www.VNMATH.com
PHÂN LOAI PH NG TRINH MŨ THEO PH NG PHAP GIAI ƯƠ ƯƠ
Ph ng pháp 1ươ . Đ a v cùng c sư ề ơ ố
Bi n đ i, rút g n ph ng trình v d ng ế ổ ọ ươ ề ạ
f (x) g(x)
a a=
1.
2 1 1
5 7 175 35 0
x x x+ +
+ − − =
2.
2 1 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 2
x x x x+ + +
+ = −
3.
3 2 3 4
2 1 2 1
.2 2 .2 2
x x
x x
x x
− + − +
+ −
+ = +
4.
( )
2
2 2
1
1
4 2 2 1
x
x x x +
+ −
+ = +
5.
2 3
3 3
1
9 27 81
3
x
x x x
−
+
� � =
� �
� �
6.
2
x x 8 1 3x
2 4
− + −
=
7.
25
x 6x 2
2 16 2
− − =
8.
9.
x x 1 x 2
2 .3 .5 12
− − =
10.
2
2 x 1
(x x 1) 1
−
− + =
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
3
8
2
482 3−
−=x
x
21.
2121 333555 ++++ ++=++ xxxxxx
22.
( )
32
9
22222 2+−=+− −xxxx x
23.
( )
2
cos
1
2
cos 22 xx x
x
x
x+=+ +
24.
231224 3.23.2 +−++ =xxxx
25.
Ph ng pháp 2ươ . Dùng n ph đ đ a v ph ng trình đ i sẩ ụ ể ư ề ươ ạ ố
L u ý m i liên h gi a các lũy th a, các bi u th c liên h p.ư ố ệ ữ ừ ể ứ ợ
am=t ⇒a2m=t2; a3m=t3;…;
m
1 1
a t
� � =
� �
� �
…
Chú ý các d ng auạ2+buv+cv2=0; au3+bu2v+cuv2+dv3=0. Chia hai v cho vế2(v3); đ t ặ
ut
v=
1.
2 2
2 1 2
4 5.2 6 0
x x x x+ − − + −
− − =
2.
3 2cos 1 cos
4 7.4 2 0
x x+ +
− − =
www.VNMATH.com
3.
( ) ( ) ( )
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
x x x
+ + + − − =
4.
( ) ( )
2 3 2 3 14
x x
− + + =
5.
3 1 5 3
5.2 3.2 7 0
xx
−−
− + =
6.
3
3 1
8 1
2 6 2 1
2 2
x x
x x−
� � � �
− − − =
� � � �
� � � �
1.
27 12 2.8
x x x
+ =
9 10.3 9 0
x x
− + =
2.
2 2
4 6.2 8 0
x x
− + =
3.
2 2 2
15.25 34.15 15.9 0
x x x
− + =
4.
2 2
sin cos
9 9 10
x x
+ =
5.
( ) ( )
2 3 2 3 4
x x
+ + − =
6.
3
5
log log 3 2
x
x+ =
7.
82
3loglog
2 2 5 0
xx
x x
−
+ − =
8.
()()
2 3 2 3 2
x x
x
+ + − =
9.
1 2
5 5.0,2 26
x x− −
+ =
10.
25 12.2 6,25.0,16 0
x x x
− − =
11.
1 3
3
64 2 12 0
x x
+
− + =
12.
log log5
25 5 4.
x
x= +
13.
1
4 4 3.2
x x x x+ +
− =
14.
2 2
sin cos
2 5.2 7
x x
+ =
15.
2
cos2 cos
4 4 3
x x
+ =
16.
()()
4 15 4 15 8
x x
− + + =
17.
4x 8 2x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
18.
2x 6 x 7
2 2 17 0
+ +
+ − =
19.
x x
(2 3) (2 3) 4 0+ + − − =
20.
x x
2.16 15.4 8 0− − =
21.
x x x 3
(3 5) 16(3 5) 2 +
+ + − =
22.
x x
(7 4 3) 3(2 3) 2 0+ − − + =
23.
x x x
3.16 2.8 5.36+ =
24.
1 1 1
x x x
2.4 6 9+ =
25.
2 3x 3
x x
8 2 12 0
+
− + =
26.
27.
()()
cos cos
5
7 4 3 7 4 3 2
x x
+ + − =
28.
( ) ( )
7 3 5 7 3 5 14.2
x x x
+ + − =
9 8.3 7 0
x x
− + =
29.
2 1 1
1.4 21 13.4
2
x x− −
+ =
www.VNMATH.com
30.
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
31.
3 3 3
25 9 15 0
x x x
− + =
32.
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
33.
x x x
6.9 13.6 6.4 0− + =
34.
x x
( 2 3 ) ( 2 3 ) 4− + + =
35.
322 2
2
2=− −+− xxxx
36.
027.21812.48.3 =−−+ xxxx
37.
07.714.92.2 22 =+− xxx
38.
x x
7 3 5 7 3 5
7 8
2 2
� � � �
+ −
+ =
� � � �
� � � �
39.
()()
x x x
2 3 2 3 2+ + − =
40.
3x x
3(x 1) x
1 12
2 6.2 1
2 2
−
− − + =
41.
0455 1=+− −xx
42.
16
5
202222 22 =+++ −− xxxx
43.
( ) ( )
10245245 =−++ xx
44.
( ) ( )
3
2531653 +
=−++ x
xx
45.
( ) ( )
02323347 =+−−+ xx
46.
( ) ( )
14347347 ≥++− xx
47.
( ) ( )
43232 =++− xx
48.
( ) ( )
10625625 tantan =−++ xx
49.
xxx /1/1/1 964 =+
50.
104.66.139.6 =+− xxx
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
www.VNMATH.com
62. Đs x=2; x=5/4
63. Đs x=1
64. Đs x=1, x=-1
65. Đs x=
2
log 3
66. Đs x=2; x=2
67. ĐS nghiêm ! x=1
68. Gi i ảph ng trìnhươ
69.
2 2
3.16 (3 10)4 3
x x
x x
− −
+ − + −
(Ân phu không hoan toan)
70.
( ) ( )
02.75353 =−++− x
xx
71.
xxx 27.2188 =+
72.
02028
332
=−+ +
x
x
x
73.
1
2
12
2
1
2.62 )1.(3
3=+−− −xx
xx
74.
64)5125.(275.953=+++ −− xxxx
75.
xxx 9133.4 13 −=− +
76.
093.613.73.5 1112 =+−+− +−− xxxx
77.
5lglg 505 x
x−=
78.
24223 2212.32.4 ++ +−=− xxxx
79.
( )
( )
( )
32
4
3232 121 2
2
−
=−++ −−− xxx
80.
Ph ng pháp3ươ . Đ a v ph ng trình tíchư ề ươ . M i nhân t là m t ph ng trình c b n ho c ph ngỗ ử ộ ươ ơ ả ặ ươ
trình gi i đ c b ng các cách khác.( Đôi khi ph i dùng n ph đ đ n gi n hóa bi u th c tr c khiả ượ ằ ả ẩ ụ ể ơ ả ể ứ ướ
tách nhân t )ử
1. 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
2.
0422.42 2
22 =+−− −+ xxxxx
3.
20515.33.12 1=−+ +xxx
4.
5.
( )
02.93.9232=++− xxxx
6.
( ) ( )
021.2.23
2=−+−− xx xx
7.
( )
0523.2.29 =−+−+ xx xx
8.
( )
035.10325.3 22 =−+−+ −− xx xx
9.
( )
1224 2
22 11 +=+ +−+ xxxx
10.
xxx 6132 +=+
Ph ng pháp4ươ .Lôgarit hai vế. Áp d ng khi hai v là tích c a các lũy th a khác c s . Lôgarit đụ ế ủ ừ ơ ố ể
chuy n n s mũ xu ng, đ a v ph ng trình đ i s .ể ẩ ở ố ố ư ề ươ ạ ố
www.VNMATH.com
f (x) g(x) h(x)
a a a a
log (b .c ...d ) f (x).log b g(x).log c ... h(x).log d= + + +
1.
4 1 3 2
2 1
5 7
x x+ +
� � � �
=
� � � �
� � � �
2.
2
5 .3 1
x x
=
3.
2
3 .8 6
x
xx+
=
4.
1 2 1
4.9 3 2
x x− +
=
5.
2
2
2 .3 1,5
x x x−
=
6.
2 1
1
5 .2 50
x
xx
−
+
=
7.
3
2
3 .2 6
x
xx+
=
8.
3 2
2 3
x x
=
9.
10.
11.
12.
13.
1
5 . 8 100
x x
x+
=
14.
2 2
3 2 6 2 5
2 3 3 2
x
x x x x x+ + − + −
− = −
15.
Ph ng pháp 5ươ . S d ng tính đ n đi u c a hàm sử ụ ơ ệ ủ ố
+ Đ a ph ng trình v d ng f(x)ư ươ ề ạ =m.
Nh m nghi m xẩ ệ 0.
Ch ng minh f(x) đ ng bi n ho c ngh ch bi n ứ ồ ế ặ ị ế ⇒ xo là nghi m duy nh tệ ấ
+ Đ a ph ng trình v d ng f(x)ư ươ ề ạ =g(x).
Nh m nghi m xẩ ệ o.
Ch ng minh f(x) đ ng bi n & g(x) ngh ch bi n (ho c f(x) ngh ch bi n & g(x) đ ng bi n)ứ ồ ế ị ế ặ ị ế ồ ế
⇒xo là nghi m duy nh tệ ấ
+Đ a v d ng f(u)ư ề ạ =f(v);
Ch ng minh f(x) đ ng bi n ho c ngh ch bi n ứ ồ ế ặ ị ế ⇒ ph ng trình ươ ⇔ u=v
+Đ a v ph ng trình f(x)ư ề ươ =0.
Nh m đ c hai nghi m xẩ ượ ệ 1;x2.
Ch ng minh f(x) liên t c, f’’>0(ho c <0) ứ ụ ặ ⇒ f’(x) đ ng bi n(ho c nghich bi n) ồ ế ặ ế ⇒ f’(x)=0 có
không quá m t nghi m ộ ệ ⇒ f(x)=0 có không quá hai nghi m ệ⇒pt có hai nghi m xệ1; x2
VD1:
1.
2
2 1 3
x
x
= +
2.
3 2
2 8 14
x
x x
−
= − + −
VD2. Gi i các ph ng trình:ả ươ
1.
2
log 3x x= −
2.
( )
2
2 2
log 1 log 6 2x x x x+ − = −
VD3. Gi i các ph ng trình:ả ươ
1.
( )
25 2 3 5 2 7 0
x x
x x− − + − =
2.
3
8 .2 2 0
x x
x x
−
− + − =
VD4. Gi i ph ng trình: ả ươ
( )
2 3 2
.3 3 12 7 8 19 12
x x
x x x x x+ − = − + − +
1.
4 9 25
x x x
+ =
2.
( )
2 2
3.25 3 10 5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
3.
( )
9 2 2 .3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
4.
x x x
3 4 5+ =
5.
x
3 x 4 0+−=