CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
PHẦN A. LÝ THUYẾT
Sơ đồ khảo sát hàm số
( )y f x
:
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
- Tính đạo hàm
y
. Tìm các điểm tại đó
y
bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
- Xét dấu
y
để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
- Tìm cực trị của hàm số.
- Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Chú ý. Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao
điểm của đồ thị với các trục toạ độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp). Ngoài ra, cần lưu ý
đến tính đối xứng của đồ thị (đối xứng tâm, đối xứng trục).
a) Hàm số phân thức
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
1
2
x
yx
.
Giải
1. Tập xác định của hàm số:
\{2}
.
2. Sự biến thiên:
- Ta có:
2
30
( 2)
yx
với mọi
2x
.
- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng
( ;2)
và
(2; )
.
- Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
2 2 2 2
1 1
lim lim ; lim lim
2 2
 
x x x x
x x
y y
x x
;
1 1
lim lim 1; lim lim 1.
2 2
   
x x x x
x x
y y
x x
Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
2x
, tiệm cận ngang là đường thẳng
1y
.
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
1
0; 2
.
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm
( 1;0)
.
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm
(2;1)I
của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân
giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.
CHUYÊN ĐỀ 6. KHẢO SÁT HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
• Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Chú ý. Đồ thị của hàm số phân thức
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
:
- Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng;
- Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
b) Hàm số phân thức
2
( 0, 0
ax bx c
y a p
px q
, đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)
Ví dụ 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2
1
2
x x
yx
.
Giải
1. Tập xác định của hàm số:
\{2}
.
2. Sự biến thiên: Viết
1
12
y x x
.
- Ta có:
2
2 2
1 4 3
1( 2) ( 2)
x x
yx x
. Vậy
2
2
4 3
0 0 1
( 2)
x x
y x
x
hoặc
3x
.
- Trên các khoảng
( ;1)
và
(3; ), 0
 y
nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này. Trên các
khoảng
(1;2)
và
(2;3), 0
y
nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.
- Hàm số đạt cực đại tại
1x
với
1
CĐ
y
; hàm số đạt cực tiểu tại
3x
với
5
CT
y
.
-
2 2
1 1
1 1
1 1
lim lim lim ; lim lim lim
2 2
2 2
1 1
     
 
x x x x x x
x x
x x x x
x x
y y
x x
x x
.
- Tiệm cận:
2 2 2 2
1 1
lim lim 1 ; lim lim 1
2 2
 
x x x x
y x y x
x x
;
1 1
lim[ ( 1)] lim 0; lim[ ( 1)] lim 0.
2 2
   
x x x x
y x y x
x x
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
2x
, tiệm cận xiên là đường thẳng
1 y x
.
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
1
0; 2
.
- Ta có
2
1 1 5
0 0
2 2
x x
y x
x
hoặc
1 5
2
x
.
Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm
1 5 ;0
2
và
1 5 ;0
2
.
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm
(2;3)I
của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân
giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
2
1
x x
yx
.
Giải
1. Tập xác định của hàm số:
\{ 1}
.
2. Sự biến thiên:
- Viết
2
1
y x x
, ta có
2
2
1 0
( 1)
yx
với mọi
1 x
.
- Hàm số đồng biến trên từng khoảng
( ; 1)
và
( 1; )
.
- Hàm số không có cực trị.
-
2 2
2 2
1 1
2 2
lim lim lim ; lim lim lim
1 1
1 1
1 1
     
 
x x x x x x
x x
x x x x
x x
y y
x x
x x
.
- Tiệm cận:
1 1 1 1
2 2
lim lim ; lim lim
1 1
 
x x x x
y x y x
x x
;
2 2
lim[ ] lim 0; lim [ ] lim 0.
1 1
   
x x x x
y x y x
x x
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
1 x
, tiệm cận xiên là đường thẳng
y x
.
- Bảng biến thiên:
3. Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
(0; 2)
.
- Ta có
2
2
0 0 2
1
x x
y x
x
hoăc
1x
. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành
là các điểm
( 2;0)
và
(1;0)
.
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm
( 1; 1) I
của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường
phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Chú ý. Đồ thị của hàm số phân thức
2
( 0, 0
ax bx c
y a p
px q
, đa thức tử không chia hết cho đa thức
mẫu):
- Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng;
- Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2 1
1
x
yx
.
Câu 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
1
x
yx
.
Câu 3. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2 1
1
x
yx
.
Câu 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2
2 3
x
yx
.
Câu 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
1
( ) 2
x
y f x x
.
Câu 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
1
1
x x
yx
.
Câu 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2
1x
yx
.
Câu 8. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2
2 2
1
x x
yx
.
Câu 9. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2
3 4
2
x x
y
x
.
Câu 10. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
4 5
( ) 2
x x
y f x x
.
Câu 11. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
2
( ) 1
x x
y f x x
.
DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Câu 12. Cho hàm số
4mx
yx m
, trong đó m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với
1m
2. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng
;1
Câu 13. Cho hàm số
2 1
1
x
yx
, gọi đồ thị của hàm số là ( C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
2. Tìm m để đường thẳng
:d y x m
cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Câu 14. Cho hàm số
2 1
1
x
yx
, gọi đồ thị của hàm số là ( C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;
2. Tìm k để đường thẳng
2 1y kx k
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
,A B
sao cho
khoảng cách từ
A
và
B
đến trục hoành bằng nhau.
Câu 15. Cho hàm số
2
1
x
yx
, gọi đồ thị của hàm số là ( C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số:
1
2
1
x
y C
x
2. Biện luận theo m số nghiệm
1 ; 2x
của phương trình:
2 0m x m
Câu 16. Cho hàm số
2
1
1
x x
yx
, gọi đồ thị của hàm số là ( C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ;
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm 5
0; 4
M
và tiếp xúc với đồ thị.
Câu 17. Cho hàm số
2
2 1
1
x x
yx
, gọi đồ thị của hàm số là ( C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ;
2. Dựa vào đồ thị của hàm số ở câu 1, vẽ đồ thị của hàm số
2
2 1
1
yx x
x
và từ đồ thị của
hàm số này, biện luận về số nghiệm của phương trình
2
2 1
1
x x a
x
theo các giá trị của tham
số
a
.
Câu 18. (Sở Cần Thơ - 2021) Cho hàm số ( và ) có đồ thị như sau:
Xác định dấu của
, ,abc
Câu 19. (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hàm số
6
ax
f x bx c
, , a b c
có bảng biến thiên
như sau:
Trong các số
, ,a b c
có bao nhiêu số âm?
bx c
y
x a
0
a
, ,a b c