www.saosangsong.com.vn
1
Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa
PHAÂN TÍCH CAÙC ÑEÀ
Phöông trình
löôïng giaùc
trong ñeà thi ÑH 2003-2010
caùc ban A-B-D
www.saosangsong.com.vn
www.saosangsong.com.vn
2
LTĐH : Chuyên đề PT LƯỢNG GIÁC
.COÂNG THÖÙC LƯỢNG GIAÙC
1 .Coâng thức cộng 2. Coâng thức nhaân ñoâi
22 2
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tan
tan 2 1tan
aaa
aaa a
a
aa
2
a
=
=−= −=−
=−
cos( ) cos . sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
tan tan
tan( ) 1 tan . tan
ab acosb a b
ab a b b a
ab
ab ab
±=
±= ±
±
±=
∓
∓
Coâng thức nhaân ba Coâng thöù haï baäc
3
3
sin 3 3sin 4sin
cos 3 4 cos 3 cos
aa
aa
=−
=−
a
a
22
33
1cos2 1cos2
cos ; sin
22
3cos cos3 3sin sin3
cos ; sin
44
aa
aa
aa aa
aa
+−
==
+−
==
AÙp duïng:
sin x cos x 2.sin(x / 4) ; sin x cos x 2.sin(x / 4)+= +π −= −π
sin x 3 cos x 2.sin(x / 3) ; 3 sin x cos x 2.sin(x / 6)± = ±π ± = ±π
sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x = 1 - 2
1sin 2x
2; sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x = 1 - 2
1sin 2x
3
ính sinx ; cosx ; tanx theo t = tan(x/2) 4 .Coâng thức biến ñổi tích thaønh tổng 3. Coâng thức t
[]
[]
[]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
ab ab ab
ab ab ab
ab ab ab
=++−
=++−
=−−+
2
2
2
2
2
sin ( tan )
12
1
cos 1
2
tan 1
tx
xt
t
t
xt
t
xt
==
+
−
=+
=−
5 .Coâng thức biến ñoåi toång thaønh tích cos cos 2 cos cos
22
cos cos 2sin sin
22
sin sin 2sin cos
22
sin sin 2cos sin
22
+
−
+=
+
−
−=−
+
−
+=
+−
−=
ab ab
ab
ab ab
ab
ab ab
ab
ab ab
ab
Phương pháp:
Sử dụng công thức lượng giác để thực hiện các phép biến đổ nhằm đưa phương trình về một trong các
dạng sau:
www.saosangsong.com.vn
3
Dạng 1. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn :
2
sin sin 2
2
cos cos 2
tan tan ( )
2
cot cot ( )
π
ππ
π
π
π
π
π
ππ
=+
⎡
=⇔
⎢=−+
⎣
=+
⎡
=⇔
⎢=− +
⎣
=⇔=+ ≠+
=⇔=+ ≠
XAk
XA
XAk
XAk
XA
XAk
X
AXAkA m
XAXAkAm
Ñaëc bieät:
• sin 0 ;
sin 1 2 ; sin 1 2
22
π
ππ
π
π
=⇔ =
=⇔ = + =−⇔ =− +
XXk
XXk X X k
• cos 0 ;
2
cos 1 2 ; cos 1 2
=⇔ = +
=⇔ = =−⇔ = +
XXk
XXk X Xk
ππ
ππ
Dạng 2 . Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc
at2 + bt + c = 0 với t là một ẩn số phụ lượng giác như t = sinx , t = cosx (|t| ≤ 1), t = tanx . . .
• Giải để tìm t .
• Suy ra x
Trong dạng 2 này, ta có các tiểu dạng chuẩn sau:
2.1. . acosx + bsinx = c
Caùch giaûi 1:Chia hai veá cho 22
ab+ vaø tìm goùc
α
thoûa 22 22
ab
cos ; sin
ab ab
αα
==
++
, phöông trình thaønh
: 22
c
cos(x )
ab
α
+= +
• Neáu 22
abc+≥
2
(điều kiện có nghiệm ):
Goïi β laø goùc thoûa: 22
c
cos
ab
=
+
β
cos(x ) cos
, ta ñöôïc :
α
β
=
+
Caùch giaûi 2 :
• x = k.2
π
π
+laø nghieäm neáu - a + c = 0
• x
≠k.2
π
π
+: Ñaët t = tan(x/2), theá sinx =
2
2
2t 1 t
,cosx
1t 1t
2
−
=
+
+, ta ñöôïc phöông trình baäc 2 theo t.
Tìm t, suy ra nghieäm x.
2.2. . asin2x + bsinx cosx + ccos2x + d = 0 .
Caùch giaûi :
• x =
/
2k.
π
+ laø nghieäm neáu a + d = 0.
π
• x ≠
/
2k.
π
π
+ : Chia hai veá cho cos2x 0, ta ñöôïc moät phöông trình baäc hai theo t = tan x. Giaûi ñeå tìm t ,
suy ra x.
≠
2.3 . asinxcosx + b(sinx cosx) + c = 0
±
• Ñaët t = sinx cosx =
±
π
±2sin(x /4)=> |t| 2≤
Vaø theá sinxcosx =
2
t1
2
−
±, ta ñöôïc PT baäc 2 theo t. Giaûi ñeå tìm t thoûa |t| 2≤. Suy ra nghieäm x.
www.saosangsong.com.vn
4
Dạng 3. PT löôïng giaùc daïng tích soá.
• Bieán ñoåi PT veà daïng f(x). g(x) = 0
• PT Ù f(x) = 0 hay g(x) = 0
Các ví dụ về dạng 1:
D2009. GPT : 3 cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = 0 (1)
Giải
(1) Ù 3 cos5x – (sin5x + sinx) – sinx = 0 (công thức biến tích thành tổng)
Ù 3 cos5x – sin5x = 2sinx Ù 31
cos5 sin 5 sin
22
x
xx−=
Ù sin cos5 cos sin 5 sin
33
x
xx
π
π
−=
Ù sin 5 sin
3
x
x
π
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠ : Dạng 1
Ghi chú: Biểu thức 3cos5x – sin5x thuộc dạng tổng quát 3 cosa – sina . . . rất thông dụng, cần
nhớ (xem công thức ở trang đầu)
B2009. GPT : sinx + cosxsin2x + 3 cos3x = 2(cos4x + sin3x) (1)
Giải
(1) Ù (sinx – 2sin3x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x
Ù sinx(1 – 2sin2x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x
cos3x = 2cos4x (Thay 1 – 2sin2x = cos2x) Ù (sinxcos2x + cosxsin2x) + 3
Ù (sin3x) + 3 cos3x = 2cos4x (công thức cộng)
Lại gặp biểu thức quen thuộc: sina + 3 cosa. Giải tiếp . . .
Các ví dụ về dạng 2
A2006. GPT:
66
2(cos sin ) sin cos 0
22sin
xxxx
x
+−
=
− (1)
k
=
0, 2, 4
...
2n
k
=
1
,
3, 5
...
2n
+
1
Giải
2
ĐK: sinx ≠ / 2 (2)
Thay sinx cosx = ½ . sin2x và cos6x + sin6x = 1 – 3sin2xcos2x
= 1 – (¾) sin22x
(1) Ù 2 – 3/2. sin22x - ½ . sin2x = 0 Ù 3sin22x + sin2x – 4
= 0 (Dạng bậc 2 theo t = sin2x với |t| ≤ 1)
Ù sin2x = 1 Ù x = π/4 + kπ
www.saosangsong.com.vn
5
Xét (2) : sin(π/4 + kπ) ≠ 2/ 2
Nhận xét : sin(π/4 + kπ) = sin / 4 2 / 2 2
sin(5 / 4) 2 / 2 2 1
khi k n
khi k n
π
π
⎧==
⎪
⎨
=
−=
⎪
⎩+
; do đó phương trình có nghiệm x =
5π/4 + 2nπ (n
Z
∈)
Ghi chú: Ta có thể giải điều kiện theo cách sau:
sinx ≠ 2/2 Ù x ≠ π/4 + n.2π hay x ≠ 3π/4 + n.2π
Do đó (2) Ù π/4 + kπ ≠ π/4 + n.2π và π/4 + k.π ≠ 3π/4 + n.2π
Ù k ≠ 2n và k ≠ ½ + 2n
Ù k ≠ 2n vì điều kiện k ≠ ½ + 2n thỏa với mọi n, mọi k vì chúng nguyên,
Ù k = 2n + 1 .
Cách giải nào tốt hơn còn tùy điều kiện và nghiệm.
B2003. GPT: cotx – tanx + 4sin2x = 2
sin 2
x
Giải
Chú ý cách biến đổi biểu thức cotx – tanx :
cotx – tanx =
22
cos sin cos sin 2 cos 2 (2cot2)
sin cos sin cos sin 2
xx x x x
xx xx x
−
−= = =
x
Phương trình thành: 2cos2 2
4sin2
sin 2 sin 2
xxx
+=
x
Đk: sin2x ≠ 0
Phương trình thành: cos2x + 2sin22x = 1 Ù cos2x + 2(1 - cos22x) = 1
Ù 2cos22x – cos2x – 1 = 0 (PT bậc 2 theo t = cos2x)
Ù cos2x = 1 hay cos2x = - ½.
Nhận xét rằng cos2x = 1 => sin2x = 0 do đó giá trị này bị loại . Còn cos2x = – ½ => sin2x ≠ 0 nên
nhận.
Cuối cùng ta được : 2x = 2.2
33
kxk
π
π
π
π
±+ <=>=±+
Nhận xét : Thêm một cách giải điều kiện bằng giá trị của hàm số liên quan
Đôi khi phương trình có thể đưa về dạng bậc 3 theo một ẩn số phụ, như bài sau:
GPT: cos2x + 2sin(4x/3 + π/2) = 3
Giải:
Phương trình tương đương với : 1cos2 2cos(4 /3) 3
2
xx
+
+
=
Ù cos2x + 4cos(4x/3) – 5 = 0
Nhận xér rằng 4x/3 = 2. (2x/3) còn 2x = 3.(2x/3), do đó thay:
• cos(4x/3) = 2cos2(2x/3) – 1 (CT nhân 2) và
• cos2x = 4cos3(2x/3) – 3cos(2x/3) (CT nhân 3)