1 (r) = N r, + 2N (r, f ) − N (r, f ). f xh÷ 1¢ nâi ð tr¶nD 1º ™â 1÷ñ™ sü t÷ìng tü 0ành lþ ™ì ˜£n ™õ— 1¤i sè ™ho ™¡™ h m ph¥n h¼nhD t— ph£i ˜ê sung th¶m h m x§p x¿ 1º ˜ò l¤i sü thi¸u höt nghi»m so vîi ™§p t«ng ™õ— h m ph¥n h¼nh f. 0º 1ành l÷ñng ™ho sü thi¸u höt 1âD xev—nlinn— 1¢ 1÷— r— 1ành ngh¾— v· sè khuy¸t nh÷ s—uF ành ngh¾a 1.1.13. Sè khuy¸t Nevanlinna 1÷ñ™ 1ành ngh¾— ˜ði 1 1 m r, f −a N r, f −a δ(a, f ) = lim inf = 1 − lim sup . r→∞ T (r, f ) r→∞ T (r, f ) „ø 1ành ngh¾— tr¶n t— ™â 0 ≤ δ(a, f ) ≤ 1. 0çng thíiD tø 0ành lþ ™ì ˜£n thù h—i t— ™â thº d¹ d ng nhªn 1÷ñ™ quan h» sè khuy¸t s—u 1¥yX δ(a, f ) ≤ 2. a∈C∪{∞} „rong ph¦n ti¸p theoD ™hóng tæi s³ tr¼nh ˜ y mët sè k¸t qu£ ™õ— ‰—m—noi 1¢ 1÷ñ™ ™æng ˜è g¦n 1¥y v  1¢ ™â £nh h÷ðng khæng nhä tîi sü ph¡t triºn ™õ— lþ thuy¸t ph¥n ˜è gi¡ trà ™õ— ™¡™ h m ph¥n h¼nhF 1.1.2 Mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi „r÷î™ khi 1÷— r— mët sè k¸t qu£ qu—n trång ™õ— ‰—m—noiD ™hóng t— nh­™ l¤i ™¡™ kh¡i ni»m v· kho£ng ™¡™h ™¦u giú— ™¡™ 1iºm v  mªt 1ë log—rit ™õ— mët tªp nh÷ s—uF ành ngh¾a 1.1.14 @‘PP“A. Kho£ng c¡ch c¦u giú— h—i 1iºm z v  w trong P1(C) 1÷ñ™ x¡™ 1ành ˜ði |z − w| [z, w] = 1 + |z|2 1 + |w|2 n¸u z, w l  ™¡™ sè phù™ húu h¤n v  1 [z, ∞] = . 1 + |z|2 IP
  18. ành ngh¾a 1.1.15 @‘PH“A. gho E l  mët tªp ™on ™õ— R. uhi 1âD mªt ë logarit tr¶n v  mªt ë logarit d÷îi ™õ— E l¦n l÷ñt 1÷ñ™ 1ành ngh¾— ˜ði 1 dt logdens(E) = lim sup , r→∞ log r [e,r]∩E t 1 dt logdens(E) = lim inf . r→∞ log r [e,r]∩E t x¸u logdens(E) = logdens(E), th¼ t— 1ành ngh¾— 1 dt logdens(E) = lim r→∞ log r [e,r]∩E t l  mªt ë logarit ™õ— E. u¸t qu£ qu—n trång 1¦u ti¶n ™hóng t— ™¦n nâi 1¸n ð 1¥y 1â l  0ành lþ ™ì ˜£n thù h—i ™ho h m ph¥n h¼nh v  ™¡™ h m nhäF ành lþ 1.1.16 @0ành lþ ™ì ˜£n thù h—i vîi ™¡™ h m nhäD ‘QP“A. Cho a1, . . . , aq (q ≥ 3) l  q h m ph¥n h¼nh ph¥n bi»t tr¶n C v  f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Gi£ sû aj l  c¡c h m nhä so vîi f vîi måi j = 1, ..., q. Khi â, vîi måi > 0, b§t ¯ng thùc q 1 (q − 2 − )T (r, f ) ≤ N r, , f − aj j=1 óng vîi måi r câ thº trø ra mët tªp E ⊂ (0, +∞) câ ë o Lebesgue húu h¤n. f¥y giíD ™hóng t— tr¼nh ˜ y mët sü hi»u ™h¿nh ™õ— h m x§p x¿ v  ™¡™ ÷î™ l÷ñng ™õ— h m 1âF g¡™ k¸t qu£ n y 1÷ñ™ th—m kh£o trong ˜ i ˜¡o ‘QR“F ành ngh¾a 1.1.17. gho d v  n l  ™¡™ sè nguy¶n d÷ìngF gho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phù™ C. uhi 1âD h m x§p x¿ hi»u ch¿nh 1÷ñ™ 1ành ngh¾— ˜ði 2π 1 dθ md,n (r, f ) = sup max log , (a1 ,...,an )∈(Rd )n 0 1≤j≤n [f (reiθ ), aj (reiθ )] 2π trong 1â Rd l  tªp t§t ™£ ™¡™ h m húu t' ˜ª™ nhä hìn ho°™ ˜¬ng d ˜—o gçm ™£ ∞. IQ
  19. Chó þ 1.1.18. gho a1, . . . , an ∈ C l  ™¡™ sè phù™ ph¥n ˜i»tF „— ™â n 2π 1 1 dθ m r, ≤ max log + O(1) ≤ md,n (r, f ) + O(1), f − aj 0 1≤j≤n [f (reiθ ), aj ] 2π j=1 trong 1â O(1) l  1¤i l÷ñng ˜à ™h°n ™h¿ phö thuë™ v o a1 , . . . , an . †¼ vªyD ™¡™ h m x§p x¿ nev—nlinn— m r, f −aj ˜² hìn h m x§p x¿ hi»u ™h¿nh md,n (r, f ) s—i kh¡™ mët 1 1¤i l÷ñng ˜à ™h°nF 0°t v(r, f, θ) := sup sup log |f (reit )| − inf log |f (reit )| , τ ∈[0,2π] t∈[τ,τ +θ] t∈[τ,τ +θ] T (r, f ) −1 λ(r) := min 1, log+ . log r fê 1· s—u 1¥y ™ho t— ÷î™ l÷ñng gi—o 1ëng ™õ— ™¡™ h m ph¥n h¼nh tr¶n 1÷íng trán t¥m t¤i gè™F Bê · 1.1.19. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh trong m°t ph¯ng phùc C v  > 0 b§t ký. Khi â, ta câ v(r, f, λ(r)20 ) ≤ T (r, f ) vîi måi r > e câ thº trø ra mët tªp câ mªt ë logarit b¬ng khæng. ghóng t— thu 1÷ñ™ ™¡™ ÷î™ l÷ñng ™h°n tr¶n v  ™h°n d÷îi ™õ— h m x§p x¿ hi»u ™h¿nh nh÷ s—uF Bê · 1.1.20. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C v  k l  mët sè nguy¶n d÷ìng. °t 1 uk := (k + 1) log+ |f | + log . |f (k) | Khi â, vîi n l  mët sè nguy¶n d÷ìng b§t ký, ta câ 2π dθ 2π uk (reiθ ) ≤mk−1,n (r, f ) + (k − 1)m(r, f ) + v r, f, ¯ 0 2π n 2π + v r, f (k) , + k log(2πr) + 2kn log 3 n vîi måi r > 1. IR
  20. ành lþ 1.1.21. Gi£ sû f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n m°t ph¯ng phùc C, d v  n l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng v  B ⊂ C ∪ {∞} l  mët tªp húu h¤n iºm. Gåi p l  sè ph¦n tû cõa B. Khi â, vîi > 0 b§t ký, ta câ 1 (p + n)17 md,n (r, f ) + ¯ N1 r, ≤ (2 + )T (r, f ) + 4 T (r, f )4/5 (log r)1/5 f −a a∈B vîi måi r > 0 câ thº trø ra mët tªp câ ë o tuy¸n t½nh húu h¤n Ef,d , trong â tªp Ef,d ch¿ phö thuëc v o f v  d. 1.2 ×îc l÷ñng khæng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh gho k ≥ 1 l  mët sè nguy¶n v  Qi (z) l  ™¡™ 1— thù™ ˜ª™ qi , (i = 0, 1, . . . , k) trong C[z]. qi£ sû hi Qi (z) = ci (z − βij )qij j=1 hi vîi ci ∈ C∗ v  j=1 qij = qi , vîi i = 0, 1, 2, . . . , k. 0°t Φ := Q0 (f )Q1 (f ) . . . Qk (f (k) ) @IFIA v  q := q0 + q1 + · · · + qk . u¸t qu£ ™õ— ™hóng tæi ph¡t ˜iºu nh÷ s—uF ành lþ 1.2.1. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C, k ≥ 2 l  mët sè nguy¶n v  > 0 b§t ký. Cho A ⊂ C l  mët tªp húu h¤n c¡c sè phùc. Khi â, ta câ k 1 1 (ν − 1)qν N (r, f ) + q N1 r, ≤ N r, + T (r, f ), f −a Φ ν=0 a∈A vîi måi r > e câ thº trø ra mët tªp E ⊂ (e, ∞) câ mªt ë logarit b¬ng khæng, trong â 1 1 1 N1 r, = N r, − N r, . f −a f −a f −a IS
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2