Phụ lục về lượng giác
I. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: Với kZ :
sin2 + cos2 = 1; tg =
cos
sin ; cotg =
sin
cos
1 + tg2 =
2
cos
1,
k
2
1 + cotg2 =
2
sin
1,
k tg.cotg = 1, 2
k
II. Công thức cộng:
sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb. cos(a b) = cosa.cosb
sina.sinb.
tg(a b) = tgb.tga1
tgbtga
(điều kiện xem như có đủ)
III. Công thức nhân:
1.Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa. tg2a = atg1
tga2
2
.
cos2a = cos2a sin2a= 2cos2a1= 12sin2a
2.Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina4 sin3a. cos3a = 4cos3a 3cosa.
tg3a = atg31
atgtga3
2
3
.
3. Công thức hạ bậc:
sina.cosa= 2
1sin2a. sin2a= 2
a2cos1
cos2a= 2
a2cos1
tg2a= a2cos1
a2cos1
sin3a= 4
asin3a3sin
cos3a= 4
acos3a3cos
4.Biểu diễn theo t=tg 2
a:
sina = 2
t1
t2
cosa = 2
2
t1
t1
tga = 2
t1
t2
IV. Công thức biến đổi:
1.Tích thành tổng:
cosa.cosb= 2
1[cos(a+b)+cos(ab)]
sina.sinb= 2
1[cos(ab)cos(a+b)]
sina.cosb= 2
1[sin(a+b)+sin(a+b)] cosasinb= 2
1[sin(a+b)
sin(ab)]
2.Tổng thành tích:
cos + cos = 2cos 2
cos 2
cos cos=
2sin 2
sin 2
sin + sin = 2sin 2
cos 2
sin
sin=2cos 2
sin 2
tg tg =
cos.cos
)sin( cotg cotg =
sin.sin
)sin(
V. Phương trình lượng giác:
1. Phương trình cơ bản:
Cho k,l Z, ta có:
sinu = sinv u = v + k2 V u = v + l 2
cosu = cosv u = v + k2
tgu = tgv V cotgu = cotgv u = v + k
2. Phương trình bậc hai af 2(x) + b f(x)+c=0, a
0:
Với f(x) là một hàm số chứa sinx, cosx, tgx hoặc cotgx.
Phương pháp giải:
Đặt t= sinx V t=cosx, điều kiện t1 hoặc t=tgx, t=cotgx at
2+ bt+c=0 giải tìm t thích hợp.
Sau đó giải f(x)=t để tìm x.
3. Phương trình asinu + b cosu = c, a
0, b
0: Với u là 1 hàm số theo
x.
Phương pháp giải:
Kiểm nghiệm điều kiện phương trình có nghiệm a2+b2 c2.
Sau đó chia 2 vế phương trình cho a0 hoặc 22 ba 0 đưa đến
phương trình sin(x ) = sin hoặc cos(x ) = cos để giải.
4. Phương trình asin2 x+ bsinx cosx + c cos2x = 0:
Phương pháp giải:
Nếu a0 thì cosx0 x= 2
+k,kZ không thể là nghiệm, chia 2 vế phương
rình cho cos2x0 atg2x+btgx+c=0.
Nếu c0 thì sinx0 x= k,kZ không thể là nghiệm, chia 2 vế
phương trình cho sin2x0 c.cotg2x+b.cotgx+a=0.
5. Phương trình a(sin x cosx) + bsinx cosx + c = 0 :
Phương pháp giải:
Đặt t=sin x cosx = 2sin(x 4
), điều kiện t 2.
Bình phương để tính sinx.cosx theo t phương trình bậc hai
ẩn t. Giải tìm t thích hợp.
Sau đó giải lại 2sin(x 4
) = t để tìm x.