Phân tích các đề về phương trình lượng giác của đề thi đại học từ năm 2003 đến 2010 các ban A.B.D
lượt xem 363
download
Tài liệu tham khảo - Phân tích các đề về phương trình lượng giác của đề thi đại học từ năm 2003 đến 2010 các ban A.B.D.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Phân tích các đề về phương trình lượng giác của đề thi đại học từ năm 2003 đến 2010 các ban A.B.D
- 1 Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa PHAÂN TÍCH CAÙC ÑEÀ Phöông trình löôïng giaùc trong ñeà thi ÑH 2003-2010 caùc ban A-B-D www.saosangsong.com.vn www.saosangsong.com.vn
- 2 LTĐH : Chuyên đề PT LƯỢNG GIÁC .COÂNG THÖÙC LƯỢNG GIAÙC 1 .Coâng thức cộng 2. Coâng thức nhaân ñoâi sin 2a = 2sin a.cos a cos(a ± b) = cos a.cosb ∓ sin a.sin b cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a sin(a ± b) = sin a.cos b ± sin b.cos a 2 tan a tan 2a = tan a ± tan b 1 − tan 2 a tan(a ± b) = 1 ∓ tan a.tan b Coâng thức nhaân ba Coâng thöù haï baäc 1 + cos 2a 1 − cos 2a sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a cos 2 a = ; sin 2 a = 2 2 cos 3a = 4cos a − 3cos a 3 3cos a + cos 3a 3sin a − sin 3a cos3 a = ; sin 3 a = 4 4 AÙp duïng: sin x + cos x = 2.sin(x + π / 4) sin x − cos x = 2.sin(x − π / 4) ; sin x ± 3 cos x = 2.sin(x ± π / 3) ; 3 sin x ± cos x = 2.sin(x ± π / 6) 1 1 sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x = 1 - sin 2 2x ; sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x = 1 - sin 2 2x 2 3 3. Coâng th ức t ính sinx ; cosx ; tanx theo t = tan(x/2) 4 .Coâng thức biến ñổi tích thaønh tổng 1 [sin(a + b) + sin(a − b)] 2t x sin a.cos b = sin x = (t = tan ) 2 1+ t 2 2 1 cos a.cos b = [ cos(a + b) + cos(a − b) ] 1− t2 cos x = 2 1+ t2 1 sin a.sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b)] 2t tan x = 2 1− t2 5 .Coâng thức biến ñoåi toång thaønh tích a+b a −b cos a + cos b = 2 cos cos 2 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin sin 2 2 a+b a −b sin a + sin b = 2sin cos 2 2 a+b a −b sin a − sin b = 2 cos sin 2 2 Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác để thực hiện các phép biến đổ nhằm đưa phương trình về một trong các dạng sau: www.saosangsong.com.vn
- 3 ⎡ X = A + k 2π sin X = sin A ⇔ ⎢ ⎣ X = π − A + k 2π Dạng 1. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn : cos X = cos A ⇔ ⎡ X = A + k 2π ⎢ X = − A + k 2π ⎣ π tan X = tan A ⇔ X = A + kπ ( A ≠ + mπ ) 2 cot X = cot A ⇔ X = A + kπ ( A ≠ mπ ) Ñaëc bieät: s in X = 0 ⇔ X = k π ; • π π + k 2π ; sin X = − 1 ⇔ X = − + k 2π sin X = 1 ⇔ X = 2 2 π + kπ ; c os X = 0 ⇔ X = • 2 cos X = 1 ⇔ X = k 2π ; cos X = − 1 ⇔ X = π + k 2π Dạng 2 . Phöông trình baäc hai ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc at2 + bt + c = 0 với t là một ẩn số phụ lượng giác như t = sinx , t = cosx (|t| ≤ 1), t = tanx . . . • Giải để tìm t . • Suy ra x Trong dạng 2 này, ta có các tiểu dạng chuẩn sau: 2.1. . acosx + bsinx = c a b a2 + b2 vaø tìm goùc α thoûa cos α = Caùch giaûi 1:Chia hai veá cho , phöông trình thaønh ; sin α = 2 2 a + b2 2 a +b c : cos(x + α ) = a + b2 2 • Neáu a + b ≥ c (điều kiện có nghiệm ): 2 2 2 c Goïi β laø goùc thoûa: cos β = , ta ñöôïc : cos(x + α ) = cos β a2 + b 2 Caùch giaûi 2 : • x = π + k.2π laø nghieäm neáu - a + c = 0 1 − t2 2t • x ≠ π + k.2π : Ñaët t = tan(x/2), theá sinx = , ta ñöôïc phöông trình baäc 2 theo t. , cos x = 1 + t2 1 + t2 Tìm t, suy ra nghieäm x. 2.2. . asin2x + bsinx cosx + ccos2x + d = 0 . Caùch giaûi : • x = π / 2 + k.π laø nghieäm neáu a + d = 0. • x ≠ π / 2 + k.π : Chia hai veá cho cos2x ≠ 0, ta ñöôïc moät phöông trình baäc hai theo t = tan x. Giaûi ñeå tìm t , suy ra x. 2.3 . asinxcosx + b(sinx ± cosx) + c = 0 • Ñaët t = sinx ± cosx = 2 sin(x ± π / 4) => |t| ≤ 2 t2 − 1 Vaø theá sinxcosx = ± , ta ñöôïc PT baäc 2 theo t. Giaûi ñeå tìm t thoûa |t| ≤ 2 . Suy ra nghieäm x. 2 www.saosangsong.com.vn
- 4 Dạng 3. PT löôïng giaùc daïng tích soá. • Bieán ñoåi PT veà daïng f(x). g(x) = 0 • PT f(x) = 0 hay g(x) = 0 Các ví dụ về dạng 1: D2009. GPT : 3 cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = 0 (1) Giải (1) 3 cos5x – (sin5x + sinx) – sinx = 0 (công thức biến tích thành tổng) 3 1 cos 5 x − sin 5 x = sin x 3 cos5x – sin5x = 2sinx 2 2 π π ⎛π ⎞ cos 5 x − cos sin 5 x = sin x sin ⎜ − 5 x ⎟ = sin x : Dạng 1 sin ⎝3 ⎠ 3 3 Ghi chú: Biểu thức 3 cos5x – sin5x thuộc dạng tổng quát 3 cosa – sina . . . rất thông dụng, cần nhớ (xem công thức ở trang đầu) 3 cos3x = 2(cos4x + sin3x) (1) B2009 . GPT : sinx + cosxsin2x + Giải (sinx – 2sin3x) + cosxsin2x + (1) 3 cos3x = 2cos4x sinx(1 – 2sin2x) + cosxsin2x + 3 cos3x = 2cos4x 3 cos3x = 2cos4x (Thay 1 – 2sin2x = cos2x) (sinxcos2x + cosxsin2x) + (sin3x) + 3 cos3x = 2cos4x (công thức cộng) Lại gặp biểu thức quen thuộc: sina + 3 cosa. Giải tiếp . . . Các ví dụ về dạng 2 2(cos6 x + sin 6 x) − sin x cos x = 0 (1) A2006 . GPT: k = 0, 2, 4 ... 2n 2 − 2sin x Giải 2 / 2 (2) ĐK: sinx ≠ Thay sinx cosx = ½ . sin2x và cos6x + sin6x = 1 – 3sin2xcos2x = 1 – (¾) sin22x k = 1, 3, 5 ... 2n+1 2 2 (1) 2 – 3/2. sin 2x - ½ . sin2x = 0 3sin 2x + sin2x – 4 = 0 (Dạng bậc 2 theo t = sin2x với |t| ≤ 1) x = π/4 + kπ sin2x = 1 www.saosangsong.com.vn
- 5 Xét (2) : sin(π/4 + kπ) ≠ 2/2 ⎧sin π / 4 = 2 / 2 khi k = 2n ⎪ Nhận xét : sin(π/4 + kπ) = ⎨ ; do đó phương trình có nghiệm x = ⎪sin(5π / 4) = − 2 / 2 khi k = 2n + 1 ⎩ 5π/4 + 2nπ (n ∈ Z ) Ghi chú: Ta có thể giải điều kiện theo cách sau: x ≠ π/4 + n.2π hay x ≠ 3π/4 + n.2π 2 /2 sinx ≠ π/4 + kπ ≠ π/4 + n.2π và π/4 + k.π ≠ 3π/4 + n.2π Do đó (2) k ≠ 2n và k ≠ ½ + 2n k ≠ 2n vì điều kiện k ≠ ½ + 2n thỏa với mọi n, mọi k vì chúng nguyên, k = 2n + 1 . Cách giải nào tốt hơn còn tùy điều kiện và nghiệm. 2 B2003 . GPT: cotx – tanx + 4sin2x = sin 2 x Giải Chú ý cách biến đổi biểu thức cotx – tanx : cos x sin x cos 2 x − sin 2 x 2 cos 2 x − = = (= 2 cot 2 x) cotx – tanx = sin x cos x sin x cos x sin 2 x 2 cos 2 x 2 + 4sin 2 x = Phương trình thành: sin 2 x sin 2 x Đk: sin2x ≠ 0 Phương trình thành: cos2x + 2sin22x = 1 cos2x + 2(1 - cos22x) = 1 2 2cos 2x – cos2x – 1 = 0 (PT bậc 2 theo t = cos2x) cos2x = 1 hay cos2x = - ½. Nhận xét rằng cos2x = 1 => sin2x = 0 do đó giá trị này bị loại . Còn cos2x = – ½ => sin2x ≠ 0 nên nhận. 2π π + k .2π x = ± + kπ Cuối cùng ta được : 2x = ± 3 3 Nhận xét : Thêm một cách giải điều kiện bằng giá trị của hàm số liên quan Đôi khi phương trình có thể đưa về dạng bậc 3 theo một ẩn số phụ, như bài sau: GPT: cos2x + 2sin(4x/3 + π/2) = 3 Giải: 1 + cos 2 x + 2 cos(4 x / 3) = 3 Phương trình tương đương với : 2 cos2x + 4cos(4x/3) – 5 = 0 Nhận xér rằng 4x/3 = 2. (2x/3) còn 2x = 3.(2x/3), do đó thay: • cos(4x/3) = 2cos2(2x/3) – 1 (CT nhân 2) và • cos2x = 4cos3(2x/3) – 3cos(2x/3) (CT nhân 3) www.saosangsong.com.vn
- 6 ta được phương trình bậc 3 theo cos(2x/3): [4cos3(2x/3) – 3cos(2x/3)] + 4[2cos2(2x/3) – 1] – 5 = 0 4cos3(2x/3) + 8cos2(2x/3) – 3cos(2x/3) – 9 = 0 Đặt t = cos(2x/3); |t| ≤ 1: 4t3 + 8t2 – 3t – 9 = 0 t = 1, t = - 3/2 (loại) cos2x = 1 x = kπ. Các ví dụ về dạng 3 (dạng tích số). Sử dụng các kỹ thuật đại số phân tích ra nhân tử một biểu thức, trong đó phép đặt nhân tử chung, nhóm các số hạng, dùng các hằng đẳng thức . Các công thức sau thường được sử dụng: cos2x = cos2x – sin2x = (cosx + sinx)(cosx –sinx) • 1 + sin2x = (sinx + cosx)2 • sin2x = (1 + cosx)( - cosx) • ... B2007 GPT: 2sin22x + sin7x – 1 = sinx Giải Phương trình tương đương với – cos4x) + (sin7x – sinx) = 0 - cos4x + 2cos4xsin3x = 0 ⎡ cos 4 x = 0 cos4x(2sin3x – 1) = 0 ⎢sin 3 x = 1/ 2 . . . ⎣ D2003 GPT: sin2(x/2 - π/4).tan2x – cos2(x/2) = 0 Giải Thay : sin2(x/2 - π/4) = 1 − cos( x − π / 2) 1 − sin x sin 2 x 1 − cos 2 x 1 + cos x = ; tan 2 x = = ; cos 2 ( x / 2) = , ta được : cos x 1 − sin x 2 2 2 2 2 1 − sin x 1 − cos 2 x 1 + cos x − =0 . 1 − sin 2 x 2 2 Đk: sinx ≠ ±1 Đơn giản, khử mẫu, ta được : (1 – cos2x) – (1 + cosx)(1 + sinx) = 0 (1 + cosx)(1 – cosx – 1 – sinx) = 0 ⎡ cos x = −1 ⎡ x = (2k + 1)π (1 + cosx)(cosx + sinx) = 0 ⎢ ⎢ x = −π / 4 + kπ ⎣ 2 sin( x + π / 4) = 0 ⎣ Cả hai giá trị này đều thoả điều kiện nên là nghiệm của phương trình . www.saosangsong.com.vn
- 7 D10 GPT: sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 Giải Thay sin2x = 2sinxcosx; cos2x = 1 – 2sin2x, ta được : 2sinxcosx – (1 – 2sin2x) + 3sinx – cosx – 1 = 0 cosx(2sinx – 1) + (2sin2x + 3sinx – 2) = 0 Chú ý biểu thức (2sin2x + 3sinx – 2) là tam thức bậc 2 theo sinx, tương tự như 2x2 + 3x – 2 , ta có thể phân tích chúng dễ dàng bằng bấm nghiệm của phương trình 2x2 + 3x – 2 = 0 bằng máy tính, được x1 = - 2 và x2 = ½ , như vậy (2sin2x + 3sinx – 2) = (2sinx – 1)(sinx + 2), và phương trình thành: cosx(2sinx – 1) + (2sinx – 1)(sinx + 2) = 0 ⎡sin x = 1/ 2 (2sinx – 1)(cosx + sinx + 2) = 0 ... ⎢ sin( x + π / 4) = − 2 (VN ) ⎣ THỰC TẬP Giải các phương trình sau: 1. D2008. 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 2. D2007. (sinx/2 + cosx/2)2 + 3 cosx = 2 3.D2006. cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 4.D2005. cos4x + sin4x + cos(x - π/4)sin(3x - π/4) – 3/2 = 0 5.D2004. (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 6. B2010. (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 7. B2008. sin3x – 3 cos3x = sinxcos2x – 3 sin2xcosx 8. B2006. cotx + sinx(1 + tanxtan(x/2)) = 4 9. B2005. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 10. B2004. 5sinx – 2 = 3(1 – sinx).tan2x (1 + sin x + cos 2 x) sin( x + π / 4) 1 = 11. A2010. cos x 1 + tan x 2 (1 − 2sin x) cos x =3 12. A2009. (1 + 2sin x)(1 − sin x) 1 1 = 4sin(7π / 4 − x) + 13.A2008. sin x sin( x − 3π / 2) 14. A2007. (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 15. A2005. cos23xcos2x – cos2x = 0 www.saosangsong.com.vn
- 8 cos 2 x 1 + sin 2 x − sin 2 x 16. A2003 cotx – 1 = 1 + tan x 2 17. CĐ. sin 4 x − 3 cos 4 x = 3 cos 2 x + sin 2 x (4 cos x − 1) 18. cosx + 2sin2xcosx + 2 = 3 sin3x + 2(2cos22x + cos3x) . GIẢI VẮN TẮT 1. 2sinx(2cos2x) + 2sinxcosx = 1 + 2cosx 2sinxcosx(2cosx + 1) = 1 + 2cosx (2cosx + 1)(2sinxcosx – 1) = 0 . . . Thay 1 + cos2x = 2cos2x: 2sinxcosx(2cosx + 1) – (2cosx + 1) = 0 2. (1 + sinx) + 3 cosx = 2 sinx + 3 cosx = 1 sin(x + π/3) = ½ . . . 3 . Thay cos3x = 4cos3x – 3cosx, cos2x = 2cos2x – 1, ta được phương trình bậc 3 theo cosx . . . 4 . Thay cos4x + sin4x = 1 – 2sin2xcos2x = 1 – ½ .sin22x , và cos(x - π/4)sin(3x - π/4) = ½ [sin(4x - π/2) + sin(2x)] (CT sinacosb = ½ [sin(a+b) + sin(a – b)]) = ½ [- cos4x + sin2x] Ta được : 1 – ½ .sin22x + ½ [- cos4x + sin2x] = 0 Sau đó thay cos4x = 1 – 2sin22x, ta được phương trình bậc 2 theo sin2x . . . 5. Biến đổi vế phải thành 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1) Ta đưa phương trình về dạng tích : (2cosx – 1)(2sinx + cosx – sinx ) = 0 . . . . 6 . Khai triển : sin2xcosx + cos2xcosx + 2cos2x – sinx = 0 sinx(2cos2x – 1) + cos2xcosx + 2cos2x = 0 sinxcos2x + cos2xcosx + 2cos2x = 0 cos2x(sinx + cosx + 2) = 0 7 . (sin3x – sinxcos2x) – ( 3 cos3x - 3 sin2xcosx) = 0 sinx(sin2x – cos2x) – 3 cosx(cos2x – sin2x) = 0 (cos2x – sin2x) ( 3 cosx – sinx ) = 0 cos2x. ( 3 cosx – sinx ) = 0 . . . www.saosangsong.com.vn
- 9 8 . Biến đổi: 1 + tanxtan(x/2) = 1 = sin x.sin( x / 2) cos x.cos( x / 2) + sin x sin( x / 2) cos x 1+ = = cos x.cos( x / 2) cos x.cos( x / 2) cos x.cos( x / 2) cos x cos( x / 2) + sin x. Phương trình tương đương với =2 sin x cos x.cos( x / 2) Đk: sinx.cosx ≠ 0 cos x sin x cos2x + sin2x = 4sinxcosx + =4 sin x cos x x = π/12 + kπ hay x = 5π/12 + kπ (thỏa điều kiện ) sin2x = ½ 9 . (1 + cos2x) + (sinx + cosx) + sin2x = 0 2cos2x + (sinx + cosx) + (2sinxcosx) = 0 (2cos2x + cosx) + (sinx + 2sinxcosx) = 0 cosx(2cosx + 1) + sinx(1 + 2cosx) = 0 (2cos + 1)(cosx + sinx) = 0 sin 2 x 10 . 5sin x − 2 = 3(1 − sin x) 1 − sin 2 x sin 2 x 5sin x − 2 = 3 : phương trình bậc 2 theo sinx với sinx ≠ ±1 1 + sin x (1 + sin x + cos 2 x)( 2 / 2)(sin x + cos x) 1 11 . = cos x cos x + sin x 2 cos x Đk : cosx ≠ 0 và sinx + cosx ≠ 0 2sin2x – sinx – 1 = 0 Đơn giản, qui đồng: 1 + sinx + cos2x = 1 ⎡sin x = 1 => cos x = 0 (loai) ⎢sin x = −1/ 2(nhan) ⎣ 12 . Đk: sinx ≠ - ½; 1 (1 – 2sinx)cosx = 3 (1 + 2sinx)(1 – sinx) cos x − 2 sin x cos x = 3(1 + sin x − 2 sin 2 x ) cosx – sin2x = 3 cos2x + 3 sinx cosx – 3 sinx = 3 cos2x + sin2x 2.cos(x + π/3) = 2. cos(2x - π/6) ) (dạng 1) www.saosangsong.com.vn
- 10 2 13 . Thay sin(x - 3π/2) = sin(x + π/2) = cosx và sin(7π/4 – x) = sin(- x - π/4) = − .(sin x + cos x) , 2 phương trình thành : 1 1 + = 2 2.(sin x + cos x) sin x cos x (sinx + cosx)(1 – 2 2 sinxcosx) = 0 Đk : sinxcosx ≠ 0 ⎡sin( x + π / 4) = 0 ⎢ (thỏa điều kiện) ⎢sin 2 x = 2 ⎢ ⎣ 2 14 . Khai triển và nhóm : (cosx + sinx) + sinxcosx(sinx + cosx) = (sinx + cosx)2 (sinx + cosx)( 1 + sinxcosx – sinx – cosx) = 0 (sinx + cosx)(1 – sinx)(1 – cosx) = 0 (dạng 3) 15 . (1 + cos6x)cos2x – (1 + cos2x) = 0 (CT hạ bậc) cos6xcos2x – 1 = 0 cos8x + cos4x – 2 = 0 (CT biến tích thành tổng) 2cos24x + cos4x – 3 = 0 (PT bậc 2 theo cos4x) cos 2 x − sin 2 x cos x 16 . −1 = + sin 2 x − sin x cos x sin x sin x 1+ cos x cos x − sin x cos x − sin 2 x 2 = .cos x + sin x(sin x − cos x) cos x + sin x sin x Đk: sinx ≠ 0 và cosx + sinx ≠ 0 PT thành cosx – sinx = (cosx – sinx) cosxsinx + sin2x(sinx – cosx) (cosx – sinx)(1 – cosxsinx + sin2x) = 0 ⎡cos x − sin x = 0 (1) ⎢ ⎣1 − cos x sin x + sin x = 0 (2) 2 x = π/4 + kπ (thỏa điều kiện) (1) 1 – ½ sin2x + sin2x = 0 . Vì vế trái luôn dương do (sin2x ≤ 1 )nên (2) VN. (2) Hoặc nhận ra đây là phương trình dạng 2.2.: asin2x + bsinx cosx + ccos2x + d = 0 : chia hai vế cho cos2x , ta được : (1 + tan2x) – tanx + tan2x = 0 2tan2x – tanx + 1 = 0 (VN) 17 . Khai triển và nhóm lại: (sin4x + sin2x) – 3 (cos4x + cos2x) = 4sin2xcosx 2sin3xcosx – 2 3 cos3x.cosx = 4sin2xcosx (CT biến tổng thành tích) 2cosx(sin3x – 3 cos3x – 2sin2x) = 0 www.saosangsong.com.vn
- 11 ⎡cos x = 0 (1) ⎢ ⎣sin 3 x − 3 cos 3 x = 2sin 2 x (2) x = π/2 + kπ (1) Sin(3x - π/3) = sin2x . . . (2) 18 Khai triển và nhóm lại : cosx + 2sin2xcosx + 2 = 3 sin3x + 2(2cos22x + cos3x) 2 - 4cos22x = 3 sin3x + cosx(2cos2x - 1) – (2sinxcosx)sinx 2(- cos4x) = 3 sin3x + cosx(cos2x) – (sin2x)sinx 3 1 cos(4x + π) = sin 3 x + cos 3 x 2 2 cos(4x + π) = cos(3x - π/3) . . . www.saosangsong.com.vn
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Cơ sở hóa học phân tích- mở đầu về phân tích thể tích Lâm Ngọc Thụ
8 p | 349 | 132
-
Câu hỏi ôn tập Phân tích bằng công cụ
4 p | 595 | 63
-
Chuyên đề Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8
16 p | 618 | 58
-
SKKN: Phương pháp tích hợp bảo vệ môi trường vào giảng dạy môn Vật lí 7
23 p | 546 | 54
-
Bài giảng Đại số 8 chương 1 bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
22 p | 368 | 51
-
CHƯƠNG 8: KHÁI QUÁT VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHỔ NGHIỆM
0 p | 155 | 47
-
Một số vấn đề về di truyền học (Phân tích & sản phẩm gen)
26 p | 221 | 46
-
Đề thi HK 1 Toán 8 - THCS Long Kiến(2013-2014)
3 p | 116 | 21
-
SKKN: Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn đại số 8
21 p | 50 | 7
-
Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số kinh nghiệm về việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán môn Đại số 8
21 p | 43 | 6
-
SKKN: Rèn luyện kĩ năng phân tích và vận dụng các biện pháp tu từ cho học sinh Trung hoc phổ thông
53 p | 86 | 6
-
SKKN: Kinh nghiệm phân tích dạng toán tính số hạng n; tính tổng, tích n số hạng đầu tiên của dãy số truy hồi khi giải toán trên máy tính cầm tay
20 p | 88 | 5
-
Chuyên đề về Phân tích đa thức thành nhân tử
32 p | 17 | 5
-
Giải bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử SGK Toán lớp 8 tập 1
5 p | 149 | 4
-
Phân tích hệ số
10 p | 93 | 4
-
Giải bài tập Thực hành - Vẽ và phân tích biểu đồ về sự thay đổi cơ cấu diện tích gieo trồng phân theo các loại cây, sự tăng trưởng đàn gia súc, gia cầm SGK Địa lí 9
4 p | 134 | 4
-
Phân tích những đặc sắc nghệ thuật trong truyện ngắn Những đứa con trong gia đình
6 p | 143 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn