Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
1
TIỂU LUẬN
Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm
cực trị đại số và cách khắc phục
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
2
1/ Đặt vấn đề:
Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em
càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ
rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc
giải tổng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán
loại này. Vậy tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải các bài toán cực
trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau:
1. Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị.
2. Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức.
3. Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại.
4. Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã vội đi ngay vào giải toán.
5. Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên
cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử dụng hết
giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có.
6. Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng
chưa.
Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng
toán khó nhưng rất thú vị. Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có
tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế,
chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minh
BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải
các bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài
“Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị đại số và cách khắc
phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
3
vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong
việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Như nhà giáo dục toán học Polya đã nói: ” Con người phải biết học ngay ở những
sai lầm của mình” .
Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi tự thấy kiến thức toán của bản thân
còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán về tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất. Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong cả thầy và trò
lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết
quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm. Tôi đã tìm nhiều biện pháp để
hướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán dạng này bằng các
phương pháp mà học sinh được trang bị trong cấp học, nhưng đều không thành
công bởi chính thầy cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, học sinh thì hay mắc sai
lầm. Sau đợt tập huấn cho GV dạy đội tuyển Toán do Sở GD - ĐT Quảng Ninh tổ
chức, dưới sự chỉ đạo trực tiếp của thầy giáo Cầm Thanh Hải – Trưởng phòng khảo
thí và qua tạp chí Toán tuổi thơ, tôi đã học tập và tích lũy được cho mình những
kinh nghiệm mà trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, với những bài toán tìm
cực trị đại số, khi hướng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ vai trò chủ đạo
để hướng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán được bằng nhiều cách,
tránh được những sai lầm cố hữu thường mắc phải khi giải toán cực trị và có hứng
thú thực sự với dạng toán này. Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệm
này cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển sâu
rộng hơn.
Đối với bài toán tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào
phân tích - kinh nghiệm của người làm toán. Các tài liệu tham khảo của môn toán
THCS dành cho giáo viên và học sinh có rất nhiều nhưng nội dung thì trùng nhau. Các
sách của Bộ giáo dục vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên phần giải bài
toán tìm cực trị trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài
bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này
có thể tham khảo. Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chọn đề tài “Sai lầm
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
4
thường gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương
trình THCS để nghiên cứu và thực hiện.
4. NỘI DUNG CHÍNH
I) Cách trình bày đề tài: Gồm hai phần
Phần 1: Lý thuyết
Phần 2: Các bài tập minh họa
Các sai lầm thường mắc được liệt kê ở cùng dạng.
1) Đưa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều được đưa ra lời giải sai.
2) Phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đưa ra lời giải đúng.
3) Các bài tập áp dụng.
II) Nội dung cụ thể.
PHẦN I: LÍ THUYẾT
a) Một số tính chất của bất đẳng thức
Cho a, b, c là các số thực
Tính chất 1
a b b a
Tính chất 2
a b
a = b
b a
Tính chất 3 Tính chất bắc cầu
a b
a c.
b c
Tính chất 4
a b a c b c
+ +
Tính chất 5 a b
c d
+
Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều cho nhau.
Tính chất 6
ac bc
a b
c 0
Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục
5
Tính chất 7
ac bc
a b
c 0
Tính chất 8. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm
a b 0
ac bd
c d 0
Tổng quát:
1 1
2 2
*
1 2 n 1 2 n
n n
a b 0
a b 0
a a ...a b b ...b 0, n N
...
a b 0
Chú ý: Không được chia hai bất đẳng thức cho nhau.
Tính chất 9 Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức
n n *
* a b 0 a b , n N
n n *
* a b a b (n N , n 2)
Tính chất 10 *
n n
a b 0 a b, n N ,n 2
Tính chất 11 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số
m n
m n 0
* a a
a 1
*
m n
m n 0
a a
0a1
Tính chất 12
b a
1 1
ab 0
a b
b) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
a 0, a R
a = a
nếu
a 0
a = -a
nếu
a 0
- a a a