1
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (a,b) | c
Để giải phương trình ta tìm một nghiệm riêng (x
0
,y
0
) từ đó suy ra tất cả các
nghiệm của phương trình
= +
∈
= −
0
0
x x bt
(t Z)
y y at
Ví dụ. Giải phương trình 12x + 37y = 2008
Giải
Từ phương trình ta suy ra y ≡ 4 mod 12, ta chọn y
0
= 4 ⇒ x
0
= 155.Vậy nghiệm
của phương trình là = +
∈
= −
x 155 37t
(t Z)
y 4 12t
2. Phương trình bậc nhất ba ẩn ax + by + cz = d
Để giải phương trình ta đưa về dạng ax + by = d – cz với (a,b) = 1 rồi chọn z =
a tùy ý.
Ví dụ. Giải phương trình 13x + 25y – 41z = 2009
Giải.
Cho z = a ⇒ 13x + 25y = 2009 + 41a (*)
phương trình 13x + 25y = 1 có một nghiệm là (2;–1) nên nghiệm của (*) là
= + +
∈
= − + −
x 2(2009 41a) 25b
(t Z)
y (2009 41a) 13b ⇒ Nghiệm của phương trình ban đầu là
= + +
= − + − ∈
=
x 2(2009 41a) 25b
y (2009 41a) 13b (t Z)
z a
3. Ph
ươ
ng trình ax + by + cxy = d
Ta
đư
a v
ề
d
ạ
ng tích
+ + + = +
x(a cy) (a cy) d
c c
⇔ (cx + b)(cy + a) = ab + cd
T
ừ
đ
ây ta có cx + b, cy + a là các
ướ
c c
ủ
a ab + cd
Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình 2x + 5y – 3xy = 1
Gi
ả
i
x(2 – 3y) – 5/3. (2 – 3y) = 1 – 10/3 ⇔ (3x – 5)(3y – 2) = 7 t
ừ
đ
ây ta có các
nghi
ệ
m là
(4,1) và (2,3).
4. M
ộ
t vài ph
ươ
ng pháp th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng khi gi
ả
i ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m
nguyên
4.1.
Đư
a v
ề
t
ổ
ng các bình ph
ươ
ng
Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình x
2
– 6xy + 14y
2
– 10y – 16 = 0
Gi
ả
i.
ph
ươ
ng trình ⇔ (x – 3y)
2
+ 5(y – 1)
2
= 21
2
⇒
5(y – 1)
2
≤ 21
⇒
(y – 1)
2
= 0, 1, 4
(y – 1)
2
= 0
⇒
(x – 3y)
2
= 21 (lo
ạ
i)
(y – 1)
2
= 1
⇒
(x – 3y)
2
= 16 ta có các nghi
ệ
m (4,0),(–4,0), (10,2),(2,2)
(y – 1)
2
= 4
⇒
( x – 3y)
2
= 1 ta có các nghi
ệ
m (10,3),(8,3),(–2,–1),(–4,–1)
4.2.
Đư
a v
ề
tích s
ố
b
ằ
ng 0.
Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình 6x
2
– 10xy + 4y
2
+ 3x – 2y – 32 = 0
Gi
ả
i.
Ph
ươ
ng trình ⇔ (2x – 2y + 1)(3x – 2y) = 32
Do 2x – 2y + 1 là s
ố
l
ẻ
nên 2x – 2y + 1 b
ằ
ng ± 1 t
ừ
đ
ây ta có các nghi
ệ
m
(32,32), ( – 30, – 29)
4.3. Dùng các tính ch
ấ
t chia h
ế
t,
đồ
ng d
ư
.
Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình 3x
2
– 2008y
2
= 2009
Gi
ả
i.
Nh
ậ
n xét n
ế
u x ch
ẵ
n thì x
2
≡ 0 mod 4 còn n
ế
u x l
ẻ
thì x
2
≡ 1 mod 4 , t
ứ
c là m
ộ
t
s
ố
chính ph
ươ
ng
đồ
ng d
ư
v
ớ
i 0 ho
ặ
c 1 modulo 4.
Ta th
ấ
y v
ế
trái c
ủ
a ph
ươ
ng trình luôn
đồ
ng d
ư
v
ớ
i 0 ho
ặ
c 3 mod 4 còn v
ế
ph
ả
i
đồ
ng d
ư
v
ớ
i 1 mod 4 nh
ư
v
ậ
y ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình x
3
+ 21y
2
+ 5 = 0
Gi
ả
i.
x
3
≡ 0, 1, – 1 mod 7
⇒
x
3
+ 21y
2
+ 5 ≡ 5, 6, 4 mod 7
⇒
ph
ươ
ng trình vô
nghi
ệ
m.
Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình 5x
2
+ 6x + 11 = y
2
+ 4y
Gi
ả
i.
Ph
ươ
ng trình ⇔ 4x
2
+ (x + 3)
2
+ 6 = (y + 2)
2
V
ế
trái
đồ
ng d
ư
2, 3 mod 4, v
ế
ph
ả
i
đồ
ng d
ư
0, 1 mod 4
⇒
ph
ươ
ng trìnhvô
nghi
ệ
m
Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình 6
x
= y
2
+ y – 2
Gi
ả
i.
6
x
≡ 1 mod 5
y
2
+ y – 2 = (y – 1)(y + 2) ≡ 0,3,4 mod 5
⇒
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m
Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình x
2
= 2y
2
– 8y + 3
Gi
ả
i.
T
ừ
ph
ươ
ng trình ta th
ấ
y x ph
ả
i l
ẻ
⇒
x = 2k + 1
⇒
(2k + 1)
2
= 2y
2
– 8y + 3
⇒
4k
2
+ 4k + 1 = 2y
2
– 8y + 3
⇒
2k
2
+ 2k = y
2
– 4y + 1
2k
2
+ 2k = 2k(k + 1)
4
⇒
y
2
+ 1
4 (vô lý)
⇒
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
4.4. Dùng tính ch
ấ
t
< < +
⇒
= +
n n n n n
A X (A 2) X (A 1)
Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình x
3
+ x
2
+ x + 1 = y
3
3
Gi
ả
i
V
ớ
i x < – 1 hay x > 0 ta có x
3
< y
3
< (x + 1)
3
⇒
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m
V
ớ
i x = 0 ta có nghi
ệ
m (0,1)
V
ớ
i x = –1 ta có nghi
ệ
m ( –1, 0)
Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y
2
Gi
ả
i.
ph
ươ
ng trình ⇔ (x
2
+ 8x)(x
2
+ 8x + 7) = y
2
Đặ
t m = x
2
+ 8x ta có m
2
+ 7m = y
2
N
ế
u m > 9 thì (m + 3)
2
< y
2
< (m + 4)
2
⇒
vô nghi
ệ
m
N
ế
u m ≤ 9 thì – 9 ≤ x ≤ 1. B
ằ
ng cách th
ử
tr
ự
c ti
ế
p ta có các nghi
ệ
m
− ± − − − ± − ±
( 9, 12),( 8,0),( 7,0),( 4, 12),( 1,0),(0,0),(1
, 12)
4.5. Dùng tính ch
ấ
t b
ị
ch
ặ
n
Ví d
ụ
. Tìm nghi
ệ
m nguyên d
ươ
ng c
ủ
a ph
ươ
ng trình
+ + =
1 1 1
1
x y z
Gi
ả
i.
Gi
ả
s
ử
x ≤ y ≤ z
⇒
≤
3
1
x
⇒
x ≤ 3
⇒
x = 1,2,3
* x = 1 (lo
ạ
i)
* x = 2
⇒
+ = ⇒≤
1 1 1 1 2
y z 2 2 y
⇒ y ≤ 4 ⇒ y = 2,3,4
y = 2( lo
ạ
i)
y = 3 ⇒
=
1 1
z 6
⇒ z = 6
y = 4 ⇒
=
1 1
z 4
⇒ z = 4
* x = 3 ⇒
+ =
1 1 2
y z 3
⇒
≤
2 2
3 y
⇒ y ≤ 3 ⇒ y = 3 ⇒ z = 3
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là (2;3;6), (2,4,4), (3,3,3) và các hoán v
ị
c
ủ
a
chúng.
4.6. Ph
ươ
ng pháp xu
ố
ng thang
Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình x
2
+ y
2
+ z
2
= 2xyz
Gi
ả
i
2xyz ch
ẵ
n ⇒ x
2
+ y
2
+ z
2
ch
ẵ
n ⇒ trong 3 s
ố
x
2
, y
2
, z
2
có 1 ch
ẵ
n, 2 l
ẻ
ho
ặ
c 3
ch
ẵ
n
Gi
ả
s
ử
x
2
ch
ẵ
n, y
2
và z
2
l
ẻ
⇒ x
2
+ y
2
+ z
2
≡ 2 mod 4 trong khi
đ
ó 2xyz ≡ 0 mod 4
(vô lý)
⇒ x
2
, y
2
, z
2
đề
u ch
ẵ
n ⇒ x = 2x
1
, y = 2y
1
, z = 2z
1
⇒ x
12
+ y
12
+ z
12
= 4x
1
y
1
z
1
B
ằ
ng cách lý lu
ậ
n t
ươ
ng t
ự
ta có x = 2
k
x
k
, y = 2
k
y
k
, z = 2
k
z
k
và x
k2
+ y
k2
+ z
k2
=
2
k+1
x
k
y
k
z
k
N
ế
u x khác 0 thì
đế
n m
ộ
t lúc nào
đ
ó x
k
l
ẻ
(vô lý)
V
ậ
y x = 0, y = 0, z = 0
4
4.7. Ph
ươ
ng pháp xây d
ự
ng nghi
ệ
m (ch
ỉ
ra m
ộ
t h
ọ
nghi
ệ
m nào
đ
ó
c
ủ
a ph
ươ
ng trình)
Ví d
ụ
. Ch
ứ
ng t
ỏ
ph
ươ
ng trình x
2
+ y
2
= z
2
có vô s
ố
nghi
ệ
m
H
ọ
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là x = m
2
– n
2
, y = 2mn, z = m
2
+ n
2
Ví d
ụ
. Ch
ứ
ng t
ỏ
ph
ươ
ng trình x
2
+ y
2
= z
2
+ 3 có vô s
ố
nghi
ệ
m
Gi
ả
i.
Thay z = y + 1 ta có x
2
= 2y + 4
Ch
ọ
n x = 2k ⇒ y = 2k
2
– 2
V
ậ
y h
ọ
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là (2k, 2k
2
– 2,2k
2
– 1)
Ví d
ụ
. Ch
ứ
ng t
ỏ
ph
ươ
ng trình x
2
+ y
3
= z
5
có vô s
ố
nghi
ệ
m
Gi
ả
i.
+
= = =
m m 1
m
3 5
2
x 2 ,y 2 ,z 2
. Ch
ọ
n m sao cho m
2, m
3 và m + 1
5
⇒ m = 6(5k + 4)
5. Ph
ươ
ng trình Pytagore x
2
+ y
2
= z
2
G
ọ
i d = (x,y) ⇒ x = da, y = db và (a,b) = 1 ⇒ a
2
+ b
2
= (z/d)
2
Đặ
t z = dc (c ∈ Q) ⇒ c
2
∈ N ⇒ c ∈ Z
N
ế
u a, b cùng l
ẻ
thì a
2
+ b
2
≡ 2 mod 4 ⇒ c
2
≡ 2 mod 4 (vô lý)
V
ậ
y a, b khác tính ch
ẵ
n l
ẻ
. Gi
ả
s
ử
a l
ẻ
, b ch
ẵ
n ⇒ c l
ẻ
.
b
2
= c
2
– a
2
⇒
+ −
=
2
b c a c a
.
2 2 2
v
ớ
i
+ −
=
c a c a
, 1
2 2
⇒
+ −
= =
2 2
c a c a
m , n
2 2 ⇒ c = m2 + n2, a = m2 – n2, b = 2mn
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
= −
=
= +
2 2
2 2
x (m n )d
y 2mnd
z (m n )d
hoặc
=
= −
= +
2 2
2 2
x 2mnd
y (m n )d
z (m n )d
với (m,n) = 1
6. Phương trình Pell x
2
– dy
2
= 1 ( d là số không chính phương) (1)
Trong phần này ta chỉ xét nghiệm nguyên dương.
Định nghĩa. Giả sử (x,y) và (x’,y’) là 2 nghiệm của (1). Ta thấy rằng nếu x < x’
thì y < y’ hoặc ngược lại. Như vậy trên tập các nghiệm của phương trình ta xây dựng
được quan hệ thứ tự (x,y) < (x’,y’) ⇔ x < x’
Định lý 1. Phương trình (1) có vô số nghiệm
Định lý 2.
Nếu (a,b) là nghiệm nhỏ nhất củA (1) và
(
)
+ = +
n
n n
a b d x y d
(*) với n là số
nguyên dương thì (x
n
,y
n
) là nghiệm của (1).
5
Chứng minh.
− −
− −
+ = + + + = +
− = − + − = −
n 0 n 1 n 1 2 n 2 2
n n n n n n
n 0 n 1 n 1 2 n 2 2
n n n n n n
(a b d) C a C a (b d) C a (b d) ... x y d
(a b d) C a C a (b d) C a (b d) ... x y d
(**)
Từ (**) ⇒
+ − = − = ⇒− = ⇒
2 2 n 2 2
n n n n n n n n
(x y d)(x y d) (a db ) 1 x dy 1 (x ,y )
là
nghiệm của (1).
Ta chứng minh điều ngược lại: nếu (u, v) là một nghiệm của (1) thì +
u v d
có
dạng (*)
Giả sử
+ ≠ +
n
u v d (a b d)
với mọi n nguyên dương.
Ta có 1 < + < +
a b d u v d
Do dãy số
(
)
(
)
+ + +
2 3
a b d, a b d , a b d ,...
không b
ị
ch
ặ
n trên nên t
ồ
n t
ạ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng N sao cho
+
+ < + < +
N N 1
(a b d) u v d (a b d)
⇒
+
< < +
+
N
u v d
1 a b d
(a b d)
⇒
1 <
+ − < +
N N
(u v d)(x y d) a b d
(x
N,
y
N
) là nghi
ệ
m c
ủ
a (1)
⇒
1 <
− + − < +
N N N N
ux vy d (vx uy ) d a b d
⇒
1 < + < +
U V d a b d
v
ớ
i U =
− = −
N N N N
ux vy d, V vx uy
⇒
U
2
– dV
2
=
− − − = − − =
2 2 2 2 2 2
N N N N N N
(ux vy ) d(vx uy ) (x dy )(u dv ) 1
⇒
(U,V) th
ỏ
a (1) và
(
)
(
)
+ − =
U V d U V d 1
T
ừ
+ >
⇒
< − <
U V d 1 0 U V d 1
⇒
U > 0 và V > 0
⇒
+ < +
U V d a b d
( mâu thu
ẩ
n v
ớ
i (a,b) là nghi
ệ
m nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a (1))
Đị
nh lý
đ
ã
đượ
c ch
ứ
ng minh.
Ta c
ũ
ng có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n các nghi
ệ
m c
ủ
a (1) b
ở
i công th
ứ
c
(
)
(
)
( ) ( )
+ + −
=
+ − −
=
n n
n
n n
n
a b d a b d
x2
a b d a b d
y2 d
v
ớ
i n là s
ố
nguyên b
ấ
t k
ỳ
Ho
ặ
c
+ +
+ +
= −
= −
n 2 n 1 n
n 2 n 1 n
x 2ax x
y 2ay y
v
ớ
i (x
o
,y
o
) = (1,0) và (x
1
,y
1
) = (a.b)
Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình x
2
– 5y
2
= 1
Gi
ả
i. Ta có nghi
ệ
m nh
ỏ
nh
ấ
t là (9,4). Nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
đượ
c tính
b
ở
i công th
ứ
c x
n+2
= 18x
n+1
– x
n
, y
n+2
= 18y
n+1
– y
n
v
ớ
i (x
o
,y
o
) = (1,0) và (x
1
,y
1
) =
(9,4)