Luận văn "Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích) - Bài 3: Hàm nhiều biến" cung cấp cho người đọc các nội dung: Hàm nhiều biến, đạo hàm và vi phân, cực trị, ứng dụng trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 2: Bài 3 - Nguyễn Phương
- Toán cao cấp 2 - Phần Giải tích
Bài 3. Hàm nhiều biến
Nguyễn Phương
Đại học Ngân hàng TPHCM
Email: nguyenphuong0122@gmail.com
Ngày 3 tháng 12 năm 2024
1
- NỘI DUNG
1 HÀM NHIỀU BIẾN 3
Định nghĩa 3
Giới hạn 8
Liên tục 15
2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 17
Định nghĩa 17
Đạo hàm riêng cấp cao 19
Hàm khả vi và vi phân toàn phần 21
Đạo hàm của hàm hợp 25
Đạo hàm của hàm ẩn 29
3 CỰC TRỊ 31
Cực trị không có điều kiện ràng buộc 31
Cực trị có điều kiện ràng buộc 39
4 Ứng dụng trong kinh tế 46
Ý nghĩa biên tế 46
Hệ số co dãn 47
Tối ưu trong kinh tế 48
2
- HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Cho D ⊆ Rn . Ánh xạ
f: D −→ R
(x1 , . . . , xn ) −→ z = f (x1 , . . . , xn )
được gọi là hàm số n biến.
Hình 1.1: Hàm n biến.
Ví dụ 1.1.
1 f (x1 , x2 ) = x1 + x1 x2 + 3 ←− hàm 2 biến.
2 f (x1 , x2 , x3 ) = x2 + x2 + x2 ←− hàm 3 biến.
1 2 3
x1 + x3
3 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = ←− hàm 4 biến.
3
- HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa
y z
z = f (x, y)
(x, y)
x 0
O
D
(a, b)
f (a, b)
4
- HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa
Định nghĩa 1.2. Đồ thị của hàm hai biến là tập hợp các điểm trong không
gian 3–chiều được xác định như sau:
Gf = {(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ D}.
Ví dụ 1.2. Đồ thị hàm số z = f (x, y) = sin(x + y).
1
0
1
−1
0 0.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
5
- HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa
Ví dụ 1.3. Đồ thị hàm số z = f (x, y) = x2 .
20
5
0
−4 0
−2 0 2 4 −5
6
- HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa
Ví dụ 1.4. Đồ thị hàm số z = f (x, y) = x2 − y2 .
20
0
5
−20
−4 0
−2 0 2 4 −5
7
- HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn
Định nghĩa 1.3. Cho z = f (x, y) là hàm hai biến và M0 (x0 , y0 ) thuộc miền
xác định của f . Giới hạn của f (x, y) khi (x, y) tiến về (x0 , y0 ) là L, ký hiệu
lim f (x, y) = L,
(x,y)→(x0 ,y0 )
nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi điểm M (x, y) thuộc đĩa mở có
tâm (x0 , y0 ), bán kính δ và (x, y) ̸= (x0 , y0 ), thì
|f (x, y) − L| < ϵ.
Hàm số z = f (x, y) có giới hạn là L khi (x, y) dần đến (x0 , y0 ) có nghĩa là:
Khi M (x, y) dần đến M0 (x0 , y0 ) thì giá trị của hàm số tại M (x, y) cũng dần
đến L.
8
- HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn
9
- HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn
sin x2 + y 2
Ví dụ 1.5. Xét giá trị của hàm số f (x, y) = khi (x, y) → (0, 0).
x2 + y 2
y
−1, 0 −0, 5 −0, 2 0 0, 2 0, 5 1, 0
x
−1, 0 0, 455 0, 759 0, 829 0, 841 0, 829 0, 759 0, 455
−0, 5 0, 759 0, 959 0, 986 0, 990 0, 986 0, 959 0, 759
−0, 2 0, 829 0, 986 0, 999 1, 000 0, 999 0, 986 0, 829
0 0, 841 0, 990 1, 000 1, 000 0, 990 0, 841
0, 2 0, 829 0, 986 0, 999 1, 000 0, 999 0, 986 0, 829
0, 5 0, 759 0, 959 0, 986 0, 990 0, 986 0, 959 0, 759
1, 0 0, 455 0, 759 0, 829 0, 841 0, 829 0, 759 0, 455
sin x2 + y 2
Bảng 1: Bảng giá trị của hàm số f (x, y) =
x2 + y 2
sin x2 + y 2
Vậy lim = 1.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
10
- HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn
x2 − y 2
Ví dụ 1.6. Xét giá trị của hàm số g(x, y) = khi (x, y) → (0, 0).
x2 + y 2
y
−1, 0 −0, 5 −0, 2 0 0, 2 0, 5 1, 0
x
−1, 0 0, 000 0, 600 0, 923 1, 000 0, 923 0, 600 0, 000
−0, 5 −0, 600 0, 000 0, 724 1, 000 0, 724 0, 000 −0, 600
−0, 2 −0, 923 −0, 724 0, 000 1, 000 0, 000 −0, 724 −0, 923
0 −1, 000 −1, 000 −1, 000 −1, 000 −1, 000 −1, 000
0, 2 −0, 923 −0, 724 0, 000 1, 000 0, 000 −0, 724 −0, 923
0, 5 −0, 600 0, 000 0, 724 1, 000 0, 724 0, 000 −0, 600
1, 0 0, 000 0, 600 0, 923 1, 000 0, 923 0, 600 0, 000
x2 − y 2
Bảng 2: Bảng giá trị của hàm số g(x, y) =
x2 + y 2
x2 − y 2
Vậy lim không tồn tại.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
11
- HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn
Tính chất 1.1. Cho b, x0 , y0 , L và K là các số thực, cho n là số nguyên
dương, và f , g thoả mãn
lim f (x, y) = L và lim g(x, y) = K.
(x,y)→(x0 ,y0 ) (x,y)→(x0 ,y0 )
Thì ta có
1 lim x = x0 ; lim y = y0
(x,y)→(x0 ,y0 ) (x,y)→(x0 ,y0 )
2 lim f (x, y) ± g(x, y) = L ± K
(x,y)→(x0 ,y0 )
3 lim b · f (x, y) = bL
(x,y)→(x0 ,y0 )
4 lim f (x, y) · g(x, y) = LK
(x,y)→(x0 ,y0 )
5 lim f (x, y)/g(x, y) = L/K, (K ̸= 0)
(x,y)→(x0 ,y0 )
6 lim f (x, y)n = Ln
(x,y)→(x0 ,y0 )
Các định lý về giới hạn của hàm hai biến cũng tương tự của hàm một biến.
12
- HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn
Ví dụ 1.7. Chứng minh rằng
1
lim (x2 + y 2 ) sin = 0.
(x,y)→(0,0) xy
Giải
Ta nhận thấy rằng
1
−(x2 + y 2 ) ⩽ (x2 + y 2 ) sin ≤ (x2 + y 2 ).
xy
Mà
lim (x2 + y 2 ) = lim (x2 + y 2 ) = 0.
(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)
Do đó ta được
1
lim (x2 + y 2 ) sin = 0.
(x,y)→(0,0) xy
13
- HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn
Ví dụ 1.8. Chứng minh không tồn tại
xy
lim .
(x,y)→(0,0) x2 + y2
Giải
+) Với y = x thì
xy x2 1
lim = lim 2 = .
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 x→0 2x 2
+) Với y = −x thì
xy −x2 1
lim = lim =− .
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 x→0 2x2 2
xy
Vì giá trị của hai giới khác nhau nên giới hạn lim không tồn
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
tại.
14
- HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục
Định nghĩa 1.4. Cho hàm số f (x, y) với miền xác định D chứa điểm
(x0 , y0 ).
1 Hàm số f liên tục tại (x0 , y0 ) nếu
lim f (x, y) = f (x0 , y0 ).
(x,y)→(x0 ,y0 )
2 Hàm số f liên tục trên D nếu f liên tục tại tất cả các điểm thuộc D.
Hàm số z = f (x, y) liên tục tại (x0 , y0 ) có nghĩa là: Khi M (x, y) dần đến
M0 (x0 , y0 ) thì giá trị của hàm số tại M (x, y) cũng dần đến giá trị của hàm số
tại điểm M0 (x0 , y0 ).
Các tính chất liên tục của hàm hai biến giống như hàm một biến.
Ví dụ 1.9. Hàm f (x, y) = sin(x2 + xy − y) là hàm liên tục vì f (x, y) là hợp
của hai hàm liên tục u(x, y) = x2 + xy − y 2 , g(x) = sin(x).
15
- HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục
Ví dụ 1.10. Cho hàm số
2
xy khi (x, y) ̸= (0, 0);
f (x, y) = x2 + y 2
a khi (x, y) = (0, 0).
Tìm a để f (x, y) là hàm liên tục tại (0, 0).
Giải
Với (x, y) ̸= (0, 0), ta có:
xy 2
0≤ ≤ |x|
x2 + y2
xy 2
Mà lim |x| = 0 nên lim 2 + y2
= 0 , suy ra
(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) x
xy 2
lim = 0. Vậy f (x, y) liên tục tại (0, 0) khi a = 0.
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
Định lý 1.1 (Định lý Weierstrass). Hàm số f liên tục trên một tập D
đóng và bị chặn thì f bị chặn và đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
D. 16
- ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Cho hàm hai biến z = f (x, y) xác định trên miền D và
(x0 , y0 ) ∈ D.
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )
i) Nếu giới hạn lim tồn tại và hữu hạn thì
∆x→0 ∆x
giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến x của f (x, y) tại
′ ∂f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ). Kí hiệu: fx (x0 , y0 ) hay fx (x0 , y0 ) hay .
∂x
f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
ii) Nếu giới hạn lim tồn tại và hữu hạn thì
∆y→0 ∆y
giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến y của f (x, y) tại
′ ∂f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ). Kí hiệu: fy (x0 , y0 ) hay fy (x0 , y0 ) hay .
∂y
Ký hiệu tương đương:
∂ ∂f ∂z ′ ′
f (x, y), , , và fx , fx , zx , zx .
∂x ∂x ∂x
∂ ∂f ∂z ′ ′
f (x, y), , , và fy , fy , zy , zy .
∂y ∂y ∂y
17
- ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Định nghĩa
Quy tắc tìm đạo hàm riêng
1 Để tìm đạo hàm riêng của z = f (x, y) theo biến x, ta coi z = f (x, y) là
hàm một biến x, biến còn lại y là hằng số.
2 Để tìm đạo hàm riêng của z = f (x, y) theo biến y, ta coi z = f (x, y) là
hàm một biến y, biến còn lại x là hằng số.
Ví dụ 2.1. Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
′ ′
1 z = f (x, y) = x2 y 3 − 2x + 3y + 1; tìm fx (1, 0), fy (1, 2).
x
2 z=
y
x
3 f (x, y) = .
x 2 + y2
4 z = xy
18
- ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm riêng cấp cao
ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 2 - ĐẠO HÀM RIÊNG HỖN HỢP
Định nghĩa 2.2. Giả sử rằng các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số
z = f (x, y) tồn tại, thì ta có
z = f (x, y)
′ ′
fx fy
′′ ′′ ′′ ′′
fxx fxy fyy fyx
∂2f ∂2f ′′ ∂2f ∂2f ′′
, , fxx và , , fyy ,
∂x2 ∂x∂x ∂y 2 ∂y∂y
∂2f ∂2f
, f ′′ ; và 19 , f ′′
- ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm riêng cấp cao
Định lý 2.1 (Định lý Schwarz). Nếu hàm số z = f (x, y) có các đạo
′′ ′′
hàm riêng fxy và fyx và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại điểm (x, y) thì
′′ ′′
fxy = fyx .
Ví dụ 2.2. Tính đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau:
1 f (x, y) = x4 − 5x3 y 2 + 2y 4 .
2 f (x, y) = x3 y 2 − 5x4 y.
y x
3 f (x, y) = + + 1.
x y
20
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
