Phép tính vi phân của hàm một biến

Chia sẻ: Phamdinh Cuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

387
lượt xem 62
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 4. Phép tính vi phân của hàm một biến Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá:Giải tích toán học, giải tích, Phép tích vi phân, Đạo hàm, vi phân, Công thức Taylor, Khai triển Maclaurin, Quy tắc L’hospital. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phép tính vi phân của hàm một biến

1 Chương 4. Phép tính vi phân của hàm một biến Lê Văn Trực Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá:Giải tích toán học, giải tích, Phép tích vi phân, Đạo hàm, vi phân, Công thức Taylor, Khai triển Maclaurin, Quy tắc L’hospital. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 4 Phép tính vi phân của hàm một biến ....................................................................... 2 4.1 Đạo hàm và cách tính ....................................................................................................... 3 4.1.1 Định nghĩa đạo hàm ................................................................................................... 3 4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số ......................................................................... 3 4.2 Các qui tắc tính đạo hàm .................................................................................................. 4 4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm............................................................................................ 4 4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp........................................................................................... 4 4.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược ....................................................................................... 6 4.2.4 Đạo hàm theo tham số................................................................................................ 7 4.2.5 Đạo hàm một phía...................................................................................................... 7 4.2.6 Đạo hàm vô cùng ....................................................................................................... 9 4.2.7 Đạo hàm các hàm số sơ cấp ....................................................................................... 9 4.3 Vi phân của hàm số ........................................................................................................ 10 4.3.1 Định nghĩa................................................................................................................ 10 1
2 4.3.2 Các qui tắc tính vi phân ........................................................................................... 11 4.3.3 Vi phân của hàm số hợp........................................................................................... 11 4.3.4 Ứng dụng của vi phân ............................................................................................. 12 4.4 Các định lí cơ bản của hàm khả vi.................................................................................. 12 4.8.1 Cực trị địa phương ................................................................................................... 12 4.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao........................................................................................... 18 4.8.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao.................................................................................... 18 4.8.2 Các công thức tổng quát đối với đạo hàm cấp n ...................................................... 18 4.8.3 Vi phân cấp cao........................................................................................................ 19 4.6 Công thức Taylor............................................................................................................ 20 4.8.1 Công thức Taylor ..................................................................................................... 20 4.8.2 Khai triển Maclaurin ................................................................................................ 22 4.7 Qui tắc L’hospital để khử dạng vô định ......................................................................... 25 0 4.8.1 Dạng vô định 0 ....................................................................................................... 25 ∞ 4.8.2 Dạng vô dịnh ∞ ...................................................................................................... 27 4.8 Khảo sát hàm số .............................................................................................................. 30 4.8.1 Khảo sát đường cong cho dưới dạng phương trình hiện.......................................... 30 4.8.2 Đường cong cho dưới dạng tham số ........................................................................ 32 4.8.3 Khảo sát đường cong trong tọa độ cực .................................................................... 36 4.9 Bài tập chương 4............................................................................................................. 39 Chương 4
3 Phép tính vi phân của hàm một biến 4.1 Đạo hàm và cách tính 4.1.1 Định nghĩa đạo hàm , f :U → và x0 ∈ U . Giả sử U là một tập mở trong Cho x0 một số gia Δx ≠ 0 đủ nhỏ sao cho x0 + Δx ∈ U . Khi đó ta gọi Δy = f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) là một số gia của hàm số tương ứng với số gia đối số Δx tại điểm x0. Xét tỷ số giữa số gia hàm số với số gia đối số. Nếu tỷ số dẫn đến một giới hạn hữu hạn xác định khi Δx → 0 , thì ta nói rằng hàm f khả vi tại điểm x0, giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số tại x0 và ký hiệu là f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim . (4.1.1) Δx Δx →0 df ( x0 ) dy Các ký hiệu y′ hay f ′( x ) là các ký hiệu đạo hàm theo Largrange, còn hay là dx dx các kí hiệu theo Leibnitz và Dy hay Df(x0) là các kí hiệu theo Cauchy. Đôi khi để nhấn mạnh biến số lấy đạo hàm, người ta thường viết biến đó thành chỉ số dưới: y ′ , f x′( x0 ), Dx y hay Dx f ( x0 ) (4.1.2) x Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc U. 4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số Nếu hàm y = f(x) khả vi tại x0 ∈U , ta có thể biểu diễn số gia của hàm số Δy = Δf ( x0 ) = f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) như sau. Δf ( x0 ) = f ′( x0 ) . Theo định nghĩa lim Δx Δx → 0 Δf ( x0 ) = f ′( x0 ) + α với α → 0 khi Δx → 0 . Đặt (4.1.3) Δx Ta có Δf ( x0 ) = f ′( x0 )Δx + α .Δx với lim α → 0 . (4.1.4) Δx → 0 ο(Δx) Kí hiệu α .Δx = ο(Δx) và hiển nhiên lim = 0. Δx Δx → 0 Do đó (4.1.4) có thể viết dưới dạng Δf ( x0 ) = f ′( x0 )Δx + ο(Δx). (4.1.5) Định lý 4.1.1 Nếu hàm y = f(x) khả vi tại x0 ∈ U thì f(x) liên tục tại x0. Chứng minh: Thật vậy ta có 3
4 f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = f ′( x0 )Δx + ο(Δx) , suy ra lim [ f ( x0 + Δx) − f ( x0 )] = lim f ′( x0 )Δx + lim ο(Δx) Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 ⇒ lim f ( x0 + Δx) = f ( x0 ). Δx → 0 4.2 Các qui tắc tính đạo hàm 4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm Trước hết ta hãy nhắc lại các qui tắc tính đạo hàm đã biết Định lí 4.2.1 Cho f , g : U → , trong đó U là tập hợp mở trong R, còn f, g là hai hàm khả vi f tại x0 ∈ U . Khi đó ∀c1 , c2 ∈ các hàm c1 f + c2 g, f . g và (nếu g(x0) ≠ 0 cũng là các hàm g khả vi tại điểm x0 và ta có các công thức sau: a) ( c1 f + c2 g )′( x0 ) = c1 f ′( x0 ) + c2 g′( x0 ) (4.2.1) b) ( f , g )′( x0 ) = f ′( x0 ) g( x0 ) + g′( x0 ). f ( x0 ) (4.2.2) ⎛ f ⎞′ f ′( x0 ) g( x0 ) − g′( x0 ). f ( x0 ) c) ⎜ ⎟ ( x0 ) = , g( x0 ) ≠ 0 . (4.2.3) g2 ( x0 ) ⎝ g⎠ 4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp Định lí 4.2.2 Cho g : U → V và f : V → trong đó U, V là hai tập hợp mở trong , hàm u=g(x) khả vi tại x0 ∈ U và hàm y=f(u) khả vi tại u0=g(x0) ∈ V . Khi đó hàm hợp f 0 g khả vi tại x0 và ta có công thức ( f 0 g )′( x0 ) = f ′( g( x0 )) g′( x0 ) (4.2.4) hay gọn hơn y′ = yu .u ′ . ′x (4.2.5) x Chứng minh: Theo công thức (4.1.5) hàm f khả vi tại u0, nên ta có Δf = f ( u0 + Δu ) − f (u0 ) = f u′(u0 )Δu + ο( Δu ) . Mặt khác hàm g khả vi tại x0 nên Δu = g( x0 + Δx ) − g( x0 ) = g′ ( x0 )Δx + ο( Δx ) . x Thế Δu vào biểu thức Δf ta được f ( u0 + Δu ) − f (u0 ) = f u′(u0 ) [ gx ( x0 )Δx + ο ( Δx )] + ο( Δu ) ′ =f u′(u0 ). g′ ( x0 )Δx + f u′(u0 )ο ( Δx ) + ο( Δu ). x Chia cả 2 vế cho Δx
5 f (u0 + Δu ) − f (u0 ) ο( Δx ) ο( Δu ) = f u′(u0 ). g′ ( x0 ) + f u′(u0 ) + . Δx Δx Δx x Ta thấy do hàm u liên tục tại x0 nên khi Δx → 0 thì Δu → 0 và f ( u0 ) = f ( g( x0 )) = f o g( x0 ), f ( u0 + Δu ) = f (u ) = f ( g( x )) = f o g( x ). Bây giờ ta hãy viết lại biểu thức trên dưới dạng: f 0 g( x ) − f 0 g( x0 ) ο( Δx ) ο( Δu ) Δu = f u′(u0 ). gx ( x0 ) + f u′(u0 ) ′ + . . Δx Δx Δu Δx Cho Δx → 0 ta được ( f 0 g )′( x0 ) = f u′( g( x0 )). g′( x0 ), và công thức được chứng minh. Ví dụ 3: i) Ta thấy a x = ex ln a ∀a > 0 nên ( a x )′ = ( ex l n a )′ , đặt u = xlna, ( eu )' = ex l n a .ln a = a x ln a Do đó ta có công thức sau ( a x )′ = a x lna với ∀a > 0 . (4.2.6) ii) Ta có xα = eα lnx ∀x > 0 và ∀α ∈ 1 1 Do đó: ( xα )′ = ( eα ln x )′ = eα ln x .α . = xα .α . . x x Và ta có công thức sau: ( xα )′ = α . xα −1 . (4.2.7) d cos x −1 x Ví dụ 4: Tính I = e +1 với x ≠ −1 dx x −1 Đặt u = cos x +1 x − 1 ⎞′ x −1 ⎛ du cos e = eu .u ′ = e x +1 . ⎜ cos I= x +1⎟ x ⎝ ⎠ dx x −1 Lại đặt v = x +1 ta có x − 1 ⎛ x − 1 ⎞′ x −1 2 (cos v)′ = − sin v.v′ = − sin ⎜ x + 1 ⎟ = − sin x + 1 . ( x + 1)2 x +1⎝ ⎠ Cuối cùng x −1 ⎛ x −1⎞ 1 cos I = −2 e ⎟. x +1 . .sin ⎜ ⎝ x +1⎠ ( x + 1)2 trong đó f(x)>0, ∀x ∈ U và tồn tại f ′( x ), g′( x ) với x ∈ U . Ví dụ 5: Cho f , g : U → 5
6 Khi đó d d d ⎡( f ( x )) g( x ) ⎤ = ⎦ dx ⎡ e ⎤ = eg( x )ln f ( x ) g ( x )ln f ( x ) ( g( x ).ln f ( x )) dx ⎣ ⎣ ⎦ dx f ′( x ) ⎤ ⎡ =( f ( x )) g( x ) . ⎢ g′( x ) ln f ( x ) + g( x ). . f ( x) ⎥ ⎣ ⎦ 4.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược Định lí 4.2.4 Giả sử hàm f(x) khả vi liên tục trên (a,b) với f ′( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ( a, b) . Khi đó hàm f(x) đơn điệu thực sự nên có hàm ngược x = g(y), g : ( f ( a ), f ( b)) → ( a, b). Khi đó g(y) cũng khả vi tại y = f(x) và có đạo hàm g’(y) thoả mãn hệ thức: 1 g′( y ) = (4.2.8) f ′( x ) hay gọn hơn: 1 x′ = . (4.2.9) y′ y x Chứng minh: Do (g.f)(x) = x ∀x ∈ ( a, b) Hay g( f ( x )) = x ∀x ∈ ( a, b) . Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức trên theo x ta được g′( f ( x )). f ′( x ) = 1 hay g′( y). f ′( x ) = 1 1 suy ra g′( y ) = ∀x ∈ ( a, b) . f ′( x ) Ví dụ 6: π π i) Xét hàm số y = arcsinx với −1< x 0 y ⎝ 2 2⎠ 1 nên x′y = 1 − x 2 , suy ra y′ = . x 1 − x2 Tương tự, tao có các công thức sau: 1 ii) y = arccosx với −1< x
7 −1 iv) y = arccotgx với −∞ < x < +∞ , y′ = . 1 + x2 x 4.2.4 Đạo hàm theo tham số Xét hàm y của biến x được cho dưới dạng tham số ⎧ x = x( t ) với t ∈ (α , β ). ⎨ ⎩ y = y( t ) Giả sử x là hàm khả vi, liên tục và x '( t ) ≠ 0 t ∈ (α , β ) . Khi đó x(t) là hàm đơn điệu thực sự trên (α , β ) , vì vậy nó có hàm ngược t = t(x). Khi đó ta có hàm hợp y = y(t) = y(t(x)). Hãy tính y′ . Cho t một số gia Δ t, Δ x là số gia tương ứng của Δ t, Δ y là số gia tương x ứng của Δ x. Ta có Δy Δy Δt = Δx Δx Δt Δy lim y′ Δy Δt →0 Δt suy ra y′ = lim = = t. (4.2.10) Δx xt′ Δx → 0 Δx x lim Δt → 0 Δt Ví dụ 7: Xét hàm số x = a( t − sin t ), y = a(1 − cos t ) với t ∈ ( 0, 2π ) . t t 2 sin cos a sin t 2 = cot g t . 2 Khi đó y′( x ) = = a(1 − cos t ) 2 t 2 sin 2 2 4.2.5 Đạo hàm một phía Giả sử f(x) được xác định trên (a,b) và x0 ∈ ( a, b) . Ta nói giới hạn hữu hạn, nếu tồn tại f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) Δy = lim+ (4.2.11) lim Δx Δx Δx → 0+ Δx → 0 là đạo hàm bên phải của hàm f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f +′( x0 ) (xem hình 4.2.1). Tương tự, ta có đạo hàm bên trái của hàm f(x) tại điểm x0 kí hiệu là f −′( x0 ) : f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) Δy = f −′( x0 ) = lim− (4.2.12) lim− Δx Δx →0 Δx Δx → 0 Ta thấy muốn có f ′( x0 ) = A điều kiện cần và đủ là f +′( x0 ) = f −′( x0 ) = A . 7
8 Hình 4.2.1 Ví dụ 8: Cho hàm f(x) =|x|, hãy xét đạo hàm của hàm số tại x0 = 0. Ta có Δy = f (0 + Δx ) − f (0) = Δx| , | Δy Δx f +′( 0) = lim+ = lim+ = 1, Δx Δx → 0 Δx Δx → 0 Δy −Δx f −′( 0 ) = lim− = lim− = −1. Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx Vậy hàm f(x) liên tục tại x0 = 0, nhưng f’(0) không tồn tại. Ví dụ 9: Cho hàm số ⎧ sin 3 x khi x ≠ 0 ⎪ f ( x) = ⎨ x ⎪a khi x = 0 ⎩ 1) Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0. 2) Với a tìm được, hãy xét sự khả vi của hàm số tại x = 0 sin 3 x sin x = lim sin 2 x = 0 Giải: 1) Do lim x →0 x →0 x x Vậy để hàm liên tục tại x = 0 thì phải có a = 0. 2) Với a=0 ta có ⎧ sin 3 x khi x ≠ 0 ⎪ f ( x) = ⎨ x ⎪0 khi x = 0 ⎩ f ( x ) − f (0) sin 3 x = lim =0. Ta thấy lim x−0 x →0 x →0 x Vậy f ′( 0) = 0 và hàm khả vi tại x=0. Ví dụ 10: Chứng minh rằng hàm số f(x) =|x−a| ϕ ( x) , trong đó ϕ ( x) là hàm liên tục và ϕ ( a ) ≠ 0 , không khả vi tại x = a.
9 Ta có | Δx| ϕ ( a + Δx ) f ( a + Δx ) − f ( a ) f ′( x ) = lim = lim . Δx Δx x →0 x →0 Suy ra: f +′ (a) = ϕ (a ) và f −′(a ) =– ϕ (a ) . Do f +′(a ) ≠ f −′(a ) nên hàm số f(x) không khả vi tại x=a. 4.2.6 Đạo hàm vô cùng f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) Δy = +∞ hay − ∞ thì ta nói rằng tại x = x0 hàm f(x) có = lim Nếu lim Δx Δx Δx → 0 Δx → 0 đạo hàm vô cùng. Khi đó tiếp tuyến với đồ thị f(x) tại x = x0 song song với trục Oy. Ta cần chú ý rằng nếu như f ′( x0 ) không là hữu hạn thì hàm f(x) không nhất thiết phải liên tục tại điểm x0. Ví dụ xét hàm ⎧−1 khi x < 0 ⎪ f ( x ) = ⎨0 khi x = 0 ⎪1 khi x > 0. ⎩ f ( Δx ) − f ( 0) 1 , do đó f ′( 0 ) = +∞ nhưng đương nhiên f(x) không Với Δx ≠ 0 , ta có = Δx | Δx| liên tục tại điểm x0 = 0. 4.2.7 Đạo hàm các hàm số sơ cấp Sau đây là bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp: y′ = 0 1) y = c y′ = 1 2) y = x y′ = α . xα −1 3) y = xα , α ∈ R, α ≠ −1 −1 1 y′ = y= x2 x 1 y′ = y= x 2x y′ = ex 4) y = ex y′ = a x l n a y = a x với a > 0 1 y′ = 5) y = l og a x với a > 0 x ln a 1 y′ = y = ln x x y′ = cos x 6) y = sin x 9
10 y′ = − sin x 7 ) y = cos x 1 y′ = sec2 x = 8) y = tgx cos2 x 1 y′ = − cosec2 x = − 9) y = cot gx sin 2 x 1 y′ = 10) y = ar csin x 1 − x2 1 y′ = − 11) y = ar ccos x 1 − x2 1 y′ = 12) y = ar ct gx 1 + x2 1 y′ = − 13) y = ar ccot gx 1 + x2 y′ = ch x 14) y = sh x y′ = sh x 15) y = ch x 1 y′ = 16) y = t h x ch 2 x −1 y′ = 17) y = ct h x sh 2 x 1 y′ = 18) y = ar g sh x x2 + 1 1 y′ = 19) y = ar g ch x x −1 2 1 y′ = 20) y = ar g t h x 1 − x2 1 y′ = 21) y = ar g ct h x . 1 − x2 4.3 Vi phân của hàm số 4.3.1 Định nghĩa và x0 ∈ U . Cho x0 một số gia Cho hàm y = f(x) xác định trên tập hợp mở U ⊂ Δx ≠ 0 đủ nhỏ sao cho x0 + Δx ∈ U . Giả sử f(x)khả vi tại x0 ∈ U , khi đó f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) = f ′( x0 )Δx + ο ( Δx ) . (4.3.1)
11 Ta gọi biểu thức f ′( x0 )Δx là vi phân của hàm f(x) tại điểm x0 ứng với số gia Δx của đối số và kí hiệu là df ( x0 , Δx ) = f ′( x0 )Δx . (4.3.2) Bây giờ ta xét trường hợp đặc biệt khi f(x) = x. Ta có f ′( x ) = 1 , do đó dx = 1. Δx = Δx , vì thế trong biểu thức (4.3.2) ta có thể viết dx thay cho Δx và dx gọi là vi phân của biến số độc lập. Từ đây, ta có thể xác định vi phân của hàm f tại x ∈ U theo công thức Df = f ′( x ) dx (4.3.3) dy = y′( x ) dx hay (4.3.4) dy Hệ thức này giải thích lí do ta kí hiệu đạo hàm của hàm y = f(x) là y′( x ) = . dx 4.3.2 Các qui tắc tính vi phân Từ các qui tắc tính đạo hàm, ta dễ dàng suy ra các qui tắc tương ứng cho vi phân. i ) d ( c1 f + c2 g ) = c1 df + c2 dg ∀c1 , c2 ∈ i i ) d ( f . g ) = gdf + fdg (4.3.5) gdf − fdg f i i i ) d( ) = nÕ g ≠ 0 . u g2 g 4.3.3 Vi phân của hàm số hợp Giả sử các hàm y = f(x) và x = g(t) sao cho đối với chúng có thể thiết lập hàm hợp y = f(g(t)). Nếu tồn tại các đạo hàm y′ và xt′ thì theo quy tắc đạo hàm hàm hợp sẽ tồn tại đạo x hàm yt′ = y′ . xt′ . (4.3.6) x Nếu xem x là biến độc lập thì vi phân dy được biểu thị bởi công thức (4.3.4). Bây giờ ta xem x là hàm của biến t, ta có dy = yt′ dt (4.3.7) Tuy nhiên nếu thay đạo hàm yt′ bởi biểu thức (4.3.6) và chú ý rằng dx = xt′ dt, thì cuối cùng ta được dy = y′ xt′ dt = y′ dx x x hay dy = y′( x ) dx, tức là quay trở lại dạng ban đầu của vi phân. Như vậy, ta luôn luôn có quyền viết vi phân của y dưới dạng (4.3.4) dù x có phải là biến độc lập hay không . Điều khác nhau chỉ là ở chỗ, nếu chọn t là biến độc lập thì dx không phải là số gia tuỳ ý mà là vi phân của x xem là hàm của t. Tính chất đó gọi là tính bất biến của dạng vi phân, ex + 1 Ví dụ 1: Cho hàm số y = ln , hãy tính dy ex − 1 11
12 Ta thấy ′ ex − 1 ⎛ ex + 1 ⎞ −2 ex 2 ex y′ = ⎟ = 2x ⇒ dy = − 2 x ⎜x dx. ex + 1 ⎝ e − 1 ⎠ e − 1 e −1 d (sin x ) Ví dụ 2: Tính: d (cos x ) d (sin x ) cos xdx = − cot gx với x ≠ kπ , k ∈ . = Ta có: d (cos x ) − sin xdx 4.3.4 Ứng dụng của vi phân Cho hàm y = f(x) xác định trên tập mở U ⊂ và x0 ∈ U . Giả sử f khả vi tại x0 ∈ U . Cho x0 một số gia h sao cho x0 + h ∈ U , khi đó Δf ( x0 , h ) = f ( x0 + h ) − f ( x0 ) = f ′( x0 )h + ο ( h ) . (4.3.8) Nếu |h| đủ nhở thì ο( h ) nhỏ tuỳ ý và ta có xấp xỉ f ( x0 + h ) − f ( x0 ) ≈ f ′( x0 )h hay f ( x0 + h ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )h . (4.3.9) Ví dụ 3: Tính gần đúng ar ct g1,05 . Theo công thức (4.3.9), ta có 1 ar ct g1,05 ≈ ar ct g1 + | x =1 .0,05 ≈ 0,81 . 1 + x2 Ví dụ 4: Tính gần đúng ar csin 0,05 Theo công thức (4.3.9), ta có 1 ar csin 0,05 ≈ ar csin 0 + | x =0 .0,05 = 0.05 . 1 − x2 4.4 Các định lí cơ bản của hàm khả vi 4.8.1 Cực trị địa phương Cho hàm f(x) xác định trên khoảng (a,b). Ta nói rằng hàm f(x) đạt cực đại địa phương tại điểm c ∈ ( a, b) nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho ∀x ∈ ( c − δ , c + δ ). f ( x ) ≤ f ( c) (4.4.1) Hàm f đạt cực tiểu địa phương tại c ∈ ( a, b) nếu: ∀x ∈ ( c − δ , c + δ ) . f ( x ) ≥ f ( c) (4.4.2) Điểm mà tại đó hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương gọi chung là điểm cực trị.
13 Định lí Ferma Cho f : ( a, b) → , nếu hàm đạt cực trị tại c ∈ ( a, b) và nếu f(x) khả vi tại c thì f ′( c) = 0 . (4.4.3) Chứng minh: Giả sử hàm đạt cực đại tại c (trường hợp đạt cực tiểu tại c chứng minh tương tự). Do hàm đạt cực đại tại c nên ∀h đủ nhỏ ta có f ( c + h ) − f ( c) ≤ 0 ∀h f ( c + h ) − f ( c) ≤ 0 ∀h > 0 suy ra h f ( c + h ) − f ( c) ≥ 0 ∀h < 0 . h Cho nên f ( c + h ) − f ( c) f ( c + h ) − f ( c) và f −′( c) = lim ≥ 0. f +′( c) = lim ≤0 h → 0− + h h h →0 Mặt khác vì f có đạo hàm tại điểm c nên f ′( c) = f +′( c) = f −′( c) , do đó f ′( c) = 0 (xem hình 4.4.1) Hình 4.4.1 Chú ý rằng sự triệt tiêu của đạo hàm f ′(c) về phương diện hình học có ý nghĩa là tiếp tuyến tại điểm tương ứng của đường cong song song với trục Ox. Định lý Rolle Cho hàm f : [ a, b] → có tính chất sau: i) f(x) liên tục trên [a,b], ii) f(x) khả vi trên (a,b), iii) f(a)=f(b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b) sao cho f ′( c) = 0 . Chứng minh: Do f(x) liên tục trên đoạn [a,b] nên theo định lí Weierstrass thứ hai hàm f(x) sẽ đạt giá trị lớn nhất M và giá trị bé nhất m trên đoạn [a,b]: M = max f ( x ), m = min f ( x ). x∈[ a ,b ] x∈[ a ,b ] Ta hãy xét hai khả năng có thể xảy ra: 13
14 1) M = m. Khi đó từ bất đẳng thức m ≤ f ( x ) ≤ M ∀x ∈ [ a, b] suy ra f ( x ) = m, ∀x ∈ [ a, b] Vì vậy f ′( x ) = 0, ∀x ∈ [ a, b] . Do đó điểm c là lấy điểm bất kì thuộc khoảng (a,b). 2) m
15 ii) f khả vi trên (a,b) Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b) sao cho: f ( b) − f ( a ) = f ′( c) . (4.4.4) b− a Chứng minh: Ta hãy xét hàm bổ trợ sau: f ( b) − f ( a ) F ( x ) = f ( x ) − f ( a) − ( x − a) . b−a Hiển nhiên F(x) liên tục trên [a,b] vì nó là hiệu của hàm liên tục f(x) và hàm tuyến tính. Trong khoảng (a,b) hàm đó có đạo hàm hữu hạn bằng: f ( b) − f ( a ) F ′( x ) = f ′( x ) − . b−a y B f(b) C f(a) A 0 c b a x Hình 4.4.4 Cuối cùng ta thấy F(a)=F(b)=0. Theo định lí Rolle tồn tại một điểm c ∈ ( a, b) sao cho F ′( c) = 0 . Như vậy f ( b) − f ( a ) f ′( c) − = 0. b−a Do đó f ( b) − f ( a ) f ′( c) = b−a Ý nghĩa hình học: f ( b) − f ( a ) là hệ số góc của cát tuyến AB, còn f ′( c) là hệ số góc của tiếp tuyến Tỷ số b−a với đường cong y=f(x) tại điểm C(c,f(c)). Theo định lí Lagrange trên cung AB tìm được ít nhất một điểm c, mà tại đó tiếp tuyến song song với dây cung AB. Trường hợp f(a) = f(b) ta có định lí Rolle. Chú ý 1: Bởi vì c ∈ ( a, b) , nên ta có thể viết c = a + θ ( b − a ), 0 < θ < 1 . Khi đó công thức Lagrange có thể viết dưới dạng 15
16 f(b) − f(a )= f [ a + θ ( b − a )]( b − a ),0 < θ < 1 . (4.4.5) Chú ý 2: Nếu đặt a = x, b = x+ Δx thì ta nhận được f(x + Δ x) − f(x)=f’(x + θΔ x) Δ x trong đó 0 < θ < 1 (4.4.6) Định lí Cauchy Giả thiết i) Các hàm f(x) và g(x) xác định và liên tục trên[a,b] ii) f(x) và g(x) khả vi trên (a,b) iii) g′( x ) ≠ 0 ∀x ∈ ( a, b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b) sao cho f ( b) − f ( a ) f ′( c) = . (4.4.7) g( b) − g( a ) g′( c) Rõ ràng rằng định lí Lagrange là trường hợp đặc biệt của định lí Cauchy: Để được công thức số gia hữu hạn thì trong công thức Cauchy (4.4.5) ta đặt g(x)=x. Chứng minh: Trước hết ta để ý rằng theo định lí Lagrange ta có thể tìm được một số c1 ∈ ( a, b) sao cho: g( b) − g( a ) = g′( c1 )( b − a ) Theo giả thiết g′( c1 ) ≠ 0 , nên g( b) − g(α ) ≠ 0. (4.4.8) Bây giờ ta xét hàm số f ( b) − f ( a ) F ( x) = f ( x ) − f ( a) − ( g( x ) − g( a )) . (4.4.9) g( b) − g( a ) Ta thấy hàm số thoả mãn tất cả các giả thiết của định lí Rolle. Thật vậy F(x) liên tục, đạo f ( b) − f ( a ) hàm F ′( x ) tồn tại trong khoảng (a,b), cụ thể bằng F ′( x ) = f '( x ) − g′( x ) , g( b) − g( a ) và hiển nhiên F(a)=F(b). Do đó theo định lí Rolle ∃c ∈ ( a, b) sao cho F ′( c) = 0. f ( b) − f ( a ) Nói cách khác f ′( c) − g′( c) = 0 . g( b) − g( a ) Từ đây suy ra định lí được chứng minh. Ví dụ 1: Cho hàm số ⎧ 3 − x2 ⎪ ⎪ khi 0 ≤ x ≤ 1 ⎪ ⎪2 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪1 ⎪ khi 1 < x < +∞. ⎪ ⎪x ⎪ ⎩ Xác định giá trị trung gian c của công thức số gia hữu hạn đối với hàm số f ( x ) trên đoạn [0,2]. Trước hết ta thấy
17 1 −1 f ( x ) − f (1) x ′(1) = lim = lim = −1 f+ x −1 x →1+ x − 1 x →1+ 3 − x2 −1 f ( x ) − f (1) = lim 2 f −′(1) = lim = −1 . x −1 x −1 x →1− x →1− Vậy theo định nghĩa hàm số f(x) có đạo hàm tại x=1 và f ′(1) = −1 . Do đó ta có ⎧ ⎪− x khi 0 ≤ x < 1 ⎧− x khi 0 ≤ x ≤ 1 ⎪ ⎪ f ( x ) = ⎨−1 khi x = 1 = ⎨ −1 ⎪ x2 khi 10 x −1 x →1 f ( x ) − f (1) > 0 hay f ( x ) − f (1)
18 f ′(ξ ) = 0 Ví dụ 3: Chứng minh nếu ϕ ( x ) là hàm khả vi, đơn điệu tăng và | f ′( x )| ≤ ϕ ′( x ) khi x ≥ x0 , thì ta có | f ( x ) − f ( x0 )| ≤ ϕ ( x ) − ϕ ( x0 ) khi x ≥ x0 . Chứng minh: Theo định lý Cauchy f ′( c) f ( x ) − f ( x0 ) = < 1 với x0 < c < x . ϕ ( x ) − ϕ ( x0 ) ϕ ′( c) Từ đây suy ra: | f ( x ) − f ( x0 )| ≤ ϕ ( x ) − ϕ ( x0 ) khi x > x0 . Cuối cùng chú ý rằng đẳng thức trên hiển nhiên đúng khi x = x0. 4.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao 4.8.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao là hàm khả vi trên tập mở U ⊂ , khi đó ta nhận được hàm Giả sử f : U → f ′ : U → . Nếu tại x0 ∈ U , f ′( x ) có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của f ′( x ) tại x0 là đạo hàm cấp hai của hàm f(x) tại x0 và kí hiệu là f ′′( x0 ) . Hàm f có đạo hàm cấp hai tại x0 còn gọi là khả vi cấp hai tại x0 . Một cách tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp (n−1) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm f(x) và kí hiệu là d n f ( x) ( n ) d n y ;y ; n . f ( n ) ( x ); dx n dx Đương nhiên là ( f ( m ) ( x ))( n ) = f ( m + n ) ( x ) . (4.5.1) Đôi khi ta viết f(0) thay cho f. Ta chú ý rằng, nếu tồn tại f ( n ) ( x0 ) , tức là nếu hàm f ( n −1) ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 , thì hàm f ( n −1) ( x ) được xác định không chỉ tại x0 , mà là trong toàn bộ khoảng ( x0 − δ , x0 + δ ) , trong đó là δ số dương được chọn thích hợp. Trong khoảng này những hàm f ( n −2) ( x ); f ( n −3) ( x ),..., f ′( x ), f ( x ) được xác định. 4.8.2 Các công thức tổng quát đối với đạo hàm cấp n Giả sử f : U → và g : U → là hai hàm khả vi cấp n trên U. Khi đó c1 f + c2 f , f . g là những hàm khả vi cấp n trên U, trong đó c1 , c2 ∈ và i ) ( c1 f + c2 g )( n ) ( x ) = c1 f ( n ) ( x ) + c2 g( n ) ( x ) (4.5.2) n i i )( f . g )( n ) ( x ) = ∑ Cn f ( k ) ( x ). g( n − k ) ( x ) . (4.5.3) k k =0
19 Công thức (4.5.3) còn gọi là công thức Leibnitz. Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số y = x3 sin x Đặt f = x3 , g = sin x . Khi đó y( 3) = f . g(3) + 3 f ′. g(2) + 3 f (2) . g′ + f (3) . g hay y( 3) = − x3 sin x − 9 x2 sin x + 18 x cos x + 6 sin x. Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau y = xf ′( x − a ) + 3 f ( a − x ) trong đó a là hằng số. Đặt u = x, v = f ′( x − a ), v′ = − f ′′( a − x ), v′′ = f 3 ( a − x ) , v( 3) = − f (4 ) ( a − x ) , khi đó y( 3 ) = 3 f (3) ( a − x ) − xf (4 ) ( a − x ) − 3 f (3) ( a − x ) hay y(3 ) = − xf (4 ) ( a − x ). 4.8.3 Vi phân cấp cao Cho U mở trong và f là hàm khả vi cấp n trên tập mở U. Ta gọi vi phân cấp hai của hàm f, ký hiệu là d f là biểu thức d2f=d(df). Một cách tổng quát, ta gọi vi phân cấp n của hàm f 2 là vi phân của vi phân cấp n−1 của hàm f: d n f = d ( d n −1 f ). (4.5.4) Khi tính vi phân cấp cao ta chú ý rằng dx là một số tuỳ ý và không phụ thuộc x ( dx = Δx ), nên khi lấy vi phân theo x phải xem nó là hằng số. Trong trường hợp đó ta sẽ có d 2 y = d ( dy ) = d ( y′dx ) = dy′dx = ( y′′dx )dx = y′′dx2 . d 3 y = d ( d 2 y ) = d ( y′′dx2 ) = y′′′dx3 . Bằng cách quy nạp ta chứng minh được rằng d n y = y( n ) dx n . Do đó dn y y( n ) = . (4.5.5) dx n Như vậy, ký hiệu trên có thể xem như một phân số. Nhờ công thức (4.5.5) ta dễ dàng biến đổi công thức Leibnitz thành công thức của vi phân. Nhân cả hai vế của (4.5.3) với dxn ta sẽ được n d n ( fg ) = ∑ Cn d n − k f .d k g (4.5.6) k k =0 19
20 Chú ý trong công thức (4.5.6) ta sẽ xem d 0 f = f , d 0 g = g . Ví dụ 3: Cho y=f(x2) với f là hàm khả vi. Tính d2y. Ta có: dy = 2 f ′( x2 ) xdx , Lấy vi phân lần thứ hai ta được d 2 y = 2d ⎡ f ′( x2 ) x ⎤ dx = 2 ⎡ f ′( x2 )dx + xd ( f ′( x2 ))⎤ dx ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 2 ⎡ f ′( x2 )dx + xf ′′( x2 ).2 xdx ⎤ dx ⎣ ⎦ d 2 y = 2 ⎡2 x2 f ′′( x2 ) + f ′( x2 )⎤ dx2 . ⎣ ⎦ Ví dụ 4: Xét hàm y = arctgx. Ta hãy tính y(n) theo y. π 1 Vì x = tgy nên y′ = = cos2 y = cos y sin( y + ) 1+ x 2 2 Lấy đạo hàm lần thứ hai theo x (và nhớ rằng y là hàm của x) ta được π π⎤ ⎡ y′′ = ⎢ − sin y.sin( y + ) + cos y.cos( y + )⎥ . y′ ⎣ 2⎦ 2 π π π = cos2 y.cos(2 y + ) = cos2 y.sin(2 y + + ) 2 2 2 π = cos y.sin 2( y + ). 2 Lấy đạo hàm lần nữa ta được π π⎤ ⎡ y( 3) = ⎢ −2sin y cos y.sin 2( y + ) + 2 cos2 y cos2( y + )⎥ . y′ ⎣ 2⎦ 2 π π = 2 cos3 y cos(3 y + 2. ) = 2 cos3 y sin 3( y + ) 2 2 Một cách tổng quát π y( n ) = ( n − 1)!cosn y.sin n( y + ). 2 4.6 Công thức Taylor Trước đây, ta đã biết nếu hàm f(x) khả vi tại điểm x0 ∈ U , trong đó U là tập mở trong , thì ta có thể biểu diễn số gia của hàm số dưới dạng f ( x0 + h ) − f ( x0 ) = f ′( x0 )h + ο ( h ) trong đó ο( h ) là vô cùng bé bậc cao hơn so với h. Công thức này cho biết cách tính giá trị của f(x) trong lân cận của điểm x0 khi biết giá trị f(x0) và đạo hàm f ′( x0 ) . Vấn đề đặt ra là nếu biết thêm các đạo hàm cấp cao của hàm f(x) tại x0, ta có thể biết chính xác hơn giá trị của hàm f(x) trong lân cận x0 hay không? 4.8.1 Công thức Taylor