Số phức trong chứng minh hình học phẳng

Chia sẻ: Huynh Duc Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

88
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Số phức trong chứng minh hình học phẳng được biên soạn với các nội dung: Một số khái niệm cơ bản, ứng dụng vào giải toán. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu bổ ích cho các bạn trong quá trình học tập và giải các bài toán về hình học phẳng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Số phức trong chứng minh hình học phẳng

S PH C TRONG CH NG MINH HÌNH H C PH NG Batigoal_mathscope.org Hoangquan9@gmail.com I.M T S KHÁI NI M CƠ B N 1. Kho ng cách gi a hai i m Gi s có 2 s ph c z1 và z2 bi u di n hai i m M 1 và M 2 trên m t ph ng t a .Khi ó kho ng cách gi a hai i m M 1 và M 2 ư c tính theo công th c M 1M 2 = z1 − z2 t d( z1 , z2 ) = z1 − z2 ư c xác nh như sau: a, d( z1 , z2 ) ≥ 0 ∀z1 , z2 ∈ C d( z1 , z2 ) = 0 ⇔ z1 = z2 b, d( z1 , z2 ) = d( z2 , z1 ) ∀z1 , z2 ∈ C c, d( z1 , z2 ) ≤ d( z1 , z3 ) + d( z3 , z2 ) ∀z1 , z2 , z3 ∈ C 2.Chia o n th ng theo t l k ≠ 1 ( k ∈ R ) a. Cho 2 i m phân bi t A và B trên m t ph ng t a ư c bi u di n b i 2 s ph c a và b . G i M là i m tùy ý ư c bi u di n b i s ph c z . i m M chia o n AB theo t s k ≠ 1 như sau: uuur uuur MA = K MB ưa v s ph c ta có a - z = k(b - z) hay (1 - k)z = a - kb. T ó z= a − kb 1− k Chú ý : V i k = −1 thì M là trung i m AB. b. . Cho 3 i m không th ng hàng A, B và C trên m t ph ng t a ư c bi u di n b i 3 s ph c a, b và c. G i G là tr ng tâm tam giác ABC. Khi ó i m G ư c bi u di n theo s ph c là zG = a+b+c . 3 3 i m th ng hàng, hai ư ng th ng vuông góc. 3. i u ki n G i z1 , z2 , z3 , z4 là các s ph c l n lư t bi u di n cho các i m M 1 , M 2 , M 3 , M 4 trên m t ph ng ph c. M nh 3.1 : Ba i m M 1 , M 2 , M 3 th ng hàng khi và ch khi: z3 − z1 ∈ R* z2 − z1 Ch ng minh: Th t v y , ba i m M 1 , M 2 , M 3 th ng hàng khi và ch khi M 2 M 1M 3 ∈ {0; π } hay acgument M nh z3 − z1 z −z ∈ {0; π } , t c là 3 1 ∈ R* z2 − z1 z2 − z1 3. 2 Hai ư ng th ng M 1M 2 , M 3 M 4 vuông góc v i nhau khi và ch khi z1 − z2 ∈ iR* z3 − z 4  π 3π  Ch ng minh: Th t v y, ta có M 1M 2 ⊥ M 3 M 4 ⇔ ( M 1M 2 , M 3 M 4 ) ∈  ;  2 ⇔ acgument z1 − z2  π 3π  ∈ ; . T z3 − z 4  2 2  ó ta có z1 − z2 ∈ iR* . z3 − z 4 Chú ý : N u M 2 ≡ M 4 thì M 1M 2 ⊥ M 3 M 2 khi và ch khi 4. Tam giác 2  z1 − z2 ∈ iR* z3 − z 2 ng d ng G i a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 là các s ph c l n lư t bi u di n cho các i m A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 trên m t ph ng ph c. M nh Hai tam giác A1 A2 A3 và B1 B2 B3 ng d ng v i nhau khi và ch khi a2 − a1 b2 − b1 = a3 − a1 b3 − b1 Ch ng minh A1 A2 A3 B1 B2 B3 ⇔ và acgument A1 A2 B1 B2 và A3 A1 A2 = B3 B1B2 , T = A1 A3 B1 B3 ó a2 − a1 b −b a −a b −b = acgument 2 1 . Suy ra 2 1 = 2 1 . a3 − a1 b3 − b1 a3 − a1 b3 − b1 a2 − a1 b −b = 2 1 a3 − a1 b3 − b1 Ví d : Trên các c nh AB, BC, CA c a tam giác ABC, v các tam giác ADB, ng d ng v i nhau. Ch ng minh r ng ABC và DEF có cùng tr ng BEC, CFA tâm. Ch ng minh Theo gi thi t các tam giác ADB, BEC, CFA ng d ng v i nhau nên ta có : d −a e−b f −c = = =z b−a c −b a −c T ó ta có d = a + (b - a)z, e = b + (c - b)z, f = c + (a - c)z. Nên tính ư c d +e+ f a+b+c = 3 3 V y hai tam giác ABC và DEF có cùng tr ng tâm. 5.Ph n th c c a tích hai s ph c Cho a và b là hai s ph c nh nghĩa Ph n th c tích c a hai s ph c a và b là m t s cho b i 1 a.b = (ab + ab) 2 1 2 Ta d th y a.b = (ab + ab) = a.b . V y a.b là s th c M nh 5.1 Cho a, b, c, z là các s ph c, khi ó: 1, a.a = a 2 2, a.b=b.a 3, a(b+c)=a.b+a.c 4, (α a )b = α (ab) = a(α b), ∀α ∈ R 5, a.b = 0 ⇔ OA ⊥ OB , trong ó a và b là bi u di n c a i m A và i m B trên m t ph ng ph c. 2 6, (a.z).(b.z)= z (a.b) M nh 5.2 Cho 4 i m phân bi t A, B, C, D phân bi t ư c bi u di n b i 4 s ph c a, b, c, d tương ng.Khi ó các kh ng nh sau là tương ương: 1, AB ⊥ CD 2, (b-a).(d-c) = 0 3, b−a b−a ∈ iR* (ho c Re( ) = 0) d −c d −c Ch ng minh (1) ⇒ (2)L y i m M(b-a) và N(d-c).Khi ó OABM và OCDN là các hình bình hành. Ta có AB ⊥ CD khi và ch khi OM ⊥ ON , nghĩa là m.n=(b-a).(d-c)=0 (theo m nh 5.1) (2) ⇔ (3) ư c suy ra theo nh nghĩa c a tích s th c II . NG D NG VÀO GI I TOÁN Ví d 1 Cho t giác ABCD. Ch ng minh r ng AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 khi và ch khi AC ⊥ BD . Ch ng minh G i a, b, c, d là các s ph c bi u di n cho các nh A,B , C, D c a t giác ABCD. Theo gi thi t ta có AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 ⇔ (b-a)(b-a)+(d-c)(d-c)=(d-a)(d-a)+(c-b)(c-b) ⇔ a.b + c.d = b.c + d.a ⇔ (c - a) . (d - b) = 0 ⇔ AC ⊥ BD Nh n xét Rõ ràng ng d ng s ph c ch ng minh thì bài toán ơn gi n và ng n g n hơn nhi u so v i làm hình h c thông thư ng. Ví d 2 Cho t di n ABCD. G i E, F, G, H l n lư t là trung i m c a các c nh AB, BC, CD, DA.Ch ng minh r ng AB ⊥ CD khi và ch khi BC 2 + AD 2 = 2( EG 2 + FH 2 ) . Ch ng minh G i a,b,c,d,e,f,g,h là các s ph c bi u di n cho các i m A, B, C, D, E, F, G, H. Khi ó ta có : e= a+b b+c c+d d +a , f = , g= , h= . 2 2 2 2 T gi thi t ta có BC 2 + AD 2 = 2( EG 2 + FH 2 ) Tr thành (c-b)(c-b)+(d-a)(d-a) = 2(g-e)(g-e)+2(h-f)(h-f) ⇔ (c-b)(c-b)+(d-a)(d-a) = 1 1 = (c + d − a − b)(c + d − a − b) + (a + d − b − c)(a + d − b − c) 2 2 ⇔ c.c + b.b + d.d + a.a - 2b.c - 2a.d = a.a + b.b + c.c + d.d - 2a.c - 2b.d ⇔ a.d + b.c = a.c + b.d. ⇔ (a - b).(d - c) = 0 ⇔ AB ⊥ CD .( i u ph i ch ng minh). Ví d 3 Cho tam giác ABC có tr ng tâm G. và AA1 , BB1 , CC1 l n lư t là các ư ng trung tuy n xu t phát t nh A, B, C.Ch ng minh r ng v i m i i m M b t kì ta luôn có: MA2 + MB 2 + MC 2 + 9MG 2 = 4( MA12 + MB12 + MC12 ) (*) Ch ng minh G i a, b, c, g, a1 , b1 , c1 l n lư t là các s ph c bi u di n các i m A, B, C,G, A1 , B1 , C1 trên m t ph ng ph c.Khi ó ta có : g= a+b+c b+c c+a a+b ; a1 = ; b1 = ; c1 = 3 2 2 2 V trái (*) = MA2 + MB 2 + MC 2 + 9 MG 2 = (m - a).(m - a) + (m - b).(m - b) + (m - c).(m - c) + 9(m − g )(m − g ) = (m-a).(m-a) + (m-b).(m-b) + (m-c).(m-c) + 9(m − a+b+c a+b+c )(m − ) 3 3 = 12 m − 8(a + b + c).m + 2( a + b + c ) + 2a.b + 2b.c + 2c.a 2 2 2 2 (1)