Phơng trình bậc hai
1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng 2
ax bx c 0
(a ạ
0)
2. Công thức nghiệm: Ta có 2
b 4ac
.
- Nếu D < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
- Nếu D = 0 thì phơng trình có nghiệm kép 1,2
b
x
2a
- Nếu D > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt 1
b
x
2a
;
2
b
x
3. Hệ thức Viet: Nếu phơng trình có nghiệm x1; x2 thì S = 1 2
b
x x
a
; P =
1 2
c
x .x
a
Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình 2
ax bx c 0
(a ạ 0). Ta
có thể sử dụng định lí Viet để tính các biểu thức của x1, x2 theo a, b, c
S1 =
2
2
2 2
1 2 1 2 1 2 2
b 2ac
x x x x 2x x a
S2 =
3
3
3 3
1 2 1 2 1 2 1 2 3
3abc b
x x x x 3x x x x a
S3 =
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
b 4ac
x x x x x x 4x x a
4. Ứng dụng hệ thức Viet
a) Nhẩm nghiệm: Cho phơng trình 2
ax bx c 0
(a ạ 0).
- Nếu a + b + c = 0 ị x1 = 1; 2
c
x
a
- Nếu a - b + c = 0 ị x1 = -1; 2
c
x
a
b) Tìm hai số khi biết tổng và tích: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì
x, y là hai nghiệm của phơng trình bậc hai X2 - SX + P = 0
c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phơng trình 2
ax bx c 0
(a ạ 0) có hai
nghiệm x1; x2 thì
2
1 2
ax bx c a x x x x
d) Xác định dấu các nghiệm số: Cho phơng trình 2
ax bx c 0
(a ạ 0).
- Nếu
c
0
a
thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu
- Nếu
0
c
0
a
thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
- Nếu
0
c
0
a
b
0
a
thì phơng trình có hai nghiệm dơng. Nếu
0
c
0
a
b
0
a
thì ph-
ơng trình có hai nghiệm âm
5. Các dạng toán cơ bản:
Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm
Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm là
2
b 4ac
³ 0 hoặc
c
0
a
Trong trờng hợp cần chứng minh có ít nhất một trong hai phơng trình
2
ax bx c 0
; 2
a'x b'x c ' 0
có nghiệm ngời ta thờng làm theo một trong
hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh 1 2
0
Cách 2: 1 2
. 0
Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phơng pháp: Bớc 1: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là
hai nghiệm của phơng trình bậc hai X2 - SX + P = 0
Bớc 2: Giải phơng trình X2 - SX + P = 0
Bớc 3: Kết luận
Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
Bớc 2: Tính S = 1 2
b
x x
a
; P = 1 2
c
x .x
a
, theo m
Bớc 3: Biểu diễn hệ thức đề bài theo S, P với chú ý rằng
2 2 2
1 2
x x S 2P
;
3 3 2
1 2
x x S S 3P
; 1 2
1 1 S
x x P
;
2
2 2 2
1 2
1 1 S 2P
x x P
Dạng 4: Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
Bớc 2: Tính S = 1 2
b
x x
a
; P = 1 2
c
x .x
a
, theo m
Bớc 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ
thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số m
Dạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trớc
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
Bớc 2: Tính S = 1 2
b
x x
a
; P = 1 2
c
x .x
a
, theo m
Bớc 3: Giải phơng trình với ẩn số m, so sánh điều kiện
Bớc 4: Kết luận