1
HƯỚNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
1. Nhu cầu xây dựng một lí thuyết chặt chẽ về hướng mà không sử dụng
phương pháp toạ độ.
1. Trong toàn bộ cuốn cơ sở hình học của Hilbert, không có thuật ngữ hướng.
2. Bằng phương pháp toạ độ, người ta có thể xây dựng lí thuyết về hướng. Tuy nhiên cách xây
dựng này không hoàn chỉnh: góc bẹt?
3. Cần phải xây dựng lí thuyết chặt chẽ về hướng mà không sử dụng phương pháp toạ độ.
4. Hãy nhìn lại vần đề hướng trong chương trình toán phổ thông:
+
a b;b c a c.
  
+ Định lí Thales dạng hình học và định lí Thales dạng đại số.
Không có định Thales dạng đại số, không thể có các định lí Ceva, Menelaus
+ Góc lượng giác và hệ thức Chasles cho góc lượng giác (người ta đã chứng minh được rằng ...
Người ta là ai?).
+ Phép quay và cách chứng mịnh các định lí liên quan tới phép quay (tất cả các định lí liên
quan tới phép quay đều được chứng minh bằng phương pháp mô tả).
+ Phép đối xứng trục và các định lí liên quan tới phép đối xứng trục.
Định lí L13. Tích hai phép đối xứng trục mà hai trục đối xứng cắt nhau là một phép
quay.
Chứng minh.
Giả sử
1
R
và
2
là hai phép đối xứng trục có các trục đối xứng ∆1, ∆2 cắt nhau.
Gọi O là giao điểm của ∆1 và ∆2.
Lấy M bất kì thuộc (P).
Gọi M’ là ảnh của M qua
1
R
; M’’ là ảnh của M’ qua
2
R .
Dễ thấy
OM OM ' OM ''.
1 2 1 2 1 2
(OM,OM '') (OM,OM ') (OM ',OM '')(mod2 )
2( ,OM ') 2(OM ', ) 2(( ,OM ') (OM ', )) 2( , )(mod2 ).
 
Suy ra 2 1 2
R .R (M) R (M ') M ''
= 1 2
2( , )
O
Q (M ).
Do đó
2 1
R .R
= 1 2
2( , )
O
Q .
□
2. Nói qua về cách xây dựng lí thuyết về hướng mà không sử dụng
phương pháp toạ độ.
1. Đoạn thẳng định hướng, sự cùng hướng, sự ngược hướng của hai đoạn
thẳng định hướng.
Điểm, đoạn thẳng, đoạn thẳng-không, đoạn thẳng định hướng, đoạn thẳng định
hướng-không, hình thang, hình thang-không, các kí hiệu hình thang, hai đoạn thẳng định
hướng cùng hướng, hai đoạn thẳng định hướng ngược hướng.
Định nghĩa 9. Hai đoạn thẳng định hướng
AB, CD
được gọi là cùng hướng nếu
tồn tại đoạn thẳng-khác không XY sao cho các tứ giác ABYX và CDYX là những hình
thang (có thể là hình thang-không) (h.4a, h.4b, h.4c, h.4d, h.4e, h.4f).
2
B
X Y YX
A
ACDBC D
(h.4a) (h.4b)
B
X Y YX
A
AC=D B
C=D
(h.4c) (h.4d)
C=D
A=B
X Y
YX
A=B=C=D
(h.4e) (h.4f)
Bổ đề ba hình thang khẳng định sự hợp lí của định nghĩa trên.
Để biểu thị
AB, CD
cùng hướng hoặc ta viết
AB CD

hoặc ta viết
CD AB

.
Thay cho cách nói
AB, CD
cùng hướng, ta còn nói
AB, CD
có hướng trùng
nhau.
Bổ đề ba hình thang khẳng định sự hợp lí của định nghĩa trên.
Để biểu thị
AB, CD
cùng hướng hoặc ta viết
AB CD


hoặc ta viết
CD AB

.
Thay cho cách nói
AB, CD
cùng hướng, ta còn nói
AB, CD
có hướng trùng
nhau.
Định nghĩa 10. Hai đoạn thẳng định hướng
AB, CD
được gọi là ngược hướng nếu
tồn tại đoạn thẳng-khác không XY sao cho các tứ giác ABYX và CDXY là những hình
thang (có thể là hình thang-không) (h.5a, h.5b, h.5c, h.5d, h.5e, h.5f).
B
X Y YX
A
ADB
CDC
(h.5a) (h.5b)
3
B
X Y YX
A
AC=D B
C=D
(h.5c) (h.5d)
C=D
A=B
X Y
YX
A=B=C=D
(h.5e) (h.5f)
Bổ đề ba hình thang khẳng định sự hợp lí của định nghĩa trên.
Để biểu thị
AB, CD
 
ngược hướng hoặc ta viết
AB CD


hoặc ta viết
CD AB

.
Thay cho cách nói
AB, CD
ngược hướng, ta còn nói
AB, CD
có hướng ngược
nhau.
2. Góc định hướng, sự cùng hướng, sự ngược hướng của hai góc định hướng.
Góc giữa hai tia, đỉnh, cạnh, miền trong, miền ngoài, góc giữa hai tia-không, đỉnh,
cạnh, miền trong, miền ngoài, góc giữa hai tia-bẹt, đỉnh, cạnh, miền trong, miền ngoài.
Góc định hướng giữa hai tia, đỉnh, cạnh, miền trong, miền ngoài, góc định hướng
giữa hai tia-không, đỉnh, cạnh, miền trong, miền ngoài, góc định hướng giữa hai tia-bẹt,
đỉnh, cạnh, miền trong, miền ngoài.
Cát tuyến dương, cát tuyến âm.
x
z
y
t
t'
'
YT
Z
X
Y'
Z'
X'
T'
O
4
x
y
z
t
t'
'
Z
T
Y
X
Z'
Y'
X'
T'
O
Chú ý:
S AMB
MB
.
S AMC
MC
Góc lượng giác giữa hai tia, đỉnh, cạnh, chu kì.
Góc giữa hai vectơ, góc định hướng giữa hai vectơ, góc lượng giác giữa hai vectơ.
Cung, cung định hướng, cung lượng giác.
Góc giữa hai đường thẳng, góc lượng giác giữa hai đường thẳng.
Ba định lí cơ bản.
Định lí 69. Với ba tia Ox, Oy, Oz và ba số nguyên k, l, m, ta có
1) (Ox, Oy)k
(Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2
)
(hệ thức Chasles cho góc lượng giác giữa hai tia).
2) (Ox, Oy)k
(Oz, Oy)m – (Oz, Ox)l (mod 2
).
Chứng minh.
Trong phép chứng minh này các định lí 50, 52 thường xuyên được sử dụng.
1) Bỏ qua các trường hợp đơn giản:
c¸ctia Ox,Oy trï ngnhau
c¸ctia Ox,Oy ®èi nhau.
Không mất tính tổng quát giả sử (Ox, Oy) có hướng dương.
Có bốn trường hợp cần xem xét.
Trường hợp 1. Tia Oz nằm trong góc
xOy
(h.34a).
x
y
x'
y'
z
O
(h.34a)
5
Theo hệ thức Chasles dạng mịn cho góc giữa hai tia, ta có
0 0 0
(Ox,Oy) xOy xOz zOy (Ox,Oz) (Oz,Oy) .
Do đó (Ox, Oy)k
(Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2
).
Trường hợp 2. Tia Oz nằm trong góc
yOx '.
y'
z=x' y
x
x
y
x'
y'
z
O
O
(h.34b) (h.34c)
Có hai khả năng xảy ra.
Khả năng 2.1. Tia Oz không trùng với tia Ox’ (h.34b).
Theo hệ thức Chasles dạng thô cho góc giữa hai tia, ta có
0 0 0
(Ox,Oy) xOy xOz zOy (Ox,Oz) (Oz,Oy) .
Do đó (Ox, Oy)k
(Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2
).
Khả năng 2.2. Tia Oz trùng với tia Ox’ (h.34c).
Có hai tình huống xảy ra.
Khi 0
(Ox,Oz) ,
theo hệ thức Chasles dạng tinh cho góc giữa hai tia, ta có
0 0 0
(Ox,Oy) xOy zOy (Ox,Oz) (Oz,Oy) .
Khi 0
(Ox,Oz) ,
theo hệ thức Chasles dạng tinh cho góc giữa hai tia, ta có
0 0 0
(Ox,Oy) xOy zOy 2 zOy 2 (Ox,Oz) (Oz,Oy) .
Do đó (Ox, Oy)k
(Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2
).
Trường hợp 3. Tia Oz nằm trong góc
x 'Oy '.
x'
x
y
x'
y' x
z=y'
y
zOO
(h.34d) (h.34e)
Có hai khả năng xảy ra.
Khả năng 3.1. Tia Oz không trùng với tia Oy’ (h.34d).
Theo hệ thức Chasles dạng thô cho góc giữa hai tia, ta có
0 0 0
(Ox,Oy) xOy 2 xOz zOy 2 (Ox,Oz) (Oz,Oy) .