240
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER
Nguyễn Phương Duy Anh 1
1. Viện Phát Trin Ứng Dụng, Trường Đại Học Thủ Dầu Một
TÓM TẮT
Phương pháp toán tử FK (FK operator, FK-OM) được đề xuất vào năm 1982 và được
phát trin bởi các giáo sư ở trường đại học Belarus. Phương pháp này đã được phát trin rộng
rãi cho các bài toán polaron, bipolaron, tương tác chùm điện tử - cấu trúc tinh th (vật lý chất
rắn), tương tác hệ boson (lý thuyết trường), .... Phương pháp toán tử FK với các ưu đim như:
đơn giản hóa tính toán ma trận phức tạp (chỉ sử dụng phép biến đổi đại số), có th tự động hóa
bằng phần mềm Mathematica, Matlab; có th giải được phương trình Schrödinger cho hệ lượng
tử với trường ngoài bất kỳ (hệ phi nhiễu loạn). Trong công trình này, chúng tôi giới thiệu quy
trình giải bài bằng phương pháp toán tử FK và sử dụng phương pháp này đ giải bài toán
nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản, là bài toán đã tìm được nghiệm số chính xác cho trạng
thái cơ bản là -0.5 (ở đơn vị không thứ nguyên), nhằm mục đích minh hoạ cho việc sử dụng
phương pháp. Chúng tôi đã thu được nghiệm chính xác bằng phương pháp toán tử FK (sử dụng
sơ đồ vòng lặp) có độ chính xác đến 5 chữ số thập phân, sai số dưới 1% so với nghiệm số chính
xác cho trạng thái cơ bản là -0.5. Ngoài ra, chúng tôi cũng so sánh với nghiệm gần đúng bằng
phương pháp lý thuyết nhiễu loạn và khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán thông qua tham số tự
do
và tìm được vùng giá trị
3.1 4.6

là vùng tối ưu cho kết quả hội tụ nhanh nhất. Kết
quả cho thấy FK-OM là phương pháp hiệu quả đ giải phương trình Schrödinger cho bài toán
nguyên tử hydro, có tiềm năng ứng dụng cho các bài toán phức tạp khác như bài toán exciton
hai chiều, heli hai chiều, exciton trong đơn lớp TMD, ….
Từ khóa: phương pháp toán tử FK, phương trình Schrödinger, nguyên tử hydro
1. MỞ ĐẦU
Những ý tưởng về phương pháp toán tử FK (viết tắt là FK-OM) đã xuất hiện vào những
năm 1979. Tuy nhiên, FK-OM được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo sư
ở trường đại học Belarus (Arteca 1986; Fernandez 1982; Feranchuk 1982; Feranchuk 1995;
Feranchuk 2004) và được ứng dụng thành công cho một nhóm rộng rãi các bài toán như các
polaron, bipolaron trong trường điện từ, bài toán tương tác các chùm điện tử với cấu trúc tinh
thể... trong vật lý chất rắn; bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường (Feranchuk
2004). Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman,
Wistchel và nhiều tác giả khác (Feranchuk 2004; Van Hoang 2004; Van Hoang 2005; Nguyen
2019).
Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử đã chứng
tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:
Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp thông thường phải tính tích phân
các hàm đặc biệt. Thực vậy, trong suốt quá trình tính toán, ta chỉ sử dụng thuần nhất các phép
biến đổi đại số. Và vì vậy có thể sử dụng các chương trình tính toán bằng các phần mềm tính
toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica để tự động hóa quá trình tính toán;
241
Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài với cường độ bất kì, nghĩa là xác
định giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài (hệ
phi nhiễu loạn).
Trong công trình này chúng tôi chỉ ra rằng FK-OM có thể sử dụng hiệu quả để giải phương
trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro và nhận được nghiệm năng lượng bằng số. Kết
quả có thể tính đến bổ chính bất kì và hội tụ đến giá trị với độ chính xác cho trước nên ta gọi là
nghiệm chính xác bằng số. Đây là một bước kiểm tra hiệu quả của việc ứng dụng FK-OM vào
bài toán nguyên tử hydro. Do bài toán nguyên tử hydro có nghiệm chính xác (López 2008) nên
ta dễ dàng so sánh và đánh giá phương pháp để sau đó ứng dụng vào các bài toán khác không
có nghiệm chính xác như bài toán nguyên tử hydro trong từ trường (Nguyễn Phương Duy Anh
2010). Ngoài ra qua ví dụ cụ thể này chúng tôi còn khảo sát vai trò của tham số tự do trong việc
cải thiện tốc độ hội tụ của chuổi bổ chính trong phương pháp toán tử, chỉ ra miền tối ưu để chọn
tham số đó.
2. CÁC BƯỚC GIẢI CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK
Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger qua bốn bước cơ bản sau:
Bước 1: Biểu diễn Hamiltonian dưới dạng các toán tử sinh, hủy:
ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( , ) ( , )
x
H x p H a a+
→
(1)
với
11
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ; ( )
22
x
a x ip a x ip
x



+
= + = −
(2)
là các toán tử sinh hủy, thỏa mãn hệ thức giao hoán:
ˆˆ
( ), ( ) 1aa

+

=

(3)
Bước 2: Tách Hamiltonian thành hai thành phần:
0
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( , ) ( , ) ( , , )H a a H a a V a a

+ + +
=+
(4)
Với thành phần trung hòa
0
ˆˆˆ
( , )H a a
+
, trong đó
, có trị riêng chính xác,
ˆˆˆ
( , , )V a a
+
“đủ nhỏ” để có thể xem như là nhiễu loạn,
là tham số tự do đưa vào nhằm tăng
tốc độ hội tụ của phương pháp.
Bước 3: Giải tìm nghiệm gần đúng bậc không
(0) (0) 0
1ˆ0 , ( , ).
!
n
nn
n a E H n
n
+
= = =
(5)
Ở đây ta chọn tham số
từ điều kiện
(0) ( ) 0
n
E
=
.
Bước 4: Tính các yếu tố ma trận và thu được nghiệm gần đúng thông qua sơ đồ lý thuyết
nhiễu loạn hoặc sơ đồ vòng lặp. Nếu chuỗi các số hạng hội tụ thì ta thu được nghiệm chính xác
bằng số.
242
3. PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO
Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro có dạng:
( ) ( )
ˆ, , , ,H x y z x y z

=
(6)
với
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
ˆ.
2
Z
Hx y z x y z

= − + + −

++

(7)
Ở đây ta đã đưa phương trình (6) về dạng không thứ nguyên, trong đó đơn vị độ dài là
bán kính Borh
2
0
2
4
ame

=
và đơn vị năng lượng là 2 lần hằng số Rydberg
4
22
0
8
y
me
Rh
=
.
Do trong biểu thức (7) có số hạng chứa biến động lực ở mẫu số sẽ gây khó khăn khi sử
dụng FK-OM để giải, cụ thể trong FK-OM các biến số động lực sẽ được chuyển về biểu diễn
toán tử sinh hủy và sau đó tác dụng lên vector trạng thái, chính vì thế các toán tử này không thể
ở dưới mẫu số. Để loại trừ khó khăn trên ta sử dụng phép biến đổi Laplace như sau:
2
0
11
ˆ.
tr
e
U dt
rt
+ −
==
(8)
Khi đó toán tử Hamilton (7) được viết dưới dạng:
2
2 2 2
2 2 2 0
1
ˆ.
2
tr
Ze
H dt
x y z t
+ −

= − + + −


(9)
Tiếp theo, chúng ta sẽ biểu diễn phương trình Schrödinger (6) với toán tử Hamilton (9)
qua toán tử sinh hủy được định nghĩa như sau:
11
11
11
22
22
22
33
33
33
11
ˆˆ
,,
22
11
ˆˆ
,,
22
11
ˆˆ
,,
22
a x a x
xx
a y a y
yy
a z a z
zz






+
+
+

= + = −


= + = −


= + = −

(10)
với các tham số tự do
1 2 3
,,
là các số thực dương, giá trị cụ thể sẽ được bàn đến khi giải
phương trình (6). Các toán tử (10) thỏa mãn hệ thức giao hoán:
ˆˆ
,
i j ij
aa
+

=

(11)
trong đó
ij
là ký hiệu của delta Dirac. Đây chính là công cụ chính cho các tính toán đại số sau
này, hệ thức này giúp ta đưa các toán tử sinh, hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm
về phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau
này. Từ đây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của toán tử.
243
Ta viết lại các thành phần trong Hamiltonian (9) qua biểu diễn các toán tử sinh, hủy như sau:
Thành phần động năng:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
4
1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 1 2 1 2 1
4
T
H a a a a a a
a a a a a a
+ + +
+ + +

= − + + + + +


+ + + + + +

(12)
và thành phần tương tự tương tác Coulomb ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
1 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 1 2 1 2 1
2 2 2
0
1
ˆ.
t t t
a a a a a a a a a a a a
Z
U dt e
t
+ + + + + +
− + + + − + + + − + + +
+
=−
(13)
Từ đây về sau ta sẽ sử dụng toán tử Hamiltonian biểu diễn qua các toán tử sinh hủy như
sau:
ˆ ˆ ˆ
T
H H U=+
(14)
trong các tính toán cho sơ đồ FK-OM.
Do bài toán có tính đối xứng cầu và chỉ xét đối với trạng thái cơ bản nên ta chọn
1 2 3
= = =
. Mặt khác để thuận tiện trong tính toán ta sử dụng các toán tử:
222
1 2 3
222
1 2 3
1 1 2 2 3 3
ˆˆˆˆ
,
ˆˆˆˆ
,
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 2 2 3
A a a a
A a a a
N a a a a a a
+ + + +
+++
= + +
= + +
= + + +
(15)
Dễ dàng kiểm chứng rằng ba toán tử
ˆˆ
ˆ
,,A A N
+
tạo thành một đại số kín (Hoàng 2004),
nghĩa là khi chúng giao hoán với nhau không xuất hiện thêm một toán tử nào khác, thỏa mãn
các hệ thức giao hoán sau:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, 2 , , 4 , , 4 ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, 2 , , 4 , , 4 .
A A N A N A N A A
A A N A N A N A A
+ + +
+ + +
= = =
= = =
(16)
Khi đó toán tử Hamiltonian (14) có dạng:
( )
( )
ˆˆ
ˆ
2
0
1ˆˆ
ˆˆ
4
1tA A N
Z
H A A N dt e
t
+
− + +
+
+
= − + − −
(17)
Thành phần có dạng hàm mũ trong (17) có thể đưa về dạng chuẩn nhờ vào (15) và (16)
như sau (Hoàng 2004):
()
( )
1
ˆˆ
ˆln 1 2
1 2 1 2
2
ˆˆ
ˆ
2
ˆAA
N
tA A N
S e e e e


+
+−−
−+
++
− + +
==
(18)
với
2
t
=
. Khai triển
ˆ
S
theo chuỗi Taylor, ta được Hamiltonian (17) như sau:
( )
( )
1
1/2 ˆln 1 2
2
0
00
1 2 ( 1)
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
4 ! ! (1 2 )
j k j k Nt
jk
jk
jk
Z
H A A N dt A e A
jk t
t
+ + −
+ + −+
+
++
+
==
−
= − + − − +

(19)
244
Sử dụng tư tưởng phương pháp toán tử ta tách toán tử Hamiltonian (18) thành hai thành phần:
( )
0
ˆ ˆ ˆ
H H V
=+
(20)
Phần “trung hòa” có dạng:
( )
1
2 1/2 ˆln 1 2
(0) 2
22
0
0
1 2 1 ˆˆ
ˆˆ
4( !) (1 2 )
jNt
jj
j
j
Z
H N dt A e A
jt
t
−
+ −+
+ +
=
=− +
(21)
chỉ chứa số thừa số mà các toán tử sinh, hủy có số mũ bằng nhau. Còn toán tử “nhiễu loạn”
ˆ
V
có dạng:
( )
( )
1
1/2 ˆln 1 2
2
0
0 0,
1 2 ( 1)
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ.
4 ! ! (1 2 )
j k j k Nt
jk
jk
j k k j
Z
V A A dt A e A
jk t
t
+ + −
+ + −+
+
++
+
= =
−
= − + − +

(22)
Nghiệm gần đúng bậc zero của phương trình Schrödinger chính là nghiệm riêng chính
xác của toán tử
( )
0
ˆ
H
, còn các bổ chính bậc cao hơn ta có thể tính theo sơ đồ thích hợp.
4. XÂY DỰNG BỘ HÀM CƠ SỞ VÀ TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ MA TRẬN
Ta chọn bộ hàm sóng cơ sở là nghiệm riêng của toán tử
( )
0
ˆ
H
, đó cũng chính là bộ hàm
sóng của dao động tử điều hòa 3 chiều viết qua biểu diễn toán tử sinh hủy:
3
12
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1ˆ ˆ ˆ
, , 0 .
! ! !
n
nn
n n n a a a
n n n
+ + +
=
(23)
Trong đó trạng thái chân không
0
được xác định bởi các phương trình sau:
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
0 0, 0 0 , 0 0a a a= = =
(24)
Tuy nhiên do bài toán có tính đối xứng cầu và bảo toàn đại lượng bình phương mô-men
quỹ đạo cũng như hình chiếu mô-men quỹ đạo nên ta cần xây dựng bộ hàm cơ sở thỏa mãn
thêm các phương trình sau:
2
ˆ, , ( 1) , , ,
ˆ, , , , .
Z
L n l m l l n l m
L n l m m n l m
=+
=
(25)
Các toán tử
2
ˆˆ
,Z
LL
được biểu diễn qua các toán tử sinh hủy có dạng:
( )
22
2 1 1 2
13
ˆˆ
ˆ ˆ ˆ ,
44
ˆˆ ˆ ˆ ˆ .
z
L A A N N
L i a a a a
+
++
= − + − +
=−
(26)
Trong phần này ta chỉ xét trạng thái cơ bản cho nên chọn
0, 0lm==
, thu được bộ hàm
cơ sở chuẩn hóa như sau:
( )
1ˆ0.
2 ! 2 1 !!
n
n
nA
nn
+
=+
(27)
Bộ hàm sóng (27) sẽ được sử dụng để xây dựng nghiệm của phương trình và thu được
các kết quả như sau: