intTypePromotion=1

Phương trình vi phân cấp 1

Chia sẻ: Hoang Gia | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

1
2.254
lượt xem
370
download

Phương trình vi phân cấp 1

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 PHẦN 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Phương trình vi phân có biến số phân ly 1. y′ cos 2 y − sin y = 0 2. y′ = sin y + cos y 3. x (1 − y ) y′ = −2 y dy 4. = ey +1 dx 5. x (1 + y 2 ) dx + y (1 + x 2 ) dy = 0...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương trình vi phân cấp 1

  1. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 PHẦN 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Phương trình vi phân có biến số phân ly 1. y′ cos 2 y − sin y = 0 1 14. y′ = x + y −1 2. y′ = sin y + cos y 15. y′ = 4 x + 2 y − 1 3. x (1 − y ) y′ = −2 y 16. ( y 2 + xy 2 ) dx + ( x 2 − yx 2 ) dy = 0 dy = ey +1 4. 17. 2 y y − y 2 dx − (1 + x 2 ) dy = 0 dx 5. x (1 + y 2 ) dx + y (1 + x 2 ) dy = 0 18. y′ = x 2 + y − 2 x 1 19. xydx + ( x + 1) dy = 0 6. y ′ = 1+ x 20. y 2 + 1dx = xydy x 7. y ′ = 21. (1 + y 2 ) ( e 2 x dx − e y dy ) − (1 + y ) dy = 0 (1 + x ) + 1 + x2 2 x2 + 2x −1 dy cos y − sin y − 1 = 8. 22. y′ = dx ( x + 1) ( x 2 + 1) cos x − sin x + 1 x 9. y ′ = 23. y′ = x 2 + 2 xy − 1 + y 2 x −1 3 ′ = y3 + 1 10. y 1 24. y′ = +1 11. y′ = − y 2 − 2 xy − x 2 x− y 12. y′ = ( 4 x + y − 1) 2 1 25. y ′ = 1 + 13. y′ = e x + y − 1 y2 26. (xy 2 − y 2 + x − 1)dx + (x 2 y − 2 xy + x 2 + 2 y − 2 x + 2)dy = 0 ( x + y )m 27. y ′ + 1 = Đặt z = x + y . ( x + y )n + ( x + y ) p 28. a (xy ′ + 2 y ) = xyy ′ (biến đổi về x (a − y )y ′ = −2ay ) 2 29. y ′ = y 2 − (Đặt z = xy) x2 30. Giải phương trình vi phân (y ′ 2 − 1)x 2 y 2 + y ′(x 4 − y 4 ) = 0 (coi là phương trình cấp 2 đối với y’) Phương trình vi phân thuần nhất ⎛ y⎞ 1. xdy − ydx = x 2 + y 2 dx 3. xy′ = y cos ⎜ ln ⎟ ⎝ x ⎠ y 4. ax 2 + 2bxy + cy 2 + y ′(bx 2 + 2cxy + f y 2 ) = 0 2. xy ′ = y − xe x
  2. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 18. ( 2 x − 2 y − 1) dx + ( x − y + 1) dy = 0 5. x 2 y ′ 2 − 3xyy ′ + 2 y 2 = 0 19. x ( x + 2 y ) dx + ( x 2 − y 2 ) dy = 0 (2 x + y + 1)dx − (4 x + 2 y − 3)dy = 0 6. 20. ( x 2 + y 2 ) dx − xydy = 0 (xy ′ + y )2 = y 2 y ′ . 7. 21. ( x 2 + y 2 ) dy + xydx = 0 x+ y 8. xyy′ + x 2 − 2 y 2 = 0 22. xy′ − y = ( x + y ) ln x 9. (3x 2 + y 2 ) y + ( y 2 − x 2 ) xy′ = 0 dx dy = 23. y+x y−x 10. xy ′ = y(1 + ln y − ln x ) , y(1) = e dx dy =2 24. 2 2 x − 2 xy + 2 y y − 4 xy 2 11. y 2 + x 2 y ′ = xyy ′ ( ) 25. y + xy dx = xdy 12. xy′ = y (1 + ln y − ln x ) thỏa mãn y (1) = e 26. ( 2 x − 4 y + 6 ) dx + ( x + y − 3) dy = 0 π y y 13. y′ = + sin thỏa mãn y (1) = 27. ( 2 x + y + 1) dx − ( 4 x + 2 y − 3) dy = 0 x x 2 28. ( x − y − 1) + ( y − x + 2 ) y′ = 0 14. x y′ + y = xyy′ 2 2 29. ( y + 2 ) dx + ( 2 x + y − 4 ) dy = 0 ⎛ y⎞ y 15. ⎜ x − y cos ⎟ dx + x cos dy = 0 x⎠ x ⎝ 2x + y 30. y′ = 16. ( x + 2 xy − y ) dx + ( y + 2 xy − x )dy = 0 2 2 2 2 x 31. ( y − 2 xy ) dx + x 2 dy = 0 2 17. ( x + y − 2 ) dx + ( x − y + 4 ) dy = 0 Phương trình vi phân tuyến tính 1. xy′ − y = x arctgx 2 2. (1 + x 2 ) y′ − 2 xy = (1 + x 2 ) 2 2 3. y ′ + 2xy = xe − x 4. x(1 + x 2 )y ′ − (x 2 − 1)y + 2 x = 0 5. y ′ sin x − y = 1 − cos x 6. (sin 2 y + x cot g y )y ′ = 1 x − hàm, y − biến x 7. y ′ + tgy = Đặt z = sin y cos y (2e ) − x y′ = 1 x − hàm, y − biến y 8. 9. (1 − 2 xy ) y ′ = y ( y − 1) x − hàm, y − biến 10. y ′ + xy = x 3
  3. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 ⎧ 2 3 ⎪y′ − y = 2 11. ⎨ x x ⎪ y(1) = 1 ⎩ 1 12. y ′ + = 0 (coi x là hàm của y) 2x − y 2 13. ye y = y ′(y 3 + 2xe y ), với y(0) = -1 (coi x là hàm của y) 14. (x 2 − y )dx + xdy = 0 1 15. Giải phương trình vi phân 2xy ′ + y = 1− x 16. 2x (1 + x )y ′ − (3x + 4 )y + 2x 1 + x = 0 17. xy ′ − y = x 2 sin x 18. Tìm nghiệm riêng của phương trình y ′ cos 2 x + y = tgy thỏa mãn điều kiện y(0)=0. 19. Tìm nghiệm riêng của phương trình y ′ 1 − x 2 + y = arcsin x thỏa mãn điều kiện y(0) =0. 20. xy ′ + y = y 2 ln x 21. 3 y 2 y ′ − ay 3 = x + 1 22. (xy + x 2 y 3 )y ′ = 1 x − hàm, y − biến 23. y ′x 3 sin y = x ′y − 2 y x − hàm, y − biến 24. (x 2 + y 2 + 1)dx + xydy = 0 25. (x 2 − 1)y ′ sin y + 2 x cos y = 2 x − 2 x 3 Đặt z = cos y 26. x(e y − y ′) = 2 Đặt z = e y 27. y ′ − 1 = e x + 2 y 28. (x 2 + y 2 + 2 x − 2 y )dx + 2( y − 1)dy = 0 Đặt z = y − 1 1 1 29. x 2 y ′ = y(x + y ) (biến đổi về dạng y ′ − y = 2 y2 ) x x 2y x dy thỏa mãn điều kiện y(0 ) = π . 30. Tìm nghiệm của phương trình vi phân ydx + 2xdy = cos 2 y
  4. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 31. (x + 1)(y ′ + y 2 ) = − y 42. y′ cos 2 x + y = tan x 2 2 32. xydy = (y 2 + x )dx 43. y′ + y = y cos 2 x x ( ) 2 3 44. y′ − y = 2 thỏa mãn y (1) = 1 33. y + xy dx = xdy x x y 45. y′ + + y2 = 0 34. xy ′ − 2 x 2 y = 4 y x +1 y1 35. 2 x 2 y ′ = y 2 (2 xy ′ − y ) (coi x = x(y)) 46. y′ − = xy 1 36. xyy ′ − y 2 = x α (α là tham số) 47. 2 xy′ + y = 1− x 48. xyy′ − y = x3 37. y′ + 2 y = x 2 2 38. ( x + 1) y′ + y = x 49. xyy′ − y 2 = x 4 y y2 39. x 2 y′ − xy = y 2 50. y′ − = 2 xx 40. x3 y′ − 2 x 2 y + 2 y 2 = 0 yx 41. y′ − = xy Phương trình vi phân toàn phần ⎛1 x 1⎞ ⎛1 y⎞ xy yx − 2 cos + 1⎟dx + ⎜ cos − 2 sin + 2 ⎟dy = 0 . 1. ⎜ sin ⎜ ⎟ ⎜x y y⎟ ⎝y yx x⎠ xy ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ x x ⎜ x + e y ⎟dx + e y ⎛1 − x ⎞dy = 0 . ⎜ ⎟ 2. ⎜ y⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ) ( 3. 2 x 1 + x 2 − y dx − x 2 − y dy = 0 . (x + y 2 )( xdy − ydx ) = (a + x )x 4 dx . 2 4. (x cos y − y sin y )dy + (x sin y + y cos y )dx = 0 . 5. (x ln x − 2 xy 3 )dx + 3x 2 y 2 dy = 0 . 4 6. 7. y 2 dx + (2xy + 3)dy = 0 8. e x (2 + 2x − y 2 )dx − 2e x ydy = 0 ) ( (y ) 3 +1 dx + y 2 + 3xy 1 + y 2 dy = 0 2 9. 2 10. (y cos 2 x − sin x )dy = y cos x (y sin x + 1)dx 11. (2 x + 3x 2 y )dx = (3y 2 − x 3 )dy
  5. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 ( ) ⎛x ⎞ x 2 + 1 cos y 12. ⎜ + 2 ⎟dx − =0 ⎜ ⎟ 2 sin 2 y ⎝ sin y ⎠ 13. (y + e x sin y )dx + (x + e x cos y )dy = 0 14. (x + sin y )dx + (x cos x + sin y )dy = 0 ⎛ x3 ⎞ 15. 3x 2 (1 + ln y )dx = ⎜ 2 y − ⎟dy ⎜ y⎟ ⎝ ⎠ 16. ( 2 xy + 3) dx + x 2 dy = 0 17. 2 xe y dx − e y ( 2 + 2 y − x 2 ) dy = 0 ) ( 18. x 2 + 3xy 1 + x 2 dx + ( x 2 + 1) dy = 0 3/2 19. ( 3x 2 − y 3 ) dx = ( 2 y + 3xy 2 ) dy ( y 2 + 1) cos x dx = 0 ⎛y ⎞ + 2 ⎟ dy − 20. ⎜ 2sin 2 x ⎝ sin x ⎠ 21. ( x + sin y ) dx + ( x cos y + sin y )dy = 0 ⎛ y3 ⎞ ⎟ dx = 3 y (1 + ln x ) dy 22. ⎜ 2 x − 2 x⎠ ⎝ 23. (1 + y 2 sin 2 x ) dx − 2 y cos 2 xdy = 0 ⎛2 y⎞ + 2 x sin 2 y + ⎟ dx + ( 2 x 2 cos 2 y + ln x ) dy = 0 24. ⎜ 2 ⎝x x⎠ 25. ( sin y − x cos y ) dx + x cos y ( x sin y + 1)dy = 0 2 26. ( 2 xy + e y cos x ) dx + ( x 2 + e y sin x ) dy = 0 27. ( y cos x + 2 x 2 sin x)dx + ( y 2 + sin x ) dy = 0 ⎛ x3 ⎞ 28. 3x 2 ( x + ln y ) dx = ⎜ 2 y 2 − ⎟ dy y⎠ ⎝ ⎛2 x⎞ 29. ( 2 y 2 cos 2 x + ln y ) dx + ⎜ + 2 y sin 2 x + ⎟ dy = 0 2 ⎝y y⎠ ⎛y ⎞ ⎛ x⎞ y y ⎜ − 1⎟ dx = ⎜ y + e ⎟ dy 30. e x ⎝ ⎠ ⎝x ⎠ Phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, Phương trình Lagrange- Klero 1. x ′y 3 = 1 + y ′ . 2. y = e y′ . y ′ 2 .
  6. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 1 3. y ′ 2 x = e y . 4. y = y ′(1 + y ′ cos y ′) . 5. y = 2 xy ′ + sin y ′ . 3 xy ′ + e y′ . 6. y = 2 7. y = 2 y ′x + y 2 y ′ 3 ( Nhân hai vế với y , Đặt z = y 2 ). y 1 8. x = +2 ( x − hàm, y − biến). y′ y′ 9. xy ′ − y = ln y ′ . 10. 2 y ′ 2 ( y − xy ′) = 1 . PHẦN 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Phương trình vi phân tuyến tính 1. x 2 y ′′ − 2 y = x 3 cos x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x2 1 2. Giải phương trình vi phân: x 2 (x + 1)y ′′ = 2 y biết một nghiệm y 1 = 1 + x 3. Giải phương trình vi phân (x 2 + 1)y ′′ − 2 y = 0 nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức. 4. Giải phương trình vi phân (2x + 1)y ′′ + (2 x − 1)y ′ − 2 y = x 2 + x biết nó có hai nghiệm riêng x 2 + 4x − 1 x2 +1 y1 = y2 = 2 2 2 αx 5. Xác định hằng số α sao cho y = e là nghiệm riêng của phương trình vi phân ( ) y ′′ + 4xy ′ + 4 x 2 + 2 y = 0 . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình. 6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (3x 2 + 1)xy ′′ + 2 y ′ − 6 xy = 4 − 12 x 2 biết rằng nó có hai nghiệm riêng y1 = 2 x, y 2 = (x + 1)2 7. Giải phương trình xy′′ + 2 y′ + xy = cot x biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần sin x nhất tương ứng y1 = x
  7. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 8. (x 2 + 1)y ′′ − 2 y = 0 nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức. 9. Giải phương trình x 2 y′′ − xy '+ y = 4 x3 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 10. Giải phương trình xy′′ − y ' = x 2 11. Giải phương trình x 2 y′′ − 2 xy '+ 2 y = 2 x3 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x x 1 12. Giải phương trình y′′ + y '− y = x − 1 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân 1− x 1− x thuần nhất tương ứng là y1 = e x 13. Giải phương trình x 2 ( ln x − 1) y′′ − xy '+ y = 0 , biết một nghiệm riêng có dạng y = xα , α là hằng số. 14. Tìm nghiệm riêng của phương trình ( 2 x − x 2 ) y′′ + ( x 2 − 2 ) y '+ 2 (1 − x ) y = 0 thỏa mãn y (1) = 0, y ' (1) = 1 , biết một nghiệm riêng của nó là y = e x 15. Giải phương trình ( 2 x − x 2 ) y′′ + 2 ( x − 1) y '− 2 y = −2 , biết nó có hai nghiệm riêng là y1 = 1, y2 = x 2x 1 16. Giải phương trình y′′ + y' = 2 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần x +1 x +1 2 nhất tương ứng là y1 = 1 17. Giải phương trình ( 2 x + 1) y′′ + ( 4 x − 2 ) y '− 8 y = 0 , biết một nghiệm riêng có dạng y = eax , α ∈ 18. Giải phương trình xy′′ − ( x + 1) y '− 2 ( x − 1) y + x 2 = 0 , biết một nghiệm riêng của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng y = eax , α ∈ 19. Giải phương trình ( x 2 − 1) y′′ − 6 y = 0 biết một nghiệm riêng có dạng đa thức. 1 20. Giải phương trình y′′ − y ' = x x 21. Giải phương trình ( x + 1) y′′ + 2 xy '− 2 y = 4 x 2 + 2 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi 2 phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 22. Giải phương trình x 2 y′′ − xy '+ y = 4 x3 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng có dạng đa thức. 23. Giải phương trình ( x 2 − 1) y′′ + 4 xy '+ 2 y = 6 x , biết nó có hai nghiệm riêng là x2 + x + 1 y1 = x, y2 = x +1 2x 2 24. Tìm nghiệm riêng của phương trình y′′ = − y '+ 2 y thỏa mãn x +1 x +1 2 y ( 3) = 22, y ' (1005 ) = 2000 , biết một nghiệm riêng của nó là y1 = x 25. Giải phương trình ( x 2 + 1) y′′ − 2 xy '+ 2 y = 0 , biết một nghiệm riêng có dạng đa thức. 26. Giải phương trình y′′ + 4 xy '+ ( 4 x 2 + 2 ) y = 0 , biết một nghiệm riêng có dạng y1 = eα x , α ∈ 2
  8. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 2 cot x 27. Giải phương trình y′′ + y '+ y = , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần x x sin x nhất tương ứng là y1 = x 28. Giải phương trình y′′ − 4 xy '+ ( 4 x 2 − 1) y = e x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân 2 2 thuần nhất tương ứng là y1 = e x sin x 29. Giải phương trình xy′′ + 2 y '− xy = e x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần ex nhất tương ứng là y1 = x 30. Giải phương trình x y′′ − 2 xy '+ 2 y = x 2 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần 2 nhất tương ứng là y1 = x 31. Giải phương trình x 2 y′′ − 2 xy '+ 2 y = x3 sin x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 32. Giải phương trình x 2 y′′ − 2 xy '+ 2 y = x3 cos x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 33. Giải phương trình x 2 y′′ − 2 xy '+ 2 y = x3 ln x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 34. Giải phương trình x 2 y′′ − xy '+ y = x3 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 35. Giải phương trình x 2 y′′ − xy '+ y = −8 x 2 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 36. Giải phương trình x 2 y′′ − xy '+ y = x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 37. Giải phương trình x 2 y′′ − xy '+ y = x ln x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 38. Giải phương trình (1 − x ) y′′ + xy '− y = x 2 − 2 x + 1 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = e x 39. Giải phương trình (1 − x ) y′′ + xy '− y = 0 , biết một nghiệm riêng có dạng y = eα x , α ∈ 40. Tìm nghiệm riêng của phương trình ( x 2 + 1) y′′ − 2 xy '+ 2 y = 0 thỏa mãn y x = 2 = 1, y ' x = 2 = −1 , biết một nghiệm riêng là y1 = x 2x 2 41. Tìm nghiệm riêng của phương trình y " = − y '+ 2 y thỏa mãn y x =1 = 1, y ' x =1 = −1 , biết x +1 x +1 2 một nghiệm riêng là y1 = x 42. Giải phương trình (1 + x 2 ) y′′ + 2 xy '− 2 y = x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x
  9. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 2x 2 1 43. Giải phương trình y′′ + y '− y= , biết một nghiệm riêng của phương trình vi 1+ x 1+ x 1 + x2 2 2 phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 1 44. Giải phương trình (1 + x 2 ) y′′ + 2 xy '− 2 y = , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân x thuần nhất tương ứng là y1 = x 45. Giải phương trình xy′′ + 2 y '− xy = 1 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất ex tương ứng là y1 = x e2 x 2 46. Giải phương trình y′′ + y '− y = , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần x x ex nhất tương ứng là y1 = x Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số y ′′′ − 13 y ′ − 12 y = 0 . y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 3e 2 x + 2 x 2 . 1. 7. y ′′′ − 2 y ′′ + 9 y ′ − 18 y = 0 . y ′′ − y = 2 sin x − 4 cos x . 2. 8. y (4 ) + y = 0 . y ′′′ − 2 y ′ + 4 y = e − x cos x . 3. 9. y (4 ) + 2 y ′′′ + 3 y ′′ + 2 y ′ + y = 0 . 10. y ′′ + n 2 y = sin 3 nx . 4. y ( 7 ) + 3 y ( 6 ) + 3 y (5 ) + y ( 4 ) = 0 . 11. y ′′ + y = sin x sin 2 x . 5. y ′′ + y = 4e x . 6. 12. x 2 y ′′ − xy ′ + 2 y = x ln x t = ln x . 13. (2 x + 1)2 y ′′ − 4(2 x + 1) y ′ + 8 y = −8 x − 4 t = ln (2 x + 1) . 1 1 y ′ + 2 y = 2 sin (ln x ) 14. y ′′ + t = ln x . x x 15. (1 + x )2 y ′′ + (1 + x ) y ′ + y = 4 cos ln(1 + x ) t = ln (1 + x ) . x 16. y ′′ + 9 y = ln 2 sin 2 để giải phương trình vi phân: x 2 y ′′ + 4xy ′ + (x 2 + 2 )y = e x . z 17. Dùng phép biến đổi hàm y = x2 18. y ′′ + y ′ = e − x (sin x − cos x ) (Đặt y = e-xz) 19. Giải phương trình y ′′ − (2e x + 1)y ′ + e 2 x y = e 3x bằng đổi biến t = e x
  10. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 20. y ′′ cos x + y ′ sin x − y cos 3 x = 0 đặt t = sinx 21. Giải phương trình vi phân xy ′′ + 2 y ′ − xy = e x bằng phép đổi hàm z = xy. 22. y ′′ + y ′tgx − y cos 2 x = 0 dùng t = sinx 23. Giải phương trình vi phân xy ′′ + 2(1 − x) y ′ + ( x − 2) y = e − x bằng phép đổi hàm z=xy y 24. x 2 y ′′ + 2 xy ′ + = 0 bằng phép biến đổi x = 1/t x2 25. x 2 y ′′ + xy ′ + y = x (biến đổi x = e t ) 26. x 2 y ′′ − 4xy ′ + 6 y = 0 (biến đổi x = e t ) 27. y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 1 + e −2 x ln x e −x 41. y ′′ + 2 y ′ + y = sin x + x 28. y ′′ + y ′ = xe − x 1 42. y ′′ + y = 29. y ′′ − 2 y ′ − 3y = xe +x 4x 2 sin x 30. y ′′ − 2 y ′ + 5y = x sin 3x 43. y ′′ + y = xe x + 2e − x 44. y ′′ + y ′ − 2 y = cos x − 3 sin x 31. y ′′ + y ′ = x + e − x 32. y ′′ − 2 y ′ + 2 y = x (e x + 1) 45. y ′′ − 2 y ′ = 2 cos 2 x 46. y ′′ + y = sin x + cos 2 x 33. 2 y ′′ + 5y ′ = 29x sin x y′′ − 3 y′ + 2 y = 3e2 x + 2 x 2 1 47. 34. y ′′ + y = y′′ − y = 2 sin x − 4 cos x sin x 48. y′′ + n 2 y = sin 3 nx . 49. 35. y ′′ − 4 y = (2 − 4x )e 2 x y′′ + y = sin x sin 2 x 50. x 2 y′′ − xy′ + 2 y = x ln x 51. ex 36. y ′′ − 2 y ′ + y = + cos x 52. ( 2 x + 1) y′′ − 4 ( 2 x + 1) y′ + 8 y = −8 x − 4 2 x 1 1 y = 2sin ( ln x ) ex 53. y′′ + y′ + 37. y ′′ − 2 y ′ + y = 1 + x2 x x 54. (1 + x ) y′′ + (1 + x ) y′ + y = 4 cos ln (1 + x ) 2 38. y ′′ − 4 y ′ + 5y = e 2 x + cos x 55. x 2 y′′ + 4 xy′ + ( x 2 + 2 ) y = e x 56. x 2 y′′ + xy′ − 4 y = x 2 ln x 39. y ′′ − 4 y ′ + 8y = e 2 x + sin 2x 57. y′′ + y′ = e− x ( sin x − cos x ) x 58. y′′ − ( 2e x + 1) y′ + e2 x y = e3 x 40. y′′ − 3 y′ + 2 y = 2e2 x − 5 + e x cos 2 59. y′′ + y′ = x + e − x
  11. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 60. y′′ − 2 y′ + 2 y = x ( e x + 1) e− x 78. y′′ + 2 y′ + y = sin x + x 61. y′′ cos x + y′ sin x − y cos3 x = 0 y′′ + y = xe x + 2e − x 79. 62. 2 y′′ + 5 y′ = 29 x sin x y′′ + y′ − 2 y = cos x − 3sin x 80. 1 63. y′′ + y = y′′ − 2 y′ = 2 cos 2 x 81. sin x y′′ + y = sin x + cos 2 x 64. y′′ − 4 y = ( 2 − 4 x ) e2 x 82. y′′ + 4 y = 4 x sin x + 5e2 x 83. ex 65. y′′ − 2 y′ + y = + cos x y′′ + y = sin x + e2 x 84. x y′′ − y ' = e 2 x + e x + x 85. xy′′ + 2 y′ − xy = e x 66. y′′ − 6 y '+ 8 y = e x + e 2 x 86. y′′ + y′tgx − y cos 2 x = 0 67. y′′ + 2 y '+ 2 y = 2 x − sin x 87. y′′ − 2 y′ + 5 y = x sin 3x 68. y′′ − 2 y '+ y = 1 + x + 2 ( 3x 2 − 2 ) e x xy′′ + 2(1 − x) y′ + ( x − 2) y = e− x 88. 69. y′′ − 2 y′ − 3 y = xe 4 x + x 2 70. y′′ − 4 y '+ 4 y = e2 x cos 2 x 89. ex y′′ − y = x cos 2 x 90. 71. y′′ − 2 y′ + y = 1 + y′′ + y = 4 x sin x x 91. x y′′ + xy′ + y = x 72. 2 y′′ − 3 y '+ 2 y = 3 x + 5sin 2 x 92. y′′ + y′ = xe − x 73. y′′ − 4 y '+ 4 y = sin x cos 2 x 93. y′′ − 4 y′ + 5 y = e 2 x + cos x 74. y′′ − 6 y '+ 9 y = 3x − 8e x 94. x 2 y′′ − 4 xy′ + 6 y = 0 75. y′′ − 3 y ' = e3 x − 18 x 95. y′′ + 4 y′ + 4 y = 1 + e −2 x ln x 76. y′′ − 4 y′ + 8 y = e 2 x + sin 2 x 77. 96. Tìm nghiệm riêng của phương trình y′′ + y '− 2 y = cos x − 3sin x thỏa mãn y ( 0 ) = 1, y ' ( 0 ) = 2 3 97. Tìm nghiệm riêng của phương trình y′′ + y = x cos x thỏa mãn y ( 0 ) = 0, y ' ( 0 ) = 4 Phương trình vi phân cấp cao chưa giải ra đối với đạo hàm 98. y ′′′ 2 + x 2 = 1 Đặt y ′′′ = cos ϕ ; x = sin ϕ . 99. Tìm nghiệm của phương trình: y ′′ 2 = 4( y ′ − 1) thoả mãn các điều kiện ban đầu: a) y = 0 , y ′ = 2 khi x = 0 . b) y = 0 , y ′ = 1 khi x = 0. (1 + x )y ′′ + y ′ + 1 = 0 yy ′ 2 2 100. yy ′′ − y ′ 2 = 103. dạng thuần nhất, 1+ x2 y ′(1 + y ′ ) = ay ′′ . 2 101. đặt y ′ = yz . y′′′ 3 y′y′′ y′′′ (1 + y′2 ) − 3 y′y′′2 = 0 ⇒ = 102. yy ′′ = y ′ 2 . 104. y′′ 1 + y′2 yy ′′′ = y ′y ′′ . 105.
  12. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 (x + 1)y ′′ + x (y′)2 = y ′ 1 1 113. y ′′ − y′ + 2 y = 1 106. x x y ′′ cos y + (y ′) sin y = y ′ 2 114. ⎛ y⎞ ⇒ d ( y′ − x) − d ⎜ ⎟ = 0 ⎝ x⎠ y y ′′ = y ′ 115. 2 yy ′ y ′′y + 2 y 2 y ′ 2 + y ′ 2 = 107. chia hai vế xy ′′ = y ′ + x 2 (Đặt y’ = p) 116. x cho yy ′ . y ′ 2 + yy ′′ = yy ′ 117. y ′′ = y ′e y 108. xy ′′ = y ′ + x 118. y ′′(1 + y ) = y ′ 2 + y ′ (Đặt y’ = p(y) ) 109. xy ′′ = 2 yy ′ − y ′ (Đặt z = xy’) 119. yy ′′ + y ′ 2 = 1 (Đặt y’ = p(y) ) ⎧ y ′′ = 2 yy ′ 110. 120. ⎨ ⎩ y(0 ) = 2; y ′(0) = 0 y ′′ = e 2 y thỏa mãn y(0 ) = y ′(0 ) = 0 111. 2xy ′y ′′ = y ′ 2 − 1 112. CHƯƠNG 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ⎧ dx ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = x − y + z ⎪ dt = 3x − y ⎪ dt = 3x − y 1. 5. ⎨ dy ⎨ dy ⎪ ⎪ dy ⎪ = 4y − x ⎪ = 4y − x 8. ⎨ = x + y − z ⎩ dt ⎩ dt ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dt = 2 x − y ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = x − 2 y − z ⎪ dt = 2 x − y + z ⎩ ⎪ dy ⎪ dy ⎧ dx ⎪ ⎪ ⎪ dt = 3 x + 2 z 6. ⎨ = y − x + z ⎨ = x + 2y − z 2. ⎪ dt ⎪ dt ⎪ ⎪ dz = x − z ⎪ dy ⎪ dz = x − y + 2 z 9. ⎨ = y + 2 z ⎪ dt ⎪ dt ⎩ ⎪ dt ⎩ ⎪ dz ⎪ dt = 2 x + 2 y + 2 z ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = − x + y + z ⎩ ⎪ dt − 5 x − 3 y = 0 ⎪ 3. ⎨ dy ⎪ dy ⎪ + 3x + y = 0 ⎧ dx 7. ⎨ = x − y + z ⎪ dt = 6 x − 12 y − z ⎩ dt ⎪ dt ⎪ ⎪ dz ⎪ dy ⎪ dt = x + y + z ⎧ dx 10. ⎨ = x − 3 y − z ⎪ dt = 2 x + y ⎩ ⎪ dt 4. ⎨ dy ⎪ dz ⎪ = 4y − x ⎪ dt = −4 x + 12 y + 3 z ⎩ ⎩ dt
  13. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 ⎧ dx ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = 2 x ⎪ dt = 2 x + 3 y ⎪ dt = − x − y + 4 z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dy ⎪ dy ⎪ dy 11. ⎨ = −2 x + 3 y − z 17. ⎨ = 3x − 6 y 23. ⎨ = 3 x + 11 y − 12 z ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dt = 3 x − 2 y + 2 z ⎪ dt = z ⎪ dt = −2 x + 2 y + 2 z ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ dx ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = 2 x − 2 y ⎪ dt = 3 x − 2 y ⎪ dt = 9 x + 4 y − 11z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dy ⎪ dy ⎪ dy 12. ⎨ = −2 x + y − 2 z 18. ⎨ = −2 x + 3z 24. ⎨ = 18 x + 11y − 27 z ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dt = −2 y ⎪ dt = 5 z ⎪ dt = 13 x + 7 y − 18 z ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ dx ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = x + z ⎪ dt = x + y + 4 z ⎪ dt = 5 x + 4 y − 6 z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dy ⎪ dy ⎪ dy 13. ⎨ = y + z 19. ⎨ = 2 x − 4 z 25. ⎨ = x + 2 y ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dt = x + y ⎪ dt = − x + y + 5 z ⎪ dt = 2 x + 2 y − z ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ dx ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = 5 x − 2 y − 2 z ⎪ dt = 7 x − 2 y ⎪ dt = 2 y − z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dy ⎪ dy ⎪ dy 14. ⎨ = −2 x + 6 y 20. ⎨ = −2 x + 6 y − 2 z 26. ⎨ = x + y + z ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dt = −2 x + 4 z ⎪ dt = −2 y + 5 z ⎪ dt = 4 x − 4 y + 5 z ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = −2 y + z ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = 3 x + y + z ⎪ dt = 3 x − 4 y + 2 z ⎪ ⎪ dy ⎪ ⎪ 27. ⎨ = − x + y + z ⎪ dy ⎪ dy ⎪ dt 15. ⎨ = x + 5 y + z 21. ⎨ = x − 7 y + 7 z ⎪ dz ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dt = −4 x − 4 y + 5 z ⎪ dz ⎪ dz ⎩ ⎪ dt = x + y + 3 z ⎪ dt = x − 4 y + 4 z ⎩ ⎩ ⎧ dx ⎪ dt = − x + 2 y + 8 z ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = 3 x + 2 y ⎪ dt = −3,5 x + 7 y − 2,5 z ⎪ ⎪ dy ⎪ ⎪ 28. ⎨ = −3 x + 4 y + 7 z ⎪ dy ⎪ dy ⎪ dt 16. ⎨ = 2 x + 2 y + 2 z 22. ⎨ = −8 x + 13 y − 4 z ⎪ dz ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dt = 3 z ⎪ dz ⎪ dz ⎩ ⎪ dt = 2 y + z ⎪ dt = −10,5 x + 15 y − 3,5 z ⎩ ⎩
  14. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7 ⎧ dx ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = 5 x − 2 y + 4 z ⎪ dt = − y + 3 z ⎪ dt = −5 x + 3 y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dy ⎪ dy ⎪ dy 29. ⎨ = 6 x − 2 y − 13z 35. ⎨ = −3 x + 2 y + 3z 41. ⎨ = −6 x + 4 y ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dt = 3 z ⎪ dt = x − y + 2 z ⎪ dt = −6 x + 5 y − 3 z ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ dx ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = 2 x − y + z ⎪ dt = 2 x − y + z ⎪ dt = 3 x − y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dy ⎪ dy ⎪ dy 1 3 1 30. ⎨ = − x + y + z 36. ⎨ = − x + 2 y + z 42. ⎨ = 2 x ⎪ dt 2 2 2 ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dz 1 ⎪ dz ⎪ dz 1 5 ⎪ dt = 2 x − 2 y + 2 z ⎪ dt = x − y + 2 z ⎪ dt = −8 x + 5 y − z ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ dx 1 ⎧ dx ⎧ dx 3 3 ⎪ dt = 2 x − 2 y + 2 z ⎪ dt = 3 x − 2 y + z ⎪ dt = −3 x + 2 y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dy ⎪ dy ⎪ dy 31. ⎨ = − x + z 37. ⎨ = − x + 2 y + z 43. ⎨ = −4 x + 3 y ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dz 1 ⎪ dz ⎪ dz 1 3 ⎪ dt = 2 x − 2 y + 2 z ⎪ dt = 2 x − 2 y + 2 z ⎪ dt = 13 x + −8 y + 4 z ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ dx 1 ⎧ dx ⎧ dx 3 3 = x− y+ z ⎪ dt = 3 x − y ⎪ dt = −3 x + 2 y ⎪ dt 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dy ⎪ dy dy 1 3 1 32. ⎨ = x − y − z 38. ⎨ = 2 x 44. ⎨ = −4 x + 3 y ⎪ dt 2 2 2 ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dt = 2 x − 2 y ⎪ dt = 7 x − 5 y + 4 z ⎪ dt = 10 x − 6 y + 3 z ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ dx ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = 3 x − 4 y − z ⎪ dt = 3 x − y ⎪ dt = 5 x − 3 y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dy ⎪ dy ⎪ dy 33. ⎨ = x − 2 y − z 39. ⎨ = 2 x 45. ⎨ = 6 x − 4 y ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dt = 4 x − 4 y − 2 z ⎪ dt = x − 3 y + 3 z ⎪ dt = −12 x + 7 y − 3 z ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ dx ⎧ dx ⎧ dx ⎪ dt = −2 x + y + 3 z ⎪ dt = −5 x + 3 y ⎪ dt = −4 x + 10 y − 3 z ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ dy ⎪ dy ⎪ dy 34. ⎨ = −3x + 2 y + 3z 40. ⎨ = −6 x + 4 y 46. ⎨ = −8 x + 11 y ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dt ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dz ⎪ dt = − x + y + 2 z ⎪ dt = 12 x − 7 y + 3 z ⎪ dt = −3 x − 6 y + 12 z ⎩ ⎩ ⎩
  15. Bài tập Phương trình vi phân –ĐHCQ K7
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2