Phương pháp trình nghiệm nguyên

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

501
lượt xem 96
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phương pháp trình nghiệm nguyên', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp trình nghiệm nguyên

PHƯƠNG TRÌNH NGHI M NGUYÊN 1. Phương trình b c nh t hai n ax + by = c Phương trình có nghi m khi và ch khi (a,b) | c gi i phương trình ta tìm m t nghi m riêng (x0,y0) t ó suy ra t t c các  x = x 0 + bt nghi m c a phương trình  (t ∈ Z)  y = y 0 − at Ví d . Gi i phương trình 12x + 37y = 2008 Gi i T phương trình ta suy ra y ≡ 4 mod 12, ta ch n y0 = 4 ⇒ x0 = 155.V y nghi m  x = 155 + 37t c a phương trình là  (t ∈ Z)  y = 4 − 12t 2. Phương trình b c nh t ba n ax + by + cz = d gi i phương trình ta ưa v d ng ax + by = d – cz v i (a,b) = 1 r i ch n z = a tùy ý. Ví d . Gi i phương trình 13x + 25y – 41z = 2009 Gi i. Cho z = a ⇒ 13x + 25y = 2009 + 41a (*) phương trình 13x + 25y = 1 có m t nghi m là (2;–1) nên nghi m c a (*) là  x = 2(2009 + 41a) + 25b  (t ∈ Z) ⇒ Nghi m c a phương trình ban u là  y = −(2009 + 41a) − 13b  x = 2(2009 + 41a) + 25b   y = −(2009 + 41a) − 13b (t ∈ Z) z = a  3. Phương trình ax + by + cxy = d b ab Ta ưa v d ng tích x(a + cy) + (a + cy) = d + ⇔ (cx + b)(cy + a) = ab + cd c c T ây ta có cx + b, cy + a là các ư c c a ab + cd Ví d . Gi i phương trình 2x + 5y – 3xy = 1 Gi i x(2 – 3y) – 5/3. (2 – 3y) = 1 – 10/3 ⇔ (3x – 5)(3y – 2) = 7 t ây ta có các nghi m là (4,1) và (2,3). 4. M t vài phương pháp thư ng s d ng khi gi i phương trình nghi m nguyên 4.1. ưa v t ng các bình phương Ví d . Gi i phương trình x2 – 6xy + 14y2 – 10y – 16 = 0 Gi i. phương trình ⇔ (x – 3y)2 + 5(y – 1)2 = 21 1
⇒ 5(y – 1)2 ≤ 21 ⇒ (y – 1)2 = 0, 1, 4 (y – 1)2 = 0 ⇒ (x – 3y)2 = 21 (lo i) (y – 1)2 = 1 ⇒ (x – 3y)2 = 16 ta có các nghi m (4,0),(–4,0), (10,2),(2,2) (y – 1)2 = 4 ⇒ ( x – 3y)2 = 1 ta có các nghi m (10,3),(8,3),(–2,–1),(–4,–1) 4.2. ưa v tích s b ng 0. Ví d . Gi i phương trình 6x2 – 10xy + 4y2 + 3x – 2y – 32 = 0 Gi i. Phương trình ⇔ (2x – 2y + 1)(3x – 2y) = 32 Do 2x – 2y + 1 là s l nên 2x – 2y + 1 b ng ± 1 t ây ta có các nghi m (32,32), ( – 30, – 29) 4.3. Dùng các tính ch t chia h t, ng dư. Ví d . Gi i phương trình 3x2 – 2008y2 = 2009 Gi i. Nh n xét n u x ch n thì x ≡ 0 mod 4 còn n u x l thì x2 ≡ 1 mod 4 , t c là m t 2 s chính phương ng dư v i 0 ho c 1 modulo 4. Ta th y v trái c a phương trình luôn ng dư v i 0 ho c 3 mod 4 còn v ph i ng dư v i 1 mod 4 như v y phương trình vô nghi m. Ví d . Gi i phương trình x3 + 21y2 + 5 = 0 Gi i. 3 3 2 x ≡ 0, 1, – 1 mod 7 ⇒ x + 21y + 5 ≡ 5, 6, 4 mod 7 ⇒ phương trình vô nghi m. Ví d . Gi i phương trình 5x2 + 6x + 11 = y2 + 4y Gi i. Phương trình ⇔ 4x2 + (x + 3)2 + 6 = (y + 2)2 V trái ng dư 2, 3 mod 4, v ph i ng dư 0, 1 mod 4 ⇒ phương trìnhvô nghi m Ví d . Gi i phương trình 6x = y2 + y – 2 Gi i. 6x ≡ 1 mod 5 y2 + y – 2 = (y – 1)(y + 2) ≡ 0,3,4 mod 5 ⇒ phương trình vô nghi m Ví d . Gi i phương trình x2 = 2y2 – 8y + 3 Gi i. T phương trình ta th y x ph i l ⇒ x = 2k + 1 ⇒ (2k + 1)2 = 2y2 – 8y + 3 ⇒ 4k2 + 4k + 1 = 2y2 – 8y + 3 ⇒ 2k2 + 2k = y2 – 4y + 1 2k2 + 2k = 2k(k + 1) 4 ⇒ y2 + 1 4 (vô lý) ⇒ phương trình vô nghi m. 4.4. Dùng tính ch t A n < Xn < (A + 2)n ⇒ Xn = (A + 1)n Ví d . Gi i phương trình x3 + x2 + x + 1 = y3 2
Gi i V i x < – 1 hay x > 0 ta có x < y < (x + 1)3 ⇒ phương trình vô nghi m 3 3 V i x = 0 ta có nghi m (0,1) V i x = –1 ta có nghi m ( –1, 0) Ví d . Gi i phương trình x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2 Gi i. phương trình ⇔ (x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) = y2 t m = x2 + 8x ta có m2 + 7m = y2 N u m > 9 thì (m + 3)2 < y2 < (m + 4)2 ⇒ vô nghi m N u m ≤ 9 thì – 9 ≤ x ≤ 1. B ng cách th tr c ti p ta có các nghi m ( −9, ±12),( −8,0),( −7,0),( −4, ±12),( −1,0),(0,0),(1, ±12) 4.5. Dùng tính ch t b ch n 1 1 1 Ví d . Tìm nghi m nguyên dương c a phương trình + + =1 x y z Gi i. 3 Gi s x ≤ y ≤ z ⇒ 1 ≤ ⇒ x ≤ 3 ⇒ x = 1,2,3 x * x = 1 (lo i) 1 1 1 1 2 *x=2⇒ + = ⇒ ≤ ⇒ y ≤ 4 ⇒ y = 2,3,4 y z 2 2 y y = 2( lo i) 1 1 y=3⇒ = ⇒z=6 z 6 1 1 y=4⇒ = ⇒z=4 z 4 1 1 2 2 2 *x=3⇒ + = ⇒ ≤ ⇒y≤3⇒y=3⇒z=3 y z 3 3 y V y nghi m c a phương trình là (2;3;6), (2,4,4), (3,3,3) và các hoán v c a chúng. 4.6. Phương pháp xu ng thang Ví d . Gi i phương trình x2 + y2 + z2 = 2xyz Gi i 2xyz ch n ⇒ x + y + z ch n ⇒ trong 3 s x2, y2, z2 có 1 ch n, 2 l ho c 3 2 2 2 ch n Gi s x2 ch n, y2 và z2 l ⇒ x2 + y2 + z2 ≡ 2 mod 4 trong khi ó 2xyz ≡ 0 mod 4 (vô lý) ⇒ x2 , y2 , z2 u ch n ⇒ x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ⇒ x12 + y12 + z12 = 4x1y1z1 B ng cách lý lu n tương t ta có x = 2kxk , y = 2kyk , z = 2k zk và xk2 + yk2 + zk2 = 2k+1xkykzk N u x khác 0 thì n m t lúc nào ó xk l (vô lý) V y x = 0, y = 0, z = 0 3
4.7. Phương pháp xây d ng nghi m (ch ra m t h nghi m nào ó c a phương trình) Ví d . Ch ng t phương trình x2 + y2 = z2 có vô s nghi m H nghi m c a phương trình là x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2 Ví d . Ch ng t phương trình x2 + y2 = z2 + 3 có vô s nghi m Gi i. Thay z = y + 1 ta có x2 = 2y + 4 Ch n x = 2k ⇒ y = 2k2 – 2 V y h nghi m c a phương trình là (2k, 2k2 – 2,2k2 – 1) Ví d . Ch ng t phương trình x2 + y3 = z5 có vô s nghi m Gi i. m m m +1 x = 2 2 ,y = 2 3 ,z = 2 5 . Ch n m sao cho m 2, m 3 và m + 1 5 ⇒ m = 6(5k + 4) 5. Phương trình Pytagore x2 + y2 = z2 G i d = (x,y) ⇒ x = da, y = db và (a,b) = 1 ⇒ a2 + b2 = (z/d)2 t z = dc (c ∈ Q) ⇒ c2 ∈ N ⇒ c ∈ Z N u a, b cùng l thì a2 + b2 ≡ 2 mod 4 ⇒ c2 ≡ 2 mod 4 (vô lý) V y a, b khác tính ch n l . Gi s a l , b ch n ⇒ c l . 2 2 2 b 2 c +a c −a c +a c −a b =c –a ⇒   = . v i ,  =1 2 2 2  2 2  c+a c −a ⇒ = m2 , = n2 ⇒ c = m2 + n2, a = m2 – n2, b = 2mn 2 2 V y nghi m c a phương trình là  x = (m2 − n2 )d  x = 2mnd    y = 2mnd ho c  y = (m2 − n2 )d v i (m,n) = 1 z = (m2 + n2 )d z = (m2 + n2 )d   6. Phương trình Pell x2 – dy2 = 1 ( d là s không chính phương) (1) Trong ph n này ta ch xét nghi m nguyên dương. nh nghĩa. Gi s (x,y) và (x’,y’) là 2 nghi m c a (1). Ta th y r ng n u x < x’ thì y < y’ ho c ngư c l i. Như v y trên t p các nghi m c a phương trình ta xây d ng ư c quan h th t (x,y) < (x’,y’) ⇔ x < x’ nh lý 1. Phương trình (1) có vô s nghi m nh lý 2. n N u (a,b) là nghi m nh nh t c A (1) và a + b d ( ) = x n + y n d (*) v i n là s nguyên dương thì (xn,yn) là nghi m c a (1). 4
Ch ng minh. (a + b d) = C a + C a (b d) + Cnan−2 (b d)2 + ... = x n + y n d n 0 n n 1 n −1 2 n n (**) (a − b d)n = C0an − C1 an−1(b d) + Cnan−2 (b d)2 − ... = xn − y n d n n 2 n T (**) ⇒ (xn + yn d)(xn − y n d) = (a2 − db2 )n = 1 ⇒ x n − dy n = 1 ⇒ (x n , yn ) là 2 2 nghi m c a (1). Ta ch ng minh i u ngư c l i: n u (u, v) là m t nghi m c a (1) thì u + v d có d ng (*) Gi s u + v d ≠ (a + b d)n v i m i n nguyên dương. Ta có 1 < a + b d < u + v d 2 3 ( ) ( ) Do dãy s a + b d, a + b d , a + b d ,... không b ch n trên nên t n t i s nguyên dương N sao cho (a + b d)N < u + v d < (a + b d)N+1 u+v d ⇒ 1< < a+b d (a + b d)N ⇒ 1 < (u + v d)(xN − yN d) < a + b d (xN,yN) là nghi m c a (1) ⇒ 1 < uxN − vyNd + (vxN − uyN ) d < a + b d ⇒ 1 < U + V d < a + b d v i U = uxN − vyNd, V = vxN − uyN ⇒ U2 – dV2 = (uxN − vyN )2 − d(vxN − uyN )2 = (xN2 − dyN2 )(u2 − dv 2 ) = 1 ⇒ ( (U,V) th a (1) và U + V d U − V d = 1 )( ) T U + V d > 1 ⇒ 0 < U − V d < 1 ⇒ U > 0 và V > 0 ⇒ U + V d < a + b d ( mâu thu n v i (a,b) là nghi m nh nh t c a (1)) nh lý ã ư c ch ng minh. Ta cũng có th bi u di n các nghi m c a (1) b i công th c n n xn = (a + b d ) + (a − b d ) 2 n n v i n là s nguyên b t kỳ yn = (a + b d ) − (a − b d ) 2 d xn + 2 = 2ax n+1 − x n Ho c v i (xo,yo) = (1,0) và (x1,y1) = (a.b) yn + 2 = 2ay n+1 − y n Ví d . Gi i phương trình x2 – 5y2 = 1 Gi i. Ta có nghi m nh nh t là (9,4). Nghi m c a phương trình ư c tính b i công th c xn+2 = 18xn+1 – xn, yn+2 = 18yn+1 – yn v i (xo,yo) = (1,0) và (x1,y1) = (9,4) 5
7. Phương trình x2 – dy2 = n ( n là s t nhiên ) (2) Ta g i phương trình x2 – dy2 = 1 là phương trình liên k t v i (2) có (a,b) là nhi m nh nh t nh lý 3. Phương trình (2) ho c vô nghi m ho c vô s nghi m nh lý 4. N u (αi , βi ) , i = 1,2,.., m là các nghi m c a (2) th a mãn  −na2  βi2 ≤ max nb2 ,  thì các c p (x n,i ,y n,i ) sau ây s vét h t các nghi m c a (2):  d  xn +1,i = ax n,i + dby n,i , x o,i = αi (i = 1,2,…,m) yn +1,i = bx n,i + ay n,i , y o,i = βi Ví d . Gi i phương trình x2 – 5y2 = – 4 Nghi m nh nh t c a phương trình liên k t x2 – 5y2 = 1 là (9,4) y2 ≤ –(–4)92/5 = 64,8 ⇒ y ≤ 8 ⇒ các c p nghi m ban u là (1,1), (4,2), (11,5) V y nghi m c a phương trình là xn+1 = 9xn + 20yn, yn+1 = 4xn + 9yn v i (x0,y0) = (1,1), (4,2) ,( 11,5) 8. Phương trình Ax2 – By2 = n ( A > 1, AB không chính phương ) (3) Ta g i phương trình x2 – ABy2 = 1 là phương trình liên k t v i (3) có (a,b) là nghi m nh nh t. nh lý 5. Phương trình (3) ho c vô nghi m ho c vô s nghi m nh lý 6.  −na2  N u ( αi , βi ) , i = 1,2,.., m là các nghi m c a (3) th a mãn βi2 ≤ max  Anb2 ,   B  thì các c p (xn,i , y n,i ) sau ây s vét h t các nghi m c a (3): xn +1,i = ax n,i + Bby n,i , x o,i = αi (i = 1,2,…,m) yn +1,i = Abxn,i + ayn,i , y o,i = βi Ta có th bi u di n công th c trên dư i d ng truy h i xn + 2 = 2ax n+1 − x n x 0 = α,x1 = aα + Bbβ v i yn + 2 = 2ay n+1 − y n y 0 = β,y1 = aβ + Abα Ví d . Gi i phương trình 3x2 – 2y2 = 1 Gi i. phương trình liên k t x2 – 6y2 = 1 có nghi m nh nh t là (a,b) = (5,2) y2 < 3.1.22 = 12 ⇒ y ≤ 3 . Ta có nghi m ban u là (1,1) V y nghi m c a phương trình là xn+2 = 10xn+1 – xn , yn+2 = 10yn+1 – yn v i (x0,y0) = (1,1) ,(x1,y1) = (9,11) 6
BÀI T P 1) Tìm nghi m nguyên c a các phương trình a) 2x + 3y = 156 b) 3xy + x – y = 1 c) 2x2 + 3xy – 2y2 = 7 d) x3 – y3 = 91 e) x2 – xy = 6x – 5y – 8 2) Cho a th c f(x) có các h s nguyên .Bi t r ng f(1).f(2) = 35.Ch ng minh r ng f(x) không có nghi m nguyên. 3) Ch ng minh r ng các phương trình sau không có nghi m nguyên: a) 3x2 – 4y2 = 13 b) 19x2 + 28y2 = 2001 c) x2 = 2y2 – 8y + 3 d) x5 – 5x3 + 4x = 24(5y + 1) e) 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 4) Tìm 3 s nguyên dương sao cho tích c a chúng g p ôi t ng c a chúng 5) Tìm 4 s nguyên dương sao cho t ng c a chúng b ng tích c a chúng 6) Tìm các nghi m nguyên c a các phương trình : a) x2 + xy + y2 = 2x + y b) x2 + xy + y2 = x + y c) x2 – 3xy + 3y2 = 3y d) x2 – 2xy + 5y2 = y + 1 7) Tìm các s t nhiên sao cho 2x + 3x = 35 8) Tìm các s nguyên x,y sao cho x3 + x2 + x + 1 = y3 9) Tìm các nghi m nguyên dương : x! + y! = (x + y)! 10) Tìm các nghi m nguyên c a phương trình 3x2 + 4y2 = 6x + 13 11) Có t n t i hay không hai s nguyên dương x , y sao cho x2 + y và y2 + x u là s chính phương 12) Tìm các nghi m nguyên c a các phương trình : a) x(x2 + x + 1) = 4y(y + 1) b) x4 + x3 + x2 + x = y2 + y c) x4 – 2y2 = 1 d) x3 – 3y3 = 9z3 e) x2 + y2 = 3z2 f) x2 + y2 = 6(z2 + t2) g) x2 + y2 + z2 = 2xyz 13) a) Gi i phương trình x2 + y2 = 7z2 b) Ch ng minh r ng s 7 không vi t ư c dư i d ng t ng các bình phương c a2s h ut 14) Tìm các nghi m nguyên : a) xy – 2y – 3 = 3x – x2 b) 2x2 + 3xy – 2y2 = 7 c) x2 + y2 – x – y = 8 d) 7(x2 + xy + y2) = 39(x + y) e) 3(x2 –xy + y2) = 7(x + y) f) 5(x2 + xy + y2)= 7(x + 2y) g) 8y2 – 25 = 3xy + 5z h) 7x2 – 5y2 = 3 7
15) Ch ng minh r ng phương trình sau có vô s nghi m nguyên (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 16) Tìm nghi m nguyên dương : 1 1 1 1 a) + + = x y 6xy 6 1 1 1 1 b) + + = x y 2xy 2 xy xz yz 17) Tìm nghi m nguyên + + =3 z y x 18) Tìm 3 s nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 z, xz + 1 y , yz + 1 x 19) Tìm i u ki n c a a các nghi m c a phương trình u là s nguyên : 2 a) x – ax + a + 2 = 0 b) x2 + ax + 6a = 0 c) x 2 + a 2x + a – 1 = 0 20) Tìm các s nguyên a và b sao cho a + b = 25 và các nghi m c a phương trình x2 + ax + b = 0 là s nguyên.Tìm các nghi m ó. 21) Gi i phương trình a) x2 – 7y2 = 1 b) x2 –15y2 = 1 c) 3x2 – 5y2 = 7 22) Hãy ch ng minh các tính ch t c a b ba s Pitagore : a) T n t i 1 s là b i c a 3 b) T n t i 1 s là b i c a 4 c) T n t i 1 s là b i c a 5 8