1
1
Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007.
Từ khoá:Giải tích toán học, giải tích, Phép tích vi phân, Đạo hàm, vi phân, Công thức
Taylor, Khai triển Maclaurin, Quy tắc L’hospital.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
Mục lục
Chương 4 Phép tính vi phân của hàm một biến ....................................................................... 2
4.1 Đạo hàm và cách tính ....................................................................................................... 3
4.1.1 Định nghĩa đạo hàm................................................................................................... 3
4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số......................................................................... 3
4.2 Các qui tắc tính đạo hàm .................................................................................................. 4
4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm............................................................................................ 4
4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp........................................................................................... 4
4.2.3 Đạo hàm của hàm số ngược....................................................................................... 6
4.2.4 Đạo hàm theo tham số................................................................................................ 7
4.2.5 Đạo hàm một phía...................................................................................................... 7
4.2.6 Đạo hàm vô cùng ....................................................................................................... 9
4.2.7 Đạo hàm các hàm số sơ cấp....................................................................................... 9
4.3 Vi phân của hàm số........................................................................................................ 10
4.3.1 Định nghĩa................................................................................................................ 10
Chương 4. Phép tính vi phân của hàm một biến
Lê Văn Trực
2
4.3.2 Các qui tắc tính vi phân ........................................................................................... 11
4.3.3 Vi phân của hàm số hợp........................................................................................... 11
4.3.4 Ứng dụng của vi phân............................................................................................. 12
4.4 Các định lí cơ bản của hàm khả vi.................................................................................. 12
4.8.1 Cực trị địa phương ................................................................................................... 12
4.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao........................................................................................... 18
4.8.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao.................................................................................... 18
4.8.2 Các công thức tổng quát đối với đạo hàm cấp n...................................................... 18
4.8.3 Vi phân cấp cao........................................................................................................ 19
4.6 Công thức Taylor............................................................................................................ 20
4.8.1 Công thức Taylor ..................................................................................................... 20
4.8.2 Khai triển Maclaurin................................................................................................ 22
4.7 Qui tắc L’hospital để khử dạng vô định ......................................................................... 25
4.8.1 Dạng vô định
0
0....................................................................................................... 25
4.8.2 Dạng vô dịnh
∞
∞...................................................................................................... 27
4.8 Khảo sát hàm số.............................................................................................................. 30
4.8.1 Khảo sát đường cong cho dưới dạng phương trình hiện.......................................... 30
4.8.2 Đường cong cho dưới dạng tham số........................................................................ 32
4.8.3 Khảo sát đường cong trong tọa độ cực .................................................................... 36
4.9 Bài tập chương 4............................................................................................................. 39
Chương 4
3
3
Phép tính vi phân của hàm một biến
4.1 Đạo hàm và cách tính
4.1.1 Định nghĩa đạo hàm
Giả sử U là một tập mở trong , :fU→ và 0
x
U
∈
.
Cho x0 một số gia 0xΔ≠ đủ nhỏ sao cho 0
x
xU
+
Δ∈ . Khi đó ta gọi
00
()()yfx x fxΔ= +Δ − là một số gia của hàm số tương ứng với số gia đối số
x
Δ tại điểm x0.
Xét tỷ số giữa số gia hàm số với số gia đối số.
Nếu tỷ số dẫn đến một giới hạn hữu hạn xác định khi 0x
Δ
→, thì ta nói rằng hàm f khả vi
tại điểm x0, giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số tại x0 và ký hiệu là
00
00
()()
( ) lim
x
fx x fx
fx x
Δ→
+
Δ−
′=Δ. (4.1.1)
Các ký hiệu y′ hay ()fx
′ là các ký hiệu đạo hàm theo Largrange, còn dy
dx hay 0
()df x
dx là
các kí hiệu theo Leibnitz và Dy hay Df(x0) là các kí hiệu theo Cauchy.
Đôi khi để nhấn mạnh biến số lấy đạo hàm, người ta thường viết biến đó thành chỉ số
dưới:
00
, ( ), hay ( )
′′
xx x x
yfx Dy Dfx (4.1.2)
Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc U.
4.1.2 Công thức đối với số gia của hàm số
Nếu hàm y = f(x) khả vi tại 0,
∈
U ta có thể biểu diễn số gia của hàm số
00 0
() ( ) ()Δ=Δ = +Δ −yfx fx xfx như sau.
Theo định nghĩa 0
0
0
()
lim ( )
Δ→
Δ′
=
Δ
x
fx
f
x
x
.
Đặt 0
0
() ()
α
Δ′
=+
Δ
fx fx
x với 0
α
→ khi 0
Δ
→x. (4.1.3)
Ta có 00
() () .
α
′
Δ= Δ+Δ
f
xfxx x
với 0
lim 0
α
Δ→ →
x. (4.1.4)
Kí hiệu .()
α
Δ=οΔ
x
x và hiển nhiên 0
()
lim 0
Δ→
οΔ
=
Δ
x
x
x.
Do đó (4.1.4) có thể viết dưới dạng
00
() () ( ).
′
Δ= Δ+οΔ
f
xfxx x (4.1.5)
Định lý 4.1.1 Nếu hàm y = f(x) khả vi tại 0
x
U
∈
thì f(x) liên tục tại x0.
Chứng minh: Thật vậy ta có
4
000
( ) () () ( )
′
+Δ − = Δ +ο Δ
f
xxfxfxx x,
suy ra
[]
00 0
000
00
0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
lim ( ) ( ).
Δ→ Δ→ Δ→
Δ→
′
+Δ − = Δ + ο Δ
⇒+Δ=
xxx
x
f
xxfx fxx x
fx x fx
4.2 Các qui tắc tính đạo hàm
4.2.1 Các qui tắc tính đạo hàm
Trước hết ta hãy nhắc lại các qui tắc tính đạo hàm đã biết
Định lí 4.2.1 Cho ,:fgU→, trong đó U là tập hợp mở trong R, còn f, g là hai hàm khả vi
tại 0
x
U∈. Khi đó 12
,cc∀∈ các hàm 12
,cf cg
+
.fg và f
g (nếu g(x0)0≠ cũng là các hàm
khả vi tại điểm x0 và ta có các công thức sau:
a) 12 01020
( )() () ()cf c g x cf x cg x
′
′′
+=+
(4.2.1)
b) 00000
(, )( ) ( )( ) ( ).( )fg x f x gx gx fx
′
′′
=
+ (4.2.2)
c) 00 0 0
00
2
0
0
()() ().()
() ,()
()
fxgx gx fx
fxgx
ggx
′′′
−
⎛⎞
=
≠
⎜⎟
⎝⎠ . (4.2.3)
4.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp
Định lí 4.2.2 Cho :gU V→ và :fV→ trong đó U, V là hai tập hợp mở trong , hàm
u=g(x) khả vi tại 0
x
U∈ và hàm y=f(u) khả vi tại u0=g(x0)V
∈
. Khi đó hàm hợp 0
fg khả vi tại
x0 và ta có công thức
00 0 0
( )() (())()fg x f gx g x
′
′′
=
(4.2.4)
hay gọn hơn
.
xux
y
yu
′
′′
=
. (4.2.5)
Chứng minh: Theo công thức (4.1.5) hàm f khả vi tại u0, nên ta có
000
( ) () () ( )
u
ffu ufu fuu u
′
Δ= +Δ − = Δ+οΔ .
Mặt khác hàm g khả vi tại x0 nên
000
( ) () () ( )
x
ugx x gx gx x x
′
Δ= +Δ − = Δ+οΔ .
Thế uΔ vào biểu thức fΔ ta được
[
]
0000
00 0
( ) () () () ( ) ( )
= ( ). ( ) ( ) ( ) ( ).
ux
ux u
fu u fu f u g x x x u
fu gx x fu x u
ο
ο
′′
+Δ − = Δ + Δ +οΔ
′′ ′
Δ
+Δ+οΔ
Chia cả 2 vế cho
x
Δ
5
5
00
00 0
()() () ()
().() () .
ux u
fu u fu
x
u
fu gx fu
x
xx
+Δ −
ο
ΔοΔ
′′ ′
=++
ΔΔΔ
Ta thấy do hàm u liên tục tại x0 nên khi 0x
Δ
→ thì 0u
Δ
→ và
00 0
0
() (()) (),
()()(())().
o
o
fu f gx fgx
fu u fu fgx fgx
==
+Δ = = =
Bây giờ ta hãy viết lại biểu thức trên dưới dạng:
000
00 0
() ( ) () ()
().() () . .
ux u
fgx fgx
x
uu
fu gx fu
x
xux
−
ο
ΔοΔΔ
′′ ′
=++
ΔΔΔΔ
Cho 0xΔ→ ta được 00 0 0
( )() (()).(),
u
fg x f gx g x
′′ ′
= và công thức được chứng minh.
Ví dụ 3:
i) Ta thấy 0
ln
xxa
ae a=∀>
nên ln
()( )
xxa
ae
′′
=, đặt u = xlna, ln
( )' .ln ln
uxa x
ee aaa==
Do đó ta có công thức sau
ln()
xx
aa
′=a với 0a
∀
>. (4.2.6)
ii) Ta có 0
ln xe x
αα
=∀>
x và
α
∀∈
Do đó: 11
ln ln
()( ) .. ..
xx
xe e x
x
x
αα α α
α
α
′′
== =.
Và ta có công thức sau:
1
() .
x
x
αα
α
−
′=. (4.2.7)
Ví dụ 4: Tính
1
1
cos x
x
d
Ie
dx
−
+
= với 1x≠−
Đặt 1
1
cos x
ux
−
=+
1
11
1
cos
..cos
x
uu x
x
dx
Ieeue
dx x
−
+
′
−
⎛⎞
′
===⎜⎟
+
⎝⎠
Lại đặt 1
1
x
vx
−
=+
ta có
2
11 12
11 1 1
(cos ) sin . sin sin . ()
xx x
vvv
xx x x
′
−− −
⎛⎞
′′
=− =− =−
⎜⎟
++ + +
⎝⎠
Cuối cùng
1
1
2
11
21
1
cos ..sin
()
x
xx
Ie x
x
−
+
−
⎛⎞
=− ⎜⎟
+
+⎝⎠
.
Ví dụ 5: Cho ,:fgU→ trong đó f(x)>0,
x
U
∀
∈và tồn tại (), ()fx gx
′
′ với
x
U∈.